積分計算法10

『理系のための積分講座 No.10』
§3『指数関数・対数関数』の積分
§3-1 tool 10 『指数・対数関数の基本公式』
tool 10
基本公式を使いこなせ！
tool4 同様，これらは基本公式として覚えて使いこなせ！
ax dx =
1 ax
log a
log x dx = x log x − x
1 ax は (ax ) = (log a)ax の逆計算です。慣れれば何ということもな
log a
いのですが，最初は ax と xa が同じように見えてしまうのです！
ax dx =
2
（例題）
|2x − 2| dx =
（03 北見工業大）
0
2
1
|2x − 2| dx =
0
2
(2 − 2x ) dx +
0
= 2x −
(2x − 2) dx
1
1 2x
log 2
1
+
0
1 2x − 2x
log 2
2
=
1
1
log 2
e
log t dt を求めよ。
（例題）
（04 東京理科大／改）
1
e
e
log t dt = t log t − t
1
=1
1
e
練習 1 次の定積分を計算せよ。
5log x dx
（03 横浜国立大・工）
1
4
練習 2 定積分
√
3
x
dx を求めよ。
（03 広島市立大）
0
1
練習 3 次の積分を求めよ。ただし，積分定数は省略してもよい。
log(log x)
dx =
x
（02 会津大）
〈練習の解答〉
dx = dt より dx = xdt = et dt だから
x
練習 1 log x = t とおくと x = et で
x
1→e
t
0→1
e
より
1
5log x dx =
1
0
1 (5e)t
log 5e
=
（別解）5log x = elog 5
e
√
(5e)t dt
0
1
=
0
1
(5e − 1)
log 5 + 1
= e(log x)(log 5) = xlog 5 より
e
1
xlog 5+1
log
5
+1
1
1
1
1
log 5
(e
· e − 1) =
(5e − 1)
=
log 5 + 1
log 5 + 1
5log x dx =
1
練習 2
log x
e
1
5t et dt =
xlog 5 dx =
x
0→4
t
0→2
3t
log 3
· t dt
x = t とおくと x = t2 より dx = 2tdt で
4
√
3
x
2
dx =
0
2
3t · 2t dt = 2
0
0
3t
log 3
=2
2
·t
= 36 − 2
log 3
log 3
−
0
2
log 3
3t
log 3
2
=
0
2
3t dt
0
36 −
16
log 3
(log 3)2
（別解）tool12 を使って
4
√
3
0
x
2
dx =
2
3t · 2t dt = 2
0
e(log 3)t · t dt
0
t −
1
=2
log 3
(log 3)2
16
= 36 −
log 3
(log 3)2
でも OK。
2
より
2
e(log 3)t
0
練習 3 log x = t とおくと，
1 dx = dt より
x
log(log x)
dx =
x
log t dt = t log t − t = (log x) log(log x) − log x
（別解）tool13 の解法に従い，部分積分でも OK。
log(log x)
dx =
x
(log x) log(log x) dx
1
x
= (log x) log(log x) − log x ·
dx
log x
1 dx
= (log x) log(log x) −
x
= (log x) log(log x) − log x
※この文書の著作権は私，鎌田凪平に属しますので，授業等で利用される場合は
メールで結構ですので了承を得て下さい。
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