Geometria Algebrica Laurea Magistrale, a.a. 2012/13
3a Lista di Esercizi e Complementi
(1) Sia X = V (f ) ⊂ Pnk , con
che
p
(f ) = (f ). Se f = g1 · · · gr , gi irriducibili, sia Xi = V (gi ) ⊂ Pnk . Mostrare
Sing(X) =
r
[
Sing(Xi ) ∪
i=1
[
Xj ∩ Xl .
j6=l
(2) Sia X = V (f ) ⊂ P2 una curva piana irriducibile di grado d e sia C ⊂ P2 uma conica qualsiasi.
Mostrare che #(X ∩ C) ≤ 2d se C non `e componente irriducibile di X (utilizzare una parametrizzazione naturale per le coniche irriducibili, a meno di proiettivit`a).
(3) Dimostrare il seguente Teorema, conosciuto come Teorema dell’ esagono di Pascal: dati p1 , . . . , p6 ∈
C ⊂ P2 , conica irridubicile. Se q1 =< p1 , p2 > ∩ < p4 , p5 >, q2 =< p2 , p3 > ∩ < p5 , p6 > e q3 =<
p3 , p4 > ∩ < p6 , p1 >, allora q1 , q2 e q3 sono collineari, i.e. q3 ∈< q1 , q2 > (siano li =< pi , pi+1 >,
i = 1, . . . , 6. Considerare il fascio di cubiche piane di equazione
fλ:µ = λl1 · l3 · l5 + µl2 · l4 · l6 = 0.
Mostrare che per ogni p ∈ C \ {p1 , . . . , p6 } esiste una unica cubica Cp del fascio passante per
p. Dedurre che questa conica interseca C in 7 punti. Pertanto Cp contiene C come componente
irriducibile e quindi Cp = C ∪ l0 ).
Nella conica C ⊂ P2R di equazione affine x2 + y 2 = 1 si prendano sei punti vertici di un esagono
regolare inscritto in C, numerati in senso antiorario. Determinare i punti q1 , q2 e q3 e verificare che
sono allineati.
(4) Dimostrare il seguente Teorema, conosciuto come Teorema di Brianchon: dati p1 , . . . , p6 ∈ C ⊂ P2 ,
conica irridubicile consideriamo l’ esagono {p01 , . . . , p06 } determinato dalle 6 rette tangenti Tpi C,
i = 1, . . . , 6. Dedurre che le rette < p01 , p04 >, < p02 , p05 >, < p03 , p06 > passano per un punto
dualizzando il Teorema di Pascal.
(5) Con la notazione del Teorema di Pascal, supponiamo p1 = p2 e che < p1 , p2 >= Tp1 C. Dimostrare
che il risultato continua a valere anche prendendo altri 4 punti distinti su C.
Applicare il Teorema per costruire, disegnandola, la retta tangente a una qualsiasi conica irriducibile (reale). Quindi la retta tangente a una conica pu`o essere costruita con la riga (e senza
compasso!).
(6) Dimostrare il seguente Teorema, conosciuto come Teorema di Pappo: siano p1 , . . . , p6 punti distinti,
p1 , p3 , p5 sulla retta L1 e p2 , p4 , p6 sulla retta L2 , pi 6= L1 ∩ L2 . Siano q1 =< p1 , p2 > ∩ < p4 , p5 >,
q2 =< p2 , p3 > ∩ < p5 , p6 > e q3 =< p3 , p4 > ∩ < p6 , p1 >. Allora q1 , q2 e q3 sono collineari, i.e.
q3 ∈< q1 , q2 >.
(7) Sia X = V (f ) ⊂ P2 una cubica irriducibile. Mostrare che #(Sing(X)) ≤ 1.
(8) Sia X = V (f ) ⊂ P2 uan curva piana irriducibile e sia p ∈ X \ Sing(X). Il punto p si dice flesso se
multp (Tp X ∩ X) ≥ 3. Assumendo che una cubica piana irriducibile ammette un flesso, dimostrare
che una tale curva `e proiettivamente equivalente a una delle curve aventi parti affini di equazione:
y 2 = x3 , y 2 = x2 (x − 1) o y 2 = x(x − 1)(x − λ).
(scegliere come flesso p = (0 : 1 : 0) con Tp X la retta all’ infinito. Quindi imporre la condizione di
irriducibilit`a della curva).
1
2
(9) Sia A un anello noetheriano, sia I ⊆ A un ideale e siano pi ⊂ A, i = 1, . . . , r, ideali primi. Dimostrare
che I ⊆ ∪ri=1 pi implica I ⊆ pi per qualche i ∈ {1, . . . , r}.
(10) Determinare X = V (x0 x2 − x21 , x2 (x22 − x1 x3 ) − x3 (x1 x2 − x0 x3 )) ⊂ P3 . Se S1 = V (x0 x2 − x21 ) e se
S2 = V (x22 − x1 x3 ) − x3 (x1 x2 − x0 x3 )) provare che per ogni p ∈ X abbiamo Tp X ( Tp S1 ∩ Tp S2 .
(11) Sia X = P1 ×k P2 ⊂ P5 la variet`a di Segre. Per ogni x ∈ X determinare le equazioni dello spazio
tangente Tx X in funzione della parametrizzazione naturale. Calcolare inoltre Tx X ∩ X mostrando
che consiste solamente della retta e del piano passanti per x e contenuti in X.
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