2013 年 10 月 12 日
リー群とはなんだろう
飛嶋 健司
埼玉大学理学部物理学科 3 年
1 初めに
(1) 色々な人向けです。簡単すぎたり、難しすぎたりするかも
しれません。
(2) 見出しに☆が付いてる章は多少難しいです。
(3) 数学の話しかしません。
2 群と位相群
定義 1. 集合 G が群であるとは、G の任意の 2 つの元 x, y に
対して G の 1 つの元 xy が定まり、
(1) (xy)z=x(yz)
(2) G に e という元があって、G 任意の元 x に対して、xe = x
が成り立つ。
(3) G 任意の元 x に対して、xx−1 = e が成り立つ G の元 x−1
がある。
定義 2. 集合 G が位相群であるとは、
(1) 集合 G は群である。
(2) 集合 G は位相空間である。
(3) 写像
µ : G × G → G, µ(x, y) = xy −1
は連続である。
例 1. 実数全体:R
n 次正方行列全体:Mn (R)
一般線形群:GLn (R) = {X ∈ Mn (R)| det X ̸= 0}
3 線形リー群
定義 3. GLn (R) の閉部分群を、線形リー群という。
ただし、GLn (R) からの相対位相によって位相群とみなす。
例 2. 特殊線形群 SLn ((R)) = {X ∈ Mn (R)| det X = 1}
n 次直交群 O(n) = {X ∈ Mn (R)|XX T = 1}
n 次回転群 SO(n) = SLn (R) ∩ O(n)
証明. SLn (R) について。
SLn (R) = det−1 (1) である。また、A, B ∈ Mn (R) につい
て、det(AB) = det A det B である。
O(n) について。
T : Mn (R) → Mn (R), T (X) = XX T
を用いて、O(n) = T −1 (I) である。また、T (AB) = B T AT
から従う。
SO(n) は明らか。
4 リー群☆
定義 4. 位相群 G が GLn (R) の部分群で、G の単位元の近傍
V を適当に取ると、次の (1) から (3) の条件を満たすとき G
を GLn (R) の部分リー群という。
(1) V の位相は GLn (R) からの相対位相
(2) V を閉部分集合として含む GLn (R) の単位元の近傍 U が
存在する。
(3) G の連結成分は高々加算個
さらに、ある n について GLn (R) の部分リー群と局所同型に
なる位相群で、連結成分が加算個なものをリー群と呼ぶ。
定義 5. 局所同型
位相群 G, H に対し、G の単位元の近傍 V と、H の単位元近
傍 U を適当に取ると V から U の上への同相写像 f があって、
x, y ∈ V に対して、
(1) xy ∈ V ⇔ f (x)f (y) ∈ U
(2) xy ∈ V ⇒ f (x)f (y) = f (xy)
が成り立つ時、位相群 G と H は局所同型という。
上の定義から線形リー群はリー群である。
5 行列の指数写像
定義 6. X ∈ Mn (R) に対して、
∑∞
Xk
k=0 k!
exp(X) : =
||X − I|| ≤ 1 となる X ∈ Mn (R) について、
k
∑∞
k−1 (X−I)
log X : = k=1 (−1)
k!
||X − I|| < 1 ならば exp(log X) = X
||X|| < log 2 ならば log(exp(X)) = X
( (
)) (
)
0 −1
cos t − sin t
例 3. exp t
=
1 0
sin t cos t
命題 1. t ∈ R, X, Y ∈ Mn (R), [X, Y ] = XY − Y X とする。
(1)
(2)
(3)
(4)
[X, Y ] = 0 ⇒ etX etY = et(X+Y )
t2
tX tY
e e = exp(t(X + Y ) + 2 [X, Y ] + O(t3 ))
etX etY e−tX = exp(t(Y ) + t2 [X, Y ] + O(t3 ))
etX etY e−tX e−tY = exp(t2 [X, Y ] + O(t3 ))
証明. (1）2 項定理が使えるので、実数の時と同じように証
明できる。
tX ′
(2) が示せれば、e : = etY e−tX などと置くことで (3),(4)
は示せる。
(2) について。Z : = etX etY とおくと、定義から、
Z = (I + tX + 21 t2 X 2 + O(t3 ))(I + tY + 12 t2 Y 2 + O(t3 )) =
t2
I + t(X + Y ) + 2 (X 2 + 2XY + Y 2 ) + O(t3 )
log Z = (Z − I) + 12 (Z − I)2 + O(||Z − I||3 ) =
t2
t(X + Y ) + 2 [X, Y ] + O(t3 ) exp log Z = Z より、(2) が示
された。
命題 2. (1) exp : Mn (R) → GLn (R) である。
(2) d expX (Y ) = exp(X)Y
(3) exp : Mn (R) → GLn (R) は、0 の近傍から I の近傍への
C ∞ 級同相写像。
証明. (1).exp(X) に対して、exp(−X) が逆行列になるので
OK
(2). 写像の微分の定義から
d expX (Y ) = limt→0 exp(X+tYt)−exp(X)
exp(X + tY ) = eX + eX tY + O(t2 ) を代入して、主張の式
を得る。
(3).C ∞ 級であることは、微分した時に右から行列がかかる
だけなので明らか。d exp0 (X) = exp(X) つまり、d exp0 は
線形写像として同型写像となっている。逆関数の定理より、
後半の主張も正しい。
注意 1. 逆関数の定理
f : M → N を C ∞ 級写像とする。
(df )p : T(p) M → Tf (p) N が線形写像として同型写像のとき、
f は p のある開近傍から f (p) のある開近傍への C ∞ 級同相写
像である。
6 リー群のリー環
定義 7. R 上の線形空間 L で、∀X, Y について、[X, Y ] ∈ L
が定義され、∀X, Y, Z について、次の 3 つの条件がなりたつ
時、L をリー環という。
(1) [X, X] = 0
∑2 ∑2
(2) [a1 X1 + a2 X2 , b1 Y1 + b2 Y2 ] = i=1 j=1 ai bj [Xi , Yj ]
(∀ai , bj ∈ R)
(3) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
定義 8. リー群のリー環
GLn (R) の部分リー群を G とする。
Lie(G) : = {X ∈ Mn (R)|esX ∈ G(∀s ∈ R)}
をリー群のリー環と呼ぶ。
ここからは、[X,Y]=XY-YX とする。このようにカッコ積を
定めると、自然にリー環の積になる。
命題 3. (1) Lie(G) は線形空間である
(2) [Lie(G), Lie(G)] ⊂ Lie(G) 従って、Lie(G) はリー環で
ある。
証明. 厳密な証明はしないが、et(X+Y ) , et[X,Y ] を etX と etY
を使って表す必要がある。そこで、命題 1 が使える。
例 4. SLn (R), O(n), SO(n) のリー環を求める。
Lie(SLn (R)) = {X ∈ Mn (R)|esX ∈ SLn (R) (∀s ∈ R)}
dat(esX ) = 1 ⇔ esTr(X) = 1 ⇔ Tr(X) = 0
Lie(On (R)) = {X ∈ Mn (R)|esX ∈ On (R) (∀s ∈ R)}
sX T sX
e
e = I = (I + sX + o(s))(I + sX T + o(s)) = I +
s(X + X T + o(s))Lie(SO(n)) = Lie((SLn (R)) ∩ Lie(O(n))
以上より、
Lie(SLn (R)) = {X ∈ Mn (R)|Tr(X) = 0}
Lie(O(n)) = {X ∈ Mn (R)|X + XT = 0}
Lie(SO(n)) = {X ∈ Mn (R)|X + XT = 0, Tr(X) = 0}
7 リー群のリー環からの指数写像
リー環は Mn (R) の部分空間なので、指数写像が定義出来る。
定義 9. リー環の指数写像 G をリー群、Lie(G) をリー群 G の
リー環とする。exp : Lie(G) → G を、リー環の指数写像と
いう。
細かいことを気にしなければ、exp は、 Lie(G) の 0 の近傍か
ら、G の単位行列の近傍への同相写像である。
8 多様体の用語
多様体とは、局所的に Rm とみなせる空間である。
定義 10. 多様体
位相空間 M が m 次元 C ∞ 多様体であるとは、
(1) M はハウスドルフ空間。
(2) M は座標近傍 {Uα , ϕα }α∈A で被覆されている。
(3) Uα ∩ Uβ ̸= ∅ ならば、
∞
ϕα ◦ ϕ−1
:
ϕ
(U
∩
U
)
→
ϕ
(U
∩
U
)
は
C
級
β
α
β
α
α
β
β
ここで、座標近傍とは、M の開集合 Uα から Rm の開集合 Uα′
への同相写像 ϕα : Uα → Uα′ と、Uα の組,(Uα , ϕα ) のことで
ある。
例 5. 多様体の例
Rm ,S m , メビウスの帯、クラインの壺、射影平面など、
多様体の各点には、接空間がくっついている。
定義 11. 接空間
多様体 M の点 p のまわりで定義された C ∞ 関数 f に対して、
v(f ) ∈ R が対応してい、て、λ, µ ∈ R として、
(1) v(λf + µg) = λv(f ) + µv(g)
(2) v(f g) = v(f )f (p) + f (p)v(g)
が成り立つとき、対応 v を p ∈ M における接ベクトルと
いう。
また、v, u を p ∈ M における接ベクトルとして、和とスカ
ラー倍を、
(v + u)f = v(f ) + u(f )
(λv)(f ) = λ(v(f ))
と定義すると、接ベクトル全体は線形空間になる。これを
Tp M とかいて、M の p における接空間と呼ぶ。
U ∈ M での座標が (x1 , · · · xm ) と表されているとき、
i(= 1,)· · · , m について
∂f
∂
(f
)
=
∂xi
∂xi (p)
p (
)
∂
とすると, ∂x
は点 p における接ベクトルになる。
i
p
{(
)
(
) }
∂
∂
,
·
·
·
は Tp M の基底になる。
∂x1
∂xm
p
p
9 ベクトル場と 1 パラメタ群
定義 12. p ∈ M と、接ベクトル vp の間に対応
X : M → Tp M, p → Xp があるとき、X をベクトル場と
いう。
U の座標を (x1 , · · ·(, xm)) とすると、
∑m
∂
Xp = i=1 ξi (p) ∂x
とかける。
i
p
定義 13. 積分曲線
M 上の曲線 c：(a, b) → M について、
c(t)′ = Xc(t) (∀t ∈ (a, b)) が成り立つとき、c(t) を積分曲線
と呼ぶ。
局所座標 (x1 , · · · , xm ) をとって
( c(t)
) i = xi (c(t)) とおく。
ベクトル場を Xc(t) =
∑
ξi
∂
∂xi
とすると、
c(t)
c(t)′ = Xc(t) は、
dci
dt = ξi (c1 , · · · , cm ) (i = 1, · · · , m) ということ。つまり、
積分曲線は微分方程式の解になっている。積分曲線の接線と
して、ベクトル場があるイメージ。
定義 14. 1 パラメタ部分群
∀t, s ∈ R について、ϕt : M → M が C ∞ 級微分同相写像で、
(1) ϕ0 = idM
(2) ϕt+s = ϕt ◦ ϕs
(3) R × M → M, (t, p) → ϕt (p) が C ∞ 級
を満たすとき、{ϕt }t∈R を 1 パラメータ部分群という。
多様体でコンパクトなものを考える。c(t, p) で初期値が p で
ある積分曲線を、∀p ∈ M, −∞ < t < ∞ で考えることが出
来る。
そこで、ϕt (p) = c(t, p) という写像を考える。{ϕt }t∈R は 1
パラメタ部分群になる。
1 パラメタ部分群は、ベクトル場に沿って t だけ p を流した点
を対応させるもの、と見れる。
∂
∂
例 6. 多様体 R2 , ベクトル場 X(x,y) = −y ∂x
+ x ∂y
の積分曲
線と 1 パラメタ部分群
積分曲線は円周 ((x, y) = (A cos t, A sin t)) になる。また、1
パラメタ部分群 {ϕs }s∈R は、
(
x
y
)
(
cos s − sin s
sin s cos s
)(
)
x
ϕs
=
となる。
y
( (
))
0 −1
例の 1 パラメータ部分群の元は、exp t
と表
1 0
すことができる。
実は、リー群の 1 パラメータ群は、リー群のリー環の元と 1
対 1 対応する。
命題 4. G をリー群、Lie(G) をそのリー環とする。リー群 G
の 1 パラメータ部分群 {g(t)|t ∈ R} は、X ∈ Lie(G) によっ
て、g(t) = etX と表せる。この対応は 1 対 1 である。
10 多様体としてのリー群☆
リー群には指数写像によって多様体の構造が入る。
定理 1. (von Neumann -Cartan)
G をリー群、G のリー環を g とかく。
(1) 線形空間 g の部分空間への任意の直和分解
g = g1 ⊕ g2 · · · ⊕ gm に対して、正の数 ϵ を十分小さく取
ると、
gi (ϵ) = {X ∈ gi |∥X∥ < ϵ} に対して、
g(ϵ) = g1 (ϵ) ⊕ g2 (ϵ) · · · ⊕ gm (ϵ) とおくと、
∈
/G
∈
g(ϵ)
(X1 , X2 , · · · , Xm )
/ xeX1 eX2 · · · eXm
は、G におけるある x のある近傍への同相写像となる。
(2) G は上の写像を C ω 写像とする C ω 多様体でとなる。線形
リー群は GLn (R) の C ω 閉部分多様体となる。
(3) 群演算 G × G → G , (x, y) → xy −1 は C ω 級である。
11 Campbel - Hausdorff の公式 ☆
g の基底を X1 , X2 , · · · , Xm とする。
exp : Rm → G, (x1 , x2 . · · · , xm ) → ex1 X1 +x2 X2 +···+xm Xm
を第 1 種座標近傍系という。
exp : Rm → G, (x1 , x2 . · · · , xm ) → ex1 X1 ex2 X2 · · · exm Xm
を第 2 種近傍系という。
もしも、g が可換環なら、２つの座標系は一致するが、一般
には一致しない。指数写像の微分を調べることで、その関係
を調べることが出来る。
etX etY = eZ(t) となる Z(t) を見つければよい。
定理 2. (指数写像の微分公式) X, Y ∈ Lie(G) とする。
de−S eS+sT
ds
=
s=0
∑∞
n
n ad(S)
n=0 (−1) (n+1)! T
ただし、ad(X)(Y ) = [X, Y ]
′
ここで、S = Z(t), T = Z(t) として、Z(t) =
く。t の冪を比べると、
Zj+1 =
∑j ∑
∑
Zj tj とお
(−1)q jq
ad(Zj1 ) · · · ad(Zjq−1 )Zjq
q=2
j1 +···+jq =j+1
q!
j
j ad(Y )
(−1) j! X + δ0j Y ∑
tX tY
e e = exp Zj tj となっていることに注意。
+
実際に計算すると、Z1 = X + Y Z2 = 41 [X − Y, [X, Y ]]
1
Z3 = 12
[X − Y, [X + Y ]]
12 ベクトル場としてのリー環☆
リー群のリー環は、左不変ベクトル場に対応している。
定理 3. リー群 G, そのリー環を g とする。G 上の左不変ベク
トル場全体を XL とかく。
(1) 次の線形写像は全単射
∈
/ Te G
∈
g
X
˜
/X
∞
( tX )
e
˜ は、X
˜ : C (G) → R, X(f
˜ )=
ただし、X
t=0
という接ベクトルである。
(2) g の元と XL の元は次のように対応し、それは、リー環の
全射同型写像となる。
(
X → C ∞ (G) → C ∞ (G), f (x) →
d
dt f
d
tX
f
(xe
) t=0
dt
左不変ベクトル場とは、
リー群 G による左移動 πL (g) で、
πL (g)X = XπL (g)(∀g ∈ G)
となるベクトル場である。 (πL (g)f (x) = f (g −1 x))
)
13 参考文献
•
•
•
•
•
•
小林・大島 リー群と表現論
戸田・三村 リー群の位相 上
シュッツ 物理学における幾何学的方法
竹内 リー代数と素粒子論
松本 多様体の基礎
松島 多様体入門
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