remastered - Università degli Studi di Messina

Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
`
SUL TEOREMA DELL’ENERGIA NELLA MAGNETO–ELASTICITA
G IOVANNI C RUPI
R IASSUNTO . Si ricava il bilancio energetico per le equazioni della magneto–elasticit`a:
all’uopo si introduce un vettore denominato “densit`a di corrente elasto–elettromagnetica”;
si estende poi ai fenomeni magneto–elastici il concetto di velocit`a di propagazione dell’energia associata a un’onda e si studia al riguardo un caso particolare.
Accanto alla ricca letteratura riguardante lo studio dei fenomeni magneto–idrodinamici
sono stati pubblicati in questi ultimi tempi lavori in cui si considerano i fenomeni che
nascono dall’accoppiamento delle piccole vibrazioni dei mezzi solidi, elettricamente conduttori, con campi elettromagnetici. Citiamo i lavori di Robey [1], Alpher e Rubin [2],
Ba˜nos [3], Nardini [4].
Com’`e noto, nei fenomeni magneto–idrodinamici, che nascono dall’accoppiamento del
moto dei fluidi conduttori con i campi elettromagnetici, l’aspetto energetico e` stato considerato da pi`u Autori, e tanto per richiamare alcuni possiamo citare Wal´en [5], Nardini [6],
Carini [7, 8]. Si pu`o facilmente riscontrare che la trattazione di Nardini, relativa ai fluidi, e`
senz’altro valida per qualunque mezzo deformabile; e` quindi atta a descrivere anche l’andamento energetico dei fenomeni magneto–elastici, in base alla constatazione che il bilancio
energetico nella magnetodinamica dei mezzi deformabili si pu`o scrivere sommando le relazioni ottenibili, separatamente, per i soli fenomeni elettromagnetici e per i soli fenomeni
di deformazione, come se tali fenomeni fossero fra loro indipendenti. Nel presente lavoro,
per`o, preferisco ricavare il bilancio energetico dei fenomeni magneto–elastici direttamente
dalle equazioni che reggono i fenomeni stessi: avr`o cos`ı, in primo luogo, l’occasione di
introdurre un vettore G che chiamer`o “densit`a di corrente elasto–elettromagnetica”, perch´e
e` atto a caratterizzare nel generico punto P la direzione, il verso e l’intensit`a della corrente
di energia totale (meccanica ed elettromagnetica); in secondo luogo, basandomi sui risultati ottenuti, estendo ai fenomeni magneto–elastici la definizione di velocit`a di propagazione
dell’energia associata ad un’onda, giungendo all’effettiva determinazione di tale velocit`a
in un caso concreto.
1. – Il sistema differenziale che si pone a fondamento dei fenomeni magneto–elastici si
ottiene associando le equazioni di Maxwell della elettrodinamica con l’equazione indefinita dei mezzi continui, opportunamente particolarizzata.
Il quadro completo delle equazioni e` dato da:

∂

˙

,
B
=
−
rot
E
˙
≡


∂t


˙ + I = rot H,
(1)
D




∂Φ1
∂Φ2
∂Φ3

 %¨s = %F −
+ I ∧ B,
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
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G. C RUPI
div B = 0,
(2)
div D = %1 ,


 I = γ(E + v ∧ B),
B = µH,

 D = εE,
(3)
dove E indica l’intensit`a del campo elettrico, D lo spostamento elettrico, I la densit`a di
corrente di conduzione, H l’intensit`a magnetica, B l’induzione magnetica, v la velocit`a
della generica particella, s(P, t) lo spostamento all’istante t generico della particella che
nello stato indeformato occupa la posizione P (x1 , x2 , x3 ), Φ1 , Φ2 , Φ3 gli sforzi specifici
relativi al punto P ed alle direzioni degli assi del sistema cartesiano ortogonale di riferimento, ε la costante dielettrica, µ la permeabilit`a magnetica, γ la conducibilit`a elettrica, %
la densit`a di massa del mezzo e %1 la densit`a spaziale di carica elettrica.
Osserviamo che nei buoni conduttori la densit`a di carica spaziale %1 pu`o senz’altro
essere posta eguale a zero. Infatti, anche se inizialmente non fosse nulla, essa tenderebbe
a zero in un intervallo di tempo cos`ı breve che l’uso del metodo fenomenologico nella fase
transitoria risulterebbe privo di senso [9, vol. I, p. 128].
Se limitiamo le nostre considerazioni ai fenomeni adiabatici1, per un noto teorema di
Green (1839), le componenti del tensore degli sforzi Φik (Φik = Φki ), sono esprimibili in
termini delle componenti del tensore di deformazione
∂sk
1 ∂si
γik =
+
.
(4)
2 ∂xk
∂xi
Precisamente, se poniamo e11 = γ11 , e22 = γ22 , e33 = γ33 , e23 = 2γ23 , e31 = 2γ31 ,
e12 = 2γ12 si dimostra che [10]
∂f
Φik = −
(5)
∂eik
dove f e` l’energia elastica per unit`a di volume.
Proiettando la (1)3 sugli assi cartesiani ortogonali del sistema di riferimento Ox1 x2 x3
e tenendo conto delle (5), si ottengono le tre equazioni

∂ ∂f
∂ ∂f
∂ ∂f


+
+
− %X1 − I ∧ B · u1 = 0,
%¨
s1 −


∂x1 ∂e11
∂x2 ∂e21
∂x3 ∂e31




∂ ∂f
∂ ∂f
∂ ∂f
%¨
s2 −
+
+
− %X2 − I ∧ B · u2 = 0,
(6)

∂x
∂e
∂x
∂e
∂x
1
12
2
22
3 ∂e32




∂ ∂f
∂ ∂f
∂ ∂f


 %¨
s3 −
+
+
− %X3 − I ∧ B · u3 = 0,
∂x1 ∂e13
∂x2 ∂e23
∂x3 ∂e33
dove X1 , X2 , X3 sono le componenti cartesiane di F ed u1 , u2 , u3 sono rispettivamente i
versori degli assi.
Consideriamo una porzione S del mezzo elastico che nello stato di equilibrio naturale
ha il volume τ ed e` delimitata dalla superficie σ.
1Le seguenti considerazioni valgono anche per fenomeni isotermici, a condizione di sostituire al potenziale
elastico adiabatico quello isotermico.
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Come e` noto, nel caso di piccole vibrazioni, cui noi vogliamo restringere la discussione,
l’energia cinetica e l’energia elastica, al generico istante t, della porzione considerata sono
espresse [11], con sufficiente approssimazione, dalle formule
Z
Z
1
%v 2 dτ,
W = f dτ,
T =
2 τ
τ
in cui % indica la densit`a di massa nello stato di equilibrio naturale. Segue che la variazione
per unit`a di tempo dell’energia T + W nella porzione S in esame e` data da
Z ∂f
∂f
∂f
e˙ 11 +
e˙ 22 +
e˙ 33
(T + W )˙ =
%˙s · ¨s +
∂e
∂e
∂e
11
22
33
τ
∂f
∂f
∂f
+
e˙ 23 +
e˙ 31 +
e˙ 12 dτ,
∂e23
∂e31
∂e12
e questa, dopo le (4), pu`o essere scritta nel modo seguente


Z
X ∂f ∂ s˙ i
 dτ,
(T + W )˙ = %˙s · ¨s +
∂eik ∂xk
τ
(7)
i,k
con i, k = 1, 2, 3. Tenendo conto della identit`a
∂f ∂ s˙ i
∂
∂f
∂ ∂f
=
s˙ i
− s˙ i
,
∂eik ∂xk
∂xk
∂eik
∂xk ∂eik
ed indicando con
X
X ∂f
Ak =
s˙ i Φik = −
s˙ i
∂eik
i
i
(8)
la k–esima componente cartesiana del vettore che si ottiene componendo il vettore velocit`a
s˙ con il tensore degli sforzi Φik , la (7) e` suscettibile di assumere la forma


Z
Z
X
∂ ∂f 
dτ,
(9)
(T + W )˙+ div A dτ = %˙s · ¨s −
s˙ i
∂x
k ∂eik
τ
τ
i,k
dove con A abbiamo indicato il vettore di componenti cartesiane Ak (k = 1, 2, 3). Questo
vettore con la sua direzione, col suo verso e col suo modulo caratterizza nel generico punto
P la direzione, il verso e l’intensit`a dell’energia meccanica che si propaga nello spazio
occupato dal mezzo elastico.
D’altra parte, moltiplicando le (6) rispettivamente per s˙ 1 , s˙ 2 , s˙ 3 e sommando membro
a membro, si ricava l’equazione
X
∂ ∂f
%˙s · ¨s −
s˙ i ·
= %F · s˙ + I ∧ B · s˙ ,
∂xk ∂eik
i,k
che ci permette di mutare la (9) nella
Z
Z
Z
(T + W )˙+ div A dτ = %F · s˙ dτ + I ∧ B · s˙ dτ.
τ
τ
(10)
τ
Allo scopo di poter esaminare il contributo del secondo integrale a secondo membro della
(10), torniamo al sistema di Maxwell.
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G. C RUPI
Moltiplicando scalarmente la (1)1 per H, la (1)2 per E e sommando membro a membro
le equazioni ottenute, si ricava la nota equazione
∂W 1
+ div S + E · I = 0,
(11)
∂t
dove
1
W 1 = (H · B + E · D) ed S = E ∧ H
2
indicano rispettivamente la densit`a di energia elettromagnetica e la densit`a di corrente di
energia (vettore di Poynting).
Tenendo conto della (3)1 ed integrando la (11), si deduce
Z
Z
˙ 1 − div Sdτ − Q,
(I ∧ B)˙sdτ = −W
(12)
τ
τ
dove
Z
Z
W 1 dτ,
W1 =
e
Q=
τ
τ
I2
dτ
γ
indicano rispettivamente l’energia elettromagnetica contenuta nel volume τ e l’energia
elettrica che in τ si trasforma in calore Joule nell’unit`a di tempo.
Infine, ponendo
G = A + S,
(13)
Z
ed eliminando I ∧ B · s˙ dτ dalle (10) e (12), si ottiene, dopo facili operazioni, la cercata
τ
equazione del bilancio energetico relativo ai fenomeni magnetoelastici
Z
(T + W + W1 )˙ =
Gni dσ + π − Q,
(14)
σ
dove ni indica la normale interna a τ nel generico punto del contorno σ,
Z
Z
π = %F · s˙ dτ e
Gni dσ
τ
σ
indicano rispettivamente il lavoro per unit`a di tempo (potenza) delle forze di massa ed il
flusso entrante attraverso σ dell’energia elastico–elettromagnetica.
Il vettore G, definito dalla (13), pu`o essere chiamato “densit`a di corrente elasto-elettromagnetica”, perch´e, come risulta dalle precedenti considerazioni, esso e` atto a caratterizzare nel generico punto P la direzione, il verso e l’intensit`a della corrente di energia totale
(meccanica ed elettromagnetica).
La (14) ci permette di enunciare il seguente teorema.
Teorema 1. La variazione per unit`a di tempo dell’energia totale (energia cinetica + energia elastica + energia elettromagnetica), in una regione di volume τ di uno spazio che e`
sede di fenomeni magneto–elastici, e` uguale al flusso interno del vettore G attraverso il
contorno σ di τ aumentato della potenza delle forze di massa e diminuito della energia
elettrica dissipata per effetto Joule.
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2. — Sulla velocit`a di propagazione dell’energia nei fenomeni magneto-elastici – Se
trascuriamo il contributo delle forze di massa e scriviamo la (14) sotto forma differenziale,
si ottiene l’equazione
2
˙ ? + div G = − I ,
W
(15)
γ
avendo indicato con W ? la densit`a di energia complessiva, cio`e
1
1
(16)
W ? = %v 2 + f + (E · D + H · B).
2
2
La (15) dal punto di vista formale e` analoga all’equazione dell’energia dell’Elettrodinamica. In questa analogia le grandezze magneto–elastiche W ? e G corrispondono
rispettivamente alla densit`a di energia elettromagnetica ed al vettore di Poynting.
A questo punto mi pare che, nel caso di grandezze sinusoidali, sia plausibile — per
analogia alla definizione di velocit`a di propagazione dell’energia di un campo elettromagnetico sinusoidale — chiamare velocit`a di propagazione dell’energia magneto–elastica il
rapporto tra il valore medio in un periodo del flusso del vettore G attraverso una superficie
unitaria ad esso ortogonale ed il valore medio in un periodo dell’energia W ? .
Applicando questa definizione mi propongo di eseguire i calcoli per caratterizzare, in
un caso particolare, la formula che esprime, in termini delle costanti conosciute, la velocit`a
di propagazione dell’energia magneto–elastica.
3. — Una soluzione particolare delle equazioni della magneto–elasticit`a – Consideriamo un solido elastico illimitato, omogeneo ed isotropo, e siano λ e ν le costanti di Lam´e.
In tal caso, come e` noto, la energia elastica per unit`a di volume e` data dalla formula [10]
1
1
1
1
f = λΓ2 + ν e211 + e222 + e233 + e223 + e231 + e212 ,
(17)
2
2
2
2
dove Γ = e11 + e22 + e33 e` la dilatazione cubica.
Tenendo conto della (17) e delle (4), le (6) possono riassumersi nell’unica equazione
vettoriale
%¨s − (λ + ν) grad div s − ν ∆ s = %F + I ∧ B,
(18)
∂
dalla quale, facendo agire su ambo i membri l’operatore
ed introducendo i parametri
∂t
s
r
λ + 2ν
ν
Vc =
,
Vd =
,
(19)
%
%
che — nei fenomeni elastici puri — rappresentano rispettivamente la velocit`a di propagazione delle onde di condensazione e delle onde di distorsione, si deduce l’equazione posta
a fondamento nel citato lavoro di Nardini [4]
∂2v
∂K
% 2 − %(Vc2 − Vd2 ) grad div v − %Vd2 ∆v =
,
(20)
∂t
∂t
dove K = %F + I ∧ B.
Restringiamo le nostre considerazioni al caso che il mezzo sia perfettamente conduttore
e consideriamo un onda piana magneto–elastica che si propaga nella direzione del campo
impresso H0 che supponiamo coincidente in direzione e verso con l’asse Ox3 del sistema
inerziale di riferimento.
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In questo caso, come e` stato dimostrato da Nardini [4], le componenti della velocit`a
della generica particella del solido elastico soddisfano alle equazioni
 2
2
∂ vi
2 ∂ vi


(i = 1, 2),
 ∂t2 = a ∂x2
3
(21)
2
2


 ∂ v3 = Vc2 ∂ v3 ,
∂t2
∂x23
con
V 2 + Vd2
H02
2
a2 = a
,
V
=
µ
.
(22)
a
1 + εµVa2
%
Se ci limitiamo al caso particolare di onde a divergenza nulla, cio`e se consideriamo un
solido elastico incomprimibile, alle (21) bisogna unire la seguente equazione
div v = 0,
(23)
la quale — nel caso in esame di onde piane che si propagano nella direzione dell’asse Ox3
— assume la forma
∂v3
= 0,
∂x3
da cui, trattandosi di fenomeni ondosi, si deduce facilmente che
v3 = 0,
(24)
e questa esprime che il vettore v vibra ortogonalmente alla direzione di propagazione dell’onda. Poich´e, dopo la (24), le sole componenti significative di v sono v1 e v2 , e` lecito
affermare, dopo le (21), che nel caso in discussione la velocit`a della generica particella
soddisfa all’equazione
∂2v
∂2v
= a2 2 .
(25)
2
∂t
∂x3
Una semplice soluzione della (25), suscettibile di essere interpretata come onda piana,
propagantesi nella direzione e nel verso di H0 , e` rappresentata da
x
3
v = v0 cos ω
−t ,
(26)
a
dove v0 e` un vettore costante ed ortogonale ad H0 , a e` la velocit`a di fase ed ω e` una
costante assegnata.
Passiamo adesso al calcolo delle grandezze E ed H.
Essendo infinita la conducibilit`a, dalla (3)1 si ottiene che
E = −µv ∧ H,
(27)
e quindi la (1)1 assume la forma
˙ = rot(v ∧ H).
H
(28)
Per una nota formula di calcolo vettoriale,
rot(v ∧ H) = (H grad)v − H div v + v div H − (v grad)H,
e quindi, tenendo conto della (23), della (2)1 , della (24) e del fatto che le grandezze
dipendono dalla sola coordinata spaziale x3 , si ha
∂v
rot(v ∧ H) = H3
.
(29)
∂x3
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Poich´e
H = H0 + h,
(30)
essendo h il contributo del campo indotto, la (2)1 si specializza nella div h = 0, da cui
∂h3
= 0,
∂x3
quindi, trattandosi di fenomeno ondoso,
h3 = 0.
(31)
Segue che la (28), dopo le (29), (30) e (31), assume la forma
∂v
,
(32)
h˙ = H0
∂x3
da cui, tenendo presente la (26), si ha
H0
v.
(33)
h=−
a
La (33) esprime che nell’onda magneto–elastica che si propaga nella direzione e nel
verso del campo impresso H0 le grandezze h e v sono antiparallele.
Il campo elettrico e` dato dalla formula
E = µH0 ∧ v,
(34)
che si deduce dalla (27), dopo aver tenuto conto delle (26), (30) e (33).
Infine, ricordando che nella teoria delle vibrazioni elastiche v = s˙ (P, t), si ha
x
v0
3
s = − sin ω
− t + s0 .
(35)
ω
a
4. Calcolo della velocit`a di propagazione dell’energia associata all’onda magneto–
elastica. – Non computando il campo magnetico omogeneo impresso al mezzo, si ottiene
per la densit`a di corrente di energia elettromagnetica associata all’onda l’espressione
x
µH02 2
3
v0 cos2 ω
− t i3 ,
(36)
S=E∧h=
a
a
dove i3 indica il versore di Ox3 .
Prima di passare al calcolo delle componenti del vettore A, definite dalle (8), osserviamo che nel caso dell’onda considerata
∂s2
∂s1
e11 = 0, e22 = 0, e33 = 0, e23 =
, e31 =
, e12 = 0,
(37)
∂x3
∂x3
e quindi l’energia elastica per unit`a di volume e` data dalla formula
1
f = ν(e223 + e231 ),
(38)
2
che si ottiene dalla (17), tenendo presenti le (37). Quindi, dalla formula (8), tenendo conto
delle (24), (26) e (38), si ricavano le
x
v2
3
A1 = 0, A2 = 0, A3 = ν 0 cos2 ω
−t .
(39)
a
a
Infine, dopo le (36) e (39), la densit`a di corrente magneto–elastica, definita dalla (13), e`
data da
x
v2
3
G = (µH02 + ν) 0 cos2 ω
− t i3 .
(40)
a
a
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D’altra parte, tenendo conto delle (26), (38), (37), (35), (33) e (34), si deduce per l’energia
totale per unit`a di volume, definita dalla (16), la formula
x
1
v2
3
W ? = (%a2 + ν + µH02 + εµ2 H02 a2 ) 02 cos2 ω
−t ,
(41)
2
a
a
non avendo computato nel calcolo dell’energia magnetica il contributo (costante) del campo impresso H0 . E se osserviamo che, in virt`u delle (22) e della (19)1 ,
(% + εµ2 H02 )a2 = ν + µH02 ,
la (41) pu`o essere scritta nella forma pi`u semplice
x
v2
3
−t .
(42)
W ? = (ν + µH02 ) 02 cos2 ω
a
a
La (40) esprime che la corrente di energia associata ad un’onda magneto–elastica, propagantesi nella direzione e nel verso di H0 , si propaga nella stessa direzione e nello stesso
verso dell’onda.
Infine, applicando la definizione posta al n. 2 e tenendo conto che, nel caso in esame,
G e W ? contengono lo stesso fattore temporale, la velocit`a di propagazione dell’energia
si ottiene facendo semplicemente il rapporto dei coefficienti che compaiono nei secondi
membri delle (40) e (42). Si ha cos`ı la seguente formula
s
ν + µH02
W =a=
,
% + εµ2 H02
la quale esprime che, nel caso particolare considerato, la velocit`a di propagazione dell’energia coincide con la velocit`a del fronte d’onda e della fase.
Riferimenti bibliografici
[1] D. H. Robey. Magnetic dispersion of sound in electrically conducting plates. J. Acoust. Soc. Am., 25,
603–609, 1953.
[2] R. A. Alpher, R. J. Rubin. Magnetic dispersion and attenuation of sound in conducting fluids and solids. J.
Acoust. Soc. Am., 26, 452–453, 1954.
[3] A. Ba˜nos Jr. Normal modes characterizing magneto–elastic plane waves. Phys. Rev., 104, 300–305, 1956.
[4] R. Nardini. Sui fronti d’onda nella magneto–elasticit`a. Rend. Sem. Mat. Padova, 28, 225–243, 1958.
[5] H. Wal´en. Ark. Mat. Astr. Fys., B. 30, 31, 1943.
[6] R. Nardini. Osservazioni su una relazione energetica della magneto–idrodinamica. Rend. Acc Naz. Lincei,
(8) 18, 376–377, 1955.
[7] G. Carini. Il teorema dell’energia nella magneto–idrodinamica dei fluidi viscosi comprimibili. Rend. Acc
Naz. Lincei, 25, 470–473, 1958.
[8] Considerazioni energetiche in magneto–idrodinamica. Rend. Acc Naz. Lincei, 27, 48–53, 1959.
[9] R. Becker. Teoria dell’Elettricit`a. Sansone, 1949.
[10] G. Lampariello. Lezioni di Fisica Matematica. Ed. Ferrara, Messina, 1947.
[11] A. E. H. Love. The mathematical theory of elasticity. Cambridge University Press, second edition.
Giovanni Crupi. Sul teorema dell’energia nella magneto–elasticit`a. Atti del Seminario Matematico e Fisico dell’Universit`a di Modena, IX, 47–58, 1960.
Universit`a degli Studi di Messina
Istituto di Matematica
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