3次元空間群

地球惑星科学基礎V演習
3次元の空間群
第6回
瀬⼾雄介
http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto
2次元空間群  3次元空間群
• 2次元空間群
–
–
–
–
格⼦並進 (p, c)
回転 (1, 2, 3, 4, 6)
鏡映 (m)
映進 (g)
• 3次元空間群
–
–
–
–
–
格⼦並進(P, I, F, A, B, C, R)
回転 (1, 2, 3, 4, 6)
回反* (-1 [= i], -2 [= m], -3 = [3・i], -4, -6 [= 3/m])
らせん操作* (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)
映進操作 (a, b, c, n, e, d)
*は3次元でのみ現れるもの
62回らせん
41らせん
1周期
1/4
周期
N
M
1周期
2/6
周期
らせん: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと、軸⽅向にM/N周期だけ平⾏移動し
て図形を不変に保つ操作
表記: 21, 31, 32, …
らせん軸の例
41
61
64
並進を伴うもの
鏡映に引き続き、ある⽅向に1/n周期平⾏移動して図形を不変に保つ操作
1周期
1/2周期
⾯の⽅向、平⾏移動の⽅向と距離によって、以下の6つに分類される
表記
⾯の⽅向
⽅向と距離
a
a軸に平⾏
a軸の⽅向に1/2周期
b
b軸に平⾏
b軸の⽅向に1/2周期
c
c軸に平⾏
c軸の⽅向に1/2周期
n
a,b,c軸などに垂直
⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)
の対⾓線⽅向に1/2周期
e
a,b,c軸などに垂直
⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)
の⽅向にそれぞれ1/2周期
d
a,b,c軸などに垂直
⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)
の対⾓線⽅向に1/4周期
映進⾯の例
a 映進⾯:
b軸に垂直な鏡映の後、
a軸⽅向に1/2進む
b軸に垂直な映進⾯の場合
c 映進⾯:
b軸に垂直な鏡映の後、
c軸⽅向に1/2進む
c
a/2
c/2
a
b
n 映進⾯:
b軸に垂直な鏡映の後、
a+cの合成ベクトルの
⽅向に1/2進む
a/2
+
c/2
映進⾯の例
b軸に垂直な映進⾯の場合
d 映進⾯:
e 映進⾯:
b軸に垂直な鏡映の後、a+c の合
成ベクトルの⽅向に1/4進む
b軸に垂直な鏡映の後、a軸⽅向に1/2進む
+
b軸に垂直な鏡映の後、c軸⽅向に1/2進む
(a+c)/4
a/2
c
c/2
c/2
(a+c)/4
a/2
c
(a+c)/4
a
a
b
b
3次元の空間群の種類
並進を含む対称操作
平⾏移動操作 (格⼦並進 P, I, F, A, B, C, R)
回転操作 (2, 3, 4, 6)
回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m)
らせん操作 (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)
映進操作 (a, b, c, n, d)
の集合
組み合わせによって230個に分類される
P1
P21/m
C222
Pmn21
Aea2
Pmma
Pbca
Immm
P-4
P4122
P42cm
P-42m
I-42m
P42/mmc
I41/amd
P3112
R3c
P62
P6422
P6/mmm
Pn-3
I432
Pm-3m
P-1
C2/m
F222
Pba2
Fmm2
Pnna
Pnma
Ibam
I-4
P41212
P42nm
P-42c
I-42d
P42/mcm
I41/acd
P3121
P-31m
P64
P6322
P6/mcc
Fm-3
P4332
Pn-3n
P2
P2/c
I222
Pna21
Fdd2
Pmna
Cmcm
Ibca
P4/m
P4222
P4cc
P-421m
P4/mmm
P42/nbc
P3
P3212
P-31c
P63
P6mm
P63/mcm
Fd-3
P4132
Pm-3n
P21
P21/c
I212121
Pnn2
Imm2
Pcca
Cmce
Imma
P42/m
P42212
P4nc
P-421c
P4/mcc
P42/nnm
P31
P3221
P-3m1
P-6
P6cc
P63/mmc
Im-3
I4132
Pn-3m
C2
C2/c
Pmm2
Cmm2
Iba2
Pbam
Cmmm
P4
P4/n
P4322
P42mc
P-4m2
P4/nbm
P42/mbc
P32
R32
P-3c1
P6/m
P63cm
P23
Pa-3
P-43m
Fm-3m
Pm
P222
Pmc21
Cmc21
Ima2
Pccn
Cccm
P41
P42/n
P43212
P42bc
P-4c2
P4/nnc
P42/mnm
R3
P3m1
R-3m
P63/m
P63mc
F23
Ia-3
F-43m
Fm-3c
Pc
P2221
Pcc2
Ccc2
Pmmm
Pbcm
Cmme
P42
I4/m
I422
I4mm
P-4b2
P4/mbm
P42/nmc
P-3
P31m
R-3c
P622
P-6m2
I23
P432
I-43m
Fd-3m
Cm
P21212
Pma2
Amm2
Pnnn
Pnnm
Ccce
P43
I41/a
I4122
I4cm
P-4n2
P4/mnc
P42/ncm
R-3
P3c1
P6
P6122
P-6c2
P213
P4232
P-43n
Fd-3c
Cc
P212121
Pca21
Aem2
Pccm
Pmmn
Fmmm
I4
P422
P4mm
I41md
I-4m2
P4/nmm
I4/mmm
P312
P31c
P61
P6522
P-62m
I213
F432
F-43c
Im-3m
P2/m
C2221
Pnc2
Ama2
Pban
Pbcn
Fddd
I41
P4212
P4bm
I41cd
I-4c2
P4/ncc
I4/mcm
P321
R3m
P65
P6222
P-62c
Pm-3
F4132
I-43d
Ia-3d
すべての結晶は、230種類の空間群のどれかに所属している
3次元空間群の表記⽅法
• (最⼤)四つのパーツ W X Y Z で構成される
– Wには格⼦並進要素を記⼊する (必須)
– Xには、主軸に平⾏な回転・回反・らせん軸あるいは主
軸に垂直な鏡映・映進⾯を記⼊する (必須)
– 主軸以外(副軸)に対称要素が存在する場合は、Y, Zに記
⼊する
– 軸に垂直な鏡映・映進⾯があるときは、軸の表記に続
けて/□と記す
– 主軸、副軸のセッティング(順番)は結晶系に準拠する
WXYZ
格⼦並進: P, I, F, A, B, C, R
回転操作 (2, 3, 4, 6)
回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m)
らせん操作 (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)
映進操作 (a, b, c, n, d)
空間群 ⇒ 点群
• 空間群が属している点群を知るためには
– 格⼦並進成分を除去 (最初の⼀⽂字を消す)
– らせん軸を同じ次数の回転軸に変換 (下付き数字を消す)
– 映進⾯を鏡映⾯に変換 (すべての⼩⽂字アルファベットをmに変える)
WXYZ
格⼦並進: 除去
らせん軸 ⇒ 回転軸
映進 ⇒ 鏡映
例:
空間群
C 2/c
I 21 21 21
P 63/m c m
I43d
⇒
⇒
⇒
⇒
点群
2/m
222
6/m m m
43m
⽤語の整理
軸
• 「軸に垂直な(直交する)⾯」あるいは
「⾯に垂直な(直交する)軸」とは
– 軸の⽅向と、⾯の法線が平⾏である
– 「ある軸に対称⾯が存在する」といったと
きは、軸に垂直な対称⾯を意味する
⾯
⾯
軸
• 「軸に平⾏な⾯」あるいは
「⾯に平⾏な軸」とは
– 軸の⽅向と、⾯の法線が垂直である
• 「⾯に平⾏な⾯」あるいは
「軸に平⾏な軸」とは
– 法線の⽅向が⼀致する、あるいは軸の⽅向
が⼀致する
軸
⾯
空間群の例
その1
• P1
– 格⼦並進は P (単純格⼦)
– 主軸には1回回転軸 (恒等変換)
平⾏移動のみが、この空間群
に所属する図形を不変に保つ
操作となる
空間群の例
その2
• Pm
– 格⼦並進は P (単純格⼦)
– 主軸に垂直な鏡映⾯
鏡映⾯
鏡映⾯
鏡映⾯
平⾏移動に加えて、主
軸に垂直な鏡映操作が
存在する
空間群の例
その3
• P 4/m
– 格⼦並進は P (単純格⼦)
– 主軸に4回回転軸と主軸に垂直な鏡映⾯
鏡映⾯
鏡映⾯
鏡映⾯
空間群の例
その4
• C2
– 格⼦並進は C (底⼼格⼦)
– 主軸に2回回転軸
2回回転軸
b
a
c
底⼼格⼦
3次元空間群の図⽰⽅法
c
b
例: P 2 (単斜晶系)
β
主軸であるb軸に2回回転軸が存在している
a
⼀般位置
+
+
+
単位格⼦を表す
平⾏四辺形
+
+
対称要素
+
紙⾯に垂直
な2回軸
その1
+
+
・「+」はその⼀般点の⾼さ (紙⾯に垂直な⽅
向)が「+z」であることを⽰す
・任意の相対的な⾼さと考える (0とか1/2のよ
うに特殊ではない)
3次元空間群の図⽰⽅法
その2
c
b
例: P m (単斜晶系)
主軸であるb軸に垂直な鏡映⾯が存在
a
対称要素
⼀般位置
紙⾯に平⾏な鏡
映⾯
–
–
+
+
–
–
+
+
「-」はその⼀般点の⾼さが「-z」であることを⽰す
(zは任意)
右⼿
左⼿
鏡で映る関係
: 重なったとき
3次元空間群の図⽰⽅法
その2の2
例: P m (単斜晶系)
主軸であるb軸に垂直な鏡映⾯が存在
c
b
1+ z = (+z)
紙⾯に平⾏な鏡映⾯
a
–
+
–
+
b
–
+
–
1–z (= -z)
+
+z
c
a
–z
紙⾯(=鏡⾯)
⾼さ 0
3次元空間群の図⽰⽅法
その3
例: P 41 (正⽅晶系)
主軸であるc軸に41らせん軸が存在している
⼀般位置
対称要素
c
a
½+
b
¼+
½+
+
¾+
½+
+
¾+
¼+
½+
+
¾+
¼+
¼+
+
¾+
n + ⇒その⼀般点の⾼さが「 n+ z 」であることをしめす
(nは周期に対する割合を⽰す & zは任意)
3次元空間群の図⽰⽅法
その3の2
例: P 41 (正⽅晶系)
主軸であるc軸に41らせん軸が存在している
⼀般位置
½+
¼+
½+
+
¾+
¼+
1+z
+
¾+
¾+z
c
½+z
½+
¼+
½+
+
¾+
¼+
¼+z
+
¾+
+z
b
a
3次元空間群の図⽰⽅法
その4
a
b
例: C 2 (単斜晶系)
底⼼格⼦をもち、主軸であるb軸に2回軸が存在
c
½+
+
½+
+
½+
+
+
単位格⼦を表す
平⾏四辺形
+
紙⾯に垂直
な2回軸
Cによって再⽣
⼀般位置
+
対称要素
½+
+
+
Cによって再⽣
3次元空間群の図⽰⽅法
その5
例: P 2 2 2 (斜⽅晶系)
a, b, c軸に2回回転軸を持つ
a
c
b
⼀般位置
対称要素
+
–
+
–
紙⾯に平⾏な
2回軸を表す
–
+
–
+
+
–
–
+
–
–
+
+
3次元空間群の図⽰⽅法
その6
例: P m c 21 (斜⽅晶系)
a軸に垂直な鏡映⾯, b軸に垂直なc映進⾯, c軸に21らせん軸を持つ
a
c
⼀般位置
対称要素
紙⾯に平⾏な鏡映⾯
b
+
–
+
+
–
紙⾯に平⾏な21
らせん軸を表す
–
+
b軸に垂直な軸映進⾯があり、その並進
⽅向が紙⾯に沿った⽅向(c軸の⽅向)に
1/2であることをしめす
–
+
–
+
–
3次元空間群の図⽰⽅法
その6の
例: P m c 21 (斜⽅晶系)
a軸に垂直な鏡映⾯, b軸に垂直なc映進⾯, c軸に21らせん軸を持つ
a
対称要素
c
a
紙⾯に平⾏な鏡映⾯
+
b
–
+
–
+
–
+
紙⾯に平⾏な21らせん
映進⾯ c
–
+
+z
–
–
+
b軸に垂直な軸映進⾯があ
り、その並進⽅向が紙⾯に
沿った⽅向(c軸の⽅向)に
1/2であることをしめす
m
–z
c
21
c
c
b
+z
m
–z
らせん 21
鏡映⾯ m
3次元空間群の図⽰⽅法
その7
例: P 42/n (正⽅晶系)
c軸に垂直な42らせん軸とそれに垂直な n 映進⾯
c
対称要素
a
b
¼
紙⾯に平⾏で、⾼さが
1/4にあるn 映進⾯
⼀般位置
+
+
+
¼
42らせん
½+
¼
½½+
¼
¼
+
+
4回回反
⾼さが1/4に対称⼼
½+
½+
-
+
-
+
3次元空間群の図⽰⽅法
その8
紙⾯に平⾏な対称⾯(鏡映or映進)あるいは対称軸(回転、回反、らせん)
が存在する場合は、その対称操作の近くに⾼さを表す数字を書く。(何
もない場合は⾼さ0)
紙⾯に平⾏で、⾼さが紙⾯に平⾏で、⾼さが
0の位置に鏡映⾯
1/4の位置に鏡映⾯
¼
紙⾯
(⾼さ0)
¾
紙⾯に平⾏で、⾼さが1/4の位置に21らせん軸
¼
¼
¼
¼
鏡映⾯
or
映進⾯
+z
½- z
½
¼
+z
空間群/点群/結晶系/ブラベー格⼦の関係
結晶系
格⼦の形状を保つよ
うに、並進を伴わな
い対称要素を付与
点群
並進成分を伴う
対称要素を付与
(並進を伴わない対
(単位格⼦の形
対称性を満たす格
称操作が作る群)
状の分類)
⼦の形状を抽出
単純格⼦(P)
のみを残す
複合格⼦成分
を付与
並進成分
を除去
格⼦並進以
外の対称要
素を付与
空間群
(格⼦並進を含む対
称要素が作る群)
格⼦並進のみ
を残す
ブラベー格⼦
(複合格⼦並進を考慮した格⼦の分類)
＊複合格⼦: 底⼼(A,B,C), 体⼼(I), ⾯⼼(F), 菱⾯(R)

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