KURENAI : Kyoto University Research Information Repository Title Author(s) Citation Issue Date URL 物理的相互作用による非対称応力の出現について池田, 恵物性研究 (1973), 20(5): 356-364 1973-08-20 http://hdl.handle.net/2433/88660 Right Type Textversion Departmental Bulletin Paper publisher Kyoto University 物理的相互作用による非対称応力の出現について東理大･理工池田恵 (5月 18日受理 ) 1 . はじめに連続体力学の分野に於ては, 1960年代には. Cosserat連続体力学とか , 1 ) 一般化連続体の力学 2)とかと称して , 従来の対称応力場を非対称にする試みが行なわれてき. そのために coupl e- st ress などの新しい量を導入してきた｡それを説明するためのモデルとしては . もっぱら抽象的に, 方向特性七か , 内部構造とかを想定し. ｢点自身が構造をもつ｣ことを実体化せんと努力してきたようである｡具体的な実例としては, elasti c diel ectri cs3)などという電磁的物質の連続体力学が考察されてきている｡ところが . その様な物理的相互作用場に注目してみる時 . 場の構造上 , 表面に出てくる応力が非対称になるためには , 当然 . そこに変形場 - の物理的自由度の介入がなければならず . 相互作用自体のよりミクロな洞察が必要となるのであるが . その辺の事情は . 従来 . 各論的に便宜的に考えられてきているにすぎず . 応力の非対称性を i ntri nsi cな形でとり入れることは試みられていないようである O そこで. 我々が考えたいのは . その実例として考えられている物理的相互作用の構造を陽に表現していくことにより, どの様にして応力の非対称化が図られるのかを､場の構造に照らして示していくことである｡ 2. 物垣的相互作用の規定我牛が主張したいことは , ｢応力の非対称化は物理的相互作用 ?介在による｣ということである｡そして . それは明らかに , よりミクロな洞察をしているこ - 35 6 - 池田恵とを意味するB 話を簡単にするために. 今 . 初期状態として , ある電媒質物体が何らかの変形場を構成しているものとし, そこ-外場としての電 . 磁場をかけるとする｡そして , 物理的相互作用は外場から変形場 - の効果として認識されるものとし, その逆効果は存在しているはずだが , ここでは簡単のために省略することにする o そうすると. 従来の我々の考察 4)に従って , 線素 dxKが ( 2.1) (dx)K- dx〝 + 人言dFO h に変化し. 例えば方向特性なるものは (2. 2) dPO - xTp dFP で与えられることになるo 但し･ F - ( FO)は外場であり, . }o Kは相互作用係数 , xP p は純物理係数で, 例えば pol ari zability などを意味するO (2.1), ( 2. 2)に対しては, 非ホロノーム部分空間分解論 5) が使えて ,( A) (6,gト空間からの分解操作が l o x ) , ( A 冒)- ( A芸 ( A芸)- (8貰, ≡ ∂貰⊥ l:A言,A冨) op), ( B冨)- (0,B言 ( B芸)- (0.I. I . 1 p T ) ( 2. 3) ' i で与えられることになるO ここで A芸A弓 ; 鰭 , BB qBB p - ∂p q を用いたB 又 . あくまで物理場から変形場 - の相互作用のみに注目することにしているから. そ 2. 3)になる｡更に, 以下では , より一層の簡単化のたの逆は無視した結果 , ( 1- 8芸,即ちめに AK 芸AO l- ∂芸と仮定する｡ 1 2. 1)の線素に基づく変形場が我々の着この様な考察の結果をふまえれば . ( 目するところとなる｡ 3. 変形場の構造 dx)応に基づく計量テンソルを導入しようo それは ,一般にまず . 線素 ( ( 3. 1) gj K - AA IA望 GAB -357- 物理的相互作用による非対称応力の出現についてで与えられるo 但し･ GAB は (A ) - (K,0上場の計量テンソルで , 以下では簡単のため･初期状埠では純変形場の成分 GスK と純物理場の成分 Gop のみしか存在しないとし･グスK - GIK + G}O 引 GpL E- 0 と仮定する o この軌 (3･1)は S Gop ( ･ 3･ 2) となり, 相互作用の効果を含む o 上記の仮定の下では. 変形場 - の相互作用が直和的に付加され , l A Oがすべての相互作用を代表することになる O - 方 , この場の接続係数は､一般の変換則より t A 冒 I. i A 応 I l 〟1 - A芸 AC p Ec A B + AA X〟 Aうに K で導入されるが, 初期状態での ( 3. 3) E c A Bは･場の構造がユークリッド的であると仮 E c A B-OJとおくことにするo 又･ Ⅹ〃 - A≡ ∂B - ∂〟 + 定して･ ' lp O∂Oである｡よって , ( 3. 3)は r p K 1- lKox〟 llq ( 3. 4) . に帰着する｡ここで注意したいのは･類 (但し, lKO≡ は全体として対称であり, GIK も (引碓 Gpo)もそうであるが･ jO } 応0) 自身は必らず L もそt うではなく, むしろ一般的にいえば非対称である｡それ故 , 後でのべる様に . 応力の対称化は, すべからく, 引こ依存していることがわかる｡又 , I I LL K) 非も〟とノ ‖こついては一般に非対称であり, これに対応する応力 (モーメント応力 )も非対称になることがいえる o ここでの議論には i O I ･l p Kの具体形は関係ないが , 実際問題としては , pi ezoel ect ri cit y などにみられる如く, PO,FOJ >の依存性が陽に仮定されて然るべきであるo 削上述の成分以外にも･ gjo, gop, rp k o, Tp O l, rp O p,等が存在するが･これらは変形場そのものとは直接関係ないので , ここでは言及しないでおくo -358- 池田恵 4. 応力方程式年女そこで , 場の独立変数として (蟻 , rK P l) を採用し･それらに対応する応力成分を (o ぷ}, 〟kjp)とおくことにより, この場でのエネ ′ レギー変分原理を考えると. J〔oKl軌 K+ Ⅴ 〝8I I p Kl〕 dV - 〟 kl とおけるo 但し, Ⅴ は着目する領軌 0 ( 41 1) ￠V は (dx)〟による体積素である｡ (3. 2), (3. 4)を代入し, 部分積分を行ってやると･ (81;)に対する相互作用応力 (∑l o)についての応力方程式として ∑3 - 06㌦ … - を得る o 但し, Mal〝 ≡ に非対称であ｡, 申 MayP ,pl y -x 〟Ma jp ( 4･ 2) pkl〝 lo X, }KO 三 )だ Gpoo この応力 ∑三は一般こ抗するもの故 , 物理的相互作用の介在によ -て非対称応力が出現することがわかるが . 一方 , o畑ま明らかに対称応力であり,( 4. 2) から, 逆に, oK 1 - ∑ lk + MKレ〝 ,ま y ∑}K ≡ ∑0 ㌦但し Mkl〃 ≡ lK O , p k y x〟MXl〝 +M山 + Ok Ma l〟 ( 4. 3) }oK, IOl - ∂K j, と求める時 .右辺の各項が局所応力として非対称であっても,全体としては, }01 を介して対称応力 oKl にまとめられることを示している｡そして. 反対称応力方程式 , 即ち. モーメント方程式は , ( 4. 3) より･〔 l K] + (Mリ〔}7p7- M〔仙 -) , 霊 + x〟M〔〕〝 K l o ( 4･ 4) と得られ , c oupl e- str essM〔Kj〕〟が出現するといえる O つま｡, coupl e -str essは , 接続係数･ひいては挨率の orderの量であ｡･スK 0l 人 K p か -359- らい物理的相互作用による非対称応力の出現についてえば "二次 ' 'の orderの量といえ, その意味で , 方向特性とか , 内部構造 , 内部回転とかの一段ミクロの段階の自由度に抗する量だということがわかる｡従って, そういう自由度を取り入れるならば､必らずや , 非対称応力が出現することも明らかとなる｡ 5. Fi nsl er空間論的考察 nsl er空間論 7)による連続体力学から考えてみさて , 以上の議論を通常の Fi ることも可能である O以上述べた形式は､いわゆる接触テンソル解析的なものであり. これに陽に接触変換を適用していけば , Fi nsl er 空間論に通ずることは周知のとお｡である｡5)そこで, この節では表面に出てくる方向特性 (pl) に注目することにし, 独立変数 (Xl,pJ)_ の場を考えていくことになる｡つま nsl er空間論的に考り, (pl)の介在によって非対称応力が出現する機構を Fi 察したい . 但し, この節では. 通常の扱い方に従って . 前節までの様な指標の区別はしないことにする｡まず , 特徴的なのは. 接続が DVl - dVl+ri i VJ dxk 十 C這jv J で与えられることである｡つまり･ (pk)の挙動に (5. 1) d pk 対して, Cij なる新しい接続係数が出現し, これが, 今の我々の議論には本質的な役割を果すことがわかる (cf .後述 10 一方･今･計量テンソルを㌔ i(X,P) とおくと, 通常の計量条件より, A =J A2: k ( j : j i 孝 9 =ci 2,C c(二 k C 綿半 2) が成立たねばならぬ｡ここで簡単のため･ Ckji- Cjik - Cikj -Ckij と仮定する｡これは gji が pk について 0次斉次なことを仮定することに他な -360- 池田恵 l . ー l . 1 1 らず･ C kjip - Cjikpl - cikjp - 0 が成立っと同時に･㌔i 1 ∂ Ckji = - -k 2 ∂p ( 5. 3) と一意的に決定されてくる｡さて , 次に, pk 自身の振舞に着目するわけだが, これについては幾何学的には基接続 8)の概念が対応してき, pk についての固有法則を与えるが , 今の場合 , 簡単に D pl - dpl + , k3pJ d xk -o ( 5. 4､ ) とおくことれたい｡この時 . (-) kl j pJ)なる量が os cul ati ng f act or-として , pk による "はみだし" を (Xk上場の中に射影する操作を代表する｡そして , この時 , ( 5.1)は ; dVl +rkl jVJdx 栄 DVl - 米 ;Tk k に縮退する｡栄･ l i≡rklj - l jTk e m Pm c c ( 5･ 5) . そこで･次には rkl j, ひいて Q - kl j の決定という問題が残ってくるが, ここでは簡単のために微少変形を仮定し, 全変形を αji(x,P) とおくと, gji 三三二 …∴ 三二三 ∂α 5･ 4)から Ckji ニーそうすると. ( 二一 := t ' l =-∴ 三宝 = II (ji) となり, ( 5. 5)から二栄 I l kji - - (∂k αji) - ( 但し, aふe ≡ ( ∂ ka e)pm ) ∂ a mn ニ pe ( 5. 6) l i一一 J で与えられることになる｡よって, ここから前節の議論に移行することができる . -361- (4二1) に対しては物理的相互作用による非対称応力の出現について今の場合 . 栄 / V 〔oi j S gj i + 芸 ijk ∂ ,kji 〕dv - ( 5･ 7) 0 栄 ,∂Ilkji)に上述の結果を代入してやれば, 変形場の応力が対応し, (∂gji 方程式として次を得ることができる｡ ∂ ･α(ji) ;- 2αi j- ∂k芸(ij)k+育 (芸(ij)k rk e m Pm) . i em - ∂k(≡-nk c ' Sa〔ji 〕 ; ∂ k芸｡ij 〕 k - -o -o pj) ) ∂k(芸-nkcl . i nm pj〕) 反対称応力方程式 (5. 8)2 においては芸li j 〕kが｡｡u｡1 ｡- str ｡ss の役割を果し, 相互作用応力として I Ckjiからの効果がきいてきている｡ (4･1)I (5.7) では内部エネルギーに関する変分原理を扱ってい , これに外部仕事をつけ加えてやれば , bo dy- coupl e とか surface- coupl e とかの存在が最初から仮定され･ (5･8)2 につりあうべき面モーメント･あるいは反対称応力成分の存在が自ずから仮定されねばならなくなや｡よって, O ij も , 熱力学第一法則に見合うように方程式が構成されれば , 芸は対称であって ijk の存私っ栄 r まりは kji の効果の存在によって･ ∂α〔j i〕＼に括抗するだけの反対称応力が出現せざるを得なくなるといえる｡ 6. おわりに結局 . ここでのべた事柄は, 我々の以前からの物理的相互作用場の構築の論 ntri nsi cに非対称計量空間による場の理に含みこまれ . それ自体としては, i 考察の中に含まれることがいえる｡それ故 , 本質的には , 非対称応力の出現が非対称計量の出現に匹敵し, そして , それは, とりもなおさず ,物理的相互作用の出現そのものに他ならないことがいえ,従来 , 文献 1)- 3)などで応力の非対称性を特別視して扱っていることが . 今や . i ntri nsi cな理由づけによ -362- 池田患って,必然的なものであることが主張されるに至った｡その様な連続体力学における拡張は. 具体的には従来通り, 非局所化の要因に従って試みられるところである｡ 7. 参考文献 1) 例えば J. 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