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Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
SULLE ONDE PIANE MAGNETO–IDRODINAMICHE
PROPAGANTISI IN UNA GENERICA DIREZIONE
G IOVANNI C RUPI
S UNTO . Scopo della Nota e` di dimostrare l’esistenza di onde piane magneto–idrodinamiche,
la cui direzione di propagazione e` diversa, ma non ortogonale, alla direzione del campo
magnetico impresso.
S UMMARY. It is the aim of this work lo demonstrate the existence of magneto–hydrodynamical
plane waves which have the direction of propagation different, but not orthogonal, to the
direction of impressed magnetic field.
1. – Il Prof. Alfv´en [1], [2, cap. IV], studiando i fenomeni magneto-idrodinamici
che nascono quando un fluido incomprimibile, elettricamente conduttore, si muove in un
campo magnetico uniforme e costante, ha stabilito l’esistenza di onde piane magnetoidrodinamiche propagantisi nella direzione del campo magnetico esterno.
Mi sono domandato se simili onde esistano anche in una generica direzione u, formante
un angolo θ col campo magnetico esterno.
In questa Nota, espongo il procedimento attraverso cui sono riuscito a caratterizzare tali
onde. In particolare, dimostro che le grandezze caratteristiche delle onde piane magnetoidrodinamiche, propagantisi nella generica direzione u, soddisfano all’equazione
m
∂3Φ
∂3Φ
∂3Φ
+
+
∂x2 ∂t ∂y 2 ∂t ∂z 2 ∂t
+V2
∂2Φ ∂2Φ
− 2 =0
∂z 2
∂t
B2
c2
, V 2 = 0 ), e determino — in funzione dell’angolo θ che u forma con B0
µσ
%µ
(B0 = induzione del campo magnetico impresso) — le formule generali che esprimono la
velocit`a di propagazione ed il fattore di attenuazione di queste onde.
Per quanto riguarda il sistema di equazioni su cui fondare la ricerca, scelgo il seguente
sistema di Euler-Minkowski, gi`a utilizzato in recenti lavori [3, 4],

∂v
1 1


+
(v
·
grad)v
=
F
+
I
∧
B
−
grad
p
,


% c

 ∂t
˙ = −c rot E,
(1)
B



 ˙
εµ − 1
∂

 D + I = c rot H
˙ ≡ , λ=
,
∂t
c
(m =
21
22
G. C RUPI

λ
D


−
v ∧ B,
E=



ε
εµ



B
λ
H=
+
v ∧ D,
µ
εµ






 I = σ E + 1v ∧ B ,

c


 div v = 0,
div D = 0,

 div B = 0,
(2)
(3)
che si ottiene accoppiando le equazioni dell’idrodinamica di Euler con quelle dell’elettrodinamica dei mezzi in moto di Minkowski, approssimate ai termini di primo ordine in
v
(v = velocit`a della generica particella, c = velocit`a della luce nel vuoto). Si e`
β =
c
indicato con F la forza non elettromagnetica agente sul fluido, con p la pressione, con I
la densit`a di corrente elettrica, con E 1’intensit`a elettrica del campo, con H l’intensit`a
magnetica, con D lo spostamento elettrico, con B l’induzione magnetica, con % la densit`a
del fluido, con σ la conducibilit`a, con ε la costante dielettrica e con µ la permeabilit`a.
Per avere il sistema di Euler-Maxwell, usato dal Prof. Alfv´en, basta porre λ = 0 nelle
precedenti equazioni.
2. – Assumiamo il sistema di riferimento inerziale S(O, x, y, z, t) con l’asse Oz coincidente in direzione e verso con B0 . Le grandezze caratteristiche associate alle onde piane
propagantisi nella direzione u ≡ (a1 , a2 , a3 = cos θ) sono funzioni di x, y, z, t, anzi, di
ζ = kr · u − ωt,
(4)
dove r ≡ P − O, k = ku e` il vettore di propagazione ed ω e` un parametro prefissato.
Osserviamo che
B = B0 + b,
(5)
dove b e` il contributo all’induzione magnetica del campo indotto.
In virt`u della (4), e tenendo presente la (5), le (3) si specializzano nelle
d(v · u)
= 0,
dζ
d(D · u)
= 0,
dζ
d(b · u)
= 0,
dζ
e da queste, per la natura del problema, si ha
v · u = 0,
D · u = 0,
b · u = 0.
Premettiamo, adesso, le identit`a
rot(v ∧ B) = (B grad)v − (v grad)B − B div v + v div B,
rot(v ∧ D) = (D grad)v − (v grad)D − D div v + v div D,
1
B ∧ rot B = grad B 2 − (B grad)B;
2
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(6)
S ULLE ONDE PIANE MAGNETO – IDRODINAMICHE PROPAGANTISI IN UNA GENERICA DIREZIONE
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queste, per le (3), ed osservando che, in virt`u delle (4) e (5),
(B grad)v = (b grad)v + (B0 grad)v =
∂
∂
∂
∂v
= b1
+ b2
+ b3
v + B0
=
∂x
∂y
∂z
∂z
dv
∂v
∂v
= k(b · u)
+ B0
= B0 ,
dζ
∂z
∂z
(D · grad)v = 0,
(v · grad)D = 0,
si particolarizzano nelle

∂v

 rot(v ∧ B) = B0 ,


∂z

rot(v ∧ D) = 0,
(7)



1
∂B

 B ∧ rot B = grad B 2 − B0
.
2
∂z
˙ ed F, eliminando E, H, I, in virt`u delle (2), e tenendo
Quindi, dalle (1), trascurando D
presenti le (7), si deduce il seguente sistema

∂v
1
B0 ∂B
1


+
grad B 2 −
= − grad p,



∂t
2%µ
%µ ∂z
%


 ∂B
c
cλ ∂v
= − rot D +
B0 ,
(8)
∂t
ε
εµ
∂z





σ
c
εµ − λc
λ1


λ1 =
.
D + v ∧ B = rot B,

ε
c
µ
µ
d
Poich´e, in virt`u della (4), l’operatore grad si riduce a ku , moltiplicando la prima
dζ
delle (8) scalarmente per u, si ottiene
1 dB 2
dp
=−
.
(9)
dζ
2µ dζ
Dopo la (9), dalla prima delle (8) si ha
∂v
B0 ∂B
=
.
(10)
∂t
%µ ∂z
Da quest’ultima si deduce, in virt`u della (4), che se la direzione u di propagazione dell’onda si sceglie ortogonale al campo impresso B0 (praticamente all’asse Oz) la velocit`a
euleriana risulta indipendente da t. Perci`o, in direzione ortogonale al campo impresso non
ha senso parlare di onde piane magneto–idrodinamiche.
Conveniamo di scegliere u non ortogonale a B0 .
Eliminando D dalle ultime due delle (8) si ha
c2
∂B
∂v
+
∆B −
= 0,
B0
∂z
µσ
∂t
ed infine, eliminando v da quest’ultima e dalla (10), otteniamo che B soddisfa all’equazione
3
2
∂ B
∂3B
∂3B
∂2B
2∂ B
m
+
+
+
V
−
=0
(11)
∂x2 ∂t ∂y 2 ∂t ∂z 2 ∂t
∂z 2
∂t2
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G. C RUPI
c2
B2
eV2 = 0.
µσ
%µ
Si dimostra che alla stessa equazione soddisfano anche le altre grandezze.
Poich´e i coefficienti della (11) sono indipendenti dal parametro λ, possiamo concludere
che — nel problema in esame — il sistema di Euler-Minkowski e quello di Euler-Maxwell
conducono alla medesima risolvente.
dove m =
3. – Per la (5), e` ovvio che anche b soddisfa alla (11).
Tentiamo di soddisfare alla (11) con una
b = b0 exp (i(kr · u − ωt)) ,
dove ω e` prefissato e k e` da determinarsi opportunamente.
Sostituendo la (12) nella (11) si trova
ω2
,
k2 = 2
V cos2 θ − mωi
e da quest’ultima, con passaggi elementari, si deduce
ω
+ αi ,
k=±
W
con
(V 4 cos4 θ + m2 ω 2 )1/2
W =
√
1/2 ,
1 2
2 θ + 1 V 4 cos4 θ + m2 ω 2
V
cos
2
2
(12)
(13)
(14)
mω 2 (V 4 cos4 θ + m2 ω 2 )−1/2
(15)
√
1/2 .
2 12 V 2 cos2 θ + 12 V 4 cos4 θ + m2 ω 2
Le (14) e (15) esprimono in funzione di θ, conformemente a quanto abbiamo annunciato
nella premessa, la velocit`a di propagazione dell’onda nella direzione u ed il fattore di
attenuazione.
Il doppio segno della (13) indica l’esistenza di due onde nella direzione di u, una
progressiva in corrispondenza al segno + e 1’altra retrograda.
Chiudiamo il lavoro fissando 1’attenzione su due casi particolari.
a) Si scelga u coincidente indirezione col
campo impresso e si trascurino i termini
c2
del secondo ordine in 1/σ m =
.
µσ
In tal caso le (14) e (15) si particolarizzano nelle due formule
1
c2 ω 2 %3/2
,
W = √ B0 ,
α=
%µ
2µ−1/2 σB03
gi`a stabilite da Alfv´en [2, cap. IV].
b) Si faccia tendere σ → ∞.
In tal caso la (14) si specializza nella
1
W = √ |B0 cos θ|,
(16)
%µ
la quale mostra che (σ → ∞), la formula della velocit`a di propagazione delle onde
piane propagantisi in una generica direzione u coincide con la formula [5]
r
µ
W =
H0u
%
α=
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della velocit`a di propagazione dei fronti d’onda di discontinuit`a.
Riferimenti bibliografici
[1] H. Alfv´en. On the existence od electromagnetic–hydrodynamic waves. Arkiv f¨or matematik, astronomi och
fysik, 29B, 1–7, 1942.
[2] H. Alfv´en. Cosmical Electrodynamics. Oxford University Press. 1950.
[3] G. Carini. Sulle equazioni della magneto–idrodinamica, Rend. Lincei, ser. VIII, XXI, fasc. VI, 1956.
[4] G. Carini. Sulle soluzioni stazionarie. Rend. Lincei, ser. VIII, XXIII, fasc. 1, 1957.
[5] G. Carini. Condizioni di compatibilit`a dinamica nella teoria delle onde magneto–idrodinamiche. Rend. Ist.
Lomb., Classe di Scienze, LXXXVII, 1954.
Giovanni Crupi. Sulle onde piane magneto–idrodinamiche propagantisi in una generica direzione. Bollettino
U.M.I., 12, 604–609, 1957.
Universit`a degli Studi di Messina
Istituto di Matematica
Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi

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