Esercizi relazioni - Dipartimento di Scienze Umane per la

Esercizi su Relazioni e Funzioni
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Funzioni
Esercizio 1. Consideriamo le funzioni
f : N → N,
g : N → N,
f (n) = n2 ,
g(k) = k + 1.
Sono iniettive? Sono suriettive? Sono biunivoche?
Esercizio 2. Consideriamo le funzioni
f : Z → Z,
g : Z → Z,
f (z) = z 2 ,
g(s) = s + 1.
Sono iniettive? Sono suriettive? Sono biunivoche?
Esercizio 3. Analizzare se seguenti funzioni sono iniettive, suriettive, biunivoche:
f : N → N, f (n) = n + 5,
g : Z → Z, g(z) = z + 5,
h : Z → N, h(z) = |z|,
j : N → Z, j(n) = (−1)n ,
a : Z → Z, a(z) = 2z.
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Relazioni
Esercizio 4. Determinare le propriet`a della relazione, indicando se `e di
equivalenza o di ordine. Se di equivalenza, determinare l’insieme quoziente.
R ⊆ N × N,
aRb ⇔ a + b ≤ 3.
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Esercizio 5. Data la relazione R ⊆ N × N definita da
∀x ∈ A ∀y ∈ A,
xRy ⇔ x − y pari,
quali propriet`a ha R (riflessiva, simmetrica, ...)?
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Esercizio 6. Dato l’insieme A = {1, 12 , 36 , 12
, 5 , 15 } consideriamo la relazione
R ⊆A×A
aRb ⇔ a rappresenta lo stesso valore di b.
(i) Rappresentare R mediante diagramma a frecce.
(ii) Verificare che R `e una relazione di equivalenza.
(iii) Individuare le classi di equivalenza e l’insieme quoziente.
Esercizio 7. Determinare le propriet`a della relazione, indicando se `e di
equivalenza o di ordine. Se di equivalenza, determinare l’insieme quoziente.
R ⊆ {umani} × {umani},
aRb ⇔ a antenato di b.
Esercizio 8. Sia A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}. Data la relazione R ⊆ A × A
definita da
∀x ∈ A ∀y ∈ A, xRy ⇔ x | y,
si elenchino tutte le coppie (x, y) tali che xRy.
(riflessiva, simmetrica, ...)?
Quali propriet`a ha R
Esercizio 9. Verificare se nell’insieme A di tutte le circonferenze del piano
la relazione R ⊆ A × A definita da
C1 RC2 ⇔ C1 concentrica a C2
`e di equivalenza o di ordine (o nessuna delle due).
Esercizio 10. Determinare le propriet`a della relazione, indicando se `e di
equivalenza o di ordine. Se di equivalenza, determinare l’insieme quoziente.
R ⊆ {umani} × {umani},
aRb ⇔ a `e pi`
u alto di b.
Esercizio 11. Sia A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}. Data la relazione R ⊆ A × A
definita da
√
∀x ∈ A ∀y ∈ A, xRy ⇔ x = y,
si elenchino tutte le coppie (x, y) tali che xRy.
(riflessiva, simmetrica, ...)?
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Quali propriet`a ha R
Esercizio 12. Determinare le propriet`a della relazione, indicando se `e di
equivalenza o di ordine. Se di equivalenza, determinare l’insieme quoziente.
R ⊆ {umani} × {umani},
aRb ⇔ a e b hanno gli stessi genitori.
Esercizio 13. Sia A = {−2, −1, 0, 1, 2} e siano R, S ⊆ A × A le relazioni
xRy ⇔ xy > 0,
xS y ⇔ xy ≥ 0.
Di quali propriet`a godono le due relazioni?
Esercizio 14. Siano R, S ⊆ Z × Z le relazioni
xRy ⇔ xy > 0,
xS y ⇔ xy < 0.
Verificare le propriet`a. Se qualcuna delle due relazioni `e di equivalenza individuare le classi di equivalenza e l’insieme quoziente. Quanti elementi ha
l’insieme quoziente?
Esercizio 15. Sia data la relazione binaria
R = {(a, b) ∈ N × N | a + b = 20} ⊆ N × N.
Di quali propriet`a gode? Rappresentare R mediante un diagramma a frecce.
Esercizio 16. Sull’insieme A = {1, 2, 3, 4} `e definita la relazione binaria
R = {(1, 3), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} ⊆ A × A.
Rappresentarla con un diagramma a frecce e stabilirne le propriet`a.
Esercizio 17. Nell’insieme delle rette del piano `e definita la seguente relazione:
rRs ⇔ r ha almeno un punto in comune con s.
Se ne studino le propriet`a.
Esercizio 18. Sull’insieme A = {1, 2, 3, 4} `e definita la relazione binaria
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} ⊆ A× A.
Studiarne le propriet`a.
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Esercizio 19. Sia R ⊆ N × N la relazione definita
aRb ⇔ a + b > 1.
Si verifichi se si tratta di una relazione di equivalenza o di ordine.
Esercizio 20. Sia A ⊆ N l’insieme dei sottomultipli di 12 e sia R ⊆ A × A
la relazione definita da
xRy ⇔ x multiplo di y.
(i) Scrivere R come insieme di coppie di elementi di A.
(ii) Si studino le propriet`a della relazione.
Ripetere l’esercizio considerando come A l’insieme dei sottomultipli di 16.
Esercizio 21. Considerato l’insieme A di tutti gli angoli del piano e la
relazione R ⊆ A × A definita da
αRβ ⇔ α complementare di β,
studiare le propriet`a della relazione.
Esercizio 22. Sia R ⊆ N × N la relazione definita
xRy ⇔ x e y hanno lo stesso resto se divisi per 7.
Si verifichi se si tratta di una relazione di equivalenza o di ordine.
Esercizio 23. Sia A l’insieme dei poligoni del piano si studino le propriet`a
delle sequenti relazioni R ⊆ A × A:
(i) P RT ⇔ P e T sono equivalenti,
(ii) P RT ⇔ P e T sono isoperimetrici.
(Si ricorda che due poligoni si dicono equivalenti se hanno la stessa area). Se
qualcuna delle due relazioni `e di equivalenza individuare le classi di equivalenza e l’insieme quoziente.
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