6) Serie di Fourier

` degli Studi di Parma
Universita
Corso di Studi in Matematica
Analisi Matematica 2b - 2013/2014
Serie di Fourier
Esercizio 6.1
Dimostrare l’uguaglianza
n
X
k=−n
eikt


2n + 1
= sin ((n + 3/2)t)


sin (t/2)
se t ≡ 0 (mod 2π),
altrimenti.
Esercizio 6.2
Sia x 7→ f (x) una funzione periodica di periodo T , avente coefficienti di Fourier ck , k ∈ Z. Verificare che la
funzione x 7→ f (x − x0 ) ha coefficienti di Fourier γk = e−ikωx0 ck .
Esercizio 6.3
Sia f : R → R una funzione T -periodica ∈ C 1 (R). Dimostrare che i corrispondenti coefficienti di Fourier
an , bn sono tali che
1
1
an = o
, bn = o
, per n → ∞.
n
n
Esercizio 6.4
Sviluppare in serie di Fourier la funzione x 7→ f (x) = 2 + sin x + 3 cos (2x).
Esercizio 6.5
Data la funzione f (x) = sin3 x + sin2 x,
a) determinarne il periodo;
b) calcolarne lo sviluppo in serie di Fourier;
c) studiare la convergenza quadratica, puntuale, totale di tale sviluppo.
Esercizio 6.6
Sviluppare in serie di Fourier la funzione x 7→ f (x) = (cos x)+ , x ∈ [−π, π), prolungata ad una funzione
2π-periodica su R.
Esercizio 6.7
a) Disegnare il prolungamento periodico f della funzione ottenuta quale estensione pari in [−π, π] della
funzione g definita in [0, π] da
(
1
0 ≤ x ≤ π/2
g(x) =
−1 π/2 < x ≤ π.
b) Scrivere la serie di Fourier per tale funzione f e specificarne il valore a cui converge nel punto x0 = π/2.
c) Dedurne la somma della serie
∞
X
(−1)k
.
2k + 1
k=0
Esercizio 6.8
Sia data la funzione 2π-periodica f definita sull’intervallo [−π, π) da f (x) = x + 1.
a) Scrivere la serie di Fourier di f . Studiarne la convergenza quadratica, puntuale ed uniforme, specificando il valore a cui converge nel punto x0 = π.
b) Dedurne la somma della serie
∞
X
1
.
k2
k=0
Esercizio 6.9
Scrivere la serie di Fourier della funzione f ottenuta prolungando per periodicit`a la funzione x 7→ g(x)
definita da
(
x cos x se − π ≤ x < π,
g(x) =
π
se x = π,
e studiarne convergenza quadratica, puntuale ed uniforme.
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