` degli Studi di Firenze
Universita
Scuola di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Numeri reali:
cosa c’`
e di sbagliato nel pensarli
come decimali infiniti?
Relatore:
Chiar.mo Prof. Gabriele Bianchi
ANNO ACCADEMICO 2012-2013
Candidato:
Manuele Burchi
Indice
I
Numeri reali e allineamenti decimali infiniti
3
1 Allineamenti decimali infiniti e prime propriet`
a
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’insieme degli allineamenti decimali infiniti . . . . . . . . . . .
1.2.1 Troncate di un allineamento decimale infinito . . . . . .
1.2.2 Successioni di troncate e loro propriet`a . . . . . . . . . .
1.3 Definizione di operazioni aritmetiche in A . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definizione di un’operazione di addizione in A . . . . .
1.3.2 Prime propriet`
a dell’addizione in A . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Definizione di un’operazione di moltiplicazione in A . .
1.3.4 Prime propriet`
a della moltiplicazione in A . . . . . . . .
1.4 Definizione di una relazione di equivalenza su A . . . . . . . . .
1.4.1 Propriet`
a della relazione di equivalenza ∼ . . . . . . . .
1.4.2 Compatibilit`
a di ∼ rispetto alle operazioni in A . . . . .
1.4.3 Pseudoassociativit`a delle operazioni in A . . . . . . . .
1.4.4 Pseudodistributivit`a della somma rispetto al prodotto in
1.5 Definizione di uno pseudoordine su A . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Propriet`
a della relazione - . . . . . . . . . . . . . . . .
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A
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2 L’insieme dei numeri reali
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definizione assiomatica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . .
2.3 Nuova definizione dell’insieme dei numeri reali . . . . . . . . . .
2.3.1 Definizione di un’operazione di addizione in A/∼ . . . .
2.3.2 Propriet`
a dell’addizione in A/∼ . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Definizione di un’operazione di moltiplicazione in A/∼ .
2.3.4 Propriet`
a della moltiplicazione in A/∼ . . . . . . . . . .
2.3.5 Distributivit`
a della somma rispetto al prodotto in A/∼
2.3.6 Definizione di una relazione d’ordine su A/∼ . . . . . .
2.3.7 Propriet`
a della relazione d’ordine . . . . . . . . . . .
2.3.8 Propriet`
a di completezza di A/∼ . . . . . . . . . . . . .
2.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Alcune propriet`
a delle rappresentazioni decimali
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Espressione di un numero reale in base 10 . . . . .
3.2.1 Numeri decimali periodici . . . . . . . . . .
3.3 Rappresentazione di numeri reali in altre basi . . .
3.4 Numeri irrazionali definiti a partire dai decimali .
3.5 Decimali con periodo della massima lunghezza . .
3.6 Numeri decimali con cifre mancanti . . . . . . . . .
3.7 Numeri normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Complementi
A.1 Richiami di Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Insiemi numerabili e insiemi di misura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II
Esperienza di tirocinio
4 Progetto didattico
4.1 Premessa . . . . . . . . . . . .
4.2 La via assiomatica . . . . . . .
4.3 Perch´e introdurre i numeri reali
4.4 Struttura del tirocinio . . . . .
4.5 Questionario in ingresso . . . .
4.6 Programmazione del percorso .
4.7 Lezioni frontali . . . . . . . . .
4.7.1 Prima lezione . . . . . .
4.7.2 Seconda lezione . . . . .
4.7.3 Terza lezione . . . . . .
4.7.4 Quarta lezione . . . . .
4.7.5 Quinta lezione . . . . .
4.8 Conclusione del percorso . . . .
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a
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partire dagli allineamenti decimali infiniti
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5 Questionario in ingresso
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6 Prima lezione: introduzione ai numeri reali
6.1 Il problema della misura . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Introduzione al Point Location Algorithm . . . .
6.3 Operazione preliminare: partizione decimale della
6.3.1 Punti esclusi dalla partizione decimale . .
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retta
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7 Seconda lezione: il PLA
7.1 Breve riassunto della lezione precedente . . . .
7.2 Il PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 PLA per i punti esclusi dalla partizione
7.2.2 PLA esteso ai punti della partizione . .
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8 Terza lezione: definizione di numero reale
8.1 Breve riassunto della lezione precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Analogie e differenze tra PLA e LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Definizione di numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Quarta lezione: operazioni ed ordine su R
9.1 Breve riassunto della lezione precedente . . . . . . .
9.2 Numeri razionali e distanze sulla retta . . . . . . . .
9.3 Il Vertical Addition Algorithm . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Estensione del VAA ad allineamenti periodici
9.3.2 VAA per allineamenti infiniti arbitrari . . . .
9.4 Propriet`
a dell’addizione . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Propriet`
a commutativa ed associativa . . . .
9.4.2 Elemento neutro ed opposto . . . . . . . . . .
9.5 Moltiplicazione tra numeri reali . . . . . . . . . . . .
9.6 Relazione d’ordine su R . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Numeri reali per misurare distanze . . . . . . . . . .
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10 Quinta lezione: la propriet`
a di completezza di R
10.1 Breve riassunto della lezione precedente . . . . . .
10.2 La completezza di R . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Completezza di R e completezza della retta
10.2.2 Conseguenza della completezza . . . . . . .
10.2.3 Completezza e probabilit`
a . . . . . . . . . .
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11 Considerazioni finali
11.1 Una nuova prospettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sommario
What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? `e il titolo dell’articolo dal
quale prende avvio questo lavoro di tesi.
L’autore, Timothy Gowers, `e ad oggi membro della Royal Society e Professore di Matematica Pura
e Statistica Matematica all’Universit`a di Cambridge, e tra i riconoscimenti ufficiali pu`o vantare una
Medaglia Fields (della quale `e stato insignito nel 1998) per importanti risultati ottenuti nell’ambito
dell’Analisi Funzionale e della Combinatoria.
Il titolo di questa tesi, ossia Numeri reali: cosa c’`e di sbagliato nel pensarli come decimali infiniti?
`e un palese riferimento alla pubblicazione di Timothy Gowers.
L’intero lavoro `e nato e si `e sviluppato nell’ambito di un’esperienza di tirocinio didattico all’interno di una classe quarta, indirizzo PNI, del Liceo Scientifico Guido Castelnuovo di Firenze, grazie
all’interesse e all’appoggio del docente Prof. Ivan Casaglia, il quale ha dato la sua disponibilit`
a
e tutte le sue competenze in un progetto finalizzato all’introduzione dei numeri reali nella scuola
secondaria.
L’idea di dedicare spazio in classe proprio al tema dei numeri reali `e maturata da una semplice
riflessione: il concetto di numero reale gioca un ruolo fondamentale nella costruzione del sapere
matematico e costituisce il nucleo fondante dell’intera Analisi Infinitesimale.
In molti testi di Matematica per la scuola secondaria, in particolare nei testi per il Triennio,
l’insieme dei numeri reali viene presentato esclusivamente per via assiomatica; limitarsi a questo
approccio equivale a fornire agli studenti un prodotto preconfezionato e pronto all’uso, oscurando
il lento processo - durato pi`
u di due millenni - che lo ha portato alla sua forma attuale.
Al contrario, adottando un approccio costruttivo, gli studenti possono sperimentare personalmente
le difficolt`
a concrete che si incontrano nel lungo percorso verso la conquista del concetto di numero
reale; in un secondo momento pu`o anche essere utile chiedere ai ragazzi di verificare determinate
propriet`
a dei reali, che in questo modo risultano essere non pi`
u predeterminate, bens`ı conseguenze
delle definizioni date.
Diversamente dagli altri metodi pi`
u comuni utilizzati per costruire l’insieme dei numeri reali (pensiamo al metodo delle sezioni di Dedekind, o a quello di Cantor che fa ricorso alle classi di equivalenza di successioni di Cauchy), che necessitano di conoscenze piuttosto sofisticate ed avanzate per
essere affrontati, la costruzione dell’insieme dei numeri reali a partire dagli allineamenti decimali
infiniti non prevede particolari difficolt`a tecniche e concettuali e riesce a coniugare insieme aspetti
intuitivi e rigore formale.
Ci sembra inoltre quella pi`
u vicina all’esperienza di manipolazione di numero reale attraverso le
calcolatrici tascabili posseduta da studenti di scuola superiore.
Esistono altre valide motivazioni per ritenere che il metodo degli allineamenti decimali infiniti sia,
almeno a livello di scuola secondaria, quello pi`
u naturale ed efficace per introdurre i numeri reali:
• esso prevede un passaggio dall’aritmetica dei numeri decimali finiti a quella infinita dei numeri
reali che pu`
o essere compiuto anche senza dover ricorrere al concetto di limite;
• l’intera costruzione pu`
o essere riletta in chiave geometrica su di una retta, che costituisce
uno strumento molto potente per chiarire determinati aspetti impliciti nella formulazione
assiomatica (basti pensare all’assioma di completezza, che reinterpretato sulla retta acquisisce
un significato immediato);
• intraprendere questo tipo di percorso offre al docente l’opportunit`a di richiamare e chiarire
alcuni aspetti relativi ai numeri razionali e alle loro diverse rappresentazioni, e di portare alla
luce eventuali lacune mettendo gli studenti nelle condizioni di poterle colmare.
Sulla base di queste riflessioni `e stato impostato il programma del tirocinio svolto.
Parallelamente all’esperienza didattica `e stata condotta anche un’attivit`a di approfondimento sulle
tematiche affrontate o sfiorate durante il periodo di tirocinio, allo scopo di dare un’impostazione
formalmente corretta all’intero lavoro.
Per prima cosa abbiamo reso matematicamente rigorosa la costruzione dell’insieme dei numeri reali
a partire dai decimali infiniti, dimostrando in tutti i dettagli il soddisfacimento di ognuno degli
assiomi che lo definiscono. Questo lavoro `e stato svolto in quasi completa autonomia.
Oltre a questo abbiamo approfondito alcuni aspetti teorici relativi alle rappresentazioni decimali
infinite, anche relative a diverse basi di numerazione, basandosi sui risultati presentati nel libro di
G. H. Hardy, An introduction to the theory of numbers [8]. Ad esempio abbiamo approfondito la
struttura della rappresentazione periodica di un numero razionale. Oppure riportiamo un risultato
dovuto a Borel e che riguarda i numeri cosiddetti “normali”, una definizione legata alla frequenza con cui ogni cifra 0, 1, . . . , 9 si presenta nella rappresentazione decimale di un numero. Tale
risultato afferma (in realt`
a l’enunciato `e molto pi`
u forte) che l’insieme dei numeri reali nella cui
1
ha misura
rappresentazione decimale esiste una cifra che si presenta con frequenza diversa da 10
(di Lebesgue) nulla.
Descriviamo adesso la struttura della tesi.
I primi due capitoli sono interamente dedicati alla costruzione rigorosa dell’insieme dei numeri
reali a partire dall’insieme degli allineamenti decimali infiniti. Nel primo capitolo, dopo aver dato
una definizione formale di allineamento decimale infinito, se ne studiano le principali propriet`a; i
risultati ottenuti verranno utilizzati nel capitolo successivo per la costruzione vera e propria dell’insieme dei numeri reali.
Nel terzo capitolo si presentano alcune propriet`a delle rappresentazioni decimali infinite tratte dal
libro di Hardy menzionato sopra.
Il quarto capitolo contiene un resoconto dettagliato sull’attivit`a di tirocinio. Dopo una prima parte
introduttiva che raccoglie alcune riflessioni di carattere generale sulle motivazioni e sulle finalit`a
didattiche del progetto, si passa a descrivere l’esperienza di tirocinio vera e propria: dapprima sono
analizzati e commentati i risultati di un’indagine preliminare sulle conoscenze dei ragazzi in merito
ai vari sistemi numerici e successivamente `e riportato un breve compendio di ognuna delle lezioni
tenute, nel quale sono specificati gli argomenti affrontati e le relative problematiche.
Gli ultimi capitoli costituiscono infine la raccolta di tutto il materiale didattico utilizzato durante
il periodo di tirocinio: essi includono il questionario che `e stato sottoposto agli studenti allo scopo
di sondare le loro conoscenze e gli appunti delle lezioni, riorganizzati in forma di dispense, e forniti
agli studenti.
2
Parte I
Numeri reali e allineamenti
decimali infiniti
3
Capitolo 1
Allineamenti decimali infiniti e
prime propriet`
a
1.1
Introduzione
In questo primo capitolo compiremo alcuni passi propedeutici fondamentali verso la conquista
dell’insieme dei numeri reali:
1. daremo la definizione formale di allineamenti decimali infiniti;
2. definiremo delle operazioni fra di essi e ne studieremo le principali propriet`a;
3. infine elaboreremo un metodo per confrontarli fra di loro.
L’intero lavoro svolto servir`
a come punto di partenza per il passo successivo, ossia la costruzione
vera e propria dell’insieme dei numeri reali a partire dall’insieme degli allineamenti decimali infiniti.
1.2
L’insieme degli allineamenti decimali infiniti
Definizione 1.1 (Allineamento decimale infinito). Sia b ∈ N, b > 1; si dice allineamento decimale 1
infinito (anche espansione decimale infinita) in base b una coppia ordinata del tipo
!
X kn
x = m,
,
(1.2.1)
bn
∗
n∈N
dove m ∈ Z `e detto parte intera di x e {kn }n∈N∗ `e una successione di elementi di {0, 1, . . . , b − 1},
detta parte decimale o mantissa di x. I termini della mantissa si dicono cifre decimali di x.
Osservazione 1.2.1. Data la nostra familiarit`
a con il sistema di numerazione in base 10, per dimostrare i prossimi risultati supporremo b = 10, tenendo conto del fatto che tutto ci`o che vedremo
continua comunque a valere per ogni scelta della base b.
Per comodit`
a utilizzeremo una notazione pi`
u leggera e scriveremo, al posto di (1.2.1),
x = m u 0.k1 . . . kn . . . ,
(1.2.2)
dove il simbolo u non rappresenta, per il momento, il consueto simbolo di somma (che dobbiamo
ancora definire), ma piuttosto un simbolo di separazione fra parte intera e parte decimale di x.
Inoltre, quando m = 0, scriveremo semplicemente 0.k1 k2 . . . kn . . .
Definiamo l’insieme di tutti i possibili allineamenti decimali infiniti
o
n
A = m u 0.k1 k2 . . . kn . . . m ∈ Z, k1 , k2 , . . . , kn , . . . ∈ {0, 1, . . . , 9} .
1 Si
utilizza l’aggettivo decimale anche se la base scelta `
e diversa da 10.
4
Osservazione 1.2.2. Se x = mu0.k1 . . . kn . . . `e un allineamento decimale periodico, allora la somma
della serie in (1.2.1) `e un numero razionale ed il simbolo u pu`o essere sostituito dal simbolo + della
nota operazione di addizione in Q.
` abbastanza immediato osservare che ogni numero razionale x pu`o essere espresso come un alE
lineamento decimale infinito della forma (1.2.2): `e sufficiente scegliere una delle infinite frazioni
equivalenti che rappresentano x ed eseguire la divisione.
Definizione 1.2 (Uguaglianza in A). Siano dati due elementi x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . . ;
Diciamo che x = y se e solo se m = l e kn = hn per ogni n ∈ N∗ .
Vedremo pi`
u avanti che questa definizione di uguaglianza sar`a causa di difficolt`a non indifferenti:
per capire meglio la questione facciamo un semplice esempio.
Esempio 1.2.3. Le due scritture
x = 1 u 0.¯0
e
y = 0.¯9
sono formalmente diverse, ma quando andiamo a calcolare la somma della serie
∞
X
9
n
10
n=1
otteniamo il numero razionale 1, ovvero lo stesso numero al quale si riferisce la scrittura x.
Quello delle rappresentazioni multiple non `e un problema nuovo: basti pensare che ogni numero
razionale pu`
o essere espresso per mezzo di infinite frazioni, tutte formalmente diverse. Il problema,
di non poco conto, pu`
o essere superato in questo caso grazie al concetto di frazioni equivalenti, in
pratica eseguendo il quoziente dell’insieme di tutte le possibili frazioni rispetto alla nota relazione
di equivalenza
a
c
∼
se e solo se
ad = bc.
b
d
Nel nostro caso adotteremo una strategia simile definendo, pi`
u avanti, un’opportuna relazione di
equivalenza che ci permetter`
a di identificare scritture diverse associate allo stesso numero.
1.2.1
Troncate di un allineamento decimale infinito
Poich´e lavorare con un numero infinito di cifre decimali pu`o essere oltremodo scomodo, spesso e
volentieri ci dovremo ricondurre ad oggetti finiti, decisamente pi`
u maneggevoli, dalle cui propriet`
a
deriveremo le propriet`
a fondamentali degli allineamenti decimali infiniti.
Definizione 1.3 (Troncata n-esima). Sia x ∈ A. Se x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . . definiamo, per ogni
n ∈ N∗ , la troncata n-esima di x come x(n) = m + 0.k1 k2 . . . kn . Si pu`o anche dare senso alla
troncata 0-esima di x ponendo x(0) = m.
Osservazione 1.2.4. Dato x ∈ A, x(n) ∈ Q per ogni n ∈ N.
Osservazione 1.2.5. Sfruttando il concetto di troncata possiamo dire che, data una qualunque
coppia di elementi x, y ∈ A, x = y se e solo se x(n) = y(n) per ogni n ∈ N.
Il concetto di troncata funziona anche nel caso di allineamenti decimali finiti, con opportuni
accorgimenti: dato x = m + 0.k1 k2 . . . kt :
1. aggiungiamo una sequenza infinita di zeri dopo kt e rendiamo infinito l’allineamento decimale;
2. definiamo, per ogni n ∈ N, x(n) = (m u 0.k1 k2 . . . kt ¯0)(n).
5
1.2.2
Successioni di troncate e loro propriet`
a
Definizione 1.4 (Successione delle troncate). Sia x ∈ A. Si dice successione delle troncate di x
la successione {x(n)}n∈N .
Poich´e abbiamo osservato che i termini della successione delle troncate di un elemento x ∈ A sono
numeri razionali, e l’insieme Q `e dotato di una relazione d’ordine totale, possiamo trarre importanti
conclusioni sulla monotonia di tale successione.
Lemma 1.2.6. La successione delle troncate di un elemento x ∈ A `e non decrescente.
Dimostrazione. Sia x ∈ A e sia {x(n)}n∈N la successione delle sue troncate.
Supponiamo che x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
Fissato n ∈ N, confrontiamo x(n) e x(n + 1):
x(n + 1) = x(n) +
kn+1
≥ x(n).
10n+1
Segue la tesi.
I due lemmi che seguono stabiliscono un importante legame fra la parte intera di un allineamento
decimale x ∈ A ed i termini della successione delle sue troncate: nello specifico, vedremo che `e
proprio il segno della parte intera di x a determinare il segno dei termini della successione delle
sue troncate.
Lemma 1.2.7. Sia x ∈ A, della forma x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . ., con m ≥ 0. Allora x(n) ≥ 0 per
ogni n ∈ N.
Dimostrazione. Per ipotesi x(0) = m ≥ 0. Inoltre, essendo la successione {x(n)}n∈N non decrescente per il Lemma (1.2.6), abbiamo che
x(n) ≥ x(0) ≥ 0
per ogni n ∈ N,
dunque segue la tesi.
Il Lemma (1.2.7) ci dice semplicemente che, dato un allineamento decimale x ∈ A con parte intera
non negativa, i termini della successione delle sue troncate sono tutti numeri razionali non negativi.
Lemma 1.2.8. Sia x ∈ A, della forma x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . ., con m < 0. Allora x(n) < 0 per
ogni n ∈ N.
Dimostrazione. Dato n ∈ N,
x(n) = m+
n
n
n−1
X
X
10n − 1
ki
9
9 X 1
9 1 − 101n
≤
m+
=
m+
·
= m+ ·
= m+
< m+1 ≤ 0.
1
i
i
i
10
10
10 i=0 10
10 1 − 10
10n
i=1
i=1
Poich´e questo vale per ogni scelta di n ∈ N, segue la tesi.
Il Lemma (1.2.8), a sua volta, ci dice che, dato un allineamento decimale x ∈ A con parte intera
negativa, i termini della successione delle sue troncate sono tutti numeri razionali negativi.
Enunciamo adesso due propriet`
a molto importanti che utilizzeremo sovente nelle dimostrazioni dei
prossimi risultati.
Proposizione 1.2.9. Siano x, y ∈ A tali che x(n) < y(n) per qualche n ∈ N. Allora:
1. x(i) < y(i) per ogni i > n.
2. x(i) ≤ y(i) per ogni i < n;
Dimostrazione. Poich´e x(n) < y(n), abbiamo che y(n) − x(n) ≥
6
1
10n .
1. Supponiamo per assurdo che esista p > n tale che y(p) ≤ x(p).
y(n) ≤ y(p) ≤ x(p) = x(n) +
kn+1
kp
+ ... + p.
10n+1
10
Segue che
kp
1
kn+1
+ ... + p < n.
10n+1
10
10
Assurdo, perci`
o x(i) < y(i) per ogni i > n.
y(n) − x(n) ≤
2. Sempre per assurdo, supponiamo che esista p < n tale che y(p) < x(p).
Ma allora per il punto precedente dovremmo avere y(i) < x(i) per ogni i > p, e questo
dovrebbe valere anche per le troncate n-esime, essendo n > p.
Quindi y(n) < x(n), che `e assurdo.
Segue che x(i) ≤ y(i) per ogni i < n.
Segue la tesi.
Lemma 1.2.10. Siano x, y ∈ A tali che
|x(n) − y(n)| ≤
1
10n
(1.2.3)
per qualche n ∈ N. Allora vale una ed una sola delle seguenti condizioni:
- |x(n) − y(n)| = 0;
- |x(n) − y(n)| =
1
10n .
Dimostrazione. Siano
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
Se x(n) = y(n), allora |x(n) − y(n)| = 0 e vale l’asserto.
Supponiamo quindi che x(n) 6= y(n); allora deve essere x(n) < y(n) oppure y(n) < x(n).
• Se y(n) < x(n), allora la (1.2.3) diventa
x(n) − y(n) ≤
1
.
10n
(1.2.4)
x(n) 6= y(n) significa che esiste p ∈ {0, 1, . . . , n} tale che kp 6= hp . Sia p il primo indice per il
quale ci`
o accade.
Non pu`
o essere kp < hp , altrimenti avremmo x(p) < y(p), da cui x(n) < y(n), per cui
necessariamente kp > hp .
Allora kp ≥ hp + 1 e si ha
x(n) − y(n)
= x(p − 1) +
n
n
X
X
kp
ki
hp
hi
+
−
y(p
−
1)
−
−
=
10p i=p+1 10i
10p i=p+1 10i
=
n
n
n
X
X
X
kp − hp
ki
hi
kp − hp
9
+
−
≥
−
≥
i
i
p
i
10p
10
10
10
10
i=p+1
i=p+1
i=p+1
≥
1
1
1
1
− p + n = n.
p
10
10
10
10
(1.2.5)
Mettendo insieme (1.2.4) e (1.2.5) abbiamo che
x(n) − y(n) =
come volevasi dimostrare.
• Il caso x(n) < y(n) si tratta in modo analogo.
In ogni caso segue la tesi.
7
1
,
10n
1.3
Definizione di operazioni aritmetiche in A
Passiamo adesso alla definizione di operazioni fra allineamenti decimali infiniti; in particolare, vorremmo definire un’operazione di addizione ed un’operazione di moltiplicazione che estendano le
usuali operazioni di addizione e moltiplicazione fra numeri razionali.
Il problema principale `e dovuto al fatto che siamo in presenza di oggetti caratterizzati da un numero infinito di cifre, mentre un qualsiasi algoritmo pu`o lavorare soltanto su oggetti finiti.
A tale scopo possiamo pensare di definire le operazioni tra allineamenti infiniti utilizzando le successioni delle loro troncate, che presentano un notevole vantaggio: i termini delle successioni delle
troncate sono infatti numeri decimali finiti, per i quali esistono gi`a algoritmi di addizione e moltiplicazione.
Abbiamo visto che, dato un elemento x ∈ A, `e molto semplice produrre la successione delle sue
troncate - per ottenere il termine n-esimo `e sufficiente troncare x alla n-esima cifra decimale. Tuttavia, data una generica successione {xn }n∈N , dove xn `e un numero decimale finito di n cifre, pu`o
accadere - ed effettivamente accade nella maggior parte dei casi - che essa non sia la successione
delle troncate di alcun x ∈ A.
Per poter definire un allineamento decimale infinito attraverso una successione {xn }n∈N di allineamenti decimali finiti, dobbiamo essere sicuri che essa soddisfi una ben precisa propriet`a,
ossia:
kn+1
xn+1 = xn + n+1 per ogni n ∈ N,
10
dove k1 , k2 , . . . , kn , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Detto in altre parole, il termine n-esimo della successione
deve essere la troncata n-esima del termine successivo.
Prima di dedicarci alla definizione di operazioni fra allineamenti decimali infiniti, `e utile dimostrare
la seguente proposizione, che fornisce un criterio per confrontare fra loro allineamenti con un numero
finito di cifre decimali.
Proposizione 1.3.1. Siano dati due allineamenti decimali finiti
n
X
kj
a=
j
10
j=0
m
X
hj
b=
j
10
j=0
Nel caso in cui n 6= m, aggiungiamo tanti zeri quanti ne servono per rendere le due code decimali
della stessa lunghezza, diciamo p = max{m, n}. Allora a < b se e solo se esiste i ∈ N, 0 ≤ i ≤ p
tale che a(i) < b(i).
Dimostrazione. Supponiamo che a(i) < b(i) per qualche i ∈ N, con 0 ≤ i ≤ p.
K
Allora b(i) = a(i) + 10
i per qualche K ∈ N, K ≥ 1.
a
= a(i) +
p
p
p
p−i−1
X
X
X
X
kj
9
1
1
≤
a(i)
+
=
a(i)
+
9
·
=
a(i)
+
9
·
=
j
j
j
j+i+1
10
10
10
10
j=i+1
j=i+1
j=i+1
j=0
= a(i) +
p−i−1
1
X 1
1 − 10p−i
9
9
9
·
= a(i) + i+1 ·
= a(i) + i+1 ·
1
i+1
j
10
10
10
10
1
−
10
j=0
= a(i) +
1 10p−i − 1
10p−i − 1
·
=
a(i)
+
.
10i
10p−i
10p
p
X
hj
b = b(i) +
≥ b(i).
j
10
j=i+1
Mettendo insieme le due cose:
−a ≥ −a(i) −
b ≥ b(i)
10p−i −1
10p
Sommiamo membro a membro:
b − a ≥ b(i) − a(i) −
K
10p−i − 1
10p−i − 1
=
−
10p
10i
10p
8
10p−i −1
10p−i
9
10
=
K
10p−i − 1
−
>0
i
10
10p
se e solo se
(K − 1) · 10p + 10i > 0.
Essendo K ≥ 1, abbiamo che
(K − 1) · 10p + 10i ≥ 10i > 0,
da cui a < b.
Viceversa, sia a < b; ma allora a(p) = a < b = b(p).
1.3.1
Definizione di un’operazione di addizione in A
Dati x, y ∈ A, vogliamo definire un nuovo allineamento decimale infinito, che chiameremo somma
di x e y, per mezzo delle successioni delle loro troncate.
Definizione 1.5 (Successione delle somme delle troncate). Siano x, y ∈ A; si definisce successione
delle somme delle troncate di x e y la successione {x(n) + y(n)}n∈N . Per alleggerire le notazioni
poniamo, per ogni n ∈ N,
σn = x(n) + y(n).
Osservazione 1.3.2. Dati x, y, z ∈ A:
• x(n) + y(n) = y(n) + x(n) per ogni n ∈ N;
• x(n) + y(n) + z(n) = x(n) + y(n) + z(n) per ogni n ∈ N.
Purtroppo, dati x, y ∈ A generici, non c’`e alcuna garanzia che la successione delle somme delle
troncate di x e y sia la successione delle troncate di un qualche elemento di A. Vediamo l’esempio
seguente.
Esempio 1.3.3. Si considerino
x = 0.13579 . . .
y = 0.86421 . . .
La successione delle somme di x e y, cio`e
σ0 = 0
σ1 = 0.9
σ2 = 0.99
σ3 = 0.999
σ4 = 0.9999
σ5 = 1 + 0.00000
...
non `e la successione delle troncate di alcun elemento di A.
Procediamo allora in maniera leggermente differente; definiamo una operazione di addizione fra
allineamenti decimali infiniti
+ : A × A −→ A
+
+
(x, y) 7−→ x+
+y
nel modo seguente:
+
(x+
+ y)(p) = x(t) + y(t) (p),
(1.3.1)
dove t = t(p) `e un numero naturale - che dipender`a da p - da scegliere in modo opportuno. Dobbia+
mo specificare adesso le modalit`
a con cui scegliere t nella (1.3.1) in modo tale che {(x+
+ y)(p)}p∈N
sia effettivamente la successione delle troncate di un elemento di A. Con i prossimi risultati
mostreremo che ci`
o `e possibile in linea di principio.
Lemma 1.3.4. Siano x, y ∈ A, con
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
Allora la successione delle somme delle troncate di x e y `e superiormente limitata e monotona non
decrescente.
Dimostrazione. Iniziamo mostrando la limitatezza.
Sia n ∈ N e consideriamo il termine n-esimo della successione delle somme delle troncate, ossia
9
σn = x(n) + y(n).

σn
 
 
 

n
n
n
n
X
X
X
X
hj  
9  
9 
kj  
= m +
+ l+
≤ m+
+ l+
=
j
j
j
j
10
10
10
10
j=1
j=1
j=1
j=1
 


n−1
n−1
X
X
9
9
9  
9 
+ l+
=
= m +
10 j=0 10j
10 j=0 10j
9 1 − 101n
10n − 1
9 1 − 101n
10n − 1
=
m+
+
l
+
≤
·
+
l
+
·
=
m
+
1
1
10 1 − 10
10 1 − 10
10n
10n
< (m + 1) + (l + 1).
Poich´e questo vale per ogni n ∈ N, segue che la successione delle somme delle troncate di x e y `e
superiormente limitata. Passiamo alla monotonia.
Sia n ∈ N e mostriamo che
σn+1 ≥ σn .
Ricordando che le successioni {x(n)}n∈N e {y(n)}n∈N sono monotone non decrescenti (vedere
Lemma (1.2.6) a questo proposito), abbiamo che
σn+1 = x(n + 1) + y(n + 1) ≥ x(n) + y(n) = σn ,
come volevasi dimostrare.
Proposizione 1.3.5. Siano x, y ∈ A e sia p ∈ N. Allora la successione {σn (p)}n≥p `e superiormente limitata e monotona non decrescente.
Dimostrazione. Iniziamo mostrando che la successione `e superiormente limitata: sia n ≥ p.
σn (p) = x(n) + y(n) (p) ≤ x(n) + y(n) < (m + 1) + (l + 1).
Vediamo la monotonia. Supponiamo per assurdo che la successione non sia monotona non decrescente: allora esiste j ≥ p tale che
σj (p) > σj+1 (p).
Per la Proposizione (1.3.1), la relazione precedente implica
σj > σj+1 .
Allo stesso tempo dobbiamo avere σj ≤ σj+1 per il Lemma (1.3.1).
Assurdo, perci`
o abbiamo la tesi.
Adesso vorremmo utilizzare la Proposizione (1.3.5) per dimostrare un ultimo risultato, grazie al
quale possiamo dare un senso alla definizione di somma in (1.3.1). Proponiamo due dimostrazioni
alternative del teorema che segue: la prima `e puramente teorica, mentre la seconda `e costruttiva e
fornisce un metodo operativo per calcolare - cifra per cifra - la somma di due allineamenti decimali
infiniti.
Teorema 1.3.6. Siano x, y ∈ A e sia p ∈ N. Allora la successione {σn (p)}n≥p `e definitivamente
costante. Detto altrimenti, per ogni p ∈ N, a partire da un certo indice le prime p cifre di ogni
termine della successione delle somme delle troncate di x e y rimangono fisse.
Dimostrazione teorica. Abbiamo gi`
a dimostrato nella Proposizione (1.3.5) che la successione σn (p)
`e non decrescente e superiormente limitata da λ = (m + 1) + (l + 1) ∈ Q; abbiamo due possibilit`a
mutualmente esclusive: essa pu`
o crescere indefinitamente oppure essere definitivamente costante.
Sia ∆ = λ − σp (p). Ovviamente ∆ ∈ Q e ∆ > 0.
Se nel passaggio da σj (p) a σj+1 (p) avviene un cambiamento, deve essere σj+1 (p) − σj (p) ≥ 101p .
Consideriamo i due numeri razionali positivi ∆ e 101p : per l’assioma di Eudosso-Archimede esiste
s ∈ N tale che s · 101p > ∆.
Questo significa che dopo s cambiamenti il numero λ verrebbe superato. Ma ci`o non `e possibile,
in quanto {σn (p)}n∈N `e superiormente limitata da λ, per cui l’unica possibilit`a `e che σn (p) sia
definitivamente costante.
10
Dimostrazione costruttiva. Dati x, y ∈ A, consideriamo la successione delle somme delle troncate
(j)
di x e y. Per ogni i ∈ N poniamo ci la i-esima cifra di σj , i ≤ j. Fissiamo p ∈ N e mostriamo che
(j)
(t)
esiste t ≥ p tale che cp = cp per ogni j ≥ t.

(0)

σ0 = c0




(1)
(1)


σ1 = c0 + 0.c1




(2) (2)

 σ2 = c(2)
0 + 0.c1 c2
..


.




(p)
(p) (p)
(p)


σp = c0 + 0.c1 c2 . . . cp




 ..
.
Osserviamo ci`
o che pu`
o accadere nel passaggio da σp a σp+1 :
• la penultima cifra di σp+1 `e uguale all’ultima cifra di σp se non si `e verificato alcun riporto;
• la penultima cifra di σp+1 supera di 1 l’ultima cifra di σp se si `e verificato un riporto.
Inoltre, per ogni j ∈ N, j < p, la cifra j-esima di σp pu`o cambiare nel passaggio a σp+1 (aumentando
di 1) solo se cambia la cifra p-esima, ovvero nel caso in cui avvenga un riporto nel calcolo di σp+1 .
Questo fatto `e fondamentale, poich´e una volta individuata una cifra che rimane fissata, anche tutte
le cifre precedenti rimangono fissate.
Concentriamoci allora sui cambiamenti, dovuti ad eventuali riporti, della cifra decimale p-esima
dei termini della successione delle somme delle troncate di x e y.
Se, calcolando i termini della successione delle somme delle troncate di x e y, non avvengono riporti,
la tesi `e banalmente vera con t = p. Assumiamo quindi che avvengano dei riporti.
Supponiamo che cp subisca il primo riporto nel calcolo di σp+i , con i ≥ 1:
(p+i)
σp+i = c0
(p+i) (p+i)
c2
+ 0.c1
(p+i)
(p+i)
(p+i)
. . . cp−1 (c(p)
p + 1) cp+1 . . . cp+i .
| {z }
(p+i)
cp
(p+i)
Osserviamo che cp+i
pu`
o essere al pi`
u 8.
(p+k)
(p+i+k)
= cp
Adesso mostriamo, per induzione su k, che cp
per ogni k ∈ N∗ .
• k=1
Andiamo a calcolare il termine (p + i + 1)-esimo della successione delle somme delle troncate:
(p+i+1)
σp+i+1 = c0
(p+i+1) (p+i+1)
c2
+ 0.c1
(p+i+1)
. . . cp(p+i+1) cp+1
(p+i+1) (p+i+1)
cp+i+1 .
. . . cp+i
Abbiamo due possibilit`
a.
(p+i)
– Non si `e verificato alcun riporto su cp+i :
(p+i+1)
in questo caso nessuna delle cifre precedenti viene modificata, perci`o cp
– Si `e verificato un riporto su
(p+i+1)
cp+i
(p+i)
= cp
.
(p+i)
cp+i :
(p+i)
(p+i)
= cp+i + 1; ma poich´e cp+i
precedenti rimangono inalterate, quindi
era al pi`
u 8, essa diventa al pi`
u 9 e le cifre
(p+i+1)
cp
(p+i)
= cp
.
• Passo induttivo: k −→ k + 1
Supponiamo che, calcolando i termini successivi
σp+i+1
(p+i)
(p+i+1)
σp+i+2
(p+i+2)
...
σp+i+k
(1.3.2)
(p+i+k)
si abbia cp
= cp
= cp
= . . . = cp
.
(p+i+k+1)
(p+i+k)
= cp
.
Mostriamo allora che, calcolando σp+i+k+1 , si deve avere cp
σp+i+k+1 =
(p+i+k+1)
= c0
(p+i+k+1) (p+i+k+1)
c2
+ 0.c1
(p+i+k+1)
. . . c(p+i+k+1)
cp+1
p
Abbiamo due possibilit`
a.
11
(p+i+k+1) (p+i+k+1)
cp+i+k+1 .
. . . cp+i+k
(p+i+k)
– Non si `e verificato alcun riporto su cp+i+k :
allora segue direttamente la tesi per induzione, con t = p + i.
(p+i+k)
– Si `e verificato un riporto su cp+i+k :
la dimostrazione si divide in due ulteriori sottocasi.
∗ Non si sono verificati riporti nel calcolo delle (1.3.2).
Allora le cifre precedenti sono le stesse del passo (p + i)-esimo, quindi un’eventuale
catena di riporti si fermerebbe alla cifra (p + i)-esima, che `e al pi`
u 8.
Segue quindi la tesi, per induzione, con t = p + i.
∗ Si sono verificati riporti nel calcolo delle (1.3.2).
Per ipotesi induttiva, comunque, la cifra p-esima non `e stata modificata.
Sia l ∈ N, con 2 ≤ l ≤ k, tale che nel calcolo di σp+i+l si `e verificato l’ultimo dei
(p+i+l)
riporti. In tal caso la cifra cp+i+l `e al pi`
u 8.
Allora la catena di riporti che si `e innescata nel calcolo di σp+i+k+1 si arresta alla
cifra (p + i + l)-esima e la cifta p-esima rimane invariata.
Segue nuovamente la tesi, con t = p + i.
(j)
In ognuno dei sottocasi esiste t ≥ p tale che cp
conclusa.
(t)
= cp
per ogni j ≥ t e la dimostrazione `e
Corollario 1.3.7. Siano x, y ∈ A; allora esistono due possibilit`
a mutualmente esclusive:
1. per ogni p ∈ N esiste t ≥ p tale che l’ultima cifra di σt `e diversa da 9. In tal caso σj (p) = σt (p)
per ogni j ≥ t e vale σj (t − 1) = σt (t − 1) per ogni j ≥ t;
9
+ y `e un
2. esiste p ∈ N tale che σj+1 = σj + 10j+1
per ogni j ≥ t. In tal caso la somma x +
allineamento decimale infinito che continua con una sequenza infinita di 9 a partire (almeno)
dalla (t + 1)-esima cifra decimale.
Il primo caso non presenta problemi, poich´e in tal caso saremmo in grado di determinare, una per
+
volta, tutte le cifre di x+
+ y; i problemi sorgono dal momento che iniziamo a produrre una sequenza
di 9, che potrebbe essere interrotta da una cifra diversa da 9 oppure no: in ogni caso per decidere
se ci`
o avviene o no potremmo dover calcolare un numero potenzialmente infinito di cifre decimali.
Diamo quindi finalmente la seguente definizione.
Definizione 1.6 (Somma di allineamenti decimali infiniti). Si definisce la somma di due allineamenti decimali infiniti x e y come l’allineamento decimale infinito x + y nel modo seguente: per
ogni p ∈ N
+
(x+
+ y)(p) = σt (p),
dove t = t(p) ≥ p `e tale che, a partire dall’indice t, la successione {σn (p)}n≥p `e costante, ossia le
prime p cifre dei termini della successione delle somme delle troncate di x e y sono definitivamente
fissate.
1.3.2
Prime propriet`
a dell’addizione in A
Dimostriamo adesso alcune delle propriet`
a di cui gode l’addizione in A.
Propriet`
a commutativa
+ y = y+
+ x equivale a dire che (x +
+ y)(p) = (y +
+ x)(p) per ogni
Osservazione 1.3.8. Dire che x +
p ∈ N.
Mostriamo che la somma di due allineamenti decimali infiniti non dipende dall’ordine degli addendi.
Siano x, y ∈ A e sia p ∈ N: allora, per il Teorema (1.3.6), esiste t ≥ p tale che
+ y)(p) = x(j) + y(j) (p) per ogni j ≥ t.
(x+
Ma, essendo
x(n) + y(n) (p) = y(n) + x(n) (p)
12
per ogni n ≥ p,
a partire dall’indice t anche { y(n) + x(n) (p)}n≥p `e definitivamente costante. Allora
+
+ x)(p).
(x+
+ y)(p) = x(t) + y(t) (p) = y(t) + x(t) (p) = (y +
Dunque vale la propriet`
a commutativa dell’addizione in A, che discende direttamente dalla propriet`
a commutativa dell’addizione in Q.
Elemento neutro
Poniamo 0 = 0.¯
0 e dimostriamo che 0 `e un elemento neutro dell’addizione in A. Sia dato un
generico x ∈ A; poich´e in A vale la propriet`a commutativa dell’addizione, `e sufficiente far vedere
+
che x+
+ 0 = x.
Proposizione 1.3.9. 0 `e un elemento neutro per l’addizione.
` sufficiente mostrare che (x+
+
Dimostrazione. E
+ 0)(p) = x(p) per ogni p ∈ N. +
Il Teorema (1.3.6) ci assicura che esiste t ≥ p tale che (x+
+ 0)(p) = x(t) + 0(t) (p). Allora
+
(x+
+ 0)(p) = x(t) + 0(t) (p) = x(t) + 0 (p) = x(p).
Segue la tesi.
Opposto
+ y = 0, ossia
Sia x ∈ A; vorremmo, se possibile, determinare un elemento y ∈ A tale che x +
vorremmo trovare quello che chiameremmo l’opposto di x. Costruiamo y in modo tale che
x(n) + y(n) = 0(n) = 0
per ogni n ∈ N.
A questo punto abbiamo due possibilit`a: o x continua con una sequenza infinita di 0, oppure no.
1. x continua con una sequenza infinita di 0
Allora x `e della forma x = m u 0.k1 k2 . . . kt ¯0, con kt 6= 0; calcolando una per volta le troncate
y(i)† di y
y(0) = −m
y(1) = −(m + 1) + 0.(10 − k1 )
y(2) = −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(10 − k2 )
..
.
y(i)
= −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (10 − ki )
..
.
y(t) = −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kt−1 )(10 − kt )
y(t + j) = −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kt−1 )(10 − kt ) |0 .{z
. . 0}
per ogni j ≥ 0
j
otteniamo l’allineamento y = −(m + 1) u 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kt−1 )(10 − kt )¯0.
+
Se andiamo a calcolare la somma x+
+ y, ritroviamo proprio l’elemento neutro 0.
2. x non continua con una sequenza infinita di 0
Andiamo a calcolare le troncate di y:
y(0) = −m
y(1) = −(m + 1) + 0.(10 − k1 )
y(2) = −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(10 − k2 )
..
.
y(n)
= −(m + 1) + 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kn−1 )(10 − kn )
..
.
In questo caso otteniamo l’allineamento y = −(m + 1) u 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kn ) . . .
Cosa accade adesso se andiamo a sommare x e y? Non otteniamo l’elemento neutro 0, bens`ı
l’allineamento decimale infinito −1 u 0.¯9.
Si conclude che, in A, non sempre esiste l’opposto di un elemento.
† Se
ki = 0, allora l’ultima cifra della troncata y(i) `
e 9 − ki .
13
Pseudoopposto
Sia x ∈ A, x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .; definiamo l’elemento
x
b = −(m + 1) u 0.b
k1 b
k2 . . . b
kn . . . ,
dove b
kn = 9 − kn per ogni n ∈ N∗ .
Chiamiamo x
b lo pseudoopposto di x, che pu`
o sempre essere costruito ed `e unico. Come abbiamo
+x
gi`
a visto, x
b non `e l’opposto di x, dal momento che la somma x+
b non d`a l’elemento neutro.
Tuttavia useremo lo pseudoopposto in seguito per dimostrare alcune propriet`a molto importanti.
b
Osservazione 1.3.10. Per ogni x ∈ A vale x
b = x.
Lemma 1.3.11. Sia x ∈ A; allora per ogni p ∈ N vale
x(p) = −b
x(p) −
1
.
10p
Dimostrazione. Sia x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
Allora x
b = −(m + 1) u 0.(9 − k1 )(9 − k2 ) . . . (9 − kn ) . . .
Sia p ∈ N:
x(p) + x
b(p) = m +
p
p
p
X
X
X
9 − ki
9
1
1
ki
−
(m
+
1)
+
=
−1
+
= −1 + 1 − p = − p .
i
i
i
10
10
10
10
10
i=1
i=1
i=1
Segue
x(p) = −b
x(p) −
1
,
10p
da cui la tesi per l’universalit`
a di p.
1.3.3
Definizione di un’operazione di moltiplicazione in A
Proprio come abbiamo fatto per l’addizione, dati x, y ∈ A vogliamo definire un nuovo allineamento
decimale infinito, che chiameremo il prodotto di x e y.
Definizione 1.7 (Successione dei prodotti delle troncate). Siano x, y ∈ A; si definisce successione
dei prodotti delle troncate di x e y la successione {x(n) · y(n)}n∈N . Per alleggerire le notazioni
poniamo, per ogni n ∈ N,
πn = x(n) · y(n).
Osservazione 1.3.12. Dati x, y, z ∈ A:
• x(n) · y(n) = y(n) · x(n) per ogni n ∈ N;
• x(n) · y(n) · z(n) = x(n) · y(n) · z(n) per ogni n ∈ N.
Vorremmo definire tramite la successione dei prodotti delle troncate una operazione di moltiplicazione fra allineamenti decimali infiniti
• : A × A −→ A
(x, y) 7−→ x • y
Tuttavia in questo caso le cose sono pi`
u complesse per diversi motivi, perci`o iniziamo ad affrontare
il problema concentrandoci sugli allineamenti decimali la cui parte intera `e non negativa.
Lemma 1.3.13. Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u h1 h2 . . . kn . . .
con m, l ≥ 0. Allora la successione dei prodotti delle troncate di x e y `e superiormente limitata e
monotona non decrescente.
14
Dimostrazione. Iniziamo dimostrando la limitatezza.
Sia n ∈ N e consideriamo il termine n-esimo della successione, ossia πn = x(n) · y(n).
 
 
 


n
n
n
n
X
X
X
X
h
9
9
k
j
j
 · l +
 ≤ m +
 · l +
=
πn = m +
10j
10j
10j
10j
j=1
j=1
j=1
j=1

 

n−1
n−1
X 9
X 9
9
9
 · l +
=
= m +
10 j=0 10j
10 j=0 10j
10n − 1
9 1 − 101n
9 1 − 101n
10n − 1
·
l
+
≤
=
m+
·
·
l
+
·
=
m
+
1
1
10 1 − 10
10 1 − 10
10n
10n
< (m + 1) · (l + 1).
Poich´e questo vale per ogni n ∈ N, segue che la successione dei prodotti delle troncate di x e y `e
superiormente limitata. Passiamo alla monotonia.
Sia n ∈ N e mostriamo che
πn+1 ≥ πn .
Ricordando che le successioni {x(n)}n∈N e {y(n)}n∈N sono monotone non decrescenti (vedere
Lemma (1.2.6) a questo proposito), abbiamo che
πn+1 = x(n + 1) · y(n + 1) ≥ x(n) · y(n + 1) ≥ x(n) · y(n) = πn ,
come volevasi dimostrare.
Proposizione 1.3.14. Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u h1 h2 . . . kn . . .
con m, l ≥ 0, e sia p ∈ N. Allora la successione {πn (p)}n≥p `e superiormente limitata e monotona
non decrescente.
Dimostrazione. Iniziamo mostrando che `e superiormente limitata: sia n ≥ p.
πn (p) = x(n) · y(n) (p) ≤ x(n) · y(n) < (m + 1) · (l + 1).
Vediamo la monotonia. Supponiamo per assurdo che la successione non sia monotona non decrescente: allora esiste j ≥ p tale che
πj (p) > πj+1 (p).
Per la Proposizione (1.3.1), la relazione precedente implica
πj > πj+1 .
Allo stesso tempo dobbiamo avere πj ≤ πj+1 per il Lemma (1.3.13).
Assurdo, perci`
o abbiamo la tesi.
Adesso vorremmo utilizzare la Proposizione (1.3.14) per dimostrare il seguente risultato.
Teorema 1.3.15. Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u h1 h2 . . . kn . . .
con m, l ≥ 0, e sia p ∈ N. Allora la successione {πn (p)}n≥p `e definitivamente costante. In altre
parole, per ogni p ∈ N, a partire da un certo indice le prime p cifre dei termini della successione
dei prodotti delle troncate di x e y sono fissate.
Dimostrazione. Abbiamo gi`
a dimostrato nella Proposizione (1.3.14) che la successione πn (p) `e
non decrescente e superiormente limitata da λ = (m + 1) · (l + 1) ∈ Q; abbiamo due possibilit`
a
mutualmente esclusive: essa pu`
o crescere indefinitamente oppure essere definitivamente costante.
Sia ∆ = λ − πp (p). Ovviamente ∆ ∈ Q e ∆ > 0.
Se nel passaggio da πj (p) a πj+1 (p) avviene un cambiamento, deve essere πj+1 (p) − πj (p) ≥ 101p .
15
Consideriamo i due numeri razionali positivi ∆ e 101p : per l’assioma di Eudosso-Archimede esiste
s ∈ N tale che s · 101p > ∆.
Questo significa che dopo s cambiamenti il numero λ verrebbe superato. Ma ci`o non `e possibile,
in quanto {πn (p)}n≥p `e superiormente limitata da λ, per cui l’unica possibilit`a `e che {πn (p)}n≥p
sia definitivamente costante.
Osservazione 1.3.16. Possiamo a questo punto definire in maniera non ambigua il prodotto di due
allineamenti decimali infiniti x e y con parte intera non negativa come l’allineamento decimale
infinito x • y tale che, per ogni p ∈ N,
(x • y)(p) = πt (p),
dove t = t(p) ≥ p `e tale che, a partire dall’indice t, la successione {πn (p)}n≥p `e costante.
Il Teorema 1.3.15 si riferisce soltanto ad un particolare tipo di allineamenti decimali infiniti; ci piacerebbe estenderlo a tutti i possibili allineamenti decimali infiniti. Il problema principale `e dovuto
al fatto che, dati x, y ∈ A generici, nessun risultato ci garantisce la monotonia della successione
dei prodotti delle troncate di x e y.
Supponiamo che la parte intera di y sia negativa (anche la parte intera di x potrebbe esserlo, ma
per adesso non ce ne preoccupiamo). Consideriamo lo pseudoopposto di y, che abbiamo deciso
di indicare con yb, il quale per costruzione ha parte intera non negativa, ed andiamo a definire il
prodotto di x e y come l’allineamento decimale infinito x • y tale che
x • y = x[
• yb.
(1.3.3)
Se la parte intera di x `e non negativa siamo in grado di calcolare il prodotto x • yb e farne lo
pseudoopposto, perci`
o il prodotto di x e y `e ben definito.
Se la parte intera di x `e negativa, allora
[
x • yb = x
b
• yb
(1.3.4)
e mettendo insieme (1.3.3) e (1.3.4) abbiamo
x•y =x
b • yb.
Abbiamo adesso tutti gli strumenti necessari per definire il prodotto fra due allineamenti decimali
infiniti x e y.
Definizione 1.8 (Prodotto di allineamenti decimali infiniti). Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u h1 h2 . . . kn . . .
1. m, l ≥ 0
(x • y)(p) = πt (p), dove t ≥ p `e un indice a partire dal quale la successione {πn (p)}n≥p `e
definitivamente costante.
2. l < 0 e m ≥ 0
Definiamo x • y = x[
• yb.
3. m < 0 e l ≥ 0
[
Definiamo x • y = x
b
• y.
4. m, l < 0
Segue da 2. e 3. che x • y = x
b • yb.
1.3.4
Prime propriet`
a della moltiplicazione in A
Dimostriamo adesso alcune delle propriet`
a di cui gode la moltiplicazione in A.
Lemma 1.3.17. Per ogni x, y ∈ A si ha x • yb = x
b • y.
Dimostrazione. Consideriamo i vari casi.
16
• Se m, l ≥ 0, allora x • yb = x[
•y =x
b • y.
[
• Se m, l < 0, allora x • yb = x
b
• yb = x
b • y.
Segue la tesi.
Lemma 1.3.18. Per ogni x, y ∈ A vale x • y = x
b • yb.
Dimostrazione. Consideriamo i vari casi.
• Se m ≥ 0, l < 0, allora x • y = x[
• yb = x
b • yb.
[
• Se m < 0, l ≥ 0, allora x • y = x
b
•y =x
b • yb.
Segue la tesi.
Propriet`
a commutativa
Osservazione 1.3.19. Dire che x • y = y • x equivale a dire che (x • y)(p) = (y • x)(p) per ogni p ∈ N.
Mostriamo che il prodotto di due allineamenti decimali infiniti non dipende dall’ordine dei fattori.
Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
• m, l ≥ 0
Sia p ∈ N: allora esiste t ≥ p tale che (x • y)(p) = x(t) · y(t) (p) = y(t) · x(t) (p) = (y • x)(p).
• m ≥ 0, l < 0
Consideriamo lo pseudoopposto yb di y. Per il punto precedente x • yb = yb • x. Allora
[
x • y = x[
• yb = yb
• x = y • x.
[
Segue che x • yb = yb • x, da cui x • y = x[
• yb = yb
• x = y • x.
• m < 0, l ≥ 0
` analogo al caso precedente.
E
• m, l < 0
Poich´e x • y = x
b • yb, ci si riconduce al caso m, l ≥ 0.
Dunque vale la propriet`
a commutativa della moltiplicazione in A, che discende direttamente dalla
propriet`
a commutativa della moltiplicazione in Q.
Elemento neutro
Poniamo 1 = 1 u 0.¯
0 e facciamo vedere che 1 `e un elemento neutro per la moltiplicazione. Sia dato
un generico x ∈ A, x = m u k1 k2 . . . kn . . .
Poich´e vale la propriet`
a commutativa, `e sufficiente far vedere che x • 1 = x.
Proposizione 1.3.20. 1 `e un elemento neutro per la moltiplicazione.
Dimostrazione. Sia x ∈ A.
• m≥0
Sia p ∈ N: il Teorema (1.3.15) ci assicura che esiste t ≥ p tale che
(x • 1)(p) = x(t) · 1(t) (p) = x(t) (p) = x(p).
Poich´e ci`
o vale per ogni scelta di p, segue che x • 1 = x.
• m<0
Passiamo allo pseudoopposto x
b di x, la cui parte intera `e non negativa.
Per il punto precedente x
b•1 = x
b.
b
x•1=x
b[
•1=x
b = x.
Dunque la tesi.
17
Inverso e pseudoinverso
Sia x ∈ A\ {0, −1u0.¯
9}; vorremmo, se possibile, determinare un elemento y ∈ A tale che x•y = 1,
ossia vorremmo trovare quello che chiameremmo l’inverso di x. In questo caso le cose sono piuttosto
complicate, perci`
o siamo costretti ad indebolire le nostre richieste. Costruiamo un elemento yI ∈ A
che si avvicini il pi`
u possibile all’elemento 1, qualunque cosa ci`o significhi.
Sia x della forma x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . ., con x 6= 0 e x 6= −1 u 0.¯9.
Pu`
o essere m ≥ 0 oppure m ≤ −1.
• m≥0
Si ponga
L = n ∈ N n · x(i) ≤ 1
per ogni i ∈ N
e sia l = max L.
L’elemento l esiste, in quanto 0 ∈ L 6= ∅ ed L ⊂ N `e un insieme finito.
Infatti, se x 6= 0, esiste i0 ∈ N tale che x(i0 ) > 0.
Per la propriet`
a archimedea di Q esiste un elemento N ∈ N tale che N · x(i0 ) > 1.
Prendendo poi n ≥ N sia ha
n · x(i0 ) ≥ N · x(i0 ) > 1,
quindi deve essere L ⊂ {0, 1, 2, . . . , N − 1}.
Poniamo
H1 = h ∈ {0, 1, . . . , 9} 0.h · x(i) ≤ 1
per ogni i ∈ N
e sia h1 = max H1 .
In generale, per ogni n ∈ N∗ , sia
Hn = h ∈ {0, 1, . . . , 9} 0.h1 h2 . . . hn−1 h · x(i) ≤ 1
per ogni i ∈ N
e sia hn = max Hn .
Tutti gli hn esistono, in quanto tutti gli Hn sono sottoinsiemi finiti non vuoti di N. Definiamo
yI = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
yI ha la propriet`
a che
x(i) · yI (j) ≤ 1 = 1(i) = 1(j)
per ogni i, j ∈ N.
Vorremmo poter dire che yI `e l’inverso di x.
Pu`
o accadere che esista j ∈ N tale che x(i) · yI (j) = 1 definitivamente (rispetto a i): in tal
caso yI = l u 0.h1 h2 . . . hj ¯
0 `e proprio l’inverso di x.
Pu`
o anche accadere, comunque, che x(i) · yI (j) < 1 per ogni i, j ∈ N. Vogliamo dimostrare
che, in questo caso, necessariamente x • yI = 0.¯9.
Ci`
o equivale a dire che x(i) · yI (j) si avvicina arbitrariamente a 1(i) = 1(j) = 1, ossia che
per ogni n ∈ N esiste N ∈ N (N > n) tale che
1 − x(i) · yI (j) <
1
10n
per ogni i, j ≥ N .
Supponiamo per assurdo che non sia cos`ı; allora esiste n0 ∈ N tale che per ogni N ∈ N
(N > n0 ) esistono i0 , j0 ≥ N tali che
x(i0 ) · yI (j0 ) ≤ 1 −
1
.
10n0
N pu`
o essere preso grande quanto si vuole, di conseguenza i0 e j0 possono essere arbitrariamente grandi.
Consideriamo
x(i0 ) · yI (j0 + 1),
che per costruzione deve essere strettamente minore di 1. Aumentiamo di una unit`a l’ultima
cifra di yI (j0 + 1), cio`e hj0 +1 : se tale cifra `e 9, allora si ha un riporto ed aumenta di una
18
unit`
a la cifra precedente, che pu`o essere o meno diversa da 9, eccetera. Esiste sempre una
cifra di yI (j0 + 1) che aumenta di una unit`a.
1
1
x(i0 ) · yI (j0 + 1) + j0 +1
= x(i0 ) · yI (j0 ) + yI (j0 + 1) − yI (j0 ) + j0 +1 =
10
10
1
= x(i0 ) · yI (j0 ) + x(i0 ) · yI (j0 + 1) − yI (j0 ) + j0 +1 ≤
10
1
1
≤ 1 − n0 + x(i0 ) · yI (j0 + 1) − yI (j0 ) + j0 +1 ≤
10
10
1
1
≤ 1 − n0 + (m + 1) · yI (j0 + 1) − yI (j0 ) + j0 +1 .
10
10
La quantit`
a tra parentesi quadre pu`o essere resa piccola a piacere, in particolare minore di
1
.
(m + 1) · 10n0
Allora
x(i0 ) · yI (j0 + 1) +
1
10j0 +1
≤ 1,
il che `e assurdo per la massimalit`a di l, h1 , h2 , . . . , hj0 +1 .
Dunque x • yI = 0.¯
9: in questo caso non possiamo dire che yI sia l’inverso di x, perch´e il
prodotto di x e yI non d`
a l’elemento neutro 1. Chiameremo yI lo pseudoinverso di x, che
esiste ed `e unico per come `e stato costruito.
• m ≤ −1
Passiamo allo pseudoopposto x
b = −(m + 1) u 0.b
k1 b
k2 . . . b
kn . . .
In questo caso costruiamo lo pseudoinverso uI di x
b e poniamo yI = u
bI .
x • yI = x
b • ybI = x
b • uI .
Osservazione 1.3.21. Perch´e abbiamo escluso 0 e −1 u 0.¯9 dai possibili valori di x? In realt`
a
scegliendo x = 0, l’insieme
L= n∈Nn·0≤1
coincide con N e pertanto non ha massimo. Allo stesso modo, prendendo x = −1 u 0.¯9 e passando
allo pseudoopposto si ritroverebbe x
b = 0, di cui - abbiamo appena osservato - non `e possibile
calcolare lo pseudoinverso.
1.4
Definizione di una relazione di equivalenza su A
Approfondiamo adesso il problema al quale avevamo accennato all’inizio: vogliamo stabilire una
relazione di equivalenza su A in modo tale da poter identificare fra loro scritture diverse ma
associate allo stesso numero.
Definizione 1.9. Siano x, y ∈ A; diciamo che x `e in relazione con y e scriviamo x ∼ y se, per ogni
p ∈ N,
1
|x(p) − y(p)| ≤ p .
(1.4.1)
10
Lemma 1.4.1. Dati x, y ∈ A, le due condizioni
1.
|x(p) − y(p)| ≤
1
.
10p
2.
lim |x(n) − y(n)| = 0.
n→∞
sono equivalenti.
19
Dimostrazione. Iniziamo da 1 −→ 2.
Sia ε ∈ Q, ε > 0. Allora esiste N ∈ N sufficientemente grande per il quale vale
1
< ε.
10N
Scegliendo n ≥ N abbiamo che
|x(n) − y(n)| ≤
1
1
≤ N < ε,
n
10
10
quindi vale 2.
Viceversa, mostriamo che 2 −→ 1.
Sia p ∈ N e siano
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
Fissiamo ε ∈ Q, ε > 0: allora esiste N ∈ N tale che
|x(n) − y(n)| < ε per ogni n ≥ N .
(1.4.2)
Sia n ≥ p.
|x(n) − y(n)|
n
n
X
X
kj − hj |kj − hj |
= x(p) − y(p) +
≥
|x(p)
−
y(p)|
−
≥
j
10
10j
j=p+1
j=p+1
≥
|x(p) − y(p)| −
∞
X
9
9
>
|x(p)
−
y(p)|
−
=
j
j
10
10
j=p+1
j=p+1
=
|x(p) − y(p)| −
1
.
10p
n
X
(1.4.3)
Dunque
1
per ogni n ≥ p.
10p
Se n ≥ max{N, p}, allora mettendo insieme (1.4.2) e (1.4.3) abbiamo
|x(p) − y(p)| < |x(n) − y(n)| +
|x(p) − y(p)| < ε +
1
.
10p
Per l’arbitrariet`
a di ε > 0 segue che
|x(p) − y(p)| ≤
1
.
10p
Poich´e questo vale per ogni p ∈ N, segue 1 ed abbiamo terminato.
Proposizione 1.4.2. ∼ `e una relazione di equivalenza su A.
` sufficiente mostrare che ∼ `e riflessiva, simmetrica e transitiva.
Dimostrazione. E
• Riflessivit`
a
` banale.
E
• Simmetria
Siano x, y ∈ A, con x ∼ y. Poich´e |x(n) − y(n)| = |y(n) − x(n)| per ogni n ∈ N, vale y ∼ x.
• Transitivit`
a
Siano x, y, z ∈ A, con x ∼ y e y ∼ z.
Allora
lim |x(n) − y(n)| = 0
e
n→∞
Sia ε ∈ Q, ε > 0; allora esistono n1,ε e n2,ε tali che
- |x(n) − y(n)| ≤
ε
2
per ogni n ≥ n1,ε ;
20
lim |y(n) − z(n)| = 0
n→∞
- |y(n) − z(n)| ≤
ε
2
per ogni n ≥ n2,ε .
Sia n0 = max{n1,ε , n2,ε }; allora per ogni n ≥ nε
|x(n) − z(n)| ≤ |x(n) − y(n)| + |y(n) − z(n)| ≤ ε.
Allora x ∼ z.
Segue per i tre punti precedenti che ∼ `e una relazione di equivalenza.
Proposizione 1.4.3. Siano x, y ∈ A. Allora x ∼ y se e solo se vale una delle seguenti condizioni
mutualmente esclusive:
1. x = y
2. esiste t ∈ N tale che
3. |x(j) − y(j)| =
1
10j
x(j) = y(j) per ogni j = 0, 1, 2, . . . , t − 1
|x(j) − y(j)| = 101j per ogni j ≥ t
per ogni j ∈ N
Dimostrazione. Se vale una delle tre condizioni, allora automaticamente la (1.4.1) `e verificata per
ogni p ∈ N.
Viceversa, sia x ∼ y.
Osserviamo che per il Lemma (1.2.10) la condizione (1.4.1) equivale a dire che
|x(p) − y(p)| =
1
10p
oppure
|x(p) − y(p)| = 0
(1.4.4)
e questo fatto `e compatibile con tutte e tre le condizioni. Abbiamo le seguenti possibilit`a:
• o |x(p) − y(p)| = 0 per ogni p ∈ N e si rientra nel caso 1;
• o esiste t ∈ N tale che
|x(p) − y(p)| = 0 per ogni p < t
|x(p) − y(p)| = 101p per ogni p ≥ t
e si rientra nel caso 2;
• o |x(p) − y(p)| =
1
10p
per ogni p ∈ N e si rientra nel caso 3.
Non `e possibile che esista t ∈ N tale che
|x(p) − y(p)| = 101p per ogni p < t
|x(p) − y(p)| = 0 per ogni p ≥ t
in quanto la Proposizione (1.2.9) ci assicura che una volta che x(p) < y(p) (oppure y(p) < x(p))
per qualche p ∈ N, allora x(n) < y(n) (rispettivamente y(n) < x(n)) per ogni n ≥ p.
Segue che non esistono altri casi possibili oltre ai tre elencati.
Proposizione 1.4.4. Siano x, y ∈ A,
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
e
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . . ;
dire che x ∼ y equivale a dire che
1. o x = y;
2. o m = l ed esiste p ∈ N tale che


 ki = hi per ogni i = 0, 1, . . . , p − 1

kp = hp + 1, hp 6= 9
(a)
ki = 0 per ogni i > p



hi = 9 per ogni i > p
21
oppure

hi = ki per ogni i = 0, 1, . . . , p − 1



hp = kp + 1, kp 6= 9
(b)
 hi = 0 per ogni i > p


ki = 9 per ogni i > p
3. o m = l + 1 e
ki = 0 per ogni i ∈ N∗
hi = 9 per ogni i ∈ N∗
hi = 0 per ogni i ∈ N∗
ki = 9 per ogni i ∈ N∗
4. o l = m + 1 e
Dimostrazione. Se vale una delle quattro condizioni sopra elencate, allora banalmente
|x(p) − y(p)| ≤
Viceversa, supponiamo che |x(p) − y(p)| ≤
ogni p ∈ N vale
1
|x(p) − y(p)| = p
10
1
10p
1
10p
per ogni p ∈ N.
per ogni p ∈ N. Allora per il Lemma (1.2.10), per
oppure
|x(p) − y(p)| = 0.
Se vale |x(p) − y(p)| = 0 per ogni p ∈ N, allora x = y e siamo nel caso 1.
Altrimenti esiste p ∈ N tale che
• |x(i) − y(i)| = 0 per ogni i < p;
• |x(i) − y(i)| =
1
10i
per ogni i ≥ p.
• Supponiamo che x(p) > y(p). Allora per la Proposizione (1.2.9) vale x(i) > y(i) per ogni
i ≥ p, per cui togliendo il valore assoluto abbiamo
x(i) = y(i) +
1
10i
per ogni i ≥ p.
In particolare, troviamo che kp = hp + 1 e hp 6= 9, altrimenti avremmo kp−1 = hp−1 + 1.
Sia ora i = p + 1.
1
Deve essere x(p + 1) = y(p + 1) + 10p+1
, da cui
x(p) +
Sostituendo x(p) = y(p) +
1
10p
y(p) +
hp+1
1
kp+1
= y(p) + p+1 + p+1 .
10p+1
10
10
ed eseguendo alcuni passaggi:
1
kp+1
+ p+1
10p
10
1
kp+1
+ p+1
10p
10
10 + kp+1
hp+1
=
hp+1
1
+ p+1
10p+1
10
hp+1
1
+ p+1
10p+1
10
hp+1 + 1
=
kp+1 + 9
=
=
y(p) +
L’unica possibilit`
a `e che hp+1 = 9 e kp+1 = 0, altrimenti cambierebbero le cifre che precedono
kp+1 .
Iterando il procedimento per i = p + 2, p + 3, . . . troviamo che ki = 0 e hi = 9 per ogni i > p.
A seconda che p > 0 o p = 0 si hanno rispettivamente i casi 2(a) e 3.
• Se x(p) < y(p), si dimostra con un procedimento analogo che, a seconda che p > 0 o p = 0,
si hanno rispettivamente i casi 2(b) e 4.
Dunque vale la tesi.
22
1.4.1
Propriet`
a della relazione di equivalenza ∼
Mostriamo alcune importanti propriet`a della relazione di equivalenza ∼. Chiamiamo A0 l’insieme
degli allineamenti decimali infiniti che non continuano con una sequenza infinita di 9:
A0 = A \ {x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . . | esiste p ≥ 1 tale che kj = 9 per ogni j ≥ p}.
Teorema 1.4.5 (Teorema di caratterizzazione degli elementi equivalenti). Ogni classe di equivalenza [x]∼ ∈ A/∼ contiene al pi`
u due elementi distinti, di cui uno ed uno soltanto appartenente a
A0 .
Dimostrazione. Siano dati tre elementi di A:
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
z = a u c1 c2 . . . cn . . .
e supponiamo per assurdo che siano tutti diversi fra loro. Vediamo i vari casi.
1. m = l − 1.
Allora
kj = 9 per ogni j ∈ N∗
hj = 0 per ogni j ∈ N∗
(a) a = l − 1.
cj = 9 per ogni j ∈ N∗
hj = 0 per ogni j ∈ N∗
Segue che m = a e kj = cj = 9 per ogni j ∈ N∗ , ossia x = z. Assurdo.
Allora
(b) a = l.
Abbiamo due casi.

cj = hj per ogni j = 1, 2, . . . , s − 1



cs = hs − 1, cs 6= 9
i. Esiste s ∈ N tale che
cj = 9 per ogni j > s



hj = 0 per ogni j > s
Segue che 9 6= cs = hs − 1 = 0 − 1 = 9, dove il predecessore in {0, 1, . . . , 9} `e inteso
in senso ciclico. Assurdo.

hj = cj per ogni j = 1, 2, . . . , s − 1



hs = cs − 1, hs 6= 9
ii. Esiste s ∈ N tale che
hj = 9 per ogni j > s



cj = 0 per ogni j > s
Assurdo, perch´e le condizioni hj = 9 per ogni j > s e hj = 0 per ogni j ∈ N∗ sono
incompatibili.
(c) a = l + 1.
In questo caso si avrebbe m = a − 2 e di conseguenza non varrebbe x ∼ z. Assurdo.
(d) a = m − 1.
Allora si avrebbe a = l − 2 e non varrebbe z ∼ y. Assurdo.
(e) a = m.
Allora deve essere a = l − 1 e ci riconduciamo al caso 1.(a).
(f) a = m + 1.
In questo caso a = l e ci si riconduce al caso 1.(b).
2. m = l.
Abbiamo due sottocasi.
(a) Esiste s ∈ N tale che

kj



ks
kj



hj
= hj per ogni j = 1, 2, . . . , s − 1
= hs − 1, ks 6= 9
= 9 per ogni j > s
= 0 per ogni j > s
i. a = l − 1.
cj = 9 per ogni j ∈ N∗
hj = 0 per ogni j ∈ N∗
Segue che 0 = hs = ks + 1 6= 9 + 1 = 0, dove il successore in {0, 1, . . . , 9} `e inteso in
senso ciclico. Assurdo.
Allora
23
ii. a = l.
Anche qui ci sono due possibilit`
 a.
 cj = hj per ogni j = 1, 2, . . . , t − 1


ct = ht − 1, ct 6= 9
A. Esiste t ∈ N tale che
 cj = 9 per ogni j > t


hj = 0 per ogni j > t
Mostriamo che necessariamente s = t; sia per assurdo s 6= t, ad esempio s < t.
Allora 9 6= ct = ht − 1 = 0 − 1 = 9, assurdo.
Lo stesso si sarebbe avuto ponendo t < s, quindi necessariamente s = t, da cui
x = z. Assurdo di nuovo.

hj = kj per ogni j = 1, 2, . . . , t − 1



ht = kt − 1, kt 6= 9
B. Esiste t ∈ N tale che
h

j = 9 per ogni j > t


kj = 0 per ogni j > t
`e simile al caso 2.(a).ii.A.
iii. a = l + 1.
hj = 9 per ogni j ∈ N∗
Allora
cj = 0 per ogni j ∈ N∗
Assurdo, perch´e le condizioni hj = 0 per ogni j > s e hj = 9 per ogni j ∈ N∗ sono
incompatibili.
iv. a = m − 1.
Allora a = l − 1 e ci riconduciamo al caso 2.(a).i.
v. a = m.
Allora a = l e ci riconduciamo al caso 2.(a).ii.
vi. a = m + 1.
Allora a = l + 1 e ci riconduciamo al caso 2.(a).iii.

hj = kj per ogni j = 1, 2, . . . , s − 1



hs = ks − 1, hs 6= 9
(b) Esiste s ∈ N tale che
hj = 9 per ogni j > s



kj = 0 per ogni j > s
Questo caso `e analogo al caso 2.(a), basta scambiare i ruoli di x e y.
3. m = l + 1.
Scambiando i ruoli di x e y ci si riconduce al caso 1.
Segue che almeno due fra x, y, z sono uguali. Inoltre, dati due elementi distinti ed equivalenti, uno
ed uno solo di essi sta in A0 .
Osservazione 1.4.6. Per definizione di ∼ vale
0 ∼ −1 u 0.¯9
1.4.2
1 ∼ 0.¯9.
e
Compatibilit`
a di ∼ rispetto alle operazioni in A
Adesso vorremmo far vedere che le operazioni di addizione e di moltiplicazione appena definite “si
comportano bene” rispetto alla relazione di equivalenza ∼; detto altrimenti, vogliamo provare che
somme e prodotti di elementi a due a due equivalenti sono ancora equivalenti.
Proposizione 1.4.7. Siano x, y ∈ A, con x ∼ y. Allora x
b ∼ yb.
Dimostrazione. Se x = y l’asserto `e banalmente vero.
Sia x 6= y. Allora esiste t ∈ N tale che
|x(p) − y(p)| =
1
10p
per ogni p ≥ t.
Per togliere il valore assoluto, supponiamo che y(t) < x(t); allora x(p) ≤ y(p) per ogni p ∈ N (se
fosse stato x(t) < y(t) bastava cambiare il segno).
x(p) − y(p) ≤
1
10p
24
per ogni p ∈ N.
Adesso, per il Lemma (1.3.11), per ogni p ∈ N vale
1
1
1
−b
x(p) − p − −b
y (p) − p ≤ p ,
10
10
10
da cui
yb(p) − x
b(p) ≤
1
.
10p
Segue la tesi.
+ y1 ∼ x2 +
+ y2 .
Teorema 1.4.8. Siano x1 , x2 , y1 , y2 ∈ A, con x1 ∼ x2 e y1 ∼ y2 . Allora x1 +
` sufficiente dimostrare che
Dimostrazione. E
+ y ∼ x2 +
+ y per ogni y ∈ A;
1. x1 +
+
+
2. x+
+ y1 ∼ x+
+ y2 per ogni x ∈ A.
Andiamo per ordine.
1. Sia y ∈ A; x1 ∼ x2 significa che
1
10p
|x1 (p) − x2 (p)| ≤
per ogni p ∈ N.
(1.4.5)
Se vale l’uguaglianza in (1.4.5) per ogni p ∈ N, allora x1 = x2 e segue banalmente che
+ y ∼ x2 +
+ y. Supponiamo allora che esista q ∈ N tale che
x1 +
1
10p
|x1 (p) − x2 (p)| =
per ogni p ≥ q.
A meno di scambiare gli indici possiamo supporre che sia
x1 (p) − x2 (p) =
1
10p
per ogni p ≥ q.
Allora per ogni p ≥ q abbiamo che
x1 (p) + y(p) = x2 (p) + y(p) +
1
.
10p
Sia adesso n ∈ N; esiste t ≥ n tale che per ogni i ≥ t
(x1 + y)(n) = (x1 (i) + y(i))(n)
+ y)(n) = (x2 (i) + y(i))(n)
(x2 +
Se scegliamo i ≥ q, allora
+ y)(n)
(x1 +
=
(x1 (i) + y(i))(n) =
(x2 + y)(n)
=
(x2 (i) + y(i))(n)
x2 (i) + y(i) +
1
10i
(n)
Ma
+ y)(n) − (x2 +
+ y)(n) =
(x1 +
1
1
x2 (i) + y(i) + i (n) − (x2 (i) + y(i))(n) ≤ n ,
10
10
+ y ∼ x2 +
+ y.
e poich´e questo vale per ogni n ∈ N, segue che x1 +
+ y1 ∼ x2 +
+ y1 .
In particolare x1 +
+ y1 ∼ x+
+ y2 per ogni x ∈ A, da cui segue in particolare che
2. Allo stesso modo si prova che x+
+
+
x2 y1 ∼ x2 y2 .
Dunque per la propriet`
a transitiva di ∼ abbiamo che x1 +
+ y1 ∼ x2 +
+ y2 .
Vale un risultato analogo per il prodotto.
25
Teorema 1.4.9. Siano x1 , x2 , y1 , y2 ∈ A, con x1 ∼ x2 e y1 ∼ y2 . Allora x1 • y1 ∼ x2 • y2 .
Dimostrazione. Proprio come abbiamo fatto per la somma, `e sufficiente dimostrare che
1. x1 • y ∼ x2 • y per ogni y ∈ A;
2. x • y1 ∼ x • y2 per ogni x ∈ A.
Vediamo le varie possibilit`
a.
1. Consideriamo il caso in cui le parti intere di x1 e x2 siano non negative.
• Sia y ∈ A con parte intera non negativa; x1 ∼ x2 significa che
|x1 (p) − x2 (p)| ≤
1
10p
per ogni p ∈ N.
(1.4.6)
Se vale l’uguaglianza in (1.4.6) per ogni p ∈ N, allora x1 = x2 e segue banalmente che
x1 • y ∼ x2 • y. Supponiamo allora che esista q ∈ N tale che
|x1 (p) − x2 (p)| =
1
10p
per ogni p ≥ q.
A meno di scambiare gli indici possiamo supporre che sia
x1 (p) − x2 (p) =
1
10p
per ogni p ≥ q.
Allora per ogni p ≥ q abbiamo che
1
y(p)
x1 (p) · y(p) = x2 (p) + p · y(p) = x2 (p) · y(p) +
.
10
10p
Sia adesso n ∈ N; esiste t ≥ n tale che per ogni i ≥ t
(x1 • y)(n) = (x1 (i) · y(i))(n)
(x2 • y)(n) = (x2 (i) · y(i))(n)
Se scegliamo i ≥ q, allora
(x1 • y)(n)
=
(x1 (i) · y(i))(n) =
(x2 • y)(n)
=
(x2 (i) · y(i))(n)
x2 (i) · y(i) +
y(i)
10i
(n)
o essere resa piccola a piacere, in
Per i sufficientemente grande la quantit`a y(i)
10i pu`
particolare pi`
u piccola di 101n . Allora per i grande,
1
y(i)
(n) − (x2 (i) · y(i))(n) ≤ n ,
(x1 • y)(n) − (x2 • y)(n) = x2 (i) · y(i) +
10i
10
e poich´e questo vale per ogni n ∈ N, segue che x1 • y ∼ x2 • y.
• Se y avesse avuto parte intera negativa, allora, passando allo pseudoopposto yb, avremmo
avuto
x1 • yb ∼ x2 • yb,
da cui x1 • y = x\
b ∼ x\
b = x2 • y.
1•y
2•y
Dunque x1 • y ∼ x2 • y per ogni y ∈ A.
Consideriamo adesso il caso in cui entrambi x1 e x2 abbiano parte intera negativa e passiamo
agli pseudoopposti x
b1 e x
b2 , per i quali vale x
b1 ∼ x
b2 per la Proposizione (1.4.7).
• Se y ∈ A ha parte intera non negativa, per ci`o che abbiamo appena dimostrato vale
x
b1 • y ∼ x
b2 • y,
\
\
da cui x1 • y = x
b
b
1•y ∼x
2 • y = x2 • y.
26
• Se y ∈ A ha parte intera negativa, allora
x1 • y = x
b1 • yb ∼ x
b2 • yb = x2 • y.
Rimane da esaminare il caso in cui x1 ha parte intera non negativa e x2 ha parte intera
negativa (o viceversa). Allora deve essere x1 = 0 e x2 = −1 u 0.¯9.
• Se y ∈ A ha parte intera non negativa, allora
b = −1 u 0.¯9 ∼ 0 = 0 • y = x1 • y.
x2 • y = (−1 u 0.¯9) • y = 0[
•y =0
• Se y ∈ A ha parte intera negativa, allora
x2 • y = (−1 u 0.¯9) • y = 0 • yb ∼ (−1 u 0.¯9) • yb = 0 • y = x1 • y.
Segue che x1 • y ∼ x2 • y per ogni y ∈ A ed in particolare x1 • y1 ∼ x2 • y1 .
2. Allo stesso modo si prova che x • y1 ∼ x • y2 per ogni x ∈ A, da cui segue in particolare che
x2 • y1 ∼ x2 • y2 .
Per transitivit`
a di ∼ vale x1 • y1 ∼ x2 • y2 .
[
+
Proposizione 1.4.10. Siano x, y ∈ A. Allora x+
+y ∼x
b+
+ yb.
Dimostrazione. Sia p ∈ N: per il Lemma (1.3.11) abbiamo che
[
+
+
(x+
+ y)(p) = −(x+
+ y)(p) −
1
.
10p
Adesso, esiste q ≥ p tale che per ogni i ≥ q
1
[
+
(x+
+ y)(p) = − x(i) + y(i) (p) − p = −
10
1
x(i) + y(i) (p) + p
10
(p).
Consideriamo adesso (b
x+
+ yb)(p). Esiste r ≥ p tale che per ogni i ≥ r
1
1
2
+ yb)(p) = x
(b
x+
b(i) + yb(i) (p) = −x(i) − i − y(i) − i (p) = − x(i) + y(i) + i (p).
10
10
10
Posto s = max{q, r}, abbiamo che per ogni i ≥ s
1
[
+
(x+
+ y)(p) = − x(i) + y(i) (p) + p (p)
10
2
+ yb)(p) = − x(i) + y(i) + i (p)
(b
x+
10
Osserviamo che
− x(i) + y(i) (p) + 1
+ x(i) + y(i) +
10p
2
1 = x(i) + y(i) − x(i) + y(i) (p) + i − p ≤
10
10
Per i > p abbiamo che
2
10i
<
1
10p ,
2 =
10i 1
2
1
2
+ i − p = i.
p
10
10
10
10
per cui
[
+
(x+
+ y)(p) − (b
x+
+ yb)(p) ≤
e poich´e ci`
o vale per ogni scelta di p, segue la tesi.
27
1
,
10p
1.4.3
Pseudoassociativit`
a delle operazioni in A
Propriet`
a pseudoassociativa dell’addizione
Si vuole provare una propriet`
a dell’addizione pi`
u debole della propriet`a associativa: ci accontentia+
+
+
+
mo di dimostrare che, dati x, y, z ∈ A, abbiamo che (x+
+ y)+
+ z ∼ x+
+ (y+
+ z). Chiameremo questa
propriet`
a pseudoassociativit`
a dell’addizione. Siano
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
z = a u 0.c1 c2 . . . cn . . .
Sia p ∈ N∗ . Allora esiste q ≥ p tale che
+ y)+
+ z (p) = (x+
+ y)(q) + z(q) (p)
(x+
+ (y + z) (p) = x(q) + (y + z)(q) (p)
x+
Esiste poi r ≥ q tale che
+
+
(x+
+ y)+
+ z (p)
h
i
x(r) + y(r) (q) + z(q) (p) =
 


r
X
ki + hi  
(q) (p)
= x(q) + y(q) + z(q) + 
10i
i=q+1
h
i
+
+ z) (p) = x(q) + y(r) + z(r) (q) (p) =
x+
+ (y +


 
r
X
h
+
c
i
i
 (q) (p)
= x(q) + y(q) + z(q) + 
i
10
i=q+1
=
Abbiamo varie possibilit`
a:


1
r
X
k
+
h
se c’`e stato un riporto sulla q-esima cifra
i
i
10q


Σ1 =
(q) =
i
0 altrimenti
10
i=q+1


1
r
X
h
+
c
se c’`e stato un riporto sulla q-esima cifra
i
i
10q

Σ2 =
(q) =
i
0
altrimenti
10
i=q+1
Vediamo tutti i casi possibili.
• Σ1 = Σ2 = 101q
+ + + (y + z) (p) = 0 ≤
Allora (x+
y)+ z (p) − x+
1
10p
• Σ1 = Σ2 = 0
+
+
+
Allora (x+
+ y)+
+ z (p) − x+
+ (y +
+ z) (p) = 0 ≤
1
10p
• Σ1 =
1
10q
e
Σ2 = 0
+
+
(x+
+ y)+
+ z (p)
=
=
+ (y + z) (p)
x+
=
=
1
x(q) + y(q) + z(q) + q (p) =
10


q
X
k
+
h
+
c
1
i
i
i
x(p) + y(p) + z(p) + 
+ q  (p)
i
10
10
i=p+1
x(q) + y(q) + z(q) (p) =


q
X
k
+
h
+
c
i
i
i
 (p)
x(p) + y(p) + z(p) + 
10i
i=p+1
Osserviamo che
a tra parentesi quadre,
una volta troncate, differiscono al pi`
u
le due quantit`
1
1
+
+
+
+ z) (p) = 0 ≤ 10p .
di 10p , perci`
o (x+
+ y)+
+ z (p) − x+
+ (y +
28
• Σ1 = 0 e Σ2 = 101q
Il caso `e molto simile al precedente.
+
+
+
+ z) (p) = 0 ≤
+ y)+
+ z (p) − x+
+ (y +
In ogni caso si ha che (x+
+ y)+
+ z ∼ x+
+ (y + z) per l’universalit`a di p.
Segue che (x+
1
10p .
Propriet`
a pseudoassociativa della moltiplicazione
Proprio come appena fatto per l’addizione, si vuole provare la pseudoassociativit`a della moltiplicazione, ossia: dati x, y, z ∈ A, dimostriamo che (x • y) • z ∼ x • (y • z). Iniziamo dal
caso
x = m u 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = l u 0.h1 h2 . . . hn . . .
z = a u 0.c1 c2 . . . cn . . .
con m, l, a ≥ 0.
Sia p ∈ N. Allora esiste q ≥ p tale che
(x • y) • z (p) = (x • y)(q) · z(q) (p).
Esiste poi r ≥ q tale che
h
i
h
i
(x • y) • z (p) = x(r) · y(r) (q) · z(q) (p) = x(r) · y(r) (q) · z(r) (p).
Sia u ∈ A l’allineamento decimale infinito definito dalla successione {x(n) · y(n) · z(n)}n∈N e
(supponendo che le prime p cifre decimali dei termini della successione rimangano costanti a partire
dall’indice r) confrontiamo le quantit`a
i
h
x(r) · y(r) (q) · z(r) (p)
e
x(r) · y(r) · z(r) (p).
Abbiamo
x(r) · y(r) · z(r) − x(r) · y(r) (q) · z(r) =
=
x(r) · y(r) − x(r) · y(r) (p) · z(r) ≤
≤
1
1
· z(r) < p
10q
10
per q abbastanza grande.
Di conseguenza
1
u(p) − (x • y) • z (p) ≤ p ,
10
e siccome questo vale per ogni scelta di p, segue che (x • y) • z ∼ u.
Con un ragionamento analogo si pu`o provare anche che x • (y • z) ∼ u.
Segue per la propriet`
a transitiva che (x • y) • z ∼ x • (y • z). Abbiamo in questo modo provato la
pseudoassociativit`
a della moltiplicazione nel caso speciale in cui i tre fattori abbiano parte intera
non negativa.
Vediamo cosa succede nel caso in cui esattamente uno dei fattori, diciamo x, abbia parte intera
negativa: passando allo pseudoopposto x
b, per ci`o che abbiamo appena provato,
(x\
• y) • z = ([
x • y) • z = (b
x • y) • z ∼ x
b • (y • z) = x •\
(y • z),
ossia
(x\
• y) • z ∼ x •\
(y • z).
Passando agli pseudoopposti da entrambe le parti, per la Proposizione (1.4.7)
(x • y) • z ∼ x • (y • z).
Nel caso in cui pi`
u di uno fra x, y, z avesse parte intera negativa il procedimento `e analogo.
Possiamo concludere che la moltiplicazione in A `e pseudoassociativa.
29
1.4.4
Pseudodistributivit`
a della somma rispetto al prodotto in A
Dimostriamo adesso una propriet`
a delle operazioni che abbiamo definito in A simile alla propriet`a
distributiva della somma rispetto al prodotto, ma leggermente pi`
u debole; non dimostreremo che
+ z) = (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z)
per ogni x, y, z ∈ A,
ma ci accontenteremo di far vedere che
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z)
per ogni x, y, z ∈ A.
Chiameremo questa propriet`
a pseudodistributivit`
a della somma rispetto al prodotto.
Prima di proseguire enunciamo un risultato utile per il nostro proposito.
Lemma 1.4.11. Siano x, y ∈ A con parte intera positiva, e sia p ∈ N. Allora esiste q ∈ N tale
che per ogni r, s ≥ q vale
x(r) • y(s) (p) = (x • y)(p).
Dimostrazione. Esiste q ∈ N tale che per ogni i ≥ q vale
(x • y)(p) = x(i) · y(i) (p).
Siano r, s ≥ q; allora, posto t = max{r, s}, abbiamo
(x • y)(p) = x(q) · y(q) (p) ≤ x(r) · y(s) (p) ≤ x(t) · y(t) (p) = (x • y)(p),
(1.4.7)
essendo t ≥ q.
L’unica possibilit`
a `e che le disuguaglianze in (1.4.7) siano in realt`a delle uguaglianze, e di conseguenza vale la tesi.
Teorema 1.4.12. Siano x, y, z ∈ A, con parti intere non negative. Allora
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z).
Dimostrazione. Facciamo vedere che per ogni p ∈ N vale
1
+ z) (p) − (x • y)+
+
+ (x • z) (p) ≤ p .
x • (y +
10
+ z) e (x • y)+
+
Consideriamo separatamente i due elementi x • (y +
+ (x • z).
+
• Iniziamo da (x • y)+
+ (x • z).
Sia p ∈ N: esiste q ≥ p tale che
+
+
(x • y)+
+ (x • z) (p) = (x • y)(q)+
+ (x • z)(q) (p),
ed esiste s ≥ q tale che
+
(x • y)+
+ (x • z) (p) = (x • y)(q) + (x • z)(q) (p) = x(s) · y(s) (q) + x(s) · z(s) (q) (p).
Confrontiamo le quantit`
a
x(s) · y(s) + x(s) · z(s) (p)
e
x(s) · y(s) (q) + x(s) · z(s) (q) (p)
supponendo che a partire dall’indice s le prime p cifre dei termini della successione definita
da {x(n) · y(n) + x(n) · z(n)}n∈N rimangano fissate. Abbiamo che
x(s) · y(s) + x(s) · z(s) − x(s) · y(s) (q) + x(s) · z(s) (q) =
= x(s) · y(s) − x(s) · y(s) (q) + x(s) · z(s) − x(s) · z(s) ≤
1
2
1
1
≤
+ q = q < p per q abbastanza grande.
q
10
10
10
10
30
Allora, posto u l’allineamento decimale infinito definito dalla successione
{x(n) · y(n) + x(n) · z(n)}n∈N ,
abbiamo che
1
+
u(p) − (x • y)+
+ (x • z) (p) ≤ p ,
10
e poich´e ci`
o vale per ogni p ∈ N, segue che
+ (x • z) ∼ u.
(x • y)+
+ z).
• Passiamo a x • (y +
Sia p ∈ N: esiste q ≥ p tale che
+ z) (p) = x(q) · (y +
+ z)(q) (p)
x • (y +
ed esiste r ≥ q tale che
+ z) (p)
x • (y +
=
=
+ z)(q) (p) = x(q) · y(r) + z(r) (q) (p) =
x(q) · (y +
x(r) · y(r) + z(r) (q) (p)
Confrontiamo le quantit`
a
x(r) · y(r) + z(r) (p)
e
x(r) · y(r) + z(r) (q) (p),
supponendo che a partire
dall’indice r le prime p cifre decimali dei termini della successione
{x(n) · y(n) + z(n) }n∈N rimangano fissate. Abbiamo che
x(r) · y(r) + z(r) − x(r) · y(r) + z(r) (q) =
1
= x(r) · y(r) + z(r) − y(r) + z(r) (q) ≤ x(r) · q ≤
10
1
<
per q sufficientemente grande.
10p
Allora
1
u(p) − x(r) · y(r) + z(r) (q) (p) ≤ p ,
10
e poich´e ci`
o vale per ogni p ∈ N, abbiamo
+ z) ∼ u.
x • (y +
+ (x • z).
Segue per la propriet`
a transitiva di ∼ che x • (y + z) ∼ (x • y)+
Possiamo estendere il Teorema (1.4.12) anche al caso in cui alcuni elementi abbiano parte intera
negativa.
• x, y, z hanno tutti parte intera negativa.
+ z) = x
+ z) ∼ x
+ zb) ∼ (b
+
+
x • (y +
b • (y[
+
b • (b
y+
x • yb)+
+ (b
x • zb) = (x • y)+
+ (x • z).
• x ha parte intera negativa, y, z hanno parte intera non negativa.
\
+ z) ∼ (b
+
+
+
x
b • (y +
x • y)+
+ (b
x • z) = ([
x • y)+
+ ([
x • z) ∼ (x • y)+
+ (x • z),
cio`e
\
+ z) ∼ (x • y)+
+
x
b • (y +
+ (x • z).
Allora per la Proposizione 1.4.7 passando agli pseudoopposti in entrambi i membri abbiamo
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z).
31
• x ha parte intera non negativa, y, z hanno parte intera negativa.
\
[
+ z) ∼ x • (b
+ zb) ∼ (x • yb)+
+
+
+
+
x • (y[
+
y+
+ (x • zb) = ([
x • y)+
+ (x+
+ z) ∼ (x • y)+
+ (x • z),
cio`e
\
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y[
+
+ (x • z).
Di nuovo, passando agli pseudoopposti ritroviamo
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z).
• x, z hanno parte intera non negativa, y ha parte intera negativa.
+ z ha parte intera non negativa.
– y+
+ x • yb ∼ x • (y + z + yb) ∼ x • (z + 0) = x • z.
x • (y + z)+
Abbiamo trovato che
+ z)+
+
x • (y +
+ x • yb ∼ x • z.
Aggiungiamo ad entrambi i membri x • y: otteniamo
+ z)+
+
+
+
x • (y +
+ (x • yb)+
+ (x • y) ∼ (x • z)+
+ (x • y).
+ (x • y) = ([
+ (x • y) ∼ 0, perci`o
Ma (x • yb)+
x • y)+
+ z) ∼ (x • z)+
+
x • (y +
+ (x • y).
+ z ha parte intera negativa.
– y+
+ z)+
+
+ z+
+ zb) ∼ x • (y +
+ 0) = x • y.
x • (y +
+ x • zb ∼ x • (y +
Abbiamo trovato che
+ z)+
+
x • (y +
+ x • zb ∼ x • y.
Aggiungiamo ad entrambi i membri x • z:
+ z)+
+
+
+
x • (y +
+ (x • zb)+
+ (x • z) ∼ (x • y)+
+ (x • z).
+
Come prima, (x • zb)+
+ (x • z) ∼ 0, e di conseguenza
+ z) ∼ (x • z)+
+
x • (y +
+ (x • y).
• x, y hanno parte intera non negativa, z ha parte intera negativa.
Il caso `e analogo al precedente.
• x, z hanno parte intera negativa, y ha parte intera non negativa.
+ z ha parte intera non negativa.
– y+
+ z)+
+
+ z+
+ zb) ∼ x • (y +
+ 0) = x • y.
x • (y +
+ x • zb ∼ x • (y +
Quindi
+ z)+
+
x • (y +
+ x • zb ∼ x • y.
Aggiungiamo x • z ad entrambi i membri:
+ z)+
+
+
+
x • (y +
+ (x • zb)+
+ (x • z) ∼ (x • y)+
+ (x • z).
Come prima segue la tesi.
+ z ha parte intera negativa.
– y+
In maniera analoga si trova
+ z) ∼ (x • z)+
+
x • (y +
+ (x • y).
• x, y hanno parte intera negativa, z ha parte intera non negativa.
Il caso `e analogo al precedente.
Abbiamo in definitiva provato il seguente teorema.
+ z) ∼ (x • y)+
+
Teorema 1.4.13. Per ogni x, y, z ∈ A, x • (y +
+ (x • z).
32
1.5
Definizione di uno pseudoordine su A
A questo punto del percorso vorremmo, se possibile, stabilire una relazione d’ordine sul nostro
insieme A degli allineamenti decimali infiniti; anche in questo caso l’ostacolo maggiore consiste
nel tener conto di quelle scritture che, pur essendo diverse, corrispondono ad uno stesso numero.
Dovremo, per questo motivo, indebolire la nostra richiesta ed accontentarci di stabilire una relazione
che sia riflessiva e transitiva, e che goda di una particolare propriet`a che - in qualche modo - giochi
il ruolo della propriet`
a antisimmetrica.
Iniziamo definendo una relazione ≺ su A nel modo seguente: per ogni x, y ∈ A
x≺y
se e solo se x y ed esiste m ∈ N tale che x(m) < y(m).
Lemma 1.5.1. ≺ `e una relazione transitiva.
Dimostrazione. Siano x, y, z ∈ A, con x ≺ y e y ≺ z.
Allora esistono m, n ∈ N tali che x(m) < y(m) e y(n) < z(n).
Inoltre x(i) < y(i) per ogni i ≥ m e y(i) < z(i) per ogni i ≥ n.
Posto p = max{m, n}, abbiamo x(p) < y(p) < z(p), da cui x(p) < z(p).
Inoltre z(p) − x(p) ≥ 102p , da cui x z.
Segue x ≺ z.
Lemma 1.5.2. Siano x, y ∈ A, con x y. Allora x ≺ y oppure y ≺ x.
Dimostrazione. Essendo x y, in particolare x 6= y, quindi esiste m ∈ N tale che x(m) 6= y(m).
Poich´e Q `e totalmente ordinato, o x(m) < y(m) oppure y(m) < x(m).
Segue che x ≺ y oppure y ≺ x.
Sfruttando la relazione ≺ definiamo una nuova relazione - su A: per ogni x, y ∈ A diciamo che
x-y
se e solo se x ≺ y oppure x ∼ y.
Lemma 1.5.3. Siano x, y ∈ A. Allora o x - y oppure y - x.
Dimostrazione. Se x y, allora per il Lemma (1.5.2) deve essere o x ≺ y o y ≺ x, e per definizione
di - vale la tesi.
Se x ∼ y, allora per definizione di - vale la tesi.
Proposizione 1.5.4. La relazione - `e riflessiva e transitiva.
Dimostrazione. La riflessivit`
a `e banale, in quanto x ∼ x e di conseguenza x - x.
Vediamo la transitivit`
a: siano x, y, z ∈ A, con x - y e y - z.
Se x = y oppure y = z, allora banalmente x - z. Siano allora x 6= y e y 6= z. Distinguiamo i vari
casi.
• x∼y ey∼z
Allora x ∼ z per transitivit`
a di ∼ e di conseguenza x - z.
• x≺y ey≺z
Per transitivit`
a di ≺ vale x ≺ z, da cui x - z.
• x∼y ey≺z
Non pu`
o essere x ∼ z, altrimenti per la simmetria e transitivit`a di ∼ si avrebbe y ∼ z.
Non pu`
o essere neppure z ≺ x, altrimenti per la transitivit`a di ≺ si avrebbe y ≺ x.
L’unica possibilit`
a `e che sia x ≺ z.
• x≺y ey∼z
Non pu`
o essere x ∼ z, altrimenti per la simmetria e transitivit`a di ∼ si avrebbe x ∼ y.
Non pu`
o essere neppure z ≺ x, altrimenti per la transitivit`a di ≺ si avrebbe z ≺ y.
L’unica possibilit`
a `e che sia x ≺ z.
In ogni caso segue la tesi.
33
1.5.1
Propriet`
a della relazione -
Osserviamo che - non `e una relazione d’ordine, in quanto viene a mancare la propriet`a antisimmetrica: consideriamo infatti i due elementi
x = 1 u 0.¯
0
y = 0.¯9.
e
Essendo x ∼ y deve essere necessariamente x - y e anche y - x. Tuttavia x 6= y.
La relazione - possiede, comunque, una propriet`a molto particolare che in qualche modo compensa
l’assenza della propriet`
a antisimmetrica.
Lemma 1.5.5. Siano x, y ∈ A, con x - y e y - x. Allora x ∼ y.
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che non sia x ∼ y.
Allora deve essere x ≺ y e y ≺ x, da cui seguirebbe x ≺ x, che `e assurdo.
Segue che x ∼ y.
Chiamiamo pseudoordine su A la relazione -.
Mostriamo adesso come la relazione - si comporta nei confronti delle operazioni di addizione e
moltiplicazione che abbiamo definito su A.
+ z - y + z per ogni z ∈ A.
Proposizione 1.5.6. Siano x, y ∈ A, con x - y. Allora x+
Dimostrazione. Esaminiamo i vari casi.
+ z ∼ y + z per ogni z ∈ A, da cui segue la tesi.
• Se x ∼ y, allora per Teorema (1.4.8) vale x+
• Se x y, deve comunque essere x ≺ y.
Abbiamo che esiste m ∈ N tale che x(m) < y(m) − 101m .
Inoltre, per ogni i ≥ m, vale x(i) < y(i) − 101 i .
Allora x(i) + z(i) < y(i) + z(i) − 101 i per ogni i ≥ m.
+
+
Non pu`
o essere x+
+ z ∼ y+
+ z; facciamo vedere che necessariamente x+
+ z ≺ y+
+ z.
+
+
Supponiamo, per assurdo, che sia y + z ≺ x+
+ z.
Allora esiste p ∈ N tale che (y +
+ z)(p) < (x+
+ z)(p).
+
+
+
Sia q ≥ p tale che (y + z)(p) = y(q) + z(q) (p) e (x+
+ z)(p)
= x(q) + z(q) (p).
Allora per ogni i ≥ q vale y(i) + z(i) (p) < x(i) + z(i) (p).
Segue y(i) + z(i) < x(i) + z(i) per ogni i ≥ p e questo `e assurdo.
Segue la tesi.
Proposizione 1.5.7. Siano x, y ∈ A, con 0 - x e 0 - y. Allora 0 - x • y.
Dimostrazione. Vediamo i vari casi.
• 0∼x
0 = 0 • y ∼ x • y, da cui 0 - x • y.
• 0∼y
0 = x • 0 ∼ x • y, da cui 0 - x • y.
• 0 ≺ x e 0 ≺ y.
Esistono m, n ∈ N tali che 0 < x(m) e 0 < y(n).
Inoltre, posto p = max{m, n}, abbiamo che
0 < x(i) · y(i)
per ogni i ≥ p.
Non pu`
o essere 0 ∼ x • y; allora deve essere o 0 ≺ x • y oppure x • y ≺ 0.
+
Se fosse x • y ≺ 0, allora esisterebbe p ∈ N tale che (x+
+ y)(p) < 0.
Ma ci`
o `e impossibile, in quanto x(i) · y(i) > 0 definitivamente.
Segue la tesi.
34
Capitolo 2
L’insieme dei numeri reali
2.1
Introduzione
What was a real number at the end of the 19th century? An intuitive, geometrical or
physical quantity, or a ratio of such quantities? An aggregate of things identical in
thought? A creation of the human mind? An arbitrary sign subjected to certain rules?
A purely logical concept? Nobody was able to decide this with certainty. Only one thing
was beyond doubt: There was no consensus of any kind.
[Hans Niels Jahnke, A History of Analysis]
Il primo matematico che si impegn`o per formulare una teoria assiomatica esauriente dell’insieme
dei numeri reali fu David Hilbert, che nel 1899 tenne una conferenza all’Universit`a di Gottinga sul
concetto di numero. L’idea di Hilbert era quella di formulare una nuova teoria dei numeri reali
che si ispirasse al metodo di indagine proprio della geometria euclidea, ossia: una volta postulata
l’esistenza di certi oggetti, si procedeva mediante una lista di assiomi a stabilire le relazioni fra
questi oggetti. A partire dagli assiomi si derivava in seguito tutta una serie di propriet`a di tali
oggetti grazie al metodo logico-deduttivo.
Hilbert era ben consapevole del fatto che tutto ci`o non era sufficiente per garantire la validit`
a
della sua teoria: occorreva anche mostrare la non contraddittoriet`a e la completezza degli assiomi
assunti; in altre parole, l’uso di tali assiomi non avrebbe mai dovuto portare a contraddizioni e
avrebbe dovuto essere sufficiente per dimostrare tutti i possibili teoremi.
2.2
Definizione assiomatica dei numeri reali
Definizione 2.1 (Insieme dei numeri reali). Si dice insieme dei numeri reali e si indica con il
simbolo R un insieme dotato di un’operazione di addizione +, di un’operazione di moltiplicazione
· e di una relazione d’ordine ≤ con le seguenti propriet`a:
• Assiomi di campo
– (ξ + η) + ζ = ξ + (η + ζ)
– ξ+η =η+ξ
per ogni ξ, η, ζ ∈ R (associativit`a dell’addizione);
per ogni ξ, η ∈ R (commutativit`a dell’addizione);
– esiste un elemento 0 ∈ R tale che ξ + 0 = ξ per ogni ξ ∈ R (esistenza di un elemento
neutro per l’addizione);
– per ogni ξ ∈ R esiste un elemento ξb ∈ R tale che ξ + ξb = 0 (esistenza di un opposto);
[si dimostra che l’opposto di un elemento ξ `e unico, e lo si denota con −ξ]
– (ξ · η) · ζ = ξ · (η · ζ)
– ξ·η =η·ξ
per ogni ξ, η, ζ ∈ R (associativit`a della moltiplicazione);
per ogni ξ, η ∈ R (commutativit`a della moltiplicazione);
– esiste un elemento 1 ∈ R tale che ξ · 1 = ξ per ogni ξ ∈ R (esistenza di un elemento
neutro per la moltiplicazione);
– per ogni ξ ∈ R∗ esiste un elemento ξI ∈ R tale che ξ · ξI = 1 (esistenza di un inverso);
[si dimostra che l’inverso di un elemento ξ 6= 0 `e unico, e lo si denota con ξ −1 ]
35
– ξ · (η + ζ) = ξ · η + ξ · ζ per ogni ξ, η, ζ ∈ R (distributivit`a della somma rispetto al
prodotto).
• Assiomi di ordinamento
– ξ ≤ η oppure η ≤ ξ per ogni ξ, η ∈ R (ordine totale);
– se ξ ≤ η, allora ξ + ζ ≤ η + ζ per ogni ζ ∈ R (compatibilit`a dell’ordine con la somma);
– se 0 ≤ ξ e 0 ≤ η, allora 0 ≤ ξ · η.
• Assioma di completezza
Ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette un minimo maggiorante.
Teorema 2.2.1. L’insieme R `e unico a meno di isomorfismi. Pi`
u precisamente, se un insieme
(F, ≤, +, ·, 0, 1) soddisfa tutti gli assiomi che definiscono l’insieme R, allora R ' F.
Pi`
u brevemente, si dice che R `e (a meno di isomorfismi), l’unico campo ordinato e completo.
2.3
Nuova definizione dell’insieme dei numeri reali
Definire l’insieme dei numeri reali significa fornire un modello di campo ordinato e completo; per
far ci`
o assumiamo come ipotesi l’esistenza dell’insieme dei numeri razionali, con le sue operazioni
di addizione e moltiplicazione, la nota relazione d’ordine e tutte le relative propriet`a.
Passiamo al quoziente di A modulo la relazione di equivalenza ∼ definita nel capitolo precedente:
n
o
A/∼ = [x]∼ x ∈ A .
Si tratta adesso di definire su A/∼ delle operazioni aritmetiche ed una relazione d’ordine che
soddisfino tutti gli assiomi precedentemente enunciati dei numeri reali.
2.3.1
Definizione di un’operazione di addizione in A/∼
Definiamo adesso una operazione, che chiameremo ancora addizione, in A/∼ :
+ : A/∼ × A/∼ −→
+
([x]∼ , [y]∼ ) 7−→
A/∼
+ y]∼
[x+
Poich´e stiamo definendo una operazione in un insieme quoziente, occorre innanzitutto mostrare
che tale definizione `e ben posta, ossia che il risultato non dipende dai rappresentanti delle classi
scelti. In pratica, se x ∼ x1 e y ∼ y1 , allora deve essere [x]∼ + [y]∼ = [x1 ]∼ + [y1 ]∼ .
Teorema 2.3.1. La somma tra classi di equivalenza di A non dipende dai rappresentanti scelti.
Dimostrazione. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ ; siano poi x1 , y1 ∈ A, x1 ∼ x e y1 ∼ y.
+
+ y1 , ossia [x+
+
+ y1 ]∼ .
Allora per il Teorema (1.4.8) vale x+
+ y ∼ x1 +
+ y]∼ = [x1 +
+ [y]∼ = [x+
+
+ y1 ]∼ = [x1 ]∼ +
+ [y1 ]∼ .
Dunque [x]∼ +
+ y]∼ = [x1 +
2.3.2
Propriet`
a dell’addizione in A/∼
Propriet`
a commutativa
Facciamo vedere che l’addizione `e commutativa. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ .
+
+ x. Allora
Per la propriet`
a commutativa dell’addizione in A vale x+
+ y = y+
+ [y]∼ = [x+
+
+ x]∼ = [y]∼ +
+ [x]∼ .
[x]∼ +
+ y]∼ = [y +
36
Propriet`
a associativa
Facciamo vedere che l’addizione `e associativa. Siano [x]∼ , [y]∼ , [z]∼ ∈ A/∼ .
Ricordiamo che in A vale la propriet`a pseudoassociativa dell’addizione, perci`o
+
+
+
+ z),
(x+
+ y)+
+ z ∼ x+
+ (y +
da cui, passando alle classi di equivalenza,
+
+
+
+ z)]∼ .
[(x+
+ y)+
+ z]∼ = [x+
+ (y +
Allora
+ [y]∼ +
+ [z]∼
[x]∼ +
+
+ [z]∼ = [(x+
+
+
[x+
+ y]∼ +
+ y)+
+ z]∼ =
+
+ z)]∼ = [x]∼ +
+ [y +
+ z]∼ =
= [x+
+ (y +
+ [y]∼ +
+ [z]∼ .
= [x]∼ +
=
Elemento neutro
Mostriamo che [0]∼ `e proprio l’elemento neutro che cerchiamo. Sia [x]∼ ∈ A/∼ .
+ 0]∼ = [x]∼ .
[x]∼ + [0]∼ = [x+
Opposto di un elemento
Sia [x]∼ ∈ A/∼ , e consideriamo la classe [b
x]∼ dello pseudoopposto di x.
+x
[x]∼ + [b
x]∼ = [x+
b] = [−1 u 0.¯9]∼ = [0]∼ .
Quindi [b
x]∼ `e un opposto di [x]∼ .
2.3.3
Definizione di un’operazione di moltiplicazione in A/∼
Definiamo adesso una operazione, che chiameremo ancora moltiplicazione, in A/∼ :
•:
A/∼ × A/∼ −→ A/∼
([x]∼ , [y]∼ ) 7−→ [x • y]∼
Di nuovo, occorre mostrare che tale definizione `e ben posta, ossia che il risultato non dipende dai
rappresentanti delle classi scelti: se x ∼ x1 e y ∼ y1 , allora deve essere [x]∼ • [y]∼ = [x1 ]∼ • [y1 ]∼ .
Teorema 2.3.2. Il prodotto fra classi di equivalenza di elementi di A non dipende dai rappresentanti scelti.
Dimostrazione. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ ; siano poi x1 , y1 , ∈ A, con x1 ∼ x e y1 ∼ y.
Allora per il Teorema (1.4.9) vale x • y ∼ x1 • y1 , ossia [x • y]∼ = [x1 • y1 ]∼ .
Dunque [x]∼ • [y]∼ = [x • y]∼ = [x1 • y1 ]∼ = [x1 ]∼ • [y1 ]∼ .
2.3.4
Propriet`
a della moltiplicazione in A/∼
Propriet`
a commutativa
Facciamo vedere che la moltiplicazione `e commutativa. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ .
Per la propriet`
a commutativa della moltiplicazione in A vale x • y = y • x. Allora
[x]∼ • [y]∼ = [x • y]∼ = [y • x]∼ = [y]∼ • [x]∼ .
37
Propriet`
a associativa
Facciamo vedere che la moltiplicazione `e associativa. Siano [x]∼ , [y]∼ , [z]∼ ∈ A/∼ .
Ricordiamo che in A vale la propriet`
a pseudoassociativa della moltiplicazione, perci`o
(x • y) • z ∼ x • (y • z),
da cui, passando alle classi di equivalenza,
[(x • y) • z]∼ = [x • (y • z)]∼ .
Allora
[x]∼ • [y]∼ • [z]∼
=
[x • y]∼ • [z]∼ = [(x • y) • z]∼ =
[x • (y • z)]∼ = [x]∼ • [y • z]∼ =
= [x]∼ • [y]∼ • [z]∼ .
=
Elemento neutro
Mostriamo che [1]∼ `e proprio l’elemento neutro che cerchiamo. Sia [x]∼ ∈ A/∼ .
[x]∼ • [1]∼ = [x • 1]∼ = [x]∼
Inverso di un elemento non nullo
Sia [x]∼ ∈ A/∼ , [x]∼ 6= [0]∼ ; allora abbiamo x 6= 0 e x 6= −1 u 0.¯9, quindi lo pseudoinverso di x `e
definito: sia esso yI . Vogliamo far vedere che [yI ]∼ `e un inverso di [x]∼ .
Abbiamo dimostrato che necessariamente accade che x • yI = 1 oppure x • yI = 0.¯9, perci`o
[x]∼ • [yI ]∼ = [1]∼ , come volevasi dimostrare.
2.3.5
Distributivit`
a della somma rispetto al prodotto in A/∼
Siano [x]∼ , [y]∼ , [z]∼ ∈ A/∼ . In A vale la pseudodistributivit`a della somma rispetto al prodotto,
perci`
o
+ z) ∼ (x • y)+
+
x • (y +
+ (x • z),
da cui, passando alle classi di equivalenza,
+ z)]∼ = [(x • y)+
+
[x • (y +
+ (x • z)]∼ .
Allora
[x]∼ • [y]∼ + [z]∼
+ (x • z)]∼ =
[x]∼ • [y + z]∼ = [x • (y + z)]∼ = [(x • y)+
= [x • y]∼ + [x • z]∼ = [x]∼ • [y]∼ + [x]∼ • [z]∼ ,
=
dunque vale la distributivit`
a della somma rispetto al prodotto.
2.3.6
Definizione di una relazione d’ordine su A/∼
Definiamo una relazione ≺ su A/∼ in questo modo:
[x]∼ ≺ [y]∼
se e solo se x ≺ y.
Ancora, dobbiamo assicurarci che la definizione di ≺ sia ben posta: date due classi di equivalenza
[x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ , se [x]∼ ≺ [y]∼ , allora deve valere [x1 ]∼ ≺ [y1 ]∼ ogni volta che x1 ∼ x e y1 ∼ y.
Proposizione 2.3.3. Siano x, x1 , y, y1 ∈ A, con x1 ∼ x e y1 ∼ y. Allora [x]∼ ≺ [y]∼ se e solo se
[x1 ]∼ ≺ [y1 ]∼ .
38
` sufficiente mostrare che x ≺ y se e solo se x1 ≺ y1 .
Dimostrazione. E
Iniziamo da x ≺ y.
Il caso x = x1 e y = y1 `e banale.
Assumiamo allora che x 6= x1 o y 6= y1 . Vediamo i vari casi.
• x = x1 e y 6= y1
Non pu`
o essere x ∼ y1 , altrimenti avremmo x ∼ y. Supponiamo per assurdo che sia y1 ≺ x.
Allora per transitivit`
a di ≺ abbiamo y1 ≺ y, che `e assurdo.
Segue x1 = x ≺ y1 .
• x 6= x1 e y = y1
Non pu`
o essere x1 ∼ y, altrimenti avremmo x ∼ y. Supponiamo per assurdo che sia y ≺ x1 .
Allora per transitivit`
a di ≺ abbiamo x ≺ x1 , che `e assurdo.
Segue x1 ≺ y = y1 .
• x 6= x1 e y 6= y1
– x, y ∈ A0
Esiste p ∈ N tale che y(i) − x(i) ≥
y1 (i) − x1 (i)
2
10i
per ogni i ≥ p.
= y1 (i) − y(i) + y(i) − x(i) + x(i) − x1 (i) =
1
2
1
= − i + y(i) − x(i) + i = y(i) − x(i) ≥ i
10
10
10
– x, y ∈
/ A0
Come prima, esiste p ∈ N tale che y(i) − x(i) ≥
y1 (i) − x1 (i)
2
10i
per ogni i ≥ p.
= y1 (i) − y(i) + y(i) − x(i) + x(i) − x1 (i) =
1
2
1
+ y(i) − x(i) − i = y(i) − x(i) ≥ i
=
i
10
10
10
– x ∈ A0 e y ∈
/ A0
Esiste p ∈ N tale che y(i) − x(i) ≥
y1 (p) − x1 (p)
2
10i
per ogni i ≥ p.
per ogni i ≥ p.
per ogni i ≥ p.
y1 (p) − y(p) + y(p) − x(p) + x(p) − x1 (p) =
1
1
2
=
+ y(p) − x(p) + p ≥ p per ogni i ≥ p.
10p
10
10
=
– x∈
/ A0 e y ∈ A0
y(p) − y1 (p) ≤
x1 (p) − x(p) ≤
1
10p
1
10p
per ogni p ∈ N. Confrontiamo x1 e y1 : non pu`o essere x1 (p) = y1 (p) per ogni p ∈ N,
altrimenti avremmo x1 ∼ y1 , da cui per propriet`a transitiva x ∼ y.
Allora esiste q ∈ N tale che x1 (q) 6= y1 (q).
Se fosse y1 (q) < x1 (q), allora
y(q) − y1 (q)
=
=
y(q) − x1 (q) + x1 (q) − y1 (q) ≥
1
1
2
+ q ≥ q.
q
10
10
10
Assurdo, perci`
o x1 (q) < y1 (q) e per la Proposizione (1.2.9) x1 (i) < y1 (i) per ogni i ≥ q.
In ognuno dei casi esaminati vale x1 ≺ y1 .
Allo stesso modo si prova il viceversa.
Adesso definiamo un’ultima relazione su A/∼ , ponendo
[x]∼ [y]∼
se e solo se
[x]∼ ≺ [y]∼
39
oppure
[x]∼ = [y]∼ .
Osservazione 2.3.4. Per ogni [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ abbiamo che [x]∼ [y]∼ se e solo se x - y.
Proposizione 2.3.5. `e una relazione d’ordine su A/∼ .
Dimostrazione. Dimostriamo che `e riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
• Riflessivit`
a
Sia [x]∼ ∈ A/∼ . Adesso, x - x, perch´e - `e riflessiva in A.
Segue [x]∼ [x]∼ .
• Antisimmetria
Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ , con [x]∼ [y]∼ e [y]∼ [x]∼ .
Vale quindi x - y e y - x, da cui segue x ∼ y per il Lemma (1.5.5).
Allora [x]∼ = [y]∼ .
• Transitivit`
a
Siano [x]∼ , [y]∼ , [z]∼ ∈ A/∼ , con [x]∼ [y]∼ e [y]∼ [z]∼ .
Abbiamo pi`
u casi possibili.
– [x]∼ = [y]∼
Allora abbiamo direttamente [x]∼ [z]∼ .
– [y]∼ = [z]∼
Anche in questo caso vale [x]∼ [z]∼ .
– [x]∼ 6= [y]∼ e [y]∼ 6= [z]∼
In ogni caso vale x - y e y - z.
Per la transitivit`
a di - in A deve essere x - z, da cui [x]∼ [z]∼ .
Per i tre punti precedenti `e una relazione d’ordine su A/∼ .
2.3.7
Propriet`
a della relazione d’ordine Proposizione 2.3.6. `e una relazione d’ordine totale su A/∼ .
Dimostrazione. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ : allora, per la Proposizione (1.5.6), deve essere x - y
oppure y - x, ossia
[x]∼ [y]∼
oppure
[y]∼ [x]∼ .
Segue la tesi.
Proposizione 2.3.7. La relazione d’ordine `e compatibile rispetto alla somma in A/∼ .
Dimostrazione. Siano [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ , con [x]∼ [y]∼ , e sia [z]∼ ∈ A/∼ .
+ z - y+
+ z,
Allora x - y: poich´e in A vale la compatibilit`a rispetto alla somma, abbiamo che x +
+
+ z]∼ .
da cui [x+
+ z]∼ [y +
+ [z]∼ = [x+
+
+ z]∼ = [y]∼ +
+ [z]∼ .
[x]∼ +
+ z]∼ [y +
Segue la tesi.
Proposizione 2.3.8. Siano dati [x]∼ , [y]∼ ∈ A/∼ , con [0]∼ [x]∼ e [0]∼ [y]∼ . Allora
[0]∼ [x]∼ • [y]∼ .
Dimostrazione. Per ipotesi 0 - x e 0 - y, e per la Proposizione (1.5.7) vale 0 - x • y.
Ma questo significa che
[0]∼ [x • y]∼ = [x]∼ • [y]∼ .
Segue la tesi.
40
2.3.8
Propriet`
a di completezza di A/∼
Teorema 2.3.9. A/∼ `e completo, ovvero ogni sottoinsieme di A non vuoto e superiormente
limitato ammette un minimo maggiorante.
Dimostrazione. Sia dato un sottoinsieme S di A/∼ non vuoto e superiormente limitato: esiste un
elemento [u]∼ ∈ A/∼ tale che [x]∼ [u]∼ per ogni [x]∼ ∈ A/∼ .
Per convenzione decidiamo di scegliere come rappresentante di ogni classe l’elemento appartenente
all’insieme A0 , che esiste sempre ed `e unico per il Teorema (1.4.5). Abbiamo due possibilit`a.
• Esiste un elemento [x]∼ ∈ S tale che [x]∼ = [u]∼ .
[x]∼ `e il minimo dei maggioranti di S, perch´e se esistesse un maggiorante di S pi`
u piccolo di
[u]∼ , allora esso sarebbe anche pi`
u piccolo di [x]∼ e si avrebbe un assurdo.
• Per ogni [x]∼ ∈ A/∼ vale [x]∼ [u]∼ , con x 6= u.
In questo caso possiamo costruire un elemento [y]∼ ∈ A/∼ in modo tale che sia un maggiorante di S ed in particolare il pi`
u piccolo dei maggioranti.
Sia p ∈ N e consideriamo l’insieme
Up = z(p) [z]∼ ∈ A/∼ , x(p) ≤ z(p) ≤ u(p) per ogni [x]∼ ∈ S .
Poich´e i numeri con p cifre decimali minori o uguali di u(p) e maggiori o uguali di un qualunque
x(p) sono soltanto un numero finito, Up `e un insieme finito di numeri razionali: esso perci`
o
ammette minimo, che chiamiamo mp .
Sia [yp ]∼ un elemento di A/∼ tale che
yp (p) = mp .
Passiamo adesso a Up+1 ; come prima, Up+1 ammette minimo, che chiamiamo mp+1 .
Sia [yp+1 ]∼ un elemento di A/∼ tale che
yp+1 (p + 1) = mp+1 .
Vogliamo mostrare che yp+1 (p) = yp (p). Supponiamo per assurdo che yp+1 (p) 6= yp (p).
– yp+1 (p) < yp (p)
Adesso, per costruzione x(p + 1) ≤ yp+1 (p + 1) per ogni [x]∼ ∈ S.
Per la Proposizione (1.2.9) deve essere x(p) ≤ yp+1 (p) per ogni [x]∼ ∈ S.
In particolare segue che x(p) ≤ yp+1 (p) < yp (p) ≤ u(p) per ogni [x]∼ ∈ S.
Ma allora mp non `e il minimo di Up , il che `e assurdo.
– yp (p) < yp+1 (p)
Sia [¯
y ]∼ ∈ A/∼ tale che
y¯(p + 1) = yp (p) +
9
.
10p+1
Essendo yp (p) + 101p ≤ yp+1 (p), vale y¯(p + 1) < yp+1 (p + 1).
Ma per costruzione x(p) ≤ yp (p) per ogni [x]∼ ∈ S, perci`o x(p + 1) ≤ y¯(p + 1) per ogni
[x]∼ ∈ S.
Abbiamo allora x(p + 1) ≤ y¯(p + 1) < yp+1 (p + 1) ≤ u(p + 1) per ogni [x]∼ ∈ S.
Questo significa che mp+1 non `e il minimo di Up+1 , assurdo.
Segue che yp+1 (p) = yp (p).
Definiamo allora l’allineamento decimale y ∈ A in questo modo:
y(p) = yp (p)
per ogni p ∈ N.
Per come l’abbiamo costruito, non pu`o esistere [x]∼ ∈ S tale che y ≺ x; allora o esiste
[x]∼ ∈ S tale che x ∼ y oppure x ≺ y per ogni [x]∼ ∈ S.
In ogni caso [x]∼ [y]∼ per ogni [x]∼ ∈ S, perci`o [y]∼ `e un maggiorante di S.
Assumiamo adesso che y ∈ A0 , altrimenti scegliamo il rappresentante di [y]∼ appartenente a
A0 e chiamiamolo con abuso di notazione y.
41
Supponiamo per assurdo che esista un maggiorante [¯
y ]∼ di S tale che [¯
y ]∼ [y]∼ e [¯
y ]∼ 6= [y]∼ .
Allora esiste q ∈ N tale che y¯(q) < y(q); ma per la minimalit`a di y(q) deve esistere un elemento
[x]∼ ∈ S tale che y¯(q) < x(q) e di conseguenza [¯
y ]∼ [x]∼ , con [¯
y ]∼ 6= [x]∼ .
Assurdo, quindi [y]∼ `e il minimo dei maggioranti.
Segue la tesi.
2.4
Conclusioni
Riassumiamo tutto ci`
o che abbiamo fatto fino a questo momento: sull’insieme
o
n
A/∼ = [x]∼ x ∈ A
+, un’operazione di moltiplicazione • ed una relazione
abbiamo definito un’operazione di addizione +
d’ordine , in virt`
u delle quali tutti gli assiomi dei numeri reali sono soddisfatti. Possiamo quindi
+
concludere che l’insieme (A/∼ , ,+
+, •, [0]∼ , [1]∼ ) `e un modello dell’insieme R dei numeri reali.
42
Capitolo 3
Alcune propriet`
a delle
rappresentazioni decimali
3.1
Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo mostrato che l’insieme A/∼ , dove A `e l’insieme di tutti gli allineamenti decimali infiniti e ∼ `e un’opportuna relazione di equivalenza, costituisce un modello
dei numeri reali. La relazione di equivalenza ∼ ci permette di identificare due scritture come, ad
esempio, 1 e 0.¯
9, e pi`
u in generale, ogni coppia di allineamenti decimali le successioni delle cui
troncate si avvicinano in maniera arbitraria, pur essendo formalmente diverse.
Questo ci autorizza - ed `e ci`
o che avviene a livello pratico - a scegliere, ogniqualvolta vi siano
due rappresentazioni equivalenti dello stesso elemento ξ ∈ A/∼ , quella che non continua con una
sequenza infinita di 9 (opzione standard), ossia il rappresentante della classe ξ appartenente all’insieme A0 .
Ci`
o che ci apprestiamo a fare `e mostrare un procedimento iterativo mediante il quale `e possibile
scrivere un numero reale in una forma particolare che ci torner`a utile in seguito per dimostrare
importanti risultati.
3.2
Espressione di un numero reale in base 10
Teorema 3.2.1. Ogni numero reale positivo ξ pu`
o essere espresso come allineamento decimale
A1 A2 . . . As+1 .a1 a2 . . . an . . . ,
(3.2.1)
dove
• 0 ≤ Aj < 10 per ogni j ∈ {1, 2, . . . , s + 1};
• 0 ≤ an < 10 per ogni n ∈ N∗ ;
• gli Aj e gli an non sono tutti nulli;
• esistono infiniti an diversi da 9.
Se ξ ≥ 1, allora A1 > 0. Esiste inoltre una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri reali
e l’insieme degli allineamenti decimali del tipo suddetto.
Dimostrazione. Illustriamo un procedimento, noto in aritmetica elementare, per associare ad ogni
numero reale positivo ξ un allineamento decimale. Sia
ξ = [ξ] + x = X + x,
essendo X un intero non negativo e 0 ≤ x < 1, e consideriamo separatamente X e x.
43
• Iniziamo da X: se X = 0 basta porre s = 0 e A1 = 0 e possiamo passare direttamente a
x. Se invece X > 0, allora esiste s ∈ N tale che 10s ≤ X < 10s+1 . Eseguiamo la divisione
euclidea di X per 10s :
X = A1 · 10s + X1 ,
dove A1 `e il quoziente e X1 `e il resto della divisione, soddisfacenti alle condizioni
1 ≤ A1 = [10−s X] < 10
e
0 ≤ X1 < 10s .
In modo simile
X1
X2
=
=
..
.
A2 · 10s−1 + X2 , con
A3 · 10s−2 + X3 , con
0 ≤ A2 < 10
0 ≤ A3 < 10
e
e
0 ≤ X2 < 10s−1
0 ≤ X3 < 10s−2
Xs−1
Xs
=
=
As · 10 + Xs ,
As+1 ,
0 ≤ As < 10
0 ≤ As+1 < 10
e
0 ≤ Xs < 10
con
con
Quindi X pu`
o essere espresso in modo unico - per l’unicit`a di quoziente e resto della divisione
euclidea - nella forma
X = A1 · 10s + A2 · 10s−1 + . . . + As · 10 + As+1 ,
(3.2.2)
con Aj ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} per j = 1, 2, . . . , s + 1 e A1 6= 0. Al posto di (3.2.2) scriviamo in
maniera pi`
u compatta
X = A1 A2 . . . As As+1 .
(3.2.3)
La (3.2.3) non `e altro che l’ordinaria rappresentazione di X in base 10.
• Passiamo adesso a x. Si ponga x = f1 , ricordando che 0 ≤ f1 < 1.
Sia a1 = [10f1 ]: allora
a1 + 1
a1
≤ f1 <
,
10
10
con
a1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}.
Adesso, 10f1 = a1 + f2 , con 0 ≤ f2 < 1.
Definiamo allora in modo simile a2 , a3 , . . . , an , . . .:
a2
a3
= [10f2 ],
= [10f3 ],
..
.
10f2 = a2 + f3
10f3 = a3 + f4
e 0 ≤ f3 < 1
e 0 ≤ f4 < 1
an
=
..
.
10fn = an + fn+1
e
[10fn ],
0 ≤ fn+1 < 1
Ogni an `e un elemento di {0, 1, 2, . . . , 9}. Allora si pu`o scrivere
essendo
xn =
x = xn + gn+1 ,
(3.2.4)
a1
a2
an
+ 2 + ··· + n
10 10
10
(3.2.5)
e
fn+1
1
< n.
n
10
10
Definiamo cos`ı la parte decimale 0.a1 a2 . . . an . . . associata a x.
Essendo an < 10 per ogni n ∈ N∗ , la serie
0 ≤ gn+1 =
∞
X
an
n
10
n=1
`e convergente; e dal momento che
lim gn = 0,
n→∞
44
(3.2.6)
(3.2.7)
la serie (3.2.7) converge a x. Possiamo allora scrivere
x = 0.a1 a2 . . . an . . .
Facciamo vedere che nella sequenza 0.a1 a2 . . . an . . . ci sono necessariamente infiniti termini
diversi da 9.
Poich´e
an+1
an+2
1
gn+1 = n+1 + n+2 + · · · < n
10
10
10
e
∞
X
1
9
= n,
i
10
10
i=n+1
non `e possibile che da un certo indice in poi si abbia an = 9.
Riassumendo ci`
o che abbiamo fatto fino ad ora, abbiamo associato - in maniera unica - ad ogni
numero reale ξ > 0 un allineamento decimale infinito della forma (3.2.1).
Adesso vogliamo mostrare che ogni mantissa di un allineamento decimale 0.a1 a2 . . . an . . . in cui
infiniti an sono diversi da 9 proviene da un qualche x.
` sufficiente definire x come la somma della serie (3.2.7), xn come in (3.2.5) e gn+1 come in (3.2.4).
E
Allora
n
∞
∞
X
X
X
1
ai
ai
ai
−
=
< n per ogni n ∈ N∗
gn+1 = x − xn =
i
i
i
10
10
10
10
i=1
i=n+1
i=1
e quindi x restituisce la sequenza richiesta.
Infine resta da dimostrare che a differenti numeri reali corrispondono allineamenti decimali differenti.
Supponiamo che
∞
∞
X
X
an
bn
=
,
(3.2.8)
n
10
10n
n=1
n=1
dove i bn e gli an soddisfano alle condizioni stabilite, e facciamo vedere che an = bn per ogni n ∈ N∗ .
Se per assurdo cos`ı non fosse, sia N ∈ N∗ il primo indice per il quale an 6= bn .
Allora |aN − bN | ≥ 1. Segue
∞
∞
N
N
∞
∞
X
X
X
X
X
X
an
bn an
bn
an
bn −
−
+
−
= ≥
10n n=1 10n 10n n=1 10n
10n
10n n=1
n=1
n=N +1
n=N +1
N
N
∞
∞
X
X
X
an
bn X an
bn ≥ −
−
−
≥
10n n=1 10n 10n
10n n=1
n=N +1
n=N +1
∞
∞
X
X
1
1
an − bn |an − bn |
≥
−
≥
−
≥
N
n
N
10
10
10
10n
≥
1
−
10N
n=N +1
∞
X
n=N +1
n=N +1
9
= 0.
10n
(3.2.9)
Se la (3.2.9) non fosse un’uguaglianza, allora sarebbe in contraddizione con (3.2.8). Di conseguenza
∞
X
1
|an − bn |
−
= 0.
10N
10n
n=N +1
Se c’`e uguaglianza, allora tutti i termini
aN +1 − bN +1 ,
aN +2 − bN +2 ,
...
devono avere lo stesso segno e valore assoluto 9. Le uniche possibilit`a sono
aN +1 = aN +2 = . . . = 9
aN +1 = aN +2 = . . . = 0
oppure
bN +1 = bN +2 = . . . = 0
bN +1 = bN +2 = . . . = 9
casi esclusi a priori.
Allora an = bn per ogni n ∈ N∗ .
45
Osservazione 3.2.2. Cosa accade se ad un certo punto si trova fn+1 = 0 per qualche n? Questo
significa che 10n x `e un intero, e che an+1 = an+2 = . . . = 0: in tal caso si pu`o anche dire che la
sequenza decimale `e finita e si omette di scrivere la sequenza infinita di zeri.
Da adesso in poi supporremo che 0 ≤ ξ < 1, in modo tale che X = 0 e ξ = x. In questo caso tutti
gli Aj sono nulli.
3.2.1
Numeri decimali periodici
Dato un numero decimale, pu`
o accadere che una o pi`
u delle sue cifre decimali si ripetano indefinitamente nello stesso ordine da una certa posizione in poi.
Definizione 3.1. Un numero decimale si dice periodico se esiste una sequenza finita di cifre
decimali che si ripete indefinitamente.
Sia dato allora un decimale periodico 0.a1 a2 . . . an . . .; x si dice
• puro se il periodo inizia dalla prima cifra decimale, cio`e a1 . Se a1 , a2 , . . . , aλ sono le cifre che
si ripetono, allora si usa scrivere 0.a1 a2 . . . aλ ed il blocco a1 a2 . . . aλ si dice periodo;
• misto se il periodo `e preceduto da una o pi`
u cifre che non si ripetono. Se le prime µ cifre
non si ripetono ed il blocco di cifre che si ripetono `e formato dalle successive ν cifre, allora si
scrive 0.a1 a2 . . . aµ aµ+1 aµ+2 . . . aµ+ν . Il blocco a1 a2 . . . aµ si dice antiperiodo.
Vorremmo adesso determinare le condizioni per la periodicit`a di un numero decimale in base 10.
Teorema 3.2.3. Dato un numero razionale x = pq , 0 < x < 1, con (p, q) = 1, il numero decimale
0.a1 a2 . . . an . . . associato a x `e necessariamente periodico; viceversa ogni numero decimale periodico
proviene da un numero razionale. Pi`
u precisamente:
1. q = 2α 5β se e solo se x = 0.a1 a2 . . . aµ ¯0, con aµ 6= 0, essendo µ = max{α, β};
2. q = 2α 5β Q, Q > 1 e (Q, 10) = 1 se e solo se x = 0.a1 a2 . . . aµ aµ+1 aµ+2 . . . aµ+ν , essendo
µ = max{α, β} e ν l’ordine di 10 modulo Q (vedere Definizione (A.4)).
Dimostrazione. Iniziamo considerando
x=
p
p
= α β.
q
2 5
Osserviamo che
10n x = 10n ·
p
2α 5β
=
10n
· p.
2α 5β
Poniamo poi µ = max{α, β}.
10n x `e un numero intero per n = µ e non lo `e per ogni valore di n strettamente minore di µ:
dunque x `e della forma x = a1 a2 . . . aµ ¯
0, con aµ 6= 0, e si rientra nel caso 1.
Viceversa, sia x = 0.a1 a2 . . . aµ ¯
0: allora x pu`
o essere scritto in forma frazionaria come
x=
a1
a2
aµ
P
p
+ 2 + ··· + µ = µ = ,
10 10
10
10
q
dove q possiede soltanto i fattori primi 2 e 5.
Adesso studiamo il caso 2 nella particolare ipotesi α = β = 0, ovvero µ = 0.
x=
p
,
q
(q, 10) = 1
Per il Teorema (A.1.5) l’ordine ν di q modulo 10 `e un divisore di φ(q) e vale
10ν ≡ 1
mod q.
Allora per qualche m ∈ Z
10ν x =
10ν p
(mq + 1) · p
p
=
= mp + = mp + x,
q
q
q
46
(3.2.10)
Ma per (3.2.4)
10ν x = 10ν · (xν + gν+1 ) = 10ν xν + fν+1 .
(3.2.11)
Confrontando (3.2.10) e (3.2.11), essendo 0 < x < 1, deve essere fν+1 = x ed il processo con il quale
il decimale `e stato costruito si ripete da fν+1 in poi. Di conseguenza x `e un decimale periodico
puro con un periodo di al pi`
u ν cifre. Sia λ ≤ ν e supponiamo che x sia della forma 0.a1 a2 . . . aλ :
allora
a
aλ 1
1
p
a2
1
= 0.a1 a2 . . . aλ =
+ 2 + · · · + λ · 1 + λ + 2λ + . . . =
q
10 10
10
10
10
a
a
1
a
1
λ
2
=
=
+ ··· + λ ·
+
10 102
10
1 − 101λ
a
aλ 10λ
a2
10λ−1 a1 + 10λ−2 a2 + . . . + aλ
1
=
+ 2 + ··· + λ · λ
=
,
(3.2.12)
10 10
10
10 − 1
10λ − 1
quando `e ridotto ai minimi termini.
Osserviamo che q | 10λ − 1, o in altre parole
10λ ≡ 1
(mod q),
Ma ν `e il minimo valore per il quale ci`o accade, e quindi λ ≥ ν per definizione di ν.
Allora x `e un decimale periodico puro con un periodo di ν cifre, e si rientra nel caso 2 con α = β = 0,
ossia µ = 0.
Vale anche il viceversa, come abbiamo dimostrato nella (3.2.12).
Vediamo il caso pi`
u generale
x=
p
p
= α β ,
q
2 5 Q
Q > 1,
(Q, 10) = 1
Sia µ = max{α, β} e sia ν l’ordine di 10 modulo Q. Allora
10µ x = 10µ ·
p
2α 5β Q
=
p0
P
=X+ ,
Q
Q
con p0 , X e P interi tali che
0 ≤ X < 10µ ,
0 < P < Q,
(P, Q) = 1
Se X > 0, allora 10s ≤ X < 10s+1 per qualche s < µ, e X = A1 A2 . . . As+1 ; il decimale associato
P
a Q
, come precedentemente dimostrato, `e periodico puro ed ha un periodo di ν cifre. Quindi
10µ x = A1 A2 . . . As+1 .a1 a2 . . . aν
e di conseguenza
x = 0.b1 b2 . . . bµ a1 a2 . . . aν ,
(3.2.13)
in cui gli ultimi s + 1 dei bj sono A1 A2 . . . As+1 e gli altri, se ve ne sono, valgono 0.
Viceversa, `e semplice osservare che ogni decimale della forma (3.2.13) rappresenta una frazione
della forma x = pq = 2α 5pβ Q , come in ipotesi.
3.3
Rappresentazione di numeri reali in altre basi
Non c’`e alcun motivo particolare, a parte la nostra familiarit`a con esso, per scegliere come base
b proprio il numero 10: scelte altrettanto valide sono b = 2, b = 60 o comunque qualsiasi intero
b > 1. La terminologia `e alquanto infelice, e si continua a parlare di numeri decimali in base b
anche se b 6= 10.
Hardy in [8] estende i Teoremi (3.2.1) e (3.2.3) al caso pi`
u generale in cui b sia un numero primo
oppure un prodotto di primi distinti.
47
Teorema 3.3.1. Sia b un numero primo oppure un prodotto di primi distinti. Allora ogni numero
reale positivo ξ pu`
o essere rappresentato in modo unico come un numero decimale
A1 A2 . . . As+1 .a1 a2 . . . an . . . ,
dove
• 0 ≤ Aj < b per ogni j ∈ {1, 2, . . . , s + 1};
• 0 ≤ an < b per ogni n ∈ N∗ ;
• gli Aj e gli an non sono tutti nulli;
• esistono infiniti an diversi da b − 1.
Se ξ ≥ 1, allora A1 > 0. Esiste inoltre una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri reali
e l’insieme degli allineamenti decimali del tipo suddetto.
Teorema 3.3.2. Sia b un numero primo oppure un prodotto di primi distinti, e sia dato un numero
razionale x = pq , con (p, q) = 1. Allora il numero decimale 0.a1 a2 . . . an . . . in base b associato a
x `e necessariamente periodico; viceversa ogni numero decimale periodico proviene da un numero
razionale. Pi`
u precisamente, posti s, t, . . . , u i fattori primi di b:
1. se q = sα tβ . . . uγ , allora x = 0.a1 a2 . . . aµ ¯0, con aµ 6= 0, dove µ = max{α, β, . . . , γ};
2. se q = sα tβ . . . uγ Q, con Q > 1 e (Q, b) = 1, allora x = 0.a1 a2 . . . aµ aµ+1 aµ+2 . . . aµ+ν , dove
µ = max{α, β, . . . , γ} e ν `e l’ordine di b modulo Q.
3.4
Numeri irrazionali definiti a partire dai decimali
Dal Teorema (3.3.2) segue che un numero decimale (espresso in una base qualunque) non periodico
rappresenta un numero irrazionale. Ad esempio il numero
0.0100100010 . . . ,
in cui il numero di zeri aumenta ad ogni passo, `e irrazionale. Vediamo altri esempi.
Teorema 3.4.1. Il numero decimale
x = 0.011010100010 . . . ,
dove la cifra an `e 1 se n `e primo e 0 altrimenti, `e irrazionale.
Dimostrazione. Per il Teorema di Euclide sull’infinit`a dei numeri primi il numero decimale x non
pu`
o essere periodico con periodo 0. Supponiamo per assurdo che x sia periodico: allora esiste una
funzione polinomiale
p : N∗ −→ N∗
n
7−→ An + B
A, B ∈ N
tale che p(n) `e un numero primo da un certo numero n in poi1 .
Ma nessun polinomio a coefficienti interi non costante pu`o assumere come valori solo numeri primi
a partire da un certo n in poi (vedere Teorema (A.1.1) a questo proposito).
Segue un assurdo, che deriva dall’aver supposto che x fosse razionale, e quindi x `e irrazionale.
Osservazione 3.4.2. Il Teorema (3.4.1) vale qualunque sia la base b scelta.
Il prossimo teorema `e formulato utilizzando la base 10, ma pu`o comunque essere modificato affinch´e
valga per qualunque scelta della base b.
1 Questo significa che, a meno di una traslazione B, a partire da un certo indice n ogni A cifre decimali deve
presentarsi una cifra uguale a 1.
48
Teorema 3.4.3. Il numero decimale
CCE = 0.2357111317192329 . . . ,
(detto costante di Copeland-Erd˝
os) in cui la sequenza di cifre `e formata dalla concatenazione di
tutti i numeri primi in ordine crescente, `e irrazionale.
Dimostrazione. Il Teorema di Dirichlet (A.1.2) afferma che, per ogni m ∈ N, esistono (infiniti)
numeri primi della forma n · 10m+1 + 1 (`e sufficiente scegliere a = 10m+1 e b = 1).
Questo significa che nel sistema in base dieci esistono numeri primi la cui espressione contiene un
numero arbitrario di 0 seguiti da un 1.
Poich´e il numero decimale CCE contiene tali numeri primi, non pu`o essere periodico.
Segue che CCE `e irrazionale.
3.5
Decimali con periodo della massima lunghezza
Pu`
o accadere, come accade per esempio nel caso di
1
= 0.142857
7
2
= 0.285714
7
...
6
= 0.857142
7
che le cifre di ognuno dei periodi differiscano soltanto per una permutazione ciclica.
Consideriamo il numero decimale dato dal reciproco di un numero primo q. Per il Teorema (3.2.3)
il numero di cifre del periodo `e proprio l’ordine ν di 10 modulo q ed `e un divisore di φ(q), essendo
φ la funzione di Eulero 2 .
Inoltre ν | q − 1. Se ν = q − 1, ad esempio se 10 `e una radice primitiva di q, allora il periodo ha
q − 1 cifre, il massimo numero possibile.
Associamo a x = 1q un numero decimale dividendo per q potenze successive di 10:
10n
= 10n xn + fn+1 .
q
Gli stadi successivi dipendono esclusivamente dal valore di fn+1 ed il processo si ripete dal momento
che fn+1 si ripete come valore. Se, come nel caso particolare di q = 7, il periodo contiene q − 1
cifre, allora i resti
f2 , f3 , . . . , fq
(3.5.1)
devono essere tutti diversi e devono essere una permutazione delle frazioni
1 2
q−1
, ,...,
.
q q
q
L’ultimo resto fq deve essere 1q .
Quando convertiamo un numero razionale
p
q
nel decimale associato i resti corrispondenti sono
pf1 , pf2 , . . . pfq ,
(3.5.2)
ridotti modulo 1.
Per il Teorema (A.1.6) i numeri in (3.5.2) sono gli stessi numeri di (3.5.1) in un ordine diverso e
la sequenza di cifre dopo l’apparizione del particolare resto qs in (3.5.2) `e esattamente la stessa che
figurava dopo l’apparizione di qs in (3.5.1). Quindi i due decimali 1q e pq differiscono solo per una
permutazione ciclica del periodo. Abbiamo provato il seguente teorema.
Teorema 3.5.1. Se q `e un numero primo e 10 `e una radice primitiva di q, allora i numeri decimali
associati a
1 2
q−1
, ,...,
q q
q
hanno periodi di lunghezza q − 1 e differiscono soltanto per una permutazione ciclica.
Ci`
o che accade nel caso di q = 7 accade in generale per ogni numero primo q di cui 10 `e una radice
primitiva. In realt`
a sappiamo molto poco di questi particolari numeri: sappiamo in particolare che
i numeri primi q minori di 50 che possiedono questa propriet`a sono 7, 17, 19, 23, 29 e 47.
2 Per
la definizione di φ vedere in Appendice, Definizione (A.3).
49
3.6
Numeri decimali con cifre mancanti
Definizione 3.2 (Insieme di misura zero). Sia S ⊂ R un insieme; se S `e contenuto in un insieme J
di intervalli, finito o infinito, la cui lunghezza totale pu`o essere resa arbitrariamente piccola, allora
si dice che S ha misura zero (o misura nulla).
Teorema 3.6.1. Sia data una base b e sia c ∈ {0, 1, . . . , b − 1}; allora l’insieme dei numeri reali
nella cui espressione decimale in base b manca la cifra c ha misura zero.
Dimostrazione. Definiamo S come l’insieme dei punti di [0, 1) dotati della seguente propriet`a: se
x ∈ S, allora nel numero decimale in base b associato a x non compare la cifra c. Questo insieme
pu`
o essere generato come segue.
Si divida [0, 1) in b intervalli uguali, ossia
1 2
b−1
1
,
...
,1
0,
b
b b
b
Fissato 0 ≤ j ≤ b − 1, l’intervallo (j + 1)-esimo contiene soltanto quei numeri che hanno j come
prima cifra decimale: eliminando il (c + 1)-esimo intervallo eliminiamo tutti i decimali la cui prima
cifra `e c.
Adesso dividiamo ognuno dei restanti b − 1 intervalli in b parti uguali e togliamo il (c + 1)-esimo
subintervallo da ognuno di essi: in questo modo abbiamo eliminato tutti quei decimali la cui prima
o seconda cifra `e c.
Ripetendo il procedimento indefinitamente possiamo eliminare tutti quei numeri nei quali esiste
una cifra uguale a c, e l’insieme che rimane `e S. Vorremmo far vedere che l’insieme S ha misura
zero.
Al primo passo togliamo un intervallo di lunghezza 1b ; al secondo togliamo b − 1 intervalli di
lunghezza b12 ciascuno; al passo n-esimo togliamo (b − 1)n−1 intervalli di lunghezza b1n e cos`ı via.
Ci`
o che rimane dopo n passi `e un insieme Jn di intervalli la cui lunghezza totale `e
ln
i
n−1 n
X
(b − 1)i−1
1 b−1
(b − 1)n−1
1 X b−1
− 2 − ··· −
·
=
=
1
−
=
1
−
b
b
bn
bi
b i=0
b
i=1
n
n n
1 1 − b−1
b−1
b−1
b
= 1− ·
=1− 1−
=
,
b
b
b
1 − b−1
b
=
1−
e questo insieme contiene S. Poich´e
lim ln = 0,
n→∞
la lunghezza totale di Jn pu`
o essere resa arbitrariamente piccola scegliendo n sufficientemente
grande.
Segue che S ha misura nulla. Lo stesso procedimento si pu`o effettuare su ogni intervallo del tipo
[m, m + 1), con m ∈ Z, ottenendo ogni volta un insieme S (m) che ha misura nulla.
Allora
[
S (m)
m∈Z
ha misura nulla, e si ha la tesi.
Hardy in [8] estende il Teorema (3.6.1) anche a combinazioni di cifre.
Teorema 3.6.2. Sia data una base b e sia (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ {0, 1, . . . , b − 1}n ; allora l’insieme
dei numeri reali nella cui espressione decimale in base b manca la sequenza di cifre c1 c2 . . . cn ha
misura zero.
3.7
Numeri normali
√
En d´efinitive, le probl`eme de savoir si les chiffres d’un nombre tel que 2 satisfont ou
non `
a toutes les lois que l’on peut ´enoncer pour des chiffres choisis au hasard me paraˆıt
toujours ˆetre un des probl`emes les plus importants qui se posent aux math´ematiciens.
´
[Emile
Borel]
50
Il problema di decidere se le cifre di famose costanti matematiche appaiano in maniera statisticamente casuale ha sempre affascinato i matematici.
Lo stesso Borel si chiedeva se fosse ragionevole pensare che le espansioni decimali di tutti i numeri
irrazionali definiti attraverso equazioni algebriche o differenziali a coefficienti interi abbiano tutte
le propriet`
a di sequenze di cifre scelte in maniera casuale: in particolare, egli si chiedeva se la
1
frequenza con cui ciascuna delle dieci cifre decimali appare in esse fosse la stessa, ovvero 10
.
La questione non si limita alla sola base decimale, ma pu`o essere estesa ad ogni possibile base b.
Per poter affrontare questo problema occorre innanzitutto dare una definizione rigorosa di frequenza
di una cifra all’interno di un’espansione decimale infinita in una certa base b.
Definizione 3.3. Da questo momento in avanti indicheremo con il simbolo b un numero naturale
maggiore di 1. Supponiamo che un numero reale ξ = X + x, con X ∈ Z e 0 ≤ x < 1, sia espresso
come decimale in base b, e che la cifra c appaia nc volte nei primi n posti della sua mantissa. Se
nc
= γ(c),
n→∞ n
lim
(3.7.1)
allora si dice che γ(c) `e la frequenza della cifra c.
Osservazione 3.7.1. Al fine di determinare la frequenza di una cifra c in un numero decimale X + x
in base b, la sua parte intera X `e irrilevante; infatti essa pu`o contenere solo un numero finito di
cifre uguali a c, perci`
o nel passaggio al limite nella (3.7.1) non d`a alcun contributo.
Grazie all’Osservazione (3.7.1) possiamo limitarci a considerare numeri reali ξ la cui espressione
decimale ha parte intera nulla; nelle definizioni e nei risultati seguenti supporremo quindi X = 0.
Inoltre, poich´e una volta fissata una base b la corrispondenza fra x e la sua espressione b-aria `e
biunivoca, confonderemo il numero reale x con la sua espressione in base b.
Definizione 3.4 (Semplice normalit`a). Un numero b-ario x si dice semplicemente normale in base
b se per ogni cifra c ∈ {0, 1, . . . , b − 1} si ha che γ(c) = 1b .
Facciamo un esempio: sia b = 10 e consideriamo il numero decimale x = 0.0123456789.
Sia c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} e fissiamo n ∈ N, per semplicit`a n = 10k. Il numero di cifre uguali a c fra
le prime n cifre decimali di x `e dato da nc = k. La frequenza di c nel decimale x `e dunque ben
definita e vale
nc
k
1
γ(c) = lim
= lim
=
.
n→∞ n
k→∞ 10k
10
Possiamo concludere che x `e semplicemente normale in base 10.
Se consideriamo lo stesso numero, espresso questa volta come decimale in base b = 1010 , allora
x = 0.¯
c, dove c rappresenta la cifra 123456789.
Si pu`
o osservare che in questa nuova base x non `e semplicemente normale, in quanto il periodo `e
costituito da un’unica cifra 1010 -aria, mentre rimangono escluse tutte le altre 1010 − 1 cifre.
Definizione 3.5 (Normalit`
a). Un numero b-ario x si dice normale in base b se tutti i numeri
x, bx, b2 x, . . . , bn x, . . .
sono semplicemente normali in tutte le basi
b, b2 , . . . , bn , . . .
Riformuliamo la definizione (3.5) in altri termini. Sia x un decimale espresso in una qualche base
b:
x = 0.a1 a2 . . . an . . .
Moltiplicare x per bn significa spostare la virgola di n posti verso destra: ci`o che si ottiene `e il
nuovo numero decimale b-ario:
Y + y = a1 a2 . . . an .an+1 an+2 . . .
Richiedere che Y + y sia semplicemente normale in base b equivale a richiedere che, nel decimale
x, la frequenza di ogni cifra b-aria c valga 1b anche se si escludono le prime n cifre della mantissa.
Facciamo un passo avanti e consideriamo il numero bn x in base bm :
Y + y = a1 a2 . . . an .(an+1 an+2 . . . an+m )(an+m+1 an+m+2 . . . an+2m ) . . .
51
Ogni cifra bm -aria di Y + y `e costituita da una m-upla di cifre b-arie consecutive di x del tipo
(an+1+km an+2+km . . . an+(k+1)m ) k ∈ N
(3.7.2)
Richiedere che Y + y sia semplicemente normale in base bm equivale a richiedere che nel decimale
x ogni sequenza del tipo (3.7.2) abbia frequenza b1m .
Osservazione 3.7.2. Un numero b-ario x `e normale in base b se, per ogni m ∈ N∗ , la frequenza di
ogni gruppo di m cifre b-arie di x vale b1m .
Lemma 3.7.3. Sia dato un numero reale ξ = X + x espresso in una qualche base b, con X ∈ Z e
0 ≤ x < 1 e sia c ∈ {0, 1, . . . , b − 1}. Allora sono equivalenti
1.
lim
n→∞
2.
nc
= l;
n
(mb)c
= l.
m→∞ mb
lim
Dimostrazione. Vediamo 1 −→ 2.
(mb)c
e una sottosuccessione di nnc , quindi 1 −→ 2 `e banale.
mb `
Viceversa, supponiamo che valga 2.
Se n non `e un multiplo di b, allora esistono m, r ∈ N, con 0 < r < b tali che n = mb + r:
(mb + r)c
(mb)c + r
nc
=
≤
n
mb + r
mb + r
(mb + r)c
(mb)c
nc
=
≥
n
mb + r
mb + r
Mettendo insieme le due cose
(mb)c
nc
(mb)c + r
≤
≤
,
mb + r
n
mb + r
da cui
(mb)c
nc
(mb)c
(mb)c + r (mb)c
(mb)c
−
≤
−
≤
−
.
mb + r
mb
n
mb
mb + r
mb
Eseguendo alcuni passaggi troviamo:
r mb − (mb)c
r (mb)c
nc
(mb)c
−
≤
−
≤
.
mb (mb + r)
n
mb
mb (mb + r)
Adesso, passando al limite per m → ∞, abbiamo che
r mb − (mb)c
r (mb)c
lim −
= lim
=0
m→∞
mb (mb + r) m→∞ mb (mb + r)
uniformemente rispetto a r, quindi per il teorema dei carabinieri
lim
n→∞
nc
(mb)c
= lim
= l.
m→∞ mb
n
Segue la tesi.
Teorema 3.7.4. Fissato b, l’insieme dei numeri reali che non sono semplicemente normali in base
b ha misura nulla.
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che l’insieme dei numeri reali per i quali esiste una cifra
c ∈ {0, 1, . . . , b − 1} tale che non vale
γ(c) = lim
n→∞
nc
1
=
n
b
(3.7.3)
ha misura nulla. Possiamo supporre che n tenda ad infinito per multipli di b, poich´e per il Lemma
(3.7.3) la formula (3.7.3) `e vera in generale se `e vera per n multiplo di b.
52
Dato c ∈ {0, 1, . . . , b − 1}, il numero di decimali di n cifre b-arie con esattamente m cifre uguali a
c `e
n
p(n, m) =
(b − 1)n−m .
(3.7.4)
m
Consideriamo un generico numero decimale e l’incidenza della cifra c fra le sue prime n cifre;
chiamiamo la quantit`
a
n
(3.7.5)
µ = m − = m − n∗
b
l’n-eccesso di c. µ rappresenta la differenza fra il numero effettivo di cifre uguali a c (ossia m) ed
il numero di cifre uguali a c che ci dovremmo aspettare (ossia nb ).
Avendo supposto n multiplo di b, i numeri n∗ e µ sono interi.
Inoltre
µ
m 1
1
=
− ≥−
n
n
b
b
µ
m 1
1
=
− ≤1−
n
n
b
b
ovvero
−
1
µ
1
≤ ≤1− .
b
n
b
(3.7.6)
Abbiamo che, sostituendo m = µ + nb ,
n
n−m−1
(b − 1)n − bµ
n−m
p(n, m + 1)
m+1 (b − 1)
=
=
.
=
n
n−m
p(n, m)
(b − 1)(m + 1)
(b − 1)n + b(b − 1)(µ + 1)
m (b − 1)
(3.7.7)
Segue che
p(n, m + 1)
<1
p(n, m)
per µ = 0, 1, 2, . . .
p(n, m + 1)
>1
p(n, m)
e
per µ = −1, −2, . . .
e quindi p(n, m) `e massimo quando µ = 0, che equivale a dire m = n∗ .
Se µ ≥ 0, allora a partire dalla (3.7.7)
b µ
p(n, m + 1)
(b − 1)n − bµ
(b − 1)n − bµ
b µ
=
<
=1−
≤ e− b−1 n .
p(n, m)
(b − 1)n + b(b − 1)(µ + 1)
(b − 1)n
b−1n
(3.7.8)
Se µ < 0, posto |µ| = ν, allora
n
n−m+1
(b − 1) µ + nb
p(n, m − 1)
(b − 1)m
m−1 (b − 1)
=
=
=
=
n
n−m
p(n, m)
n−m+1
n − µ nb + 1
m (b − 1)
=
=
(b − 1)n + (b − 1)bµ
(b − 1)n − (b − 1)bν
(b − 1)n − (b − 1)bν
=
<
=
(b − 1)n − bµ + b
(b − 1)n + bν + b
(b − 1)n
b|µ|
bν
bν
1−
< e− n = e− n .
(3.7.9)
n
Fissiamo adesso δ > 0 e consideriamo i decimali per i quali, in valore assoluto, l’n-eccesso di c `e
maggiore di δn, cio`e
|µ| ≥ δn,
(3.7.10)
con n assegnato. Poich´e n deve essere grande, possiamo tranquillamente supporre |µ| ≥ 2.
Se µ ≥ 0, a partire dalla (3.7.8)
p(n, m)
p(n, m − µ)
=
p(n, m)
p(n, m − 1)
p(n, m − µ + 1)
·
· ··· ·
≤
p(n, m − 1) p(n, m − 2)
p(n, m − µ)
<
e− b−1
b
µ−1
n
b
1
= e− b−1 n
b
· e− b−1
Pµ−1
i=1
i
µ−2
n
b
· . . . · e− b−1
b
= e− n(b−1)
µ(µ−1)
2
µ−µ
n
b
1
= e− b−1 n (µ−1+µ−2+...+1) =
1
2
< e− n µ
K
,
(3.7.11)
dove K `e un opportuno coefficiente positivo che dipende esclusivamente da b.
Adesso, poich´e p(n, m − µ) = p(n, n∗ ) < bn , segue che per µ ≥ 0
1
2
p(n, m) < p(n, m − µ) e− n µ
53
K
1
2
< bn e− n µ
K
.
(3.7.12)
In modo analogo, a partire dalla (3.7.9), si dimostra che la (3.7.12) vale anche per µ < 0.
Sia Sn (µ) l’insieme dei numeri decimali il cui n-eccesso di c `e µ: posto m = µ + n∗ , ci sono
p = p(n, m) numeri - siano essi ξ1 , ξ2 , . . . , ξp - rappresentati da decimali finiti di n cifre con neccesso di c uguale a µ.
Inoltre gli elementi di Sn (µ) sono contenuti negli intervalli [ξj , ξj + b1n ], con j = 1, 2, . . . , p.
Questo significa che Sn (µ) `e contenuto in un insieme di intervalli la cui lunghezza totale non supera
ln =
p
X
1 2
1
1
= n · p(n, m) < e− n µ K .
n
b
b
i=1
Poniamo Tn (δ) l’insieme dei numeri il cui n-eccesso di c, che abbiamo chiamato µ, soddisfa (3.7.10);
allora Tn (δ) pu`
o essere incluso in un insieme di intervalli la cui lunghezza totale non supera
X
X
X
1 2
1 2
1 1 2
1 1 2
Ln =
e− n µ K = 2 ·
e− n µ K = 2 ·
e− 2 n µ K · e− 2 n µ K ≤
|µ|≥δn
≤ 2·
µ≥δn
1 2
− 21 n
µ K
X
e
·e
µ≥δn
1
− 12 n
µK
≤2·
µ≥δn
=
1
2e− 2 δ
2
X
1
e− 2 δ
nK
2
1−e
nK
1 1
· e− 2 n µK =
µ≥δn
·
X
1 1
1
e− 2 n µK ≤ 2e− 2 δ
2
nK
·
K
− 2n
e−
δ 2 nK
2
∞ X
K
e− 2n
µ
=
µ=0
µ≥δn
=
2
≤
2
K
2n
e−
δ 2 nK
2
< Lne−
δ 2 nK
2
,
(3.7.13)
essendo L un coefficiente positivo che dipende solo da K, e di conseguenza, solo da b.
Adesso fissiamo N multiplo di b, N = N ∗ b, e si consideri l’insieme UN (δ) dei numeri tali che
(3.7.10) `e vera per qualche n = n∗ b ≥ N = N ∗ b.
Allora UN (δ) `e l’unione degli insiemi
TN (δ),
TN +b (δ),
TN +2b (δ),
...
ossia gli insiemi Tn (δ) tali che n = kb, con k ≥ N ∗ .
UN (δ) pu`
o allora essere incluso in un insieme di intervalli la cui lunghezza totale non supera
Λ(N ∗ ) =
∞
X
Lkb = L ·
k=N ∗
∞
X
kbe−
δ 2 kbK
2
.
k=N ∗
Inoltre
lim Λ(N ∗ ) = 0.
N ∗ →∞
Se U (δ) `e l’insieme dei numeri il cui n-eccesso di c soddisfa (3.7.10) per infiniti valori di n, allora
U (δ) `e incluso in UN (δ) per ogni N , ed `e quindi racchiuso in un insieme di intervalli che pu`o essere
reso arbitrariamente piccolo.
Dunque U (δ) ha misura zero.
Vediamo allora l’ultimo passo della dimostrazione: sia x un numero non semplicemente normale in
base b. Allora esiste una cifra c tale che non vale
lim
n→∞
nc
1
= ,
n
b
(3.7.14)
neppure se n assume valori multipli di b.
Questo significa che l’n-eccesso di c (ossia µ) `e tale che |µ| ≥ ζn per qualche ζ > 0 e per infiniti n.
Adesso, ζ `e maggiore o uguale di uno degli elementi della successione δ, 2δ , 4δ , . . . , per cui |µ| ≥ 2δj n
per qualche j ∈ N, per infiniti n.
Allora
[
∞
δ
δ
⊂
U
,
x∈U
j
2j
2
j=0
che ha misura zero.
Si conclude che l’insieme degli x che non sono semplicemente normali in base b `e contenuto in un
insieme di misura nulla, ed ha perci`
o misura nulla, come volevasi dimostrare.
54
Corollario 3.7.5 (Teorema di Borel). Fissato b, l’insieme dei numeri reali che non sono normali
in base b ha misura nulla.
Dimostrazione. Sia S(x, b) l’insieme dei numeri x che non sono semplicemente normali in base b;
abbiamo visto che per il Teorema (3.7.4) l’insieme S(x, b) ha misura nulla.
Allora anche S(x, b2 ), . . . , S(x, bn ), . . . hanno misura nulla.
Per Teorema (A.2.2), anche l’insieme
[
T (x, b) =
S(x, bn )
n∈N∗
dei numeri che non sono semplicemente normali in almeno una tra le basi b, b2 , . . . , bn , . . . ha misura
nulla.
Ma allora anche T (bx, b), T (b2 x, b), . . . , T (bn x, b), . . . hanno misura nulla.
Sempre per Teorema (A.2.2) segue che l’insieme
[
T (bn x, b)
U (x, b) =
n∈N∗
dei numeri che non sono normali in base b ha misura zero.
Di conseguenza l’insieme
U (x, 2) ∪ U (x, 3) ∪ . . . ∪ U (x, b) ∪ . . .
ha ancora misura nulla, ed il teorema `e dimostrato.
Definizione 3.6. Un numero normale in ogni possibile base b `e detto assolutamente normale.
Il Teorema di Borel asserisce che l’insieme dei numeri reali che non sono assolutamente normali
ha misura nulla. Stando cos`ı le cose si potrebbe pensare che sia relativamente semplice produrre
esempi di numeri normali in una qualche base b: in realt`a il tentativo di costruire numeri normali
in qualche base b si `e rivelato pi`
u arduo di quanto ci si potesse aspettare.
Esempi di numeri normali in qualche base assegnata sono molto rari, e le dimostrazioni della loro
normalit`
a sono particolarmente complicate; sappiamo che la costante di Copeland-Erd˝os (1946)
CCE = 0.2357111317192329 . . .
e la costante di Champernowne (1933)
C10 = 0.12345678910111213 . . .
in cui la mantissa `e formata dalla concatenazione di tutti i naturali in ordine crescente, sono numeri
normali in base 10.
Decidere se un numero `e normale o meno in una data base `e√un problema aperto: non si `e ancora
scoperto se costanti matematiche fondamentali quali log 2, 2, il numero di Nepero e e π siano
normali in qualche base.
Per quanto riguarda π, un conteggio sulle prime 1013 cifre esadecimali mostra che esse sono
distribuite in modo molto uniforme.
Cifra esadecimale
0
1
2
3
4
5
6
7
Occorrenze
62499881108
62500212206
62499924780
62500188844
62499807368
62500007205
62499925426
62499878794
Cifra esadecimale
8
9
A
B
C
D
E
F
Occorrenze
62500216752
62500120671
62500266095
62499955595
62500188610
62499613666
62499875079
62499937801
Quindi esistono valide motivazioni per credere che π sia un numero normale in base 16, ma ogni
tentativo di dimostrazione di questa congettura ha avuto, almeno fino a questo momento, esito
negativo.
55
Appendice A
Complementi
A.1
Richiami di Algebra
Teorema A.1.1. Nessun polinomio p(n) a coefficienti interi, non costante, pu`
o assumere come
valori numeri primi per ogni n ∈ N o per tutti gli n ∈ N a partire da N ∈ N sufficientemente
grande.
Teorema A.1.2 (di Dirichlet). Siano a, b ∈ Z; se a > 0 e (a, b) = 1, allora esistono infiniti numeri
primi della forma an + b, con n ∈ N.
Il Teorema (A.1.2) afferma che, se a e b sono coprimi, la progressione aritmetica an + b `e costituita
da infiniti numeri primi.
Definizione A.1. Sia m ∈ N∗ e siano a, b ∈ Z. a e b si dicono congrui modulo m e si scrive
a ≡ b (mod m).
se e solo se m divide a − b, ovvero se e solo se esiste z ∈ Z tale che a − b = mz. Il numero b si dice
un residuo di a modulo m e viceversa a si dice un residuo di b modulo m.
Proposizione A.1.3. Fissato m ∈ N∗ , ogni a ∈ Z `e congruo al resto r della divisione euclidea di
a per m. In tal caso il resto r `e il minimo residuo non negativo di a modulo m.
Dimostrazione. Fissiamo m ≥ 1 e consideriamo un generico a ∈ Z. Essendo m 6= 0 possiamo
eseguire la divisione euclidea di a per m: esistono unici q, r ∈ Z, con 0 ≤ r < m tali che a = mq + r.
Equivalentemente a − r = mq, cio`e a ≡ r (mod m).
Definizione A.2 (Classi di congruenza). Sia assegnato m ∈ N∗ ; dato a ∈ Z, la classe di congruenza
di a modulo m, che si indica con [a]m , `e l’insieme di tutti i numeri congrui ad a modulo m; ogni
elemento della classe (a compreso) `e detto un rappresentante della classe.
Definizione A.3 (Funzione di Eulero). Dato m ∈ N∗ , indichiamo con φ(m) il numero di interi
positivi x ≤ m tali che (x, m) = 1.
Teorema A.1.4 (di Eulero-Fermat). Sia m ∈ N∗ e sia a ∈ Z. Se (a, m) = 1, allora
aφ(m) ≡ 1
(mod m).
Definizione A.4. Sia m ∈ N∗ e sia a ∈ Z, con (a, m) = 1. Il Teorema (A.1.4) ci dice che
l’equazione alle congruenze (pi`
u brevemente, la congruenza)
ax ≡ 1
(mod m)
(A.1.1)
possiede soluzioni, essendo φ(m) una di esse. Denotiamo con d il pi`
u piccolo valore positivo di x
per il quale la congruenza (A.1.1) `e soddisfatta, cos`ı che d ≤ φ(m). d `e detto l’ordine di a modulo
m (si dice anche che a appartiene a d modulo m). Inoltre, se d = φ(m), allora a si dice una radice
primitiva di m.
56
Teorema A.1.5. Sia m ∈ N∗ e sia a ∈ Z tale che (a, m) = 1; posto d l’ordine di a modulo m,
allora d | φ(m). Se inoltre m `e un numero primo p, allora d | (p − 1). La congruenza
ax ≡ 1
(mod m)
`e vera o falsa a seconda che x sia o meno un multiplo di d.
Definizione A.5. Sia m ∈ N∗ ; abbiamo esattamente φ(m) classi di residui modulo m coprimi con
esso; ogni insieme composto da φ(m) residui, ognuno appartenente ad una diversa classe, `e detto
un insieme completo di residui coprimi con m. Uno di essi `e costituito dai φ(m) numeri minori o
uguali ad m e coprimi con esso.
Teorema A.1.6. Sia m ∈ N∗ e sia {a1 , a2 , . . . , aφ(m) } un insieme completo di residui coprimi con
m. Se k ∈ Z `e tale che (k, m) = 1, allora anche
{ka1 , ka2 , . . . , kaφ(m) }
`e un insieme completo di residui coprimi con m.
A.2
Insiemi numerabili e insiemi di misura zero
Teorema A.2.1. Sia S un insieme numerabile e sia T ⊂ S; allora T `e al pi`
u numerabile.
Teorema A.2.2. Sia {Sn }n∈N una successione di insiemi numerabili. Allora l’insieme
[
Sn
n∈N
`e numerabile.
Teorema A.2.3. Ogni insieme numerabile di punti S ha misura zero.
Dimostrazione. Sia S numerabile. Allora S = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}, ossia i suoi elementi possono
essere messi in successione.
Fissiamo δ > 0 e per ogni xn ∈ S consideriamo un intervallo centrato in xn di raggio 2−n δ:
(xn − 2−n δ, xn + 2−n δ),
e facciamo la somma:
∞
X
2−n+1 δ = δ ·
n=1
∞
X
2−n = δ,
n=0
che possiamo scegliere arbitrariamente piccolo.
Segue che S ha misura zero.
Corollario A.2.4. L’insieme dei numeri razionali ha misura nulla.
57
Parte II
Esperienza di tirocinio
58
Capitolo 4
Progetto didattico
4.1
Premessa
L’idea di svolgere una serie di lezioni incentrate sul tema dei numeri reali `e nata da una semplice riflessione: il concetto di numero reale attraversa in maniera trasversale l’intero campo della
Matematica, e costituisce la base dell’intera branca dell’Analisi Infinitesimale. Sulla propriet`
a di
completezza dell’insieme dei numeri reali si fondano i teoremi fondamentali sulle funzioni continue,
fra i quali il teorema dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass e tutte le loro conseguenze.
Questa propriet`
a cruciale, tramite la quale si compie il delicato passaggio dal campo dei numeri
razionali a quello pi`
u esteso dei numeri reali, ci allontana dalla natura puramente algebrica dei
numeri precedentemente incontrati, introducendo nuovi oggetti di natura infinita. Infatti, la costruzione degli interi a partire dai naturali e quella dei razionali a partire dagli interi comportano
soltanto un numero finito di manipolazioni di tipo algebrico; al contrario, nel passaggio dai razionali
ai reali entra in gioco il concetto di limite, che implica un numero infinito di operazioni algebriche
elementari.
Nonostante i numeri reali siano senza dubbio fra gli oggetti matematici pi`
u utilizzati - spesso in
modo completamente inconsapevole o ingenuo (basti pensare al fatto che nessuno si interroga sulla
legittimit`
a dei passaggi che compie nel risolvere una semplice equazione di secondo grado) -, raramente essi vengono definiti in maniera scrupolosa. A livello di scuola secondaria l’insieme dei
numeri reali viene presentato insieme ad altri prerequisiti in modo rapido e sommario: l’ipotesi
standard `e l’esistenza di un sistema numerico che estende l’insieme dei numeri razionali, dotato
di una serie di buone propriet`
a, adatto per misurare quantit`a continue, che pu`o essere in qualche
modo messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei punti di una retta geometrica.
Il risultato `e che molti studenti possiedono solo una visione parziale del complesso sistema dei numeri reali, entit`
a puramente astratte che essi imparano a manipolare senza comprenderne l’intima
natura. Tuttavia, la consapevolezza del fatto che con i numeri reali tutto funziona adeguatamente,
`e sufficiente a giustificare la decisione di molti docenti di passare oltre per dedicare pi`
u spazio ad
altre questioni.
4.2
La via assiomatica
In molti testi di Matematica per la scuola secondaria, in particolare nei testi per il triennio, l’insieme dei numeri reali viene introdotto esclusivamente per via assiomatica: questo modo di procedere,
sebbene da una parte sia probabilmente il pi`
u elegante, dall’altra comporta - a questo livello di
istruzione - una serie di conseguenze che devono essere considerate con attenzione.
Un sistema assiomatico rappresenta, nell’evoluzione storica ed epistemologica di una teoria, l’ultima tappa, la sistemazione rigorosa e definitiva della teoria stessa su fondamenta logicamente
consistenti; `e necessario acquisire la consapevolezza del fatto che il percorso che conduce all’elaborazione di un sistema assiomatico `e tutt’altro che breve e privo di ostacoli. Fornire agli studenti un
prodotto preconfezionato, senza mostrare loro il processo che lo ha generato, spesso `e un espediente
per aggirare l’ostacolo, per non affrontare le difficolt`a; `e questa mentalit`a una delle principali cause
di questa mancanza di consapevolezza.
59
Per comprendere il rapporto tra un insieme di proposizioni ed un modello che lo soddisfa `e necessario possedere un elevato grado di sviluppo del pensiero logico astratto, che gli studenti di scuola
secondaria non hanno in genere ancora raggiunto.
Limitarsi a presentare un oggetto matematico - che gi`a di per s´e costituisce un’entit`a ideale - soltanto per via assiomatica in una fase troppo precoce dello sviluppo del pensiero astratto pu`o creare,
in certe situazioni, un distacco tra lo studente e l’oggetto di studio: il rischio `e che esso venga
concepito come qualcosa di astruso, completamente scollegato dalla realt`a tangibile, inafferrabile e
indipendente dalla mente umana.
` necessario, al contrario, far capire agli studenti che la Matematica `e una costruzione dell’intelE
letto: per ragioni antropologiche siamo infatti portati a costruire modelli ideali che descrivano in
maniera efficace e concisa i fenomeni e la realt`a che ci circondano.
4.3
Perch´
e introdurre i numeri reali a partire dagli allineamenti decimali infiniti
Senza la pretesa di dare un giudizio personale sull’opportunit`a o meno di presentare a degli studenti di scuola secondaria gli assiomi che definiscono l’insieme dei numeri reali, ritengo in ogni caso
che sia istruttivo proporre loro l’occasione di vederli effettivamente all’opera in una situazione pi`
u
familiare.
Proprio come, dopo aver introdotto un nuovo oggetto matematico, `e fondamentale produrre degli
esempi significativi che aiutino a familiarizzare con esso, allo stesso modo - dopo avere illustrato
gli assiomi dei numeri reali - pu`
o essere utile costruire dei modelli che li soddisfino: un approccio
costruttivo, in effetti, pu`
o creare per gli studenti una via di accesso ad un intero mondo che, in
caso contrario, rischierebbe di rimanere una realt`a a s´e stante da contemplare passivamente.
A tal proposito, l’introduzione dell’insieme dei numeri reali a partire dagli allineamenti decimali
infiniti pu`
o essere affrontata anche a livello di scuola secondaria, in quanto essa non implica particolari difficolt`
a tecniche e concettuali, e ove ve ne siano, l’intuizione costituisce un ottimo strumento
per superarle.
Infatti, fra tutti i metodi equivalenti per definire l’insieme dei numeri reali, quello a partire dai
numeri decimali `e certamente il pi`
u intuitivo e comporta un passaggio dall’aritmetica finita dei
numeri decimali a quella infinita dei numeri reali che, in virt`
u dei concetti di troncata e di errore
di troncamento, risulta in genere non troppo problematico. Esso fornisce anche, allo stesso tempo,
importanti spunti di riflessione, sia dal punto di vista prettamente matematico, sia dal punto di
vista filosofico in generale.
Per poter parlare di allineamenti decimali infiniti `e necessario che gli studenti possiedano gi`a una
conoscenza consolidata dell’insieme dei numeri razionali e delle sue propriet`a: poich´e questa conoscenza presenta, talvolta, ampie lacune (che in parte rimangono celate da una buona capacit`a
manipolatoria), un lavoro propedeutico per colmare queste lacune `e necessario.
Dunque, cimentarsi in questo tipo di attivit`
a pu`o e deve costituire l’occasione per richiamare e
chiarire alcuni aspetti relativi a frazioni, numeri decimali e numeri razionali, sui quali generalmente regna gran confusione nella mente degli studenti.
Il pregio di questa costruzione risiede nel suo aspetto rigoroso ed intuitivo allo stesso tempo: essa
costituisce un’estensione naturale dell’insieme dei numeri decimali finiti, con i quali i ragazzi hanno in genere una discreta familiarit`
a; la stessa cosa non si pu`o dire, ad esempio, delle sezioni di
Dedekind o delle classi di equivalenza di successioni di Cauchy, oggetti matematici che richiedono
un notevole sforzo di astrazione.
Come esercizio di ragionamento pu`
o essere utile chiedere ai ragazzi, guidandoli opportunamente,
di verificare il soddisfacimento di alcuni degli assiomi dei reali, cercando anche di convincerli - con
analogie o argomentazioni euristiche - della validit`a di quelli troppo difficili da verificare.
Questo tipo di costruzione pu`
o anche, con opportuni accorgimenti, essere visualizzata ricorrendo alla mediazione della retta geometrica, che rappresenta un’immagine molto forte ed aiuta gli
studenti a comprendere molti aspetti che, limitandosi alla formulazione assiomatica, rimarrebbero
invece nascosti.
Ad esempio, il concetto di estremo superiore risulta in gran parte oscuro alla maggior parte degli
studenti, che di fronte all’enunciato dell’assioma di completezza restano generalmente imbarazzati;
lo stesso assioma, reinterpretato sulla retta euclidea, acquisisce invece un significato immediato, a
60
tal punto che i ragazzi si stupiscono di fronte alla necessit`a di dover postulare un fatto a prima
vista tanto elementare ed intuitivo.
Volendo addurre un’ulteriore motivazione a supporto della bont`a di questa costruzione, c’`e da considerare il fatto che - prima che fossero definitivamente assiomatizzati - i numeri reali intesi come
allineamenti decimali infiniti sono stati utilizzati per oltre due secoli (fra Seicento ed Ottocento)
dagli stessi fondatori dell’Analisi Matematica moderna (vedere Villani, [13]).
4.4
Struttura del tirocinio
Il tirocinio didattico si `e svolto nella classe IV B della succursale del Liceo Scientifico Guido Castelnuovo, sotto la supervisione del Prof. Ivan Casaglia, ed `e consistito in due fasi.
Prima di iniziare il ciclo di lezioni vero e proprio abbiamo sottoposto ai ragazzi un questionario
con una serie di domande volte a verificare le conoscenze preliminari sull’argomento.
Dopo un breve periodo di inserimento nella classe, durante il quale ho anche assistito alle lezioni del
Prof. Casaglia, ho esaminato i questionari ed ho delineato un’ipotesi di programma delle lezioni.
Durante la prima fase del tirocinio ho portato a termine il progetto concordato con il Prof. Bianchi
ed approvato dal Prof. Casaglia: la parte didattica vera e propria si `e svolta nell’arco di sei ore, ed
`e stata suddivisa in cinque sezioni, in ognuna delle quali si affrontava un aspetto specifico relativo
alla costruzione e alle propriet`
a dell’insieme dei numeri reali.
Il proposito alla base del progetto era quello di dar vita ad un’attivit`a didattica alla quale gli
studenti potessero prendere parte in maniera attiva, portando un proprio contributo al percorso di
costruzione concettuale: le lezioni svolte non dovevano essere semplicemente la narrazione di una
serie di nozioni, ma piuttosto un’attivit`a collettiva in cui, partendo da alcuni interrogativi, l’argomento veniva man mano scoperto ed approfondito nei suoi molteplici aspetti. Ho quindi cercato
di instaurare un’atmosfera di dialogo e di confronto, in cui ognuno si sentisse libero di esprimere
il proprio punto di vista, invitando i ragazzi ad intervenire facendo domande, dando suggerimenti,
oppure condividendo le proprie perplessit`a e i propri dubbi.
La prima lezione, pi`
u simile ad un dialogo con gli studenti, aveva uno scopo prettamente introduttivo; ogni lezione successiva, della durata approssimativa di un’ora, era preceduta da un breve
riassunto di ci`
o che avevamo visto la volta precedente - in modo tale da richiamare i concetti chiave
sui quali lavorare senza perdere di vista il percorso tracciato - e terminava con una breve anticipazione sul tema della lezione successiva.
La seconda parte dell’ultima ora di lezione `e stata dedicata infine ad una discussione collettiva,
durante la quale abbiamo lasciato spazio ai ragazzi per esprimere i loro dubbi e riflettere sui punti
fondamentali che avevamo affrontato. Durante la seconda fase del tirocinio ho assistito, con molto
piacere ed interesse, alle lezioni di Matematica e Fisica tenute dal Prof. Casaglia, ascoltando le
spiegazioni del professore ed i vari interventi dei ragazzi.
4.5
Questionario in ingresso
Lo scopo del questionario in ingresso era quello di raccogliere una serie di informazioni circa le
conoscenze del gruppo-classe in merito agli insiemi numerici, con particolare attenzione all’insieme
dei numeri razionali e alle sue propriet`a, per richiamare alcuni utili concetti prima di introdurre il
nuovo argomento.
La maggior parte delle domande - 15 in tutto - non prevedeva una risposta chiusa, da considerarsi
semplicemente corretta oppure errata; al contrario, si richiedeva lo sforzo di fornire una motivazione ad ogni risposta, di giustificarla in qualche modo ricorrendo eventualmente ad esempi, senza
alcuna pretesa di rigore.
Poich´e lo scopo non era quello di valutare le conoscenze di ogni singolo studente, bens`ı quello di
andare a sondarle per eventualmente intervenire ove fosse stato necessario, abbiamo deciso di proporre il questionario in forma anonima. Inoltre, data la scarsit`a del tempo a disposizione, avendo
intrapreso l’esperienza di tirocinio in una fase finale dell’anno scolastico, e ritenendo comunque
che l’eventuale collaborazione fra i ragazzi potesse costituire un fattore positivo e di incentivo al
lavoro, abbiamo lasciato che i ragazzi svolgessero il questionario come compito a casa.
I risultati del questionario hanno messo in luce molti aspetti interessanti.
Le prime due domande, di carattere generale, chiedevano di rappresentare con un diagramma di
61
Eulero-Venn i rapporti di inclusione fra i vari insiemi numerici e di indicare l’insieme (o gli insiemi)
di appartenenza di una breve lista di numeri specifici.
La totalit`
a dei ragazzi ha rappresentato in maniera corretta la catena di “inclusioni” N ⊂ Z ⊂ Q ⊂
R, e la maggior parte di essi `e riuscita ad individuare anche l’insieme (o gli insiemi) di appartenenza
dei numeri proposti nel secondo punto, sebbene qualcuno si sia lasciato trarre in inganno dalla loro
rappresentazione, in alcuni casi deliberatamente fuorviante (molti, ad esempio, hanno associato il
simbolo di radice all’idea di irrazionalit`
a).
Sorprendentemente, soltanto una minima parte dei ragazzi `e riuscita a dare una collocazione esatta
all’insieme dei numeri irrazionali, nonostante - come ho avuto modo di verificare in seguito durante
le lezioni - tutti avessero gi`
a in mente l’esistenza di una partizione dei numeri reali in razionali ed
irrazionali.
Per quanto riguarda la differente rappresentazione decimale dei numeri razionali ed irrazionali, i
ragazzi non hanno mostrato evidenti difficolt`a, sebbene non avessero del tutto chiaro il motivo
per il quale i numeri razionali possiedano uno sviluppo decimale periodico: essi utilizzavano una
propriet`
a caratterizzante i numeri razionali (quella, appunto, di avere un’espansione periodica)
per darne una definizione, dando luogo in questo modo ad una tautologia dalla quale non erano
capaci di uscire. Non ci hanno messo poi molto, grazie ad un semplice esempio, a capire perch´e la
divisione fra interi generi un numero decimale necessariamente periodico, per via del numero finito
di possibili resti.
Le domande concernenti la propriet`
a di densit`a dell’insieme dei numeri razionali hanno tratto in
inganno soltanto una minima parte degli studenti, i quali hanno dimostrato di avere ben compreso
che la nozione di successivo non ha significato in questo ambito. Si poteva capire, da alcune risposte
ben motivate, che i ragazzi avevano intuito la differenza fondamentale che intercorre fra un insieme
discreto come Z ed un insieme denso come Q: alcuni di essi, ad esempio, hanno mostrato un’ottima
consapevolezza di questo fatto giustificando l’esistenza di infiniti numeri razionali compresi fra due
razionali qualunque con il fatto che la media aritmetica di due razionali `e ancora un razionale.
Una delle domande conclusive del questionario riguardava il confronto fra le cardinalit`a infinite
dei vari insiemi numerici, come anticipazione della non numerabilit`a dell’insieme dei numeri reali,
ma i ragazzi non hanno, per la maggior parte, centrato l’argomento, tranne un’unica eccezione.
Quasi certamente questo risultato `e imputabile o al modo vago in cui la domanda era stata posta,
ossia senza far riferimento alcuno al concetto di numerabilit`a, oppure al semplice fatto che essa
richiedeva delle conoscenze di cui i ragazzi non erano ancora in possesso.
Altre domande richiedevano la costruzione geometrica con riga e compasso di particolari numeri
reali, domande alle quali i ragazzi hanno risposto perlopi`
u in modo corretto.
La domanda che ha letteralmente diviso la classe era quella relativa alla doppia rappresentazione
decimale periodica del numero 1: la domanda, volutamente imbarazzante, ha raccolto una serie di
risposte di ogni genere, pi`
u o meno giustificate da ragionamenti euristici talvolta corretti, talvolta
errati, ma comunque non privi di senso.
` doveroso sottolineare il fatto che i ragazzi hanno svolto il questionario con seriet`a ed impegno, in
E
alcuni casi mostrando sensibilit`
a e competenza su alcuni punti fondamentali che abbiamo ripreso
anche in seguito durante le lezioni.
Facendo un bilancio complessivo, si pu`
o dire che le conoscenze in ingresso degli studenti, considerati come gruppo-classe, sono risultate senza dubbio di un livello medio-alto, con alcuni casi
particolarmente interessanti da tenere in considerazione.
4.6
Programmazione del percorso
Il progetto originale si articolava in quattro punti principali, da trattare nell’arco di quattro/cinque
ore:
1. un’introduzione di carattere generale nella quale si delineava il percorso e si rendevano noti
i propositi, dopodich´e, considerata una generica retta, si passava a costruire su di essa una
scala decimale;
2. la presentazione di un algoritmo particolare che permette di associare ad ogni punto della retta
geometrica un allineamento decimale infinito, e la discussione sul doppio esito dell’algoritmo
nel caso di alcuni particolari punti;
62
3. la definizione di operazioni aritmetiche e di una relazione d’ordine fra allineamenti decimali
infiniti che estendessero le usuali operazioni e l’ordine di Q, e la discussione di alcune loro
propriet`
a;
4. un breve discorso sul concetto di completezza.
Dopo aver esaminato i questionari, avendo preso atto delle particolari condizioni di lavoro favorevoli,
il progetto originale `e stato ampliato: oltre alla costruzione dell’insieme dei numeri reali a partire
dagli allineamenti decimali infiniti e alla definizione delle operazioni e dell’ordine in esso, nonch´e
dopo aver dato spazio al concetto di completezza, su invito del Prof. Casaglia ho approfondito
la questione della cardinalit`
a del continuo ed ho accennato ad una sua interpretazione in senso
probabilistico.
4.7
4.7.1
Lezioni frontali
Prima lezione
Il problema dal quale ha preso avvio l’intero progetto non riguarda esclusivamente l’ambito matematico; il problema della misura, infatti, `e di primario interesse in Fisica e presenta numerose
implicazioni anche a livello filosofico. L’esigenza di misurare, cio`e di associare in qualche modo
delle quantit`
a numeriche alle propriet`a degli oggetti reali, `e propria del genere umano: in una
breve introduzione di carattere generale ho proposto ai ragazzi una discussione sulle problematiche
relative alla misurazione di grandezze, focalizzando l’attenzione sul concetto di precisione finita.
A questo punto `e emerso il contrasto tra il punto di vista fisico e matematico della questione:
questa complementarit`
a ci ha fornito la spinta per compiere l’importante passo di astrazione dal
mondo fisico, fatto di oggetti concreti, percepibili attraverso i sensi, al mondo matematico, fatto
invece di oggetti ideali, intuibili con la mente (ma non per questo scollegati dal mondo reale). Ho
chiesto ai ragazzi di provare ad immaginare un righello virtuale con il quale fosse possibile misurare
la lunghezza di ogni segmento arbitrario con precisione infinita, ossia con un numero infinito di
cifre decimali esatte.
Il primo passo `e stato quello di individuare un ente geometrico idoneo che ci permettesse di tradurre
il problema in termini matematici: l’idea di ricorrere all’ente primitivo retta geometrica, `e stata
proposta dai ragazzi stessi, i quali hanno autonomamente riconosciuto l’equivalenza fra misurare
lunghezze di segmenti e misurare distanze fra punti di una retta.
Una volta individuato lo strumento adatto, si trattava di stabilire una unit`a di misura ed utilizzarla
per costruire su di esso una scala, ossia scegliere un valore di riferimento e, servendosi dell’unit`
a
scelta, associare ad ogni posizione sullo strumento una quantit`a numerica: a tal proposito ho illustrato una procedura iterativa molto semplice per costruire una partizione decimale sulla retta,
osservando che, per quanto essa potesse essere resa fine a piacimento, non avrebbe potuto esaurire tutti i punti della retta: gran parte dei punti razionali e tutti i punti irrazionali rimanevano
inevitabilmente esclusi.
4.7.2
Seconda lezione
La seconda lezione `e stata dedicata interamente alla presentazione di un particolare procedimento
- il PLA, che sta per Point Location Algorithm - mediante il quale, sfruttando la partizione decimale della retta costruita nella precedente lezione, ad ogni punto della retta viene associato un
allineamento decimale infinito in maniera essenzialmente unica.
Ho introdotto anche il termine scatola cinese (seguendo il libro di testo di Giovanni Prodi [12]) per
indicare una successione di intervalli annidati con ampiezza decrescente in maniera arbitraria, un
espediente che in qualche modo ci ha permesso di lavorare con maggiore disinvoltura evitando di
ricorrere ai concetti di limite e convergenza.
Inoltre abbiamo affrontato la questione che ha letteralmente diviso la classe nello svolgimento del
questionario iniziale, ossia la questione della doppia rappresentazione decimale infinita associata
dal PLA ad ogni frazione decimale, o, che `e la stessa cosa, ad ogni punto della partizione decimale
della retta.
Nonostante il proposito iniziale fosse proprio quello di evitare il concetto di limite, non necessario
per i nostri propositi, ci`
o nondimeno il fatto che i ragazzi lo avessero gi`a incontrato ha senza dubbio
63
favorito la comprensione di questo punto.
Un’esigua parte dei ragazzi era gi`
a riuscita ad identificare (come si evince dalle risposte al questionario) la scrittura 0.¯
9 con il limite della successione degli estremi sinistri di una delle due scatole
cinesi associate al punto della retta x = 1; altri avevano interpretato la scrittura 0.¯9 come quella
di un oggetto che tende a 1, che lo approssima, pur non essendo esattamente 1. La traduzione
del problema in termini geometrici con l’ausilio della retta euclidea `e stata sufficiente ad eliminare
ogni dubbio, perch´e in questo modo ho potuto mostrare che entrambe le scritture non sono altro
che due differenti rappresentazioni dello stesso punto sulla retta, e che quindi `e perfettamente coerente considerarle equivalenti. Oltretutto, ci ritroveremmo comunque costretti a prendere questa
decisione per far s`ı che il PLA restituisca un risultato univoco.
4.7.3
Terza lezione
Nella prima parte della lezione ho esplicitato l’intimo collegamento fra l’espressione decimale di
un numero razionale ottenuta per mezzo dell’algoritmo di divisione e l’espansione decimale infinita
associata dal PLA ad un punto razionale della retta euclidea, mostrando ai ragazzi che tutta
la nostra costruzione costituiva la traduzione in termini rigorosi dell’idea intuitiva ed ingenua di
numero reale che sviluppiamo lungo il percorso scolastico.
Ho deciso di proporre ai ragazzi la definizione di numero reale come allineamento decimale infinito
soltanto a questo punto del percorso: l’idea era quella di privilegiare il lavoro sui concetti prima di
arrivare a darne una definizione, per dare maggiore importanza al processo costruttivo piuttosto
che al prodotto finale.
` a questo punto che si colloca uno dei punti cruciali della nostra trattazione, sul quale ho ritenuto
E
di dovermi soffermare: la possibilit`
a di stabilire una corrispondenza biunivoca, grazie all’assioma di
completezza di Cantor per la retta, tra l’insieme degli allineamenti decimali infiniti e l’insieme dei
punti della retta stessa, due entit`
a molto diverse che costituiscono ottimi modelli per comprendere
l’insieme dei numeri reali.
4.7.4
Quarta lezione
La quarta lezione aveva un carattere pi`
u tecnico, perch´e vi si affrontava la questione della definizione di operazioni aritmetiche e di una relazione d’ordine fra allineamenti decimali infiniti che
estendessero le operazioni e l’ordine gi`
a conosciuti fra numeri razionali. Ho sottoposto il problema
ai ragazzi in forma aperta, per raccogliere degli spunti e trovare insieme una possibile soluzione,
alla luce di ci`
o che avevamo visto fino a quel momento.
Ci siamo concentrati in modo particolare sulla definizione di un’operazione di addizione fra allineamenti infiniti, poich´e risultava piuttosto semplice e naturale; tuttavia ad uno sguardo pi`
u attento
abbiamo scoperto che, indagando pi`
u a fondo, tale semplicit`a era solo apparente: abbiamo riscontrato infatti una serie di difficolt`
a che all’inizio non avevamo considerato, ma che sono emerse man
mano che procedevamo.
Per quanto riguarda l’operazione di moltiplicazione, invece, mi sono limitato a dire che essa pu`o
essere definita in modo analogo, ma non ho esplicitato il metodo, essendo esso molto pi`
u complicato
e ricco di casi possibili.
In ogni caso, ho ritenuto di dover ribadire in pi`
u occasioni la necessit`a di dare una dimostrazione
formale di tutte le affermazioni che facevo, che nonostante apparissero agli studenti quasi ovvie, in
realt`
a necessitavano di una giustificazione rigorosa.
La definizione di una relazione d’ordine `e risultata meno problematica rispetto alla definizione delle
operazioni aritmetiche.
Una volta dotato l’insieme degli allineamenti infiniti di una struttura, siamo finalmente riusciti a
raggiungere lo scopo che ci eravamo preposti, ovvero quello di costruire un nuovo insieme numerico
con il quale affrontare il problema della misura di distanze su una retta.
Gli aspetti che non abbiamo avuto tempo di approfondire, ossia la definizione di un elemento opposto (per via delle difficolt`
a ho preferito soltanto accennare alla questione dell’elemento inverso) e
l’interpretazione geometrica della nuova relazione d’ordine, li ho lasciati ai ragazzi come problemi
aperti sui quali riflettere individualmente.
64
4.7.5
Quinta lezione
Considerata l’importanza rivestita dall’argomento in essa affrontato, la quinta ed ultima lezione
`e stata quasi interamente dedicata alla propriet`a di completezza dell’insieme dei numeri reali cos`ı
costruito. Data la difficolt`
a associata al concetto di completezza, che per essere definito necessita
della nozione di estremo superiore - nozione che i ragazzi avrebbero incontrato a breve -, ho proposto la questione in termini leggermente differenti, ma equivalenti (seguendo l’esempio di Giovanni
Prodi in [12]).
Dopodich´e, per visualizzare il problema, ne ho dato una interpretazione geometrica, ricorrendo
ancora una volta al modello della retta euclidea, e confrontando l’assioma di Hilbert (nella forma
proposta da Cantor) per la completezza della retta con la propriet`a di completezza dell’insieme
degli allineamenti decimali infiniti.
Cos`ı facendo, purtroppo, il rischio era per`o quello che i ragazzi considerassero equivalenti la propriet`
a dimostrabile della completezza dell’insieme dei reali cos`ı costruito e la propriet`a di completezza postulata da Hilbert per la retta geometrica. Senza scendere in dettaglio in questioni troppo
avanzate per essere affrontate in una scuola secondaria, ho cercato di spiegare ai ragazzi che le due
propriet`
a, sebbene rappresentino due facce della stessa medaglia, non sono equivalenti. La retta
euclidea e l’insieme degli allineamenti decimali infiniti costituiscono due differenti modelli dell’insieme dei numeri reali, poich´e entrambi gli enti soddisfano gli assiomi che lo definiscono; tuttavia,
mentre per il nostro insieme di espansioni decimali infinite `e possibile dimostrare la propriet`
a di
completezza, la retta euclidea necessita di un assioma ad hoc.
Dopo aver trattato il concetto di completezza ho ritenuto opportuno riflettere sul modo in cui
essa contraddistingue l’insieme dei numeri reali da tutti gli altri insiemi numerici precedentemente
incontrati: richiamando il concetto algebrico di cardinalit`a di un insieme, ho dimostrato la numerabilit`
a dell’insieme dei numeri interi e razionali, cercando di far capire ai ragazzi l’importanza di una
dimostrazione rigorosa (che non significa necessariamente complessa) anche quando determinate
propriet`
a degli oggetti matematici sembrano essere ovvie.
Ho terminato la lezione con una dimostrazione elementare della non numerabilit`a dell’insieme dei
numeri reali, che poi ho discusso insieme ai ragazzi, ed in maniera del tutto estemporanea ne ho
dato una interpretazione probabilistica.
4.8
Conclusione del percorso
Dopo la conclusione del progetto didattico ho riunito insieme tutto il materiale che avevo utilizzato
per preparare gli interventi, riorganizzandolo in modo da ricavarne un fascicoletto, una sorta di
appunti delle lezioni svolte che ho fatto avere ai ragazzi tramite il Prof. Casaglia.
All’interno degli appunti ho incluso un breve testo in forma di dialogo, dal tono informale e disimpegnato, come ulteriore occasione per meditare sui problemi con cui ci eravamo confrontati lungo
il percorso e per anticipare ci`
o che i ragazzi avrebbero incontrato l’anno successivo. Attraverso il
dialogo i ragazzi hanno avuto l’opportunit`a di osservare il lavoro svolto da un’altra prospettiva,
ricollegandosi comunque al problema della misura, dal quale eravamo partiti.
65
Capitolo 5
Questionario in ingresso
1. Sapresti rappresentare con un diagramma di Eulero-Venn i vari insiemi numerici N, Z, Q, R?
Dove collocheresti i numeri irrazionali e perch´e?
2. Tra i numeri della prima colonna, quali sono naturali, interi, razionali, irrazionali, reali?
Barra la casella corrispondente o le caselle corrispondenti, se ritieni che pi`
u opzioni siano
corrette.
numero
naturale
intero
razionale
irrazionale
reale
0
1
3
√
− 4
2
2
√
√2
8
π
1 2
5
−0.2¯
5
5.00
√
q
3. Secondo te, le due espressioni frazione e numero razionale hanno lo stesso significato, cio`e
si riferiscono allo stesso oggetto matematico? In caso negativo, motiva la tua risposta,
eventualmente facendo degli esempi.
4. Considera le due diverse scritture 1 e 0.¯9. Esse rappresentano lo stesso numero oppure si
riferiscono a due numeri differenti? Vale, ad esempio, 0.¯9 < 1 oppure 0.¯9 = 1? [Suggerimento:
prova a riportare 0.¯
9 in forma frazionaria. Quali considerazioni puoi trarre dal risultato?]
5. Considera le tre differenti scritture 13 , 0.3333 . . . e 0.3333: esse denotano lo stesso numero
oppure no? In ogni caso, motiva la tua risposta.
6. Data la frazione 144
233 , eseguendo la divisione si ottiene un numero decimale finito, infinito
periodico oppure infinito non periodico? Prova a giustificare la tua risposta.
` giusto o sbagliato scrivere l’uguaglianza
7. E
alla tua conclusione.
√
1+ 5
2
66
=
46368
28657 ?
Spiega brevemente come sei giunto
8. Secondo te il numero 0.13113311133311113333 . . . `e periodico? In caso affermativo sottolinea
le cifre del periodo, in caso negativo giustifica brevemente la tua risposta.
9. Esistono altri numeri razionali compresi fra 13 e 23 ? Se hai risposto s`ı, saresti in grado di
indicarne almeno uno? Se hai risposto no, su quale ragionamento ti sei basato?
10. Dati i due numeri decimali 0.21 e 0.22, esistono altri numeri decimali compresi fra di essi? Se
hai risposto s`ı, indicane almeno uno, altrimenti spiega come sei giunto alla tua conclusione.
√
11. Come ben saprai, il numero 2 = 1.4142 . . . `e un numero decimale illimitato non periodico,
ovvero le cifre della sua parte decimale non si ripetono mai in modo regolare da un certo punto
in poi. Ci`
o premesso, ritieni
√ sia possibile indicare sulla retta in maniera esatta (almeno in
linea teorica) il punto x = 2? Perch´e s`ı/no? E se ti chiedessi di indicare, sempre in maniera
esatta, il punto x = 17 ? [Suggerimento: considera una retta in cui siano gi`a stati assegnati i
punti x = 0 e x = 1.]
Esempio
o essere indicato in maniera esatta sulla retta: esso costituisce il punto
Il punto x = 21 pu`
medio fra i due punti 0 e 1, che siamo in grado di trovare utilizzando una riga ed un compasso.
12. Ripensando alla domanda precedente, considera le seguenti affermazioni. Quali di esse sono
corrette?
` sempre possibile individuare in maniera esatta un numero decimale sulla retta, sia
E
esso limitato o illimitato, periodico oppure no.
` possibile individuare in maniera esatta sulla retta ogni numero decimale limitato.
E
` possibile individuare in maniera esatta sulla retta ogni numero decimale limitato ed
E
ogni numero decimale illimitato e periodico.
` possibile individuare sulla retta in maniera esatta solo alcuni numeri decimali
E
illimitati e non periodici.
Nessuna fra le affermazioni precedenti `e esatta.
Sapresti, eventualmente facendo degli esempi, argomentare la tua scelta (o le tue scelte, se
sono pi`
u di una)?
13. Secondo te `e esatta l’affermazione comunque dati due numeri razionali a e b, con a < b, esiste
sempre un numero razionale c con la propriet`
a che a < c < b?
` corretto dire che i numeri razionali sono di pi`
14. E
u rispetto ai numeri interi? E dire che i
numeri reali sono di pi`
u rispetto ai numeri razionali? Come giustificheresti le tue risposte?
` possibile, eseguendo una divisione fra numeri interi, ottenere un numero decimale infinito
15. E
ma non periodico? Sapresti argomentare, anche con degli esempi, la tua risposta?
67
Capitolo 6
Prima lezione: introduzione ai
numeri reali
6.1
Il problema della misura
Fin dai tempi pi`
u antichi l’essere umano ha avvertito l’esigenza di dare una stima quantitativa
delle propriet`
a degli oggetti, propriet`
a che siamo soliti chiamare grandezze; il procedimento mediante il quale ad ogni grandezza dello stesso genere viene associato un (unico!) valore numerico `e
detto misurazione di quella grandezza, ed il valore associato `e detto misura.
Detto in questi termini, il procedimento di misurazione di una grandezza sembra essere qualcosa
di estremamente semplice ed immediato, senza particolari controindicazioni; in realt`a la cosa non `e
poi cos`ı banale, come `e testimoniato dal fatto che esiste un’intera branca della Fisica che si occupa
del problema della misura.
Ogni volta che operiamo una misura di qualunque genere dobbiamo essere consapevoli del fatto
che `e inevitabile commettere degli errori, errori che possono dipendere da diversi fattori.
- Ognuno di noi percepisce la realt`
a circostante in modo soggettivo attraverso i propri sensi,
perci`
o accade che persone differenti ottengano risultati differenti pur valutando lo stesso
oggetto.
- Gli strumenti di misura sono opera dell’uomo, perci`o sono tutt’altro che perfetti; occorre
tener conto del fatto che le loro imperfezioni condizionano in modo pi`
u o meno rilevante il
risultato di una misurazione.
- Inoltre gli stessi strumenti hanno una precisione limitata, di conseguenza il risultato di ogni
misurazione sar`
a soltanto un’approssimazione del valore reale.
Facciamo un esempio molto semplice: supponiamo di voler misurare la lunghezza di una normale
pagina di formato A4; avendo a disposizione una semplice riga con una scala in centimetri, siamo
in grado di dare una prima stima della lunghezza della nostra pagina, che risulta grosso modo
compresa fra 29 e 30 centimetri.
Qualcuno di noi potrebbe essere gi`
a soddisfatto da questa prima stima, ma questa `e ben lontana
dall’essere la reale lunghezza della pagina.
Per avere una misura pi`
u accurata si potrebbe utilizzare una riga in cui, oltre alla divisione in
centimetri, vi sia anche quella in millimetri: vediamo allora che la lunghezza della nostra pagina `e,
con buona approssimazione, 29 centimetri e 7 millimetri o, per scrivere la stessa cosa in maniera
pi`
u compatta, 29.7 centimetri.
Siamo sicuri che questo valore rappresenti la misura esatta che stiamo cercando di ottenere? Utilizzando una buona lente di ingrandimento vediamo che il vertice della pagina, che a prima vista
sembrava coincidere con la settima tacca dei millimetri dopo il valore intero dei 29 centimetri, in
realt`
a non vi coincide perfettamente: la tacca ed il vertice individuano un piccolo segmento, che
per quanto piccolo possa essere, esiste e non pu`o essere ignorato.
Per riuscire a valutare la lunghezza di tale segmento abbiamo bisogno di uno strumento pi`
u sofisticato, in grado di misurare, ad esempio il decimo, o forse il ventesimo di millimetro; tuttavia
68
nessuno pu`
o garantirci che, ad un ulteriore e pi`
u potente ingrandimento, non si verifichi nuovamente la stessa situazione.
L’occhio umano possiede quella che si dice una risoluzione piuttosto limitata, in quanto esso non `e
in grado di distinguere due punti che si trovano a distanza inferiore a 0.1 millimetri; ci`o che accade
`e che i due punti vengono percepiti come coincidenti ed il nostro cervello restituisce l’immagine di
un unico punto.
Quello che abbiamo esaminato `e solo un possibile esempio; in realt`a la stessa situazione si verifica
ogni volta che dobbiamo misurare una qualunque grandezza.
Fermiamoci un attimo a riflettere: per quanto si possa (e si pu`o, almeno in linea teorica) raffinare una misurazione fino a raggiungere la precisione desiderata - ad esempio costruendo strumenti
sempre pi`
u precisi -, prima o poi saremmo costretti a fermarci, altrimenti potremmo continuare
questo processo all’infinito senza mai essere sicuri di aver trovato la misura esatta. Per di pi`
u, non
avrebbe senso cercare di ottenere con strumenti reali una precisione infinita, per il semplice fatto
che essi stessi sono imperfetti e restituiscono valori pi`
u o meno, ma comunque, alterati.
Di conseguenza il valore numerico derivante da ogni misurazione pratica sar`a caratterizzato da un
determinato numero finito di cifre, a seconda del grado di precisione che la situazione richiede. In
altre parole, ogni misura pratica sar`a espressa per mezzo di un numero razionale (seguito dall’unit`
a
di misura specifica) e non un numero razionale qualunque, bens`ı di un tipo molto particolare: si
tratta, infatti, di un numero decimale finito.
Da questa riflessione sorge una domanda: dal momento che, nella pratica, i numeri razionali sono
sufficienti per approssimare con precisione arbitraria la misura di ogni grandezza, perch´e i matematici non sono soddisfatti ed introducono un insieme di numeri pi`
u ampio, nella fattispecie
l’insieme dei numeri reali?
Ripercorrendo la storia del pensiero matematico, vediamo che l’ampliamento di un insieme numerico `e dettato da esigenze di ordine pratico (l’introduzione dei numeri negativi ha permesso di
semplificare il sistema di calcolo di crediti e debiti, i numeri razionali entrano in gioco quando si
tratta di suddividere l’unit`
a in parti pi`
u piccole), ma questa volta ci troviamo di fronte ad una
situazione del tutto nuova.
La motivazione addotta non pu`
o essere di ordine pratico, poich´e abbiamo appena detto che nella
pratica sono sufficienti i numeri razionali (per essere pi`
u precisi, `e sufficiente un sottoinsieme dei
numeri razionali); di conseguenza il passaggio dall’insieme Q all’insieme dei numeri reali R `e accompagnato da considerazioni puramente teoriche.
La realt`
a `e che, a differenza del fisico, il quale si occupa di problemi essenzialmente pratici, il matematico, per la sua stessa natura, `e portato in generale ad astrarre dal mondo reale e a costruire
modelli ideali, all’interno dei quali ha senso, per esempio, misurare una lunghezza con precisione
infinita. Per poter fare ci`
o i numeri razionali non sono pi`
u sufficienti: esistono infatti segmenti la
cui lunghezza non `e esprimibile in maniera esatta per mezzo di un numero razionale, basti pensare
alla diagonale del quadrato, oppure alla diagonale del pentagono regolare, o ancora alla diagonale
del cubo, ma anche molto pi`
u semplicemente all’altezza del triangolo equilatero (tutti supposti di
lato unitario).
Il nostro proposito `e il seguente: vorremmo costruire un righello ideale in grado di misurare la
lunghezza di ogni segmento immaginabile con precisione infinita.
Quando vogliamo misurare la lunghezza di un segmento, ci`o che facciamo `e disporre il righello
parallelamente al segmento e, mantenendolo parallelo, spostarlo fino a far coincidere lo zero con un
estremo del segmento, per poi andare a leggere sulla scala graduata la posizione dell’altro estremo:
il valore che leggiamo rappresenta la lunghezza del nostro segmento.
Il nostro righello ideale funzioner`
a esattamente allo stesso modo, ma con alcune differenze fondamentali.
- A differenza di un righello reale, che ha un’estensione finita, il nostro righello ideale deve
poter misurare lunghezze arbitrariamente grandi, e di conseguenza deve essere prolungabile
quanto si vuole.
- In un righello reale, per evidenti motivi di spazio, non tutti i punti possono essere contrassegnati da un valore; in altre parole, su di esso possiamo leggere soltanto un numero limitato di
lunghezze, a seconda della finezza della scala utilizzata. Per capirsi, se abbiamo un righello in
cui la pi`
u piccola divisione della scala `e il millimetro, esso potr`a misurare in maniera esatta
tutti e soli i segmenti la cui lunghezza `e un multiplo del millimetro. Nel nostro righello idea69
le, invece, faremo in modo che ad ogni punto sia associata un’etichetta sulla quale leggere il
valore corrispondente.
E quale ente geometrico `e il pi`
u idoneo per costruire il nostro righello ideale se non quello che,
usando le parole di Euclide, `e lunghezza senza larghezza, e costituisce la pi`
u breve estensione da
un punto ad un altro - ossia ci`
o che noi chiamiamo retta1 ?
6.2
Introduzione al Point Location Algorithm
Consideriamo dunque una qualunque retta geometrica; dopo aver fissato su di essa un punto
privilegiato, che chiameremo origine ed indicheremo con 0, a partire dall’origine stabiliamo un
senso di percorrenza, che chiameremo verso positivo2 . Prendiamo poi un segmento a piacere,
la cui lunghezza considereremo unitaria; partendo dall’origine e procedendo nel verso positivo con
passi di lunghezza unitaria, marcheremo i punti incontrati con i gi`a noti numeri naturali
1, 2, . . . , n, . . .
A questo punto, partendo nuovamente dall’origine, ma procedendo nel verso opposto, sempre con
passi di lunghezza unitaria, marcheremo i punti incontrati con gli stessi numeri, ma preceduti dal
segno meno, per indicare che stavolta ci siamo mossi nel verso opposto.
Una volta sistemati i numeri interi, `e semplice ma non per questo banale associare ad ogni punto
razionale3 x della retta una frazione (compresi i punti corrispondenti ai numeri interi): tale frazione, in valore assoluto, corrisponde al rapporto tra la lunghezza del segmento individuato da x
con l’origine e quella del segmento unitario, ed in qualche modo ci d`a informazioni sulla distanza
di x dall’origine.
Tuttavia gli stessi matematici greci erano a conoscenza dell’esistenza di certi punti della retta ai
quali era impossibile associare una frazione, poich´e incommensurabili con il segmento unitario:
per questo tipo di punti i Greci non avevano elaborato un metodo notazionale, poich´e non avevano
ancora sviluppato i mezzi indispensabili per comprendere e rappresentare i numeri irrazionali.
Di fatto, se ci limitiamo ai numeri razionali, l’etichettatura dei punti della retta `e destinata a rimanere incompleta. Ma, a differenza degli antichi Greci, al giorno d’oggi possediamo una conoscenza
molto pi`
u ampia dei numeri irrazionali e siamo in grado di portare a termine il compito.
Ci`
o che ci apprestiamo a fare `e presentare un algoritmo, detto PLA (acronimo di Point Location
Algorithm, in Italiano Algoritmo di Localizzazione dei Punti), il cui funzionamento `e il seguente:
dato un qualunque punto della retta, il PLA gli associa un’etichetta - che consiste in un allineamento decimale infinito - in modo essenzialmente unico.
Prima di procedere `e opportuno precisare un paio di concetti. Di solito con la parola algoritmo
si intende una lista finita di istruzioni che, eseguite su uno o pi`
u dati in input, restituiscono un
risultato in modo univoco. La finitezza della lista e l’univocit`a del risultato sono requisiti irrinunciabili di un buon algoritmo: nel caso del PLA, invece, la procedura `e infinita e pu`o accadere che,
a seconda dell’input, esso restituisca non uno ma due diversi risultati in base alla strada seguita.
Con l’espressione essenzialmente unico vogliamo dire che, nel caso in cui otteniamo due risultati,
essi sono da considerarsi, come poi vedremo, equivalenti.
La nostra intenzione `e quella di dare un significato numerico ad ognuno dei possibili allineamenti
infiniti ottenuti tramite il PLA: vogliamo poterli considerare come numeri che misurano lunghezze
di segmenti, o, che `e la stessa cosa, distanze tra punti di una retta; pi`
u nello specifico, dato un qualunque punto x sulla retta, vogliamo poter considerare l’allineamento decimale infinito associato a
x dal PLA come un indicatore della sua distanza dall’origine.
1 In realt`
a Euclide non parla mai di retta nel senso in cui la intendiamo noi oggi. Euclide parla di retta terminata,
ossia ci`
o che noi chiameremmo segmento, che si pu`
o estendere indefinitamente da entrambe le parti.
2 Una retta sul quale sia stato stabilito un verso si dice anche retta orientata.
3 Per punto razionale si intende un punto che individua con l’origine un segmento commensurabile con il segmento
unitario.
70
6.3
Operazione preliminare: partizione decimale della retta
Si prenda allora una retta geometrica in cui tutti i punti razionali sono contrassegnati da una
frazione. Per adesso ci limiteremo ad esaminare la semiretta positiva ed, in particolare, l’intervallo
[0, 1[, ma lo stesso procedimento pu`o essere esteso senza grandi difficolt`a all’intera retta.
Dal momento che tutti noi abbiamo maggiore familiarit`a con il sistema di rappresentazione dei
numeri in base dieci, per il momento ci limiteremo a lavorare con esso, tenendo ben presente che
non `
e l’unico possibile e per certi versi non `e neppure il pi`
u conveniente4 ; tuttavia lo stesso
argomento, con opportuni adattamenti, funziona allo stesso modo anche scegliendo basi diverse,
ad esempio quella binaria o quella sessagesimale.
Per non creare confusione, nella rappresentazione decimale utilizzeremo il punto al posto della
virgola, che utilizziamo invece per separare gli estremi di ogni intervallo.
- Primo passo
Dividiamo l’intervallo [0, 1[ in 10 subintervalli disgiunti chiusi a sinistra e aperti a destra di
egual lunghezza, ai quali assegniamo, da sinistra a destra, i numeri da 0 a 9. In questo modo
abbiamo creato quella che comunemente si dice una partizione del nostro insieme [0, 1[.
Denotiamo gli estremi sinistri di tali subintervalli con
0.0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9.
Dopo questo primo passo l’estremo sinistro del k1 -esimo5 intervallo sar`a denotato con 0.k1 ,
che andr`
a a sostituire la frazione decimale
k1
10 .
- Secondo passo
Andiamo avanti e dividiamo ognuno degli intervalli ottenuti al passo precedente in 10 ulteriori
subintervalli, che numeriamo come prima da destra a sinistra con i numeri da 0 a 9.
Esempio 6.3.1. Per fissare le idee, eseguiamo uno zoom sull’intervallo corrispondente alla
scelta k1 = 3, cio`e [0.3, 0.4[. Dividiamolo in 10 subintervalli come abbiamo fatto al passo
precedente e denotiamo gli estremi sinistri dei subintervalli cos`ı ottenuti con
0.30, 0.31, 0.32, . . . , 0.39.
In generale, se scegliamo l’intervallo k2 -esimo all’interno di [0.3, 0.4[, il suo estremo sinistro
sar`
a contrassegnato da 0.3k2 .
Lasciando allora k1 generico, l’estremo sinistro di ogni intervallo di questa seconda partizione
1 +k2
sar`
a contrassegnato da 0.k1 k2 , che andr`a a sostituire la frazione 10k10
.
2
- ...
- n-esimo passo
Se andiamo avanti raffinando la partizione decimale della retta, cio`e eseguendo ogni volta
uno zoom sugli intervalli ottenuti al passo precedente e dividendoli in altre dieci parti uguali,
al passo n-esimo avremo ottenuto una partizione con esattamente 10n intervalli di lunghezza 101n . L’estremo sinistro di ogni intervallo di questa partizione sar`a contrassegnato da
0.k1 k2 . . . kn , scrittura che andr`a a sostituire la frazione
10n−1 k1 +10n−2 k2 +...+10kn−1 +kn
.
10n
- ...
4 Ad
5 Per
esempio per il funzionamento dei computer `
e sufficiente il codice binario.
comodit`
a ci conviene iniziare la numerazione da zero, per cui daremo senso all’espressione 0-esimo intervallo.
71
Osservazione 6.3.2. Consideriamo un punto x ∈ [0, 1[ della partizione decimale della retta al passo
n-esimo, della forma x = 10ln , dove l non `e un multiplo6 di 10. Allora x sar`a l’estremo sinistro di
un unico intervallo della partizione al passo n-esimo.
345
, che corrisponde alla scelta n = 3, l = 345; x `e l’intervallo sinistro del
Esempio 6.3.3. Sia x = 1000
trecentoquarantacinquesimo intervallo tra i mille della nostra partizione al terzo passo. Per arrivare
a x abbiamo superato 3 · 100 + 4 · 10 + 5 intervalli. Associamo a x il suo allineamento decimale: in
prima battuta, x si trova all’interno dell’intervallo [0.3, 0.4[ della prima partizione; eseguiamo uno
zoom su [0.3, 0.4[ e dividiamolo in 10 parti uguali, passando alla seconda partizione. Vediamo che
x si trova all’interno di [0.34, 0.35[; di nuovo, eseguiamo uno zoom su [0.34, 0.35[ e dividiamolo in
10 parti uguali, passando alla terza partizione. Ritroviamo finalmente x come estremo sinistro di
[0.345, 0.346[. Concludiamo che il punto x `e identificabile attraverso l’allineamento decimale 0.345.
Notiamo che 0.345 `e anche il risultato della divisione di 345 per 1000.
Riprendendo l’Osservazione 6.3.2, ad ogni x della suddetta forma possiamo associare un unico
allineamento decimale finito del tipo 0.k1 k2 . . . kn , con kn 6= 0.
Osservazione 6.3.4. L’allineamento 0.k1 k2 . . . kn , con kn 6= 0, associato ad un punto x ∈ [0, 1[
della partizione decimale della retta al passo n-esimo coincide con l’allineamento ottenuto applicando il noto algoritmo di divisione (LDA, acronimo di Long Division Algorithm) alla frazione
10n−1 k1 +10n−2 k2 +...+10kn−1 +kn
.
10n
Notazione 1. Se prendiamo sulla retta un punto x della partizione al passo n-esimo, non necessariamente appartenente all’intervallo [0, 1[, ma ad esempio all’intervallo [m, m + 1[, con m > 0
intero, scriveremo l’allineamento decimale associato a x non come m.k1 k2 . . . kn , ma nella forma
m + 0.k1 k2 . . . kn .
6.3.1
Punti esclusi dalla partizione decimale
Non `e difficile osservare che alla nostra partizione decimale - per quanto essa possa essere resa
arbitrariamente fine - sfuggono alcuni punti, persino punti razionali.
Esempio 6.3.5. Tutti sappiamo che la frazione 13 non pu`o essere equivalente ad una frazione decimale, perch´e una frazione decimale d`
a luogo ad un numero decimale finito, mentre la divisione di
1 per 3 d`
a luogo ad un decimale periodico.
` semplice vedere che ad ogni passo del processo di partizione decimale della retta il punto x = 1
E
3
appartiene sempre al terzo intervallo: infatti
3
1
4
< <
10
3
10
33
1
34
< <
100
3
100
...
33 . . . 3
1
33 . . . 4
< <
100 . . . 0
3
100 . . . 0
...
e cos`ı via.
6 Se l fosse un multiplo di 10 potremmo semplificare la frazione di un fattore 10 e risaliremmo alla partizione
precedente, ossia la (n − 1)-esima.
72
Capitolo 7
Seconda lezione: il PLA
7.1
Breve riassunto della lezione precedente
Prima di proseguire il nostro percorso riassumiamo rapidamente i passaggi fondamentali che
abbiamo affrontato la volta scorsa.
1. Abbiamo considerato una retta geometrica in cui abbiamo stabilito un’origine ed un verso;
abbiamo visto che i Greci erano in grado di associare ad ogni punto razionale della retta una
frazione (in realt`
a infinite frazioni equivalenti), ma si erano fermati di fronte al problema
dei punti non razionali, per i quali non avevano elaborato una notazione.
2. Per semplicit`
a ci siamo poi limitati alla semiretta positiva e in particolare all’intervallo [0, 1[.
3. Abbiamo creato una serie di partizioni dividendo prima [0, 1[ in 10 subintervalli disgiunti,
chiusi a sinistra ed aperti a destra, di egual lunghezza, che abbiamo numerato da sinistra a
destra con i numeri da 0 a 9; abbiamo suddiviso ognuno di questi in altri 10 subintervalli
disgiunti, chiusi a sinistra ed aperti a destra, di egual lunghezza, che abbiamo numerato da
sinistra a destra con i numeri da 0 a 9, e cos`ı via.
4. Dato un punto x ∈ [0, 1[ della partizione decimale della retta al passo n-esimo, della forma
x = 10ln , dove l non `e un multiplo di 10, abbiamo osservato che x `e l’estremo sinistro
di un unico intervallo della partizione al passo n-esimo e gli abbiamo associato un unico
allineamento decimale finito del tipo 0.k1 k2 . . . kn , con kn 6= 0.
5. Abbiamo constatato che tale allineamento decimale coincide con l’allineamento ottenuto
applicando LDA alla frazione
10n−1 k1 + 10n−2 k2 + . . . + 10kn−1 + kn
.
10n
6. Abbiamo esteso la notazione anche a punti della partizione decimale di intervalli del tipo
[m, m + 1[, utilizzando la scrittura m + 0.k1 k2 . . . kn al posto di m.k1 k2 . . . kn .
7. Infine abbiamo osservato che tutti i punti irrazionali e gran parte dei punti razionali rimangono esclusi dalla partizione.
Per motivi che in seguito vedremo, d’ora in poi ragioneremo soltanto su intervalli chiusi, e non pi`
u
aperti a destra come abbiamo fatto fino a questo momento.
7.2
Il PLA
Passiamo a descrivere il funzionamento del PLA, al quale abbiamo accennato nella lezione precedente: ci`
o che vogliamo fare `e illustrare come il nostro algoritmo di localizzazione associa ad un
punto x della retta, per adesso in [0, 1], un’etichetta che permetta di identificarlo.
73
7.2.1
PLA per i punti esclusi dalla partizione
Iniziamo considerando proprio quei punti che rimangono esclusi dalla nostra partizione decimale.
Sia x ∈ [0, 1] un tale punto.
- Primo passo
Poich´e x non `e un punto della partizione al primo passo, esiste uno ed un unico subintervallo,
diciamo il k1 -esimo, tale che x appartiene ad esso. L’estremo sinistro di tale intervallo sar`a
allora x1 = 0.k1 . Passiamo quindi a suddividere l’intervallo [0.k1 , 0.(k1 + 1)]1 .
- Secondo passo
Poich´e x non `e un punto della partizione al secondo passo, esiste un unico intervallo, diciamo
il k2 -esimo, tale che x sta in esso; il suo estremo sinistro sar`a x2 = 0.k1 k2 . Passiamo a
suddividere [0.k1 k2 , 0.k1 (k2 + 1)].
- ...
- n-esimo passo
A questo punto non `e difficile osservare che esiste un unico intervallo di lunghezza 101n
contenente x, diciamo il kn -esimo: il suo estremo sinistro sar`a denotato con xn = 0.k1 k2 . . . kn .
- ...
Osservazione 7.2.1. Ad ogni punto x ∈ [0, 1] escluso dalla partizione decimale, il PLA associa:
- un’unica successione di intervalli chiusi contenuti uno dentro l’altro di lunghezza
1
1 1
,
,..., n,...
10 102
10
tutti contenenti x;
- un’unica successione di allineamenti decimali finiti
x1 , x2 , . . . , xn , . . .
che chiameremo successione di accumulazione di x.
Definizione 7.1. Chiameremo scatola cinese (vedere anche [3]) una successione di intervalli
chiusi tali che:
- ciascun intervallo `e contenuto nel precedente;
- l’ampiezza degli intervalli diventa arbitrariamente piccola.
Definizione 7.2. Sia x ∈ [0, 1] un punto che non appartiene alla partizione decimale della retta e
sia
x1 = 0.k1
x2 = 0.k1 k2
...
xn = 0.k1 k2 . . . kn
...
la sua successione di accumulazione. Si definisce allineamento decimale infinito associato a x
la scrittura 0.k1 k2 . . . kn . . . , dove i puntini indicano che essa non si interrompe, ma continua.
Osservazione 7.2.2. Ha senso chiedersi che relazione ci sia tra l’allineamento decimale infinito
associato dal PLA a x, e gli elementi x1 , x2 , . . . , xn , . . . della sua successione di accumulazione,
ognuno dei quali rappresenta un allineamento decimale finito. Gli xn sono proprio le troncate
n-esime dell’allineamento decimale infinito associato a x dal PLA: per questo motivo chiameremo
la successione x1 , x2 , . . . , xn , . . . anche successione delle troncate di x.
Come abbiamo gi`
a osservato, ogni punto della retta che non appartiene alla partizione decimale si
trova, ad ogni passo, in un unico intervallo di ogni partizione; possiamo quindi dedurre che il PLA
associa ad esso un unico allineamento decimale infinito, con il quale noi andremo ad etichettare
quel punto.
Osservazione 7.2.3. Il significato dei puntini `e, come abbiamo gi`a detto, e cos`ı via. In realt`a
vedremo che non sono molti i punti della retta per i quali possiamo scrivere l’intero allineamento
decimale, essendo esso infinito.
74
√
Esempio 7.2.4. Prendiamo il punto non razionale x = 2: essendo un punto non razionale, sicuramente x non fa parte della partizione decimale della retta, i cui punti sono - per costruzione razionali.
In prima approssimazione, cio`e al passo zero, x ∈ [1, 2]. Andando per tentativi, vediamo che al
primo passo x ∈ [1 + 0.4, 1 + 0.5], poich´e (1 + 0.4)2 < 2 < (1 + 0.5)2 . Procedendo vediamo che
(1 + 0.41)2 < 2 < (1 + 0.42)2
...
(1 + 0.4142135)2 < 2 < (1 + 0.4142136)2
...
per cui il PLA associa a x la scatola cinese
[1, 2]
[1 + 0.4, 1 + 0.5]
[1 + 0.41, 1 + 0.42]
...
[1 + 0.4142135, 1 + 0.4142136]
...
e l’allineamento decimale infinito 1 + 0.4142135 . . . .
Osservazione 7.2.5. Per quanto ne sappiamo adesso, l’unica interpretazione possibile di un allineamento decimale infinito associato ad un punto non razionale `e quella di un codice di localizzazione; ancora non siamo in grado di darne un’interpretazione numerica, perch´e per fare ci`o occorre
definire delle operazioni aritmetiche ed un ordine per allineamenti decimali infiniti arbitrari.
7.2.2
PLA esteso ai punti della partizione
Passiamo adesso a descrivere il funzionamento del PLA sui punti della partizione decimale della
retta, e per farci un’idea di ci`
o che accade, iniziamo con un esempio.
Esempio 7.2.6. Proviamo ad applicare il PLA ad un punto della partizione decimale, ad esempio
1
. Gi`
a al primo passo si verifica un fatto nuovo: x appartiene a due diversi intervalli, ossia
x = 10
[0.0, 0.1] e [0.1, 0.2], essendo il loro estremo comune. Abbiamo due possibilit`a.
- Opzione standard:
si sceglie l’intervallo [0.1, 0.2]. In questo caso la scatola cinese che costruiamo con il PLA `e:
[0.1, 0.2]
[0.10, 0.11]
[0.100, 0.101]
...
[0.100 . . . 00, 0.100 . . . 01]
...
L’allineamento decimale infinito associato a x `e 0.1¯0, che `e lo stesso allineamento ottenuto
con LDA.
Figura 7.1: Opzione standard
- Opzione alternativa:
si sceglie l’intervallo [0.0, 0.1]. In questo caso la scatola cinese che costruiamo con il PLA `e:
[0.0, 0.1]
[0.09, 0.10]
[0.099, 0.100]
...
[0.099 . . . 99, 0.100 . . . 00]
L’allineamento decimale infinito associato a x `e stavolta 0.0¯9
1 Se
k1 = 9, allora l’estremo destro dell’intervallo sar`
a 1.0.
75
...
Figura 7.2: Opzione alternativa
Potremmo avere un problema di ambiguit`
a.
1
, un qualsiasi punto della partizione
La stessa ambiguit`
a si otterrebbe scegliendo, al posto di x = 10
decimale, essendo quest’ultimo sempre l’estremo in comune di due intervalli consecutivi. Si deduce
quindi il seguente risultato.
Teorema 7.2.7. Ad ogni punto x della partizione decimale della retta, non intero, il PLA associa
due allineamenti infiniti e periodici: quello standard che continua con una sequenza infinita di zeri,
ossia m + 0.k1 k2 . . . kn ¯
0 (kn 6= 0) e quello alternativo, ossia m + 0.k1 k2 . . . (kn − 1)¯9 che continua
con una sequenza infinita di nove.
Consideriamo equivalenti le due espansioni infinite associate allo stesso punto della partizione
decimale. Questo fatto non dovrebbe affatto turbarci: come un numero razionale pu`o essere
rappresentato da infinite frazioni equivalenti, non `e poi cos`ı sorprendente che un punto razionale
sulla retta possa ammettere due diverse rappresentazioni. Facciamo una piccola riflessione; per
quale motivo il Teorema 7.2.7 esclude i punti interi?
Esempio 7.2.8. Per capire questo fatto vediamo cosa accade se prendiamo il punto x = 1. Esso `e
l’estremo comune dei due intervalli [0, 1] e [1, 2]; a seconda dell’intervallo di partenza scelto, il PLA
produce due diverse scatole cinesi e due diverse successioni di accumulazione:
- partendo da [0, 1] otteniamo la scatola cinese
[0, 1]
[0.9, 1 + 0.0]
[0.99, 1 + 0.00]
...
[0.99999, 1 + 0.00000]
...
e l’allineamento decimale infinito 0.¯
9;
- partendo da [1, 2] otteniamo la scatola cinese
[1, 2]
[1 + 0.0, 1 + 0.1]
[1 + 0.00, 1 + 0.01]
...
[1 + 0.00000, 1 + 0.00001]
...
e l’allineamento decimale infinito 1 + 0.¯0
Abbiamo quindi due possibili rappresentazioni per il punto x = 1, come ci aspettavamo per il fatto
che esso `e unpunto della partizione decimale della retta quello associato, ad esempio, alla frazione
decimale 1010 .
Osservazione 7.2.9. In generale, dato un punto intero x = m, il PLA associa ad esso i due allineamenti infiniti m+0.¯
0 e (m−1)+0.¯
9, che consideriamo equivalenti e possiamo usare indifferentemente
per etichettarlo.
76
Capitolo 8
Terza lezione: definizione di
numero reale
8.1
Breve riassunto della lezione precedente
Facciamo il punto della situazione: nella scorsa lezione abbiamo presentato un algoritmo - detto
PLA - che, dato un qualunque punto x di una retta geometrica sulla quale avevamo costruito
una partizione decimale, associava a x un allineamento decimale infinito in modo essenzialmente
unico. In realt`
a anche in questo caso ci siamo ristretti alla semiretta positiva concentrandoci prima
sull’intervallo [0, 1] ed estendendo di seguito il procedimento ad ogni intervallo del tipo [m, m + 1],
con m > 0 intero. In particolare abbiamo visto che:
1. se x ∈ [0, 1] `e un punto escluso dalla partizione decimale, allora il PLA gli associa un’unica
scatola cinese
[0.k1 , 0.(k1 + 1)]
[0.k1 k2 , 0.k1 (k2 + 1)]
...
[0.k1 k2 . . . kn , 0.k1 k2 . . . kn−1 (kn + 1)]
...
ed un’unica successione
x1 = 0.k1
x2 = 0.k1 k2
...
xn = 0.k1 k2 . . . kn
...
che abbiamo chiamato successione delle troncate di x, i cui termini corrispondono agli
estremi sinistri degli intervalli sopra elencati.
Abbiamo definito quindi l’allineamento decimale infinito associato a x dal PLA come
0.k1 k2 . . . kn . . . ;
2. se x ∈ [0, 1] `e un punto della partizione decimale, allora il PLA pu`o restituire due risultati, a
seconda della strada seguita. Il punto x `e, in questo caso, l’estremo comune di due intervalli
consecutivi, perci`
o abbiamo due alternative.
◦ Se scegliamo l’opzione standard l’allineamento decimale infinito associato a x dal PLA
`e 0.k1 k2 . . . kn ¯
0, kn 6= 0;
◦ se scegliamo l’opzione alternativa l’allineamento decimale infinito associato a x dal PLA
`e 0.k1 k2 . . . kn−1 (kn − 1)¯9.
Abbiamo poi stabilito che le due scritture sono da considerarsi equivalenti, poich´e si riferiscono entrambe allo stesso punto sulla retta.
3. A questo punto abbiamo esteso il procedimento a tutti i punti della semiretta positiva, esclusi
i punti interi, associando ad ogni x ∈ [m, m + 1] non intero un’unica scrittura (a meno di
un’equivalenza) del tipo m + 0.k1 k2 . . . kn . . .
4. Infine abbiamo considerato a parte i punti interi x = m, con m > 0, ai quali il PLA associa due
possibili allineamenti decimali infiniti, anch’essi equivalenti: essi sono m + 0.¯0 e (m − 1) + 0.¯
9.
77
5. Manca adesso da vedere cosa accade per i punti della semiretta negativa, ma di questo ci
occuperemo in seguito. Per il momento ci accontentiamo di dire che per essi il PLA funziona
esattamente come nel caso dei punti della semiretta positiva.
Possiamo quindi riassumere in un corollario ci`o che abbiamo visto fino ad ora.
Corollario 8.1.1. Ad ogni punto x sulla retta, il PLA associa un allineamento decimale infinito
m + 0.k1 k2 . . . kn . . .
in modo essenzialmente unico, dove con essenzialmente unico intendiamo al solito unico a
meno di un’equivalenza.
Adesso il processo di etichettatura dei punti della retta `e concluso: ogni punto possiede una propria
etichetta che lo identifica in modo univoco.
8.2
Analogie e differenze tra PLA e LDA
Facciamo un passo indietro e ripercorriamo il procedimento di partizione della retta in intervalli
1
1
, 10
, . . . , 101n , . . .
sempre pi`
u fini di ampiezza 10
Avevamo visto che, preso un qualsiasi punto x = 10ln ∈ [0, 1[ della partizione decimale della retta
al passo n-esimo (con l non multiplo di 10), l’allineamento decimale finito 0.k1 k2 . . . kn (kn 6= 0)
ottenuto prendendo ogni volta l’estremo sinistro dell’unico intervallo contenente x, coincideva con
l’allineamento decimale finito ottenuto applicando LDA alla frazione 10ln .
Applicando poi il PLA al punto x = 10ln ottenevamo invece due allineamenti infiniti, ossia
0.k1 k2 . . . kn ¯
0
0.k1 k2 . . . (kn − 1)¯9,
e
che abbiamo stabilito essere equivalenti.
A parte la sequenza infinita di zeri, una delle due scritture coincide con l’allineamento finito proveniente dalla partizione della retta, il quale a sua volta coincide con il risultato della divisione di
l per 10n . Questo ci permette di formulare la seguente osservazione.
Osservazione 8.2.1. Sia x = 10ln ∈ [0, 1] un punto razionale appartenente alla partizione decimale
della retta. Allora, al passo i-esimo del PLA, x appartiene al ki -esimo intervallo se e solo se ki `e
la i-esima cifra dell’allineamento decimale di x ottenuto con LDA.
L’osservazione, di per s´e importante, si riferisce ad un caso molto particolare, ed esclude gran
parte dei punti razionali; vorremmo, se possibile, estenderla a tutti i punti razionali in [0, 1], anche
a quelli non esprimibili in termini di frazioni decimali. Facciamo un esempio.
Esempio 8.2.2. Sia x = 23 ; applicando il PLA a x troviamo che, al primo passo, esso appartiene al
sesto intervallo all’interno di [0, 1], dal momento che
0.6 =
6
2
7
< <
= 0.7.
10
3
10
Andiamo avanti e troviamo che x si trova, al secondo passo, nel sesto intervallo all’interno di
[0.6, 0.7]; infatti
66
2
67
0.66 =
< <
= 0.67.
100
3
100
Andando avanti possiamo vedere che il PLA associa al punto x = 23 l’allineamento decimale periodico 0.¯
6. Proviamo adesso ad eseguire la divisione 2 : 3 in colonna; il risultato `e proprio lo stesso,
e non `e un caso.
Vale un risultato generale, che per`
o riportiamo senza dimostrare.
Teorema 8.2.3. Sia x = hl ∈ [0, 1] un punto razionale non appartenente alla partizione decimale
della retta. Allora, al passo n-esimo del PLA, x appartiene al kn -esimo intervallo se e solo se kn
`e la n-esima cifra dell’allineamento decimale di x ottenuto con LDA.
78
A questo punto ci poniamo un problema: sappiamo che, ogni volta che eseguiamo una divisione
con LDA, il risultato `e un numero decimale periodico1 ; possiamo affermare viceversa che ogni
allineamento decimale periodico pu`o essere ottenuto con LDA? E con il PLA?
¯ tutti noi siamo in grado, usando
Esempio 8.2.4. Prendiamo l’allineamento decimale periodico 0.29;
una semplice formula, di risalire alla sua frazione generatrice:
0.2¯9 =
29 − 2
27
3
=
=
.
90
90
10
Ma se adesso andiamo a calcolare con LDA il quoziente corrispondente a
bens`ı 0.3.
3
10
non otteniamo 0.2¯
9,
Non `e difficile convincersi che questo accade ogni volta che l’allineamento decimale periodico
continua con ripetuti (infiniti) 9.
Osservazione 8.2.5. Gli allineamenti decimali periodici che continuano con infiniti 9 non sono
ottenibili con LDA. Infatti, un allineamento che continua con infiniti 9 proviene da un punto della
partizione decimale della retta, e quindi da una frazione decimale; sappiamo che il quoziente di
una divisione per una qualunque potenza di 10 `e un numero decimale finito, di conseguenza LDA
non pu`
o mai produrre una sequenza infinita di 9.
Osservazione 8.2.6. Ogni allineamento decimale infinito periodico pu`o essere ottenuto con il PLA;
inoltre esiste un unico punto razionale che possiede l’allineamento periodico dato.
8.3
Definizione di numero reale
Adesso che abbiamo esplorato il profondo collegamento esistente tra LDA e PLA, possiamo sfruttare
quest’ultimo per il nostro scopo principale, ossia la costruzione dell’insieme dei numeri reali.
Esistono vari modi, tutti equivalenti, per introdurre l’insieme dei numeri reali: il percorso che
seguiremo noi `e forse uno dei meno eleganti, ma `e certamente quello meno astratto e pi`
u intuitivo.
Definizione 8.1. Si definisce insieme dei numeri reali e si indica con il simbolo R, la collezione
di tutte le espressioni infinite del tipo
x = m + 0.k1 k2 . . . kn . . . ,
dove m `e un numero intero, che chiameremo testa di x, e k1 , k2 , . . . , kn , . . . sono cifre comprese
tra 0 e 9, che formano quella che chiameremo la coda di x.
Notazione 2. Quando m = 0 non scriviamo 0 + 0.k1 k2 . . . kn . . . , ma omettiamo la testa e scriviamo
semplicemente 0.k1 k2 . . . kn . . .
All’inizio di questo percorso abbiamo posto alcune ipotesi di lavoro semplificative: in particolare
abbiamo considerato soltanto la semiretta positiva, lasciando momentaneamente da parte quella
negativa. Tuttavia, nella definizione appena data di numero reale, si richiede che il numero m (che
rappresenta la testa del numero reale) sia semplicemente intero, senza alcuna restrizione sul suo
segno. Ma allora, assegnato un punto x appartenente alla semiretta negativa, qual `e l’allineamento
decimale restituito dal PLA?
Esempio 8.3.1. Prendiamo il punto x = − 31 . Inizialmente x ∈ [−1, 0], perci`o m = −1. Suddividiamo [−1, 0] in 10 subintervalli disgiunti di egual lunghezza, che numeriamo sempre da sinistra
a destra con i numeri da 0 a 9. Partendo da 0 e procedendo nel senso negativo, x appartiene
al terzo subintervallo; di conseguenza, nella numerazione da sinistra a destra, ci troviamo nel sesto subintervallo, corrispondente alla scelta di k1 = 6. Eseguendo i passaggi successivi troviamo
k2 = . . . = kn = . . . = 6, e mettendo insieme tutte le cose abbiamo x = −1 + 0.¯6. Osserviamo che
questo non `e altro che un modo differente di scrivere il numero −0.¯3.
` immediato osservare che l’insieme Q dei numeri razionali `e un sottoinsieme dell’insieme R dei
E
numeri reali: i numeri razionali sono infatti quei numeri reali caratterizzati da una coda periodica.
Utilizzando questa nuova terminologia possiamo dire che il PLA associa ad ogni punto x della retta
1 Per quanto riguarda i quozienti finiti, `
e possibile pensarli come periodici aggiungendo una sequenza infinita di
zeri.
79
geometrica un numero reale m + 0.k1 k2 . . . kn . . . in modo essenzialmente unico.
Dato un punto x sulla retta, siamo in grado di associare ad esso in maniera univoca (a meno di
un’equivalenza) un numero reale: `e sufficiente applicare a x l’algoritmo di localizzazione. Viceversa, siamo in grado di dire se ad ogni numero reale corrisponda un punto x della retta? L’intuito
ci porterebbe a rispondere affermativamente, ma la risposta non `e cos`ı scontata come sembra: gli
assiomi ed i postulati della geometria stabiliti da Euclide risultano non essere sufficienti.
Data un’arbitraria espansione decimale infinita del tipo m + 0.k1 k2 . . . kn . . . , l’intero m e le cifre
k1 , k2 , . . . , kn . . . determinano ovviamente un’unica scatola cinese; tuttavia nessun assioma, teorema o conseguenza di essi nell’ambito della geometria come concepita da Euclide `e in grado di
stabilire se questa scatola cinese sia vuota, o contenga al suo interno un qualche punto della retta.
Fu soltanto nella seconda met`
a del 1800 che un matematico tedesco, David Hilbert, si interrog`o
sulla necessit`
a di dare un fondamento rigoroso alla geometria: nella sua opera Grundlagen der
Geometrie, pubblicata nel 1899, Hilbert stil`
o una lista di 20 assiomi che, da quel momento in poi,
furono assunti come nuova base per la geometria euclidea. Fra questi assiomi, quello di importanza
cruciale per la nostra trattazione `e il seguente, che enunciamo nella forma proposta da Cantor2
(vedere anche [7]).
Assioma 1 (di Cantor per la completezza della retta). Sia A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . una successione infinita di segmenti su una retta, con le seguenti propriet`
a:
- ogni segmento `e situato all’interno del segmento precedente;
- per ogni segmento P Q assegnato esiste un indice k tale che il segmento Ak Bk `e pi`
u piccolo
di P Q.
Allora esiste sulla retta un punto x situato all’interno di tutti i segmenti A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . .
Proposizione 8.3.2. Nelle ipotesi dell’assioma di Cantor vale l’unicit`
a del punto x (la cui esistenza `e assicurata dall’assioma stesso).
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un altro punto y, diverso da x, contenuto in
tutti i segmenti A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . .
Consideriamo il segmento di estremi x e y: per ipotesi esso `e contenuto all’interno di tutti i segmenti
A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . .
Ma allora non pu`
o esistere alcun indice k tale che Ak Bk sia pi`
u piccolo di esso, e questo va contro
le ipotesi: segue un assurdo, e di conseguenza il punto x deve essere unico.
Con l’aiuto dell’assioma di completezza di Cantor siamo adesso in grado di stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali da noi definito e l’insieme dei punti della
retta, che da adesso in poi chiameremo retta reale3 .
2 Nell’opera
di Hilbert questo assioma `
e sostituito dal cosiddetto assioma di integrit`
a, ad esso equivalente.
in poi con l’espressione numero reale ci riferiremo indifferentemente sia ad un allineamento decimale
infinito, sia al corrispondente punto sulla retta.
3 D’ora
80
Capitolo 9
Quarta lezione: operazioni ed
ordine su R
9.1
Breve riassunto della lezione precedente
Nell’ultima lezione abbiamo dato la definizione di numero reale, in maniera astratta: per il momento un numero reale `e semplicemente una scrittura del tipo m + 0.k1 k2 . . . kn . . . , con m ∈ Z e
k1 , k2 , . . . , kn , . . . cifre comprese fra 0 e 9.
Abbiamo poi osservato che tramite il PLA possiamo associare ad ogni punto x della retta geometrica un numero reale m + 0.k1 k2 . . . kn . . . in maniera essenzialmente unica; per far vedere che
vale anche il viceversa, ossia che dato un qualunque numero reale m + 0.k1 k2 . . . kn . . . `e possibile
associare ad esso un unico punto x sulla retta, abbiamo dovuto invocare l’assioma di Cantor per
la completezza della retta. Rivediamone brevemente l’enunciato.
Sia A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . una successione infinita di segmenti su una retta, con
le seguenti propriet`
a:
- ogni segmento `e situato all’interno del segmento precedente;
- per ogni segmento P Q assegnato esiste un indice k tale che il segmento Ak Bk `e
pi`
u piccolo di P Q.
Allora esiste sulla retta un punto x situato all’interno di tutti i segmenti A1 B1 , . . . , An Bn , . . .
Una volta postulata l’esistenza del punto x, dimostrarne l’unicit`a risulta immediato.
Grazie all’assioma di Cantor abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei
numeri reali e l’insieme dei punti della retta, che da adesso in poi chiameremo retta reale.
9.2
Numeri razionali e distanze sulla retta
Se ripensiamo al punto di partenza del nostro percorso, ricordiamo che il nostro proposito `e quello
di dare un significato numerico ad ognuna delle possibili scritture m + 0.k1 k2 . . . kn . . .
Pi`
u precisamente, sia x il punto della retta rappresentato dalla scrittura m + 0.k1 k2 . . . kn . . . :
vogliamo poter considerare quest’ultima come un indicatore della distanza di x dall’origine.
Abbiamo gi`
a identificato l’insieme degli allineamenti decimali infiniti e periodici con l’insieme Q
dei numeri razionali, sul quale sono definiti un ordine totale1 e delle operazioni aritmetiche
con determinate propriet`
a.
Dato un punto razionale x sulla retta, l’allineamento decimale infinito periodico m+0.k1 k2 . . . kn . . .
associato a x in qualche modo misura la distanza di x dall’origine.
Esempio 9.2.1. Consideriamo il punto x = 37 : per segnarlo sulla retta prendiamo l’intervallo [0, 1],
lo dividiamo in sette parti congruenti e prendiamo il segmento costituito dalle prime tre, del quale
x `e l’estremo destro. Essendo 1 la lunghezza dell’intervallo [0, 1], allora 73 `e proprio la lunghezza
1 Dati
due numeri razionali a e b qualunque, o a ≤ b, o b ≤ a (o entrambe).
81
del segmento che ha come estremi l’origine e x. Se applichiamo il PLA al punto x otteniamo
¯
l’allineamento decimale periodico 0.428571,
che non `e altro che il risultato della divisione di 3 per
7, e di conseguenza rappresenta proprio la distanza del punto x dall’origine.
Osservazione 9.2.2. Cosa avremmo potuto dire della sua distanza dall’origine, se invece di
avessimo scelto x = − 37 ?
3
7
Ad allineamenti decimali infiniti non periodici non abbiamo ancora dato un significato numerico:
per il momento ognuno di essi rappresenta semplicemente un codice di localizzazione di un punto
non razionale della retta. Affinch´e si possa dar loro un significato numerico `e necessario, abbiamo
detto, definire anche per essi un ordine e delle operazioni aritmetiche (addizione e moltiplicazione)
che estendano l’ordine e le operazioni gi`
a definite per i numeri razionali. Solo allora i numeri reali
che abbiamo costruito acquisteranno il significato di numeri che misurano distanze sulla retta.
9.3
Il Vertical Addition Algorithm
Tutti noi ricordiamo senza dubbio il modo in cui svolgevamo alle scuole elementari le addizioni tra
due numeri positivi in colonna; ricordiamo anche che il metodo si estendeva senza alcun problema
al caso dei numeri decimali finiti, incolonnando i due addendi in modo da allineare in verticale le
cifre dello stesso ordine (le unit`
a, le decine, le centinaia, ma anche i decimi, i centesimi, eccetera),
e procedendo da destra a sinistra.
Questo metodo per eseguire l’addizione in colonna prende il nome di VAA (acronimo di Vertical
Addition Algorithm): mostreremo che, mediante alcuni accorgimenti, il VAA si pu`o modificare in
maniera tale da poter essere applicato ad allineamenti decimali infiniti arbitrari.
9.3.1
Estensione del VAA ad allineamenti periodici
Vediamo innanzitutto come si pu`
o estendere il VAA ad allineamenti decimali periodici; occorre
convincersi del fatto che la somma di due numeri periodici `e necessariamente un numero periodico. Questo fatto in fondo non ci stupisce in modo particolare: per sommare due numeri periodici
`e sufficiente risalire alle rispettive frazioni generatrici e sommare queste ultime, ottenendo ancora
una frazione, ossia un numero decimale periodico.
Osservazione 9.3.1. Per sommare due numeri periodici `e sufficiente troncare i loro allineamenti
infiniti abbastanza lontano - in modo da assicurarsi che emerga il blocco periodico - e sommarli
con il metodo usuale, da destra a sinistra.
9.3.2
VAA per allineamenti infiniti arbitrari
Dato il loro carattere a priori imprevedibile, per sommare due allineamenti infiniti non periodici
non possiamo pensare di escogitare, come nell’esempio precedente, un espediente che ci permetta
di ricondursi al tradizionale VAA da destra a sinistra.
L’idea vincente per superare questa difficolt`
a `e suggerita dal PLA ed `e quella di definire la somma
di numeri reali tramite le successioni delle loro troncate, che si possono facilmente ottenere a partire
dai loro allineamenti infiniti. Il seguente esempio ci mostra, per`o, che dobbiamo essere prudenti,
poich´e tutto non va cos`ı liscio come si potrebbe supporre.
Esempio 9.3.2. Prendiamo i due numeri x = 0.455413 . . . e y = 0.344681 . . . . Le successioni delle
loro troncate sono
x1 = 0.4
x2 = 0.45
x3 = 0.455
x4 = 0.4554
x5 = 0.45541
...
y1 = 0.3
y2 = 0.34
y3 = 0.344
y4 = 0.3446
y5 = 0.34468
...
Definiamo la seguente successione, detta successione delle somme:
s1 = 0.7
s2 = 0.79
s3 = 0.799
s4 = 0.8000
s5 = 0.80009
...,
dove sn = xn + yn per ogni indice n.
Osservazione 9.3.3. La successione delle somme associata a due numeri reali non `
e necessariamente una successione di troncate.
82
Se vogliamo definire la somma di due numeri reali x e y a partire dalle successioni delle loro troncate,
il metodo diretto fallisce; occorre allora elaborare una strategia che ci permetta di ottenere uno
dopo l’altro, non solo i termini della successione delle somme di x e y, ma anche quelli della
successione delle troncate di x + y.
Riprendiamo l’esempio (9.3.2), e seguiamo questa volta le variazioni delle cifre decimali dei termini
della successione delle somme a causa dei vari riporti che dobbiamo eseguire.
- s1 = x1 + y1 = 0.7; per scoprire se l’ultima cifra (in questo caso il 7) pu`o subire cambiamenti
nei termini successivi della successione delle somme, calcoliamo s2 .
- s2 = x2 + y2 = 0.79, cio`e l’ultima cifra di x2 + y2 `e 9; essa stessa potrebbe subire un cambiamento a causa di un riporto, passando da 9 a 0 e provocando a sua volta un cambiamento
anche nella cifra precedente, che passerebbe da 7 a 8. Andiamo avanti e passiamo a s3 .
- s3 = x3 + y3 = 0.799: ancora, l’ultima cifra `e 9, per cui sia essa, sia le cifre precedenti,
possono ancora cambiare.
- s4 = x4 + y4 = 0.8000. Abbiamo finalmente un termine della successione delle somme con
l’ultima cifra diversa da 9. Da questo momento in avanti siamo certi che le cifre decimali
dalla prima fino alla penultima non potranno pi`
u cambiare. Infatti, possiamo osservare due
importanti fatti:
◦ una cifra pu`
o aumentare, a causa di un riporto, soltanto di uno (il 9 diventa 0 e provoca
un ulteriore riporto sulla cifra precedente);
◦ una volta che una cifra ha subito un cambiamento, essa non pu`o pi`
u cambiare.
Non siamo ancora sicuri dell’ultima cifra, che invece pu`o cambiare di nuovo. Proseguiamo.
- s5 = x5 + y5 = 0.80009. Poich´e l’ultima cifra `e un 9, che pu`o a sua volta cambiare e produrre
un riporto sulla cifra precedente, calcoliamo il termine successivo della successione.
- s6 = x6 + y6 = 0.800094: l’ultima cifra `e diversa da 9, di conseguenza le cifre dalla prima
alla quinta rimarranno d’ora in poi invariate. Non siamo ancora sicuri di ci`o che accadr`
a
all’ultima cifra.
- ...
Continuando in questo modo possiamo calcolare, una per volta, tutte le cifre della somma x + y.
Osservazione 9.3.4. Seguendo lo schema dell’esempio che abbiamo fatto, dati due numeri reali
qualunque x e y, a partire dalle successioni delle troncate di x e y possiamo sempre definire la
somma x + y.
Osservazione 9.3.5. Questo modo di procedere presenta un aspetto moderatamente inquietante.
Cosa accadrebbe se, da un certo punto in poi, continuassimo a produrre termini della successione
delle somme la cui ultima cifra `e 9? A priori, un tale caso non `e escluso, in quanto `e possibile
in linea di principio che la coda di un numero reale continui con una sequenza infinita di 9. Il
problema `e che, avendo a che fare con un allineamento decimale infinito, non potremmo fare altro
che continuare a calcolare sempre pi`
u cifre, senza sapere se ad un certo punto possa apparire o
meno una cifra diversa da 9. A meno che non volessimo calcolare un numero di cifre potenzialmente
infinito, saremmo costretti prima o poi a fermarci, e rimarremmo comunque in un inevitabile stato
di incertezza.
9.4
Propriet`
a dell’addizione
L’addizione cos`ı definita estende la nota addizione fra numeri razionali; in altre parole la nuova
operazione di addizione che abbiamo prodotto coincide con quella usuale sui numeri razionali e
gode delle stesse propriet`
a.
83
9.4.1
Propriet`
a commutativa ed associativa
L’addizione fra numeri reali gode della propriet`a commutativa: infatti, comunque siano assegnati
due numeri reali x e y, ogni termine (x + y)n della successione delle troncate di x + y `e tale che
(x + y)n = (y + x)n (essendo una somma di numeri razionali), e di conseguenza x + y = y + x. Lo
stesso si pu`
o dire per la propriet`
a associativa.
9.4.2
Elemento neutro ed opposto
Se facciamo un passo indietro e ritorniamo all’insieme Q dei numeri razionali, ci ricordiamo che
l’elemento neutro dell’addizione `e quell’unico numero razionale che siamo soliti indicare con il simbolo 0: lo zero, sommato ad un qualunque numero razionale, non d`
a contributo, cio`e restituisce
il numero razionale di partenza.
L’addizione che abbiamo definito con il VAA sull’insieme dei numeri reali `e, abbiamo detto, un’estensione della gi`
a nota operazione fra numeri razionali, perci`o `e sensato aspettarsi che l’elemento
neutro venga in qualche modo conservato. Nella nuova notazione che abbiamo introdotto, allo zero
`e associata la scrittura 0.¯
0: `e abbastanza semplice dimostrare che, dato un qualunque numero reale
x = m + 0.k1 k2 . . . kn . . . , la somma x + 0.¯
0 coincide semplicemente con x.
Osservazione 9.4.1. Abbiamo visto che ad ogni punto della partizione decimale della retta il PLA
associa due diverse espansioni infinite, una che continua con infiniti 0 e l’altra che continua con
infiniti 9. Essendo x = 0 tale, anch’esso deve ammettere una doppia rappresentazione. Si pu`o
infatti scrivere semplicemente come 0.¯
0, ma anche (e vedremo che questo `e cruciale) come −1 + 0.¯9.
Definizione 9.1 (Opposto di un numero reale). Dato x ∈ R, si definisce un opposto di x un
numero reale y che, sommato a x, dia l’elemento neutro.
Esempio 9.4.2. Qual `e un opposto del numero reale x = −3 + 0.342 . . . ? Ci verrebbe da dire
3 − 0.342 . . . , ma dobbiamo fare attenzione, perch´e non abbiamo definito la sottrazione tra code
infinite, ma soltanto l’operazione di somma. L’unica speranza che abbiamo `e quella di trovare un
numero y = m + 0.k1 k2 . . . kn . . . che, sommato a x, dia come risultato −1 + 0.¯9.
La coda di y deve essere tale che, sommata a 0.342 . . . , dia come risultato 0.999 . . . : basta scegliere
0.k1 k2 k3 . . . = 0.657 . . . ; la testa di y invece deve essere tale che, sommata a −3, dia −1: basta
scegliere m = 2.
Dunque un opposto di x `e 2 + 0.657 . . .
L’esempio precedente suggerisce un metodo per trovare un opposto di un qualunque numero reale:
dato x = m + 0.k1 k2 . . . kn . . . , un opposto di x sar`a −(m + 1) + 0.t1 t2 . . . tn . . . , essendo tn = 9 − kn
per ogni n.
Osservazione 9.4.3. Occorrerebbe adesso dimostrare che l’opposto di ogni numero reale x `e unico.
Questo `e proprio ci`
o che accade, anche se noi non lo dimostreremo. Dunque per ogni x ∈ R esiste
ed `e unico l’elemento opposto, che viene indicato convenzionalmente con −x.
Definizione 9.2 (Differenza di due numeri reali). Dati x, y ∈ R, si definisce il numero reale x − y
come la somma tra x e l’opposto di y, ossia x − y = x + (−y).
9.5
Moltiplicazione tra numeri reali
Come abbiamo fatto per la somma, a partire dalle successioni delle troncate `e possibile definire
il prodotto tra due numeri reali x e y, trovarne l’elemento neutro (1 + 0.¯0 o analogamente 0.¯9) e
dimostrarne la commutativit`
a, l’associativit`
a e la distributivit`a rispetto alla somma.
A partire poi dall’elemento neutro `e possibile definire il reciproco di un numero reale x diverso da
zero, dimostrarne l’esistenza e l’unicit`
a.
9.6
Relazione d’ordine su R
Definiamo una relazione ≤ su R; siano
x = k0 + 0.k1 k2 . . . kn . . .
y = h0 + 0.h1 h2 . . . hn . . .
84
due numeri reali. Per evitare ambiguit`a, in caso di doppia rappresentazione scegliamo quella
standard che continua con una sequenza infinita di zeri. Inoltre diamo un significato anche ai
termini x0 e y0 ponendo x0 = k0 e y0 = k0 . Diciamo che:
- x = y se e solo se xn = yn per ogni indice n;
- x < y se e solo se esiste un indice t tale che xt < yt .
Stabiliamo allora che
x≤y
se e solo se
x=y
oppure x < y.
Si tratta adesso di dimostrare - noi non lo faremo - che la relazione ≤ `e una relazione d’ordine,
ossia che `e riflessiva, antisimmetrica e transitiva, compatibile con le operazioni di addizione e
moltiplicazione e che coincide - su Q - con la vecchia relazione d’ordine.
Non solo: una volta constatato che essa `e effettivamente una relazione d’ordine, per come `e stata
definita risulta una relazione d’ordine totale, ovvero presa una qualunque coppia di numeri reali
x e y, o vale x ≤ y, o vale y ≤ x (o valgono entrambe le condizioni).
Osservazione 9.6.1. La definizione che abbiamo dato di ≤ pu`o essere riletta in maniera geometrica
sulla retta reale: cosa significa dire che x = y? Significa che il PLA restituisce per essi la stessa
scatola cinese. Cosa significa invece dire che x < y? Abbiamo due casi:
- se x0 < y0 , allora il PLA associa a x e y due scatole cinesi i cui intervalli di partenza non si
intersecano;
- se x0 = y0 allora, dopo un certo numero t > 0 di intervalli in comune fra x e y, ne troviamo
u precisamente:
due di ampiezza 101 t disgiunti, di cui uno contiene x e l’altro y. Pi`
x ∈ I = [k0 + 0.k1 k2 . . . kt , k0 + 0.k1 k2 . . . kt−1 (kt + 1)]
y ∈ J = [h0 + 0.h1 h2 . . . ht , h0 + 0.h1 h2 . . . ht−1 (ht + 1)]
e I precede J nel verso positivo.
9.7
Numeri reali per misurare distanze
Finalmente siamo in possesso di tutti gli strumenti necessari per mostrare che i numeri reali sono
proprio quei numeri che misurano distanze sulla retta.
Definizione 9.3 (Distanza tra due numeri reali). Dati x, y ∈ R, si definisce distanza di x da y
(e viceversa) il numero reale |x − y|.
Osservazione 9.7.1. Dato un qualunque numero reale x, il numero |x| misura proprio la distanza
di x dall’origine.
85
Capitolo 10
Quinta lezione: la propriet`
a di
completezza di R
10.1
Breve riassunto della lezione precedente
Facciamo il punto della situazione: siamo arrivati a costruire un nuovo insieme numerico, l’insieme
dei numeri reali R, che ha come sottoinsieme l’insieme Q dei numeri razionali, e sul quale abbiamo
definito delle operazioni ed una relazione d’ordine che estendono le note operazioni e la nota relazione d’ordine su Q.
Abbiamo seguito un percorso lungo il quale abbiamo affrontato diverse questioni, che hanno richiesto tempo e pazienza ed i risultati ottenuti fino ad ora non sono sufficienti per giustificare le risorse
che abbiamo impiegato per dimostrarli. In realt`a, a parte l’esistenza di numeri reali che non sono
razionali, c’`e una motivazione molto forte dietro a tutto il lavoro che abbiamo fatto: l’insieme dei
numeri reali gode di una propriet`
a molto particolare che non vale all’interno dell’insieme Q.
10.2
La completezza di R
La propriet`
a in questione `e la cosiddetta completezza: il concetto di completezza `e molto importante ed estremamente delicato, perci`
o non lo tratteremo in modo rigoroso, ma cercheremo di
darne un’idea intuitiva.
√
Esempio 10.2.1. Riprendiamo sulla retta reale il punto x = 2 e la scatola cinese associata a x
dal PLA:
[1, 2]
[1 + 0.4, 1 + 0.5]
[1 + 0.41, 1 + 0.42]
...
[1 + 0.4142135, 1 + 0.4142136]
...
Per costruzione gli estremi degli intervalli della nostra scatola cinese sono numeri razionali; tuttavia,
al suo interno non c’`e alcun numero razionale! Se ci limitassimo a considerare solo i numeri
razionali, essa risulterebbe vuota.
Come mostra l’esempio precedente, se ci fermassimo all’insieme dei numeri razionali, esisterebbero
delle scatole cinesi destinate a rimanere vuote: l’introduzione dei numeri reali `e necessaria se
vogliamo riempire questi vuoti. Non `e tutto: se, invece di costruire scatole cinesi con estremi
razionali, costruiamo scatole con estremi reali, pu`o accadere che esse non contengano alcun numero
razionale, ma si pu`
o dimostrare che contengono certamente uno ed un unico numero reale.
La dimostrazione di questo fatto `e tutt’altro che banale, perci`o non la affronteremo, ma `e bene
sapere che la propriet`
a di completezza comporta conseguenze importantissime ed `e fondamentale
nel campo dell’Analisi Matematica.
10.2.1
Completezza di R e completezza della retta
Abbiamo fatto un gran lavoro per stabilire una corrispondenza biunivoca fra l’insieme degli allineamenti decimali infiniti del tipo m + 0.k1 k2 . . . kn . . . - che abbiamo chiamato insieme dei numeri
reali - ed i punti della retta geometrica. Per far ci`o abbiamo dovuto, ad un certo punto, ricorrere
86
all’assioma di Cantor per la completezza della retta, con il quale siamo riusciti ad associare ad ogni
allineamento decimale infinito un punto della retta.
Non `e un caso che questo assioma sia stato chiamato assioma di completezza della retta. Confrontiamo l’enunciato dell’assioma di Cantor con la propriet`a di completezza dell’insieme di tutti
gli allineamenti decimali infiniti del tipo suddetto.
Assioma di Cantor per la completezza della retta
Sia A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . una successione infinita di segmenti su una retta, con le
seguenti propriet`
a:
- ogni segmento `e situato all’interno del segmento precedente;
- per ogni segmento P Q assegnato esiste un indice k tale che il segmento Ak Bk `e pi`
u
piccolo di P Q.
Allora esiste un punto x situato all’interno di tutti i segmenti A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . .
Propriet`
a di completezza dell’insieme degli allineamenti decimali infiniti
Ogni scatola cinese costituita da intervalli i cui estremi sono numeri reali individua un unico
numero reale.
` interessante osservare il parallelismo tra i due enunciati: la propriet`a di completezza della retta
E
non `e altro che la controparte geometrica della propriet`a di completezza dell’insieme di tutti i
possibili allineamenti decimali del tipo m + 0.k1 k2 . . . kn . . .
La differenza sta nel fatto che, mentre la completezza della retta `e garantita da un assioma, la
completezza del nostro insieme di allineamenti decimali infiniti `e in qualche modo dimostrabile.
10.2.2
Conseguenza della completezza
Per mostrare un’importante conseguenza della propriet`a di completezza di R dobbiamo lasciare
per un momento in sospeso il discorso e richiamare brevemente il concetto di cardinalit`
a di un
insieme.
La cardinalit`
a di un insieme `e, detto in maniera colloquiale, una misura della grandezza di un
insieme: nel caso di insiemi finiti, essa `e espressa da un numero naturale, che rappresenta il
numero di elementi appartenenti a tale insieme. Se, dati due insiemi finiti A e B, A possiede pi`
u
elementi di B, diciamo anche che la sua cardinalit`a `e maggiore della cardinalit`a di B. Se invece i
due insiemi possiedono lo stesso numero di elementi, si dice che essi hanno la stessa cardinalit`
a.
Questa definizione funziona bene quando i due insiemi sono finiti, ma non ci `e di nessuna utilit`
a
per gli insiemi infiniti: se infatti A e B sono entrambi infiniti, come possiamo stabilire quale fra
i due insiemi possiede pi`
u elementi? Occorre un approccio di tipo diverso: ad esempio potremmo
dire che A e B possiedono lo stesso numero di elementi se esiste una corrispondenza biunivoca
fra di essi, cio`e se ad ogni elemento di A `e possibile far corrispondere un unico elemento di B e
viceversa.
Osserviamo inoltre che tale definizione funziona anche nel caso in cui A e B siano entrambi finiti.
Definizione 10.1 (Numerabilit`
a). Un insieme A si dice numerabile se esiste una corrispondenza
biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali N e l’insieme A.
Osservazione 10.2.2. L’insieme N `e numerabile: basta considerare la funzione identit`a in N, che `e
ovviamente una corrispondenza biunivoca da N in N.
Osservazione 10.2.3. Gli insiemi Z e N sono entrambi insiemi infiniti e N `e un sottoinsieme proprio
di Z, cio`e esistono elementi di Z che non appartengono a N. Possiamo pi`
u sinteticamente scrivere
Z \ N 6= ∅.
` sufficiente questa osservazione per concludere che i numeri interi sono di pi`
E
u rispetto ai numeri
naturali? Istintivamente verrebbe da rispondere di s`ı; se i numeri naturali costituiscono un sottoinsieme proprio degli interi, sembra quasi scontato dedurre che questi ultimi sono in maggior numero
rispetto ai primi.
L’istinto, se da una parte `e un utile strumento per risolvere problemi, tuttavia non `e infallibile
87
e quando si tratta di dimostrare rigorosamente un argomento pu`o trarre in inganno. Questo `e
proprio uno di quei casi in cui l’istinto risulta fallace. Osserviamo lo schema seguente.
Z:
N:
0
1
−1
2
−2
...
l
l
l
l
l
...
0
1
2
3
4
...
Abbiamo trovato niente di meno che una corrispondenza biunivoca tra N e Q, perci`o abbiamo
dimostrato in maniera semplice ma rigorosa che i due insiemi hanno lo stesso numero di elementi,
nonostante apparentemente possa sembrare che i numeri interi siano di pi`
u rispetto ai numeri
naturali. Concludiamo che l’insieme Z dei numeri interi `e numerabile. Questo apparente paradosso
`e dovuto al fatto che l’istinto ci porta ad applicare le regole dell’aritmetica finita ad insiemi infiniti,
che hanno un comportamento completamente diverso.
Osservazione 10.2.4. Prendiamo adesso in esame l’insieme dei numeri razionali Q e confrontiamolo
con Z: quest’ultimo `e un sottoinsieme proprio di Q. In particolare sappiamo che, dati due numeri
interi qualunque, esistono infiniti numeri razionali compresi fra di essi. Non solo: dati due numeri
razionali qualunque esistono ancora infiniti numeri razionali compresi fra di essi. Di nuovo, possiamo da ci`
o dedurre che i razionali siano di pi`
u rispetto agli interi, o equivalentemente, rispetto
ai naturali?
A questo punto abbiamo imparato a non fidarci delle apparenze, perch´e cercare di applicare agli
insiemi infiniti le regole che valgono per gli insiemi finiti pu`o portare a conseguenze errate.
Facciamo vedere che, a dispetto delle previsioni, `e possibile contare con un metodo detto primo
procedimento diagonale di Cantor gli elementi di Z. Osserviamo lo schema seguente.
0
1
−1
2
−2
...
1
0 (0)
1
1 (2)
1
−
1 (5)
1
2 (9)
1
−
2
1
...
2
0 (1)
2
1 (4)
2
−
1 (8)
2
2
2
−
2
2
...
3
0 (3)
3
1 (7)
3
−
1
3
2
3
−
2
3
...
4
0 (6)
4
1
4
−
1
4
2
4
−
2
4
...
5
0 (... )
5
1
5
−
1
5
2
5
−
2
5
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Incredibilmente i numeri razionali sono numerabili, ossia tanti quanti i numeri naturali, e di
conseguenza tanti quanti i numeri interi.
Osservazione 10.2.5. Passiamo infine all’insieme dei numeri reali R, del quale Q `e un sottoinsieme
proprio. In che modo possiamo confrontare le loro cardinalit`a infinite? I reali saranno tanti quanti
i razionali oppure questa volta le cose andranno in modo diverso?
Cantor riusc`ı con un altro celebre procedimento diagonale a dimostrare che la cardinalit`a infinita di
R `e di ordine superiore rispetto alla cardinalit`a infinita di N, ossia la cardinalit`a del numerabile.
Si dice che R ha la cardinalit`
a del continuo. I numeri reali sono infiniti, ma di un infinito
diverso, pi`
u che numerabile: ogni volta che tentiamo di contare i numeri reali, si pu`o dimostrare
che `e inevitabile tralasciarne alcuni. Ed `e proprio la completezza di R responsabile di questo fatto.
Teorema 10.2.6. L’insieme R `e pi`
u che numerabile.
88
Dimostrazione. La dimostrazione si fa per assurdo.
Neghiamo la tesi, cio`e supponiamo per assurdo che l’insieme R sia numerabile; a maggior ragione
sar`
a numerabile l’intervallo [0, 1], che `e un sottoinsieme di R. Per evitare ambiguit`a, in caso di
doppia rappresentazione di un numero reale scegliamo l’opzione standard.
Poich´e abbiamo detto che [0, 1] `e numerabile, esiste una corrispondenza biunivoca f fra N e [0, 1]:
N
←→
[0, 1]
0
←→
0.k10 k20 . . . kn0 . . .
1
←→
0.k11 k21 . . . kn1 . . .
2
..
.
←→
..
.
0.k12 k22 . . . kn2 . . .
..
.
n
..
.
←→
..
.
0.k1n k2n . . . knn . . .
..
.
Abbiamo quindi una successione di elementi (la colonna pi`
u a destra) che comprende tutti i numeri
reali in [0, 1].
Consideriamo il seguente numero reale: x = 0.h1 h2 . . . hn . . . , dove abbiamo scelto
h1 6= k10
h2 6= k21
...
kn 6= knn−1
...
Per definizione x ∈ [0, 1]: basta osservare che la sua parte intera `e 0; inoltre per costruzione
differisce da ognuno dei numeri reali della colonna pi`
u a destra, quindi non pu`o essere nessuno di
essi.
Ma allora abbiamo introdotto un numero reale appartenente all’intervallo [0, 1] che non figura nella
colonna pi`
u a destra, e questo `e assurdo perch´e abbiamo detto che essa esaurisce tutto l’intervallo
[0, 1]. Tale assurdo deriva dal fatto che abbiamo supposto che R fosse numerabile.
Concludiamo che R `e pi`
u che numerabile.
10.2.3
Completezza e probabilit`
a
Proviamo ad interpretare in senso probabilistico il fatto che la cardinalit`a di R `e di ordine superiore
rispetto a quella di Q: prendiamo per semplicit`a l’intervallo [0, 1] ed immaginiamo di poter estrarre
da esso un punto x in maniera completamente casuale. Qual `e la probabilit`a che il punto x scelto
sia razionale? Ci piacerebbe poter calcolare questa probabilit`a con la formula
P(x ∈ Q ∩ [0, 1]) =
|Q ∩ [0, 1]|
|[0, 1]|
che per noi `e per`
o destinata a rimanere una sorta di forma indeterminata del tipo ∞
∞ . Per risolvere
questo problema `e infatti necessario introdurre strumenti matematici molto sofisticati, che vengono
normalmente presentati in corsi avanzati di Analisi Matematica all’Universit`a.
Rimanendo ad un livello di scuola superiore ci limiteremo a dire che la cardinalit`a dei numeri reali
`e tale che
P(x ∈ Q ∩ [0, 1]) = 0.
89
Capitolo 11
Considerazioni finali
11.1
Una nuova prospettiva
Ci`
o che per noi rappresenta la conclusione di un percorso - la costruzione dell’insieme dei numeri
reali - non deve essere considerato semplicemente un punto di arrivo; in realt`a vedremo che esso
costituisce anche un punto di partenza, nello specifico la base sulla quale si fonda l’intera branca
dell’Analisi Matematica.
Per richiamare l’attenzione su alcuni punti fondamentali del nostro percorso, proponiamo di seguito un dialogo (liberamente tradotto e riadattato dal testo originale di T. Gowers, per il quale
rimandiamo a [5]) immaginario fra un matematico (M) ed un giovane studente scettico (S), il quale
ritiene di dover imparare solo ci`
o che `e strettamente necessario.
S - Stamattina mi `e capitato fra le mani un libro di Analisi ed ho letto un sacco di roba complicata
su campi ordinati, sezioni di Dedekind, successioni di Cauchy - di qualunque cosa possa
trattarsi. Possibile che io debba imparare tutto ci`o per comprendere i numeri reali? In fondo
si tratta pur sempre di semplici numeri e niente pi`
u!
M - Non lasciarti ingannare, il concetto di numero reale non `e cos`ı semplice come pu`o sembrare.
S - In effetti l’avevo sospettato, leggendo quel libro, ma allora perch´e perderci del tempo?
M - Quale sarebbe l’alternativa? I Greci credevano
di potersela cavare con i numeri razionali,
√
quando improvvisamente scoprirono che 2 non era razionale. Per dirlo con altre parole,
se collocassimo tutti i punti razionali su una
√ retta, scopriremmo
√ di aver lasciato degli spazi
vuoti. Ad esempio, non avremmo incluso
2.
Chiaramente
2 `e solo un esempio, in realt`a
√ √
avremmo escluso parecchi numeri, come 3, 5 e molti altri.
S - E chi ti garantisce che quei numeri effettivamente
esistano? Stai parlando come se i Greci
√
avessero scoperto un oggetto concreto - cio`e 2 - che non `e razionale. Ma in che senso si pu`o
dire che l’abbiano scoperto? `e impossibile che abbiano costruito un quadrato perfetto e ne
abbiano misurato la diagonale con precisione infinita, poich´e la precisione infinita `e un’utopia.
Che senso ha dire che un oggetto fisico ha una lunghezza irrazionale? Forse Platone credeva
in un mondo spirituale pieno di oggetti geometrici perfetti, ma certamente non io!
M - Neppure io, ed in parte sono d’accordo con te: nella pratica la precisione infinita `e qualcosa
di impossibile. Ma io credo che tu non abbia ben chiaro il rapporto fra Matematica e Fisica.
Non introduciamo i numeri reali perch´e alcuni oggetti fisici hanno lunghezze irrazionali, ma
piuttosto perch´e costituiscono un ottimo modello per rappresentare le lunghezze fisiche. Con
i reali ogni cosa funziona in modo semplice... pensa ad un computer, che lavorando con i
razionali `e costretto ad eseguire continuamente approssimazioni, anche complicate.
√
S - Dunque stai dicendo che, sebbene 2 non abbia un’esistenza fisica concreta, `e tuttavia una
costruzione matematica conveniente che ci permette di parlare di lunghezze di diagonali
di quadrati in modo economico?
M - Esatto!
90
S - Posso anche convenire su questo punto, ma non credo che sia una giustificazione sufficiente per
l’intero sistema dei numeri reali. Non basterebbe ad esempio prendere l’insieme dei razionali
ed aggiungervi una manciata di numeri importanti, come le radici quadrate di due, di tre, di
cinque, e cos`ı via?
M - Dipende cosa intendi con l’espressione e cos`ı via!
S - D’accordo, sar`
o pi`
u preciso: prendiamo tutte le possibili radici - anche quelle cubiche, quarte,
eccetera - di tutti i numeri razionali.
√ √
M - Non funzionerebbe! Ad esempio, la somma 2 + 3 non `e radice di nessun numero razionale!
S - Bene, allora aggiungiamola, e aggiungiamo anche tutte le possibili somme e tutti i possibili
prodotti di tutte le radici di tutti i numeri razionali.
M - Che
dici delle radici di tutti i numeri che puoi ottenere in questo modo, ad esempio
p√ mi √
2 + 3?
S - S`ı, aggiungiamo anche quelle. Consideriamo l’insieme di tutti i numeri che possiamo ottenere
a partire dai razionali tramite le operazioni di addizione, moltiplicazione ed estrazione di
radice.
M - E tu pensi che questo insieme numerico sia sufficiente?
S - Perch´e non dovrebbe?
M - Per cominciare, in questo sistema numerico non potresti neppure risolvere tutte le equazioni
polinomiali: devi sapere che esistono alcune equazioni polinomiali di quinto grado a coefficienti interi che hanno soluzioni non esprimibili con un numero finito di operazioni di addizione,
moltiplicazione ed estrazione di radice a partire dai numeri razionali.
S - D’accordo, allora aggiungiamo anche tutte le soluzioni di tutte le possibili equazioni polinomiali a coefficienti interi di qualunque grado.
M - Ti stai riferendo all’insieme dei numeri algebrici!
S - Rallenta, mi stai lasciando indietro! Cosa sono i numeri algebrici?
M - Un numero si dice algebrico se esiste un’equazione polinomiale a coefficienti
√ interi di cui esso
sia soluzione. Ti faccio un esempio semplice per farti capire: il numero 2 `e algebrico, in
quanto `e soluzione dell’equazione polinomiale x2 − 2 = 0.
S - Adesso ho capito! Credo di poter dire che l’insieme dei numeri algebrici `e sufficiente.
M - Che mi dici allora di π ed e? Sulla loro importanza spero non ci siano dubbi; eppure essi
rimangono esclusi dal tuo sistema numerico, in quanto sono entrambi numeri trascendenti.
S - Aspetta un attimo! Cosa vuol dire trascendente?
M - Un numero si dice trascendente se non `e algebrico; prendi ad esempio π: sai anche tu che
non esiste alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi che ammetta π come radice. Lo
stesso vale per e e per molti altri numeri importanti.
S - Perdonami, ma avrei ancora un’obiezione! Tu stai cercando di giustificare la necessit`
a di
introdurre un intero sistema di numeri proponendomi solo alcuni esempi di numeri che, per
quanto possano essere utili, potrebbero essere trattati come casi isolati.
M - Devo ammettere che da un certo punto di vista hai ragione. `e vero che la maggior parte dei
numeri reali `e completamente inutile, ma l’introduzione di questo nuovo insieme numerico
presenta due notevoli vantaggi: prima di tutto l’insieme dei numeri reali `e abbastanza grande
da contenere tutti quei numeri che tu consideri utili; inoltre esso fornisce un ambiente nel
quale i ragionamenti che usiamo in maniera naturale per giustificare l’esistenza di quei numeri
utili funzionano. Tutti, e ti ripeto, tutti i teoremi di Analisi Matematica che studierai in
futuro non avrebbero alcun fondamento senza l’introduzione di un ambiente idoneo - l’insieme
R, appunto - in cui applicarli!
91
S - Quindi se ho capito bene mi stai dicendo che, se non adesso, un giorno riconoscer`o la necessit`a
di passare ai numeri reali?
M - Proprio cos`ı! Ed accadr`
a prima di quanto pensi!
92
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Calculus must consist of the study of real numbers in their decimal representation and not
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Cominciamo da zero
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Analyzing students’ difficulties in understanding real numbers
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94

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