2015 年 5 月 13 日 (水) No.1 [email protected] 線形代数学・同演習 A 講義資料 4 お知らせ • 重要 6/10（水）および 7/22（水）の試験は講義と異なる教室で行います．場所は 2202 となる予定ですが，詳細は 5/27（水）の中間試験予告の際に説明します． • 4/30（木）までに履修登録を行った方の名簿が届きました．1 年生（52 名）全員＋再履修 3 名となっています．提出物から察すると，全員正しく履修登録されているようです．安心しました． • 然るべき事由により公欠をとられた場合は，大学が定める公欠届を横山まで提出してください．その際，欠席した回の演習問題の代わりとしてレポート課題を出し，これを 3 点満点で評価します．但し，問題の難易度は少し難しめに出題します．演習問題 3 へのコメント • 1 ∼ 3 各 1 点． • A2 + A + E は直接計算しなければいけませんが，A3 と A100 は具体的な行列を扱わなくても解けます．A3 − E = (A − E)(A2 + A + E) と A100 = (A3 )33 A に気付けば簡単です．前回の講義（5/7）の補足 • 転置行列の性質： t(AB) = tB tA は講義でやった．同様に t(ABC) = tC tB tA となる． • 巾零行列の定義を「Am = O（m ∈ Z≥0 ）となる m が存在するような行列 A」と板書しました．これも正しいのですが，m ∈ Z≥0 は m ∈ N として構いません．m = 0 のときは A0 = E とみなすので，これは零行列にはなりえないからです． • 「巾零行列は何に使うの？」という良いご質問を頂きました．講義の中でその有難みを理解するのは難しいのですが，少し進んだ数学ではよく使われます．例えば a, b, c ∈ R に対して   0 a c A= 0 0 b  0 0 0 は巾零行列となりますが，ここに交換子積 commutator という演算を入れることで，一つの数学の体系（代数系）が出来上がります．これは Lie 代数と呼ばれており，様々な数学研究のための欠かせない道具の一つです．最近では，コンピュータグラフィックス（CG）の研究でも Lie 代数は活躍しています．例えばヘリコプターのホバリングを 3DCG で表現する際に Lie 代数を使っている論文も出版されています1 ．今日の内容 • 教科書 p.15∼p.16，p.19∼p.22． 1 M. Kobilarov, K. Crane and M. Desbrun, “Lie Group Integrators for Animation and Control of Vehicles” (2009) http://www.geometry.caltech.edu/pubs/KCD09.pdf（動画も YouTube で公開されています） 1