Appello del 28 gennaio 2014 Proff. Laura Tedeschini

Facoltà di Architettura
Istituzioni di Matematiche 2 - Appello del 28 gennaio 2014
Proff. Laura Tedeschini Lalli, Paola Magrone, Roberto D’autilia, Giulio Meleleo.
NOME:
Attenzione:
COGNOME:
MATRICOLA:
Svolgere i seguenti esercizi, utilizzando il retro dei fogli per i conti.
Non usare altri fogli. Riportare le risposte negli spazi.
spazio
riservato
alla
commissione
1
ESERCIZIO 1.
i) Dato il vettore v = (3, 2) calcolare:
2
1) kvk
3
2) l’angolo α del vettore con l’asse x
4
5
3) tracciare uno schizzo di v
6
ii) un vettore w è tale che kwk = 2 e forma con l’asse delle x un angolo di
1) tracciare uno schizzo di w
2) trovare le sue componenti w = (
,
)
iii) Un vettore u forma con l’asse x un angolo di 30◦ ed è tale che kuk = 1
1) Scrivere l’angolo in radianti
2) Tracciare uno schizzo di u
3) trovare le sue componenti u = (
,
)
1
π
4
ESERCIZIO 2. Date le due rette di equazione

x = 2 + 4t





y = −1 + 2t
r:





z = −6t

x=4+t





y = −2t
s:





z = −3 + 2t
i) Dimostrare che sono incidenti;
ii) Scrivere l’equazione della retta perpendicolare al piano contenente le due rette r ed s e passante per il punto
Q(2, 1, 3).
2
ESERCIZIO 3.
Sia T la regione del piano R2 delimitata dall’asse delle y, dalla retta y = x/2 e dalla retta y = −x + 6.
i) Tracciare uno schizzo di T .
ii) Scrivere T come dominio verticalmente semplice;
iii) Impostare l’integrale
RR
T
(ey + xy)dxdy come integrale iterato usando la descrizione trovata al punto ii);
iv) Calcolarlo.
3
ESERCIZIO 4.
Data la funzione f (x, y) = x2 + y 2 − x2 y 2
(i) Determinare il dominio di esistenza della funzione f ;
(ii) Calcolare ∇f (x, y).
(iii) Trovare i punti critici.
(iv) Studiare la natura dei punti critici attraverso la matrice Hessiana.
v) Scrivere l’equazione del piano tangente in P (0, 1).
4
ESERCIZIO 5.
Una scatola da regalo ha per base la parte di piano limitata dalla parabola di equazione
y=−
x2
+5
5
e l’asse x. Il coperchio è piano, inclinato a 45 gradi lungo l’asse della parabola. Il punto più alto della scatola
si trova 10 cm sopra il vertice della parabola.
i) fare uno schizzo della scatola;
ii) a che altezza si trova il punto più basso del coperchio?
iii) scrivere l’equazione della superfice che costituisce il coperchio;
iv) descrivere la base come dominio verticalmente semplice nel piano (x, y)
v) impostare (senza calcolarlo) il calcolo del volume di aria contenuto nella scatola con un integrale doppio.
5
ESERCIZIO 6.
(a) Una superficie quadrica ha sezioni:
+
z2
25
= 1;
• con il piano (y, z), la curva y 2 +
z2
25
= 1.
• con il piano (x, z), la curva
x2
4
i) disegnare le sezioni indicate;
ii) tracciare uno schizzo della superficie in R3 ;
iii) scrivere una possibile equazione di questa superficie e stabilire di che superficie si tratta.
2
(b) Data la superfice di equazione z4 − y 2 = 1
i) disegnare le sezioni per x = 0, 1, 2;
ii) disegnare le sezioni con y = 1, 2
iii) tracciare uno schizzo e stabilire di che tipo di superficie si tratta.
6

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