remastered - Università degli Studi di Messina

Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
` DI GRUPPO NELLA MAGNETO–IDRODINAMICA
SULLA VELOCITA
G IOVANNI C RUPI
S UNTO . Si studia il legame, in termini finiti, tra la velocit`a di gruppo e la velocit`a di fase
delle onde magneto–idrodinamiche che si propagano in un fluido incomprimibile, elettricamente conduttore, mobile in una regione che e` sede di un campo magnetico esterno.
S UMMARY. A relationship between group velocity and phase velocity into magnetohydrodynamics is established.
In recenti lavori sono state stabilite delle semplici relazioni di proporzionalit`a fra la velocit`a di gruppo e la velocit`a di fase delle onde elettromagnetiche propagantisi in un corpo
rigido, elettricamente conduttore, in quiete [1] oppure animato da moto traslatorio uniforme [2] rispetto al sistema inerziale di osservazione. Nel caso in cui la sede conduttrice
sia mobile, e` stato dimostrato, in particolare, che il fattore di proporzionalit`a varia con
l’angolo che la direzione di propagazione forma con la direzione del moto del conduttore.
Continuando nell’indirizzo dei lavori citati, in questa Nota mi sono proposto di studiare
il legame, in termini finiti, tra la velocit`a di gruppo e la velocit`a di fase delle onde magneto–
idrodinamiche che si propagano in un fluido incomprimibile, elettricamente conduttore,
mobile in una regione che e` sede di un campo magnetico esterno di induzione B0 .
Per quello che e` a me noto, una tale ricerca — nel caso in cui la direzione di propagazione delle onde sia diversa da quella del campo esterno impresso B0 — non e` stata
fatta. Considerazioni riguardanti la relazione tra velocit`a di gruppo e velocit`a di fase nella
magneto–idrodinamica, per`o limitatamente ad onde che si propagano nella direzione del
campo esterno impresso, si trovano in una Nota di Nardini [3]. L’Autore fonda il suo lavoro
sul sistema di Euler–Maxwell introdotto da Alfv´en [4], [5, cap. IV].
Il risultato a cui pervengo e` rappresentato dalla seguente formula
1
Wf ,
Wg =
1−a
dove a e` un numero positivo minore di uno, il cui valore, come sar`a dimostrato nel seguito,
dipende dall’angolo θ che la direzione di propagazione u delle onde forma col campo
impresso B0 .
1. – Per risolvere il problema nella maniera pi`u breve, mi ricollego ad una mia precedente Nota [6], in cui, trascurando la densit`a di corrente di spostamento rispetto a quella
di conduzione, ho dimostrato che sono compatibili col sistema di Euler–Minkowski onde
magneto–idrodinamiche propagantisi in una generica direzione u, diversa da quella del
campo esterno B0 . In particolare, ho dimostrato che la ricerca di codeste onde si pu`o ricondurre alla integrazione di un’equazione differenziale del terzo ordine ed, utilizzando
tale equazione, ho trovato per la velocit`a di fase la seguente formula
(V 4 cos4 θ + m2 ω 2 )1/2
(1)
Wf =
√
1/2 ,
1 2
2 θ + 1 V 4 cos4 θ + m2 ω 2
V
cos
2
2
41
42
G. C RUPI
B02
c2
ed m =
. Nella (1) θ indica l’angolo che la direzione di propagazione
%µ
µσ
delle onde u forma col campo esterno impresso B0 , % la densit`a del fluido, σ la conducibilit`a elettrica, c la velocit`a della luce nel vuoto, ε la costante dielettrica e µ la permeabilit`a
magnetica.
dove V 2 =
2. – Passiamo adesso al calcolo della velocit`a di gruppo, fondandoci sulla nota formula
[7]
1
d
ω
=
,
Wg
dω Wf
da cui
1
1
1
d
=
+ω
.
(2)
Wg
Wf
dω Wf
Prima di proseguire oltre nel calcolo, conviene scrivere la (1) nella forma pi`u adatta ai
nostri scopi
√
1
V 2 cos2 θ + A
√
,
(3)
=
Wf
2A
essendo p
A = V 4 cos4 θ + m2 ω 2 .
(4)
1
Poich´e, in virt`u delle (3) e (4),
e` funzione di ω per il tramite di A, si ottiene
Wf
facilmente
che
(2V 2 cos2 θ + A)m2 ω
d
1
d
1
dA
√
,
= √
=
dω Wf
dA Wf dω
2 2A3 V 2 cos2 θ + A
e quest’ultima, dopo la (3), assume la forma
d
1
(2V 2 cos2 θ + A)m2 ω
.
(5)
=−
dω Wf
2Wf A2 (V 2 cos2 θ + A)
Infine, sostituendo la (5) nella (2), mediante passaggi elementari si trova la seguente
relazione, annunciata nella premessa, tra la velocit`a di gruppo e la velocit`a di fase
1
Wg =
Wf ,
(6)
1−a
con
(2V 2 cos2 θ + A)m2 ω 2
a=
.
(7)
2(V 2 cos2 θ + A)A2
1
La (7) esprime che il coefficiente di proporzionalit`a
e` in generale, una funzione
1−a
dell’angolo che la direzione u di propagazione dell’onda forma col campo impresso B0 .
Dimostriamo che il numero a, definito dalla (7), e` minore di uno.
Dalla (7) si deduce immediatamente che
0 < a < 1,
perch´e — per qualunque valore finito di σ —
2V 2 cos2 θ + A < 2(V 2 cos2 θ + A)
e
m2 ω 2 < A2 .
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
S ULLA VELOCIT A` DI GRUPPO NELLA MAGNETO – IDRODINAMICA
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Ne segue che e` sviluppabile in serie geometrica, e quindi, se supponiamo di poter trascurare i termini di ordine superiore al primo, la (6) e` suscettibile di assumere la forma
ancora pi`u semplice
Wg = (1 + a)Wf .
Chiudiamo il lavoro fissando l’attenzione sul caso particolare in cui σ → ∞.
In tal caso, in virt`u delle (1) e (7) si ha
1
(8)
lim Wf = √ |B0 cos θ|,
σ→∞
%µ
lim a = 0.
(9)
σ→∞
Dunque, tenendo conto delle (8) e (9), la (6) si specializza nella
1
Wg = Wf = √ |B0 cos θ|,
µ%
la quale esprime che per σ → ∞ la velocit`a di gruppo coincide con la velocit`a di fase.
Riferimenti bibliografici
[1] R. Nardini. Sulla velocit`a di gruppo nei mezzi elettricamente conduttori. Boll. U.M.I., 12, 523–525, 1957.
[2] G. Crupi. Sulla velocit`a di gruppo nei conduttori in moto. Rend. Lincei, serie VIII, XXV, 1958.
[3] R. Nardini. Su particolari campi alternativi della magneto–idrodinamica. Atti Acc. delle Scienze di Torino,
89, 17–36, 1954–1955.
[4] H. Alfv´en. On the existence od electromagnetic–hydrodynamic waves. Arkiv f¨or matematik, astronomi och
fysik, 29B, 1–7, 1942.
[5] H. Alfv´en. Cosmical electrodynamics. Oxford University Press, 1950.
[6] G. Crupi. Sulle onde piane magneto–idrodinamiche propagantisi in una generica direzione. Boll. U.M.I., 12,
604-609, 1957.
[7] J. A Stratton. Teoria dell’elettromagnetismo. Torino, Einaudi, 1952.
Giovanni Crupi. Sulla velocit`a di gruppo nella magneto–idrodinamica. Bollettino U. M. I. (3), 13, 539–542, 1958.
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