ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2014/15 Logica proposizionale: nelle inferenze sono rilevanti solo i connettivi vero-funzionali che compaiono nelle proposizioni composte che costituiscono le premesse e la conclusione. Non hanno alcun ruolo le strutture interne delle proposizioni. Logica dei predicati: la correttezza delle inferenze si basa anche sulla struttura interna delle proposizioni semplici. Esempio: A) Tutti i laziali sono italiani B) Tutti gli italiani sono europei C) ”Tutti i laziali sono europei”. A e B: premesse; C conclusione. A;B e una inferenza corretta: si basa sul fatto che le premesse (che sono proposizioni quantificate universalmente C ´ - TUTTI) contengono al loro interno una stessa propriet´a (”essere italiano”) che consente di collegare nella conclusione (che ´e anche essa una proposizione quantificata universalmente) le altre due propriet´a (”essere laziale” e ”essere europeo”). Ricordiamo che vale la regola (proposizionale) di concatenazione (da (A → B) e (B → C) segue logicamente (A → C)). Supponiamo ora che in un certo dominio X siano vere le premesse ∀x ∈ X valgono A e B (∀xAx; ∀xBx). Allora per un elemento (individuo) a preso a caso (e dunque, uno ”specifico”) nel dominio X, valgono A e B, scriviamo : A(a) e A(a). La regola di concatenazione diventa: ∀x(A(x) → B(x)); ∀x(B(x) → C(x)) ∀x(A(x) → C(x)) e per un individuo a preso (a caso, ovvero qualsiasi) nel dominio (universo) ´e valido che: (A(a) → B(a)); a(B(a) → C(a)) . (A(a) → C(a)) Attenzione: non vale il vice versa: se una inferenza si applica ad un singolo individuo a del dominio non posso considerare la stessa inferenza PER OGNI elemento x del dominio. Definizione: I due quantificatori ”per ogni” ed ”esiste” sono detti rispettivamente quantificatore universale e quantificatore esistenziale: ”per ogni x,...” significa: tutti gli individui soddisfano ... ”esiste x,...” significa: vi almeno un individuo che soddisfa ... Nella forma logica delle proposizioni contenenti quantificatori intervengono lettere, quali x, y, z.... che prendono il nome di variabili individuali (o pi semplicemente variabili; nell’esempio di prima, la scelta di un individuo specifico a ´e una ”costante individuale”). Attenzione: ”non per ogni x ...” equivale a ”esiste x non...”: q∀xA(x) ≡ ∃xqA(x) Es: ”Non tutti i liguri sono genovesi” equivale a ”Esistono dei liguri che non sono genovesi”. ”non esiste x....” equivale a ”per ogni x non...”: qxA(x) ≡ ∀xqA(x) ES: La negazione di ”Esiste un ligure che ´e piemontese” si pu esprimere sia anteponendo ”non”, ”Non esiste un ligure che ´e piemontese”, sia come ”Ogni ligure non ´e piemontese”. Nella lingua italiana, ”Non esiste un ligure che ´e piemontese” o ”Ogni ligure non ´e piemontese”, si dice ”Nessun ligure ´e piemontese”: ”nessuno” equivale a ”non esiste” e non ´e la negazione di ”ogni” (”tutti”); infatti, la negazione di ”Ogni uomo intelligente” ´e ”Esiste un uomo che non ´e intelligente” e la negazione di ”Nessun uomo ´e intelligente” ´e ”Esiste un uomo intelligente”. Doppia negazione: ”Tutti gli individui hanno la propriet´a...” equivale a ”Non esiste un individuo che non ha la propriet´ a...” e ”Esiste un individuo che ha la propriet´a...” equivale a ”Non tutti gli individui non hanno la propriet´ a...”: ∀xA(x) ≡ aq∃xqA(x); ∃xA(x) ≡ q∀xqA(x) ES: ”Tutti gli italiani sono europei” equivale a ”Non esiste un italiano che non ´e europeo” e ”Esiste un italiano buddista” equivale a ”Non tutti gli italiani non sono buddisti”. Attenzione: E’ corretto: ∀x(A(x) ∧ B(x)); ∀xA(x) ∧ ∀xB(x) 1 2 non ´e corretto: non ´e corretto: xA(x) ∧ xB(x); x(A(x) ∧ B(x)) ∀x(A(x) ∨ B(x)); ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) Esercizi (1) formalizzare le seguenti proposizioni: (a) A qualcuno piace Simona (b) Simona non piace a nessuno (c) Nessuno ama Davide e Davide ama Maria (d) Se Davide ama qualcuno, allora ama Maria (e) Chiunque ama Davide ama anche Maria (f) Chiunque ama Davide se e solo se ama Maria (g) Se qualcuno ama Davide, allora ´e amato da Maria (h)Chiunque ama Davide o Maria (i) Chi ama Maria non ama Davide (l) Se Aldo capir´ a la logica, allora tutti gli studenti la capiranno. (2) Giustificare, dopo averle formalizzate, le seguenti inferenze: (a) Nessun cane vola; Dumbo vola dunque Dumbo non ´e un cane. (b) Ogni ligure ´e italiano, Ogni italiano ´e europeo, Marco ´e ligure dunque Marco ´e europeo. (c) Ogni ligure ´e italiano, Ogni italiano ´e europeo, Esiste un ligure dunque Esiste un europeo. (d) Un numero positivo o negativo ha quadrato positivo, 0 non ha quadrato positivo, dunque: Vi ´e un numero n´e positivo n´e negativo. (3) Esprimere la negazione delle seguenti proposizioni: (a) Ogni cinese ´e asiatico (b)Esiste un cinese che ´e biondo (c) Nessun europeo ´e americano (d)Tutti i cinesi non sono asiatici (e) Nessun cinese non ´e asiatico (f) Ogni vino ´e bianco o rosso (g) Ogni napoletano ´e allegro e ospitale (h) Per ogni numero ne esiste uno minore (i) Esiste un numero maggiore di tutti gli altri. (4) Verificare la correttezza delle seguenti inferenze: a) Vi ´e un rettore che ´e matematico, o fisico, o chimico. Non vi ´e alcun rettore che ´e matematico o fisico. Quindi vi ´e un rettore che ´e chimico. b) Sandro e Paolo amano le stesse donne. Se Sandro ama una donna, allora ´e felice. Sandro non ´e felice. Quindi Paolo non ama nessuna donna. Definizione: Un sillogismo ´e una inferenza costituita da due premesse e una conclusione le quali sono proposizioni, in ciascuna delle quali sono presenti due propriet´ a. Le due premesse devono avere una propriet´a in comune (termine medio) e nella conclusione figurano le altre due propriet´a presenti nelle premesse. Si considerano proposizioni che assumono soltanto una delle quattro forme seguenti: . (A) Universale affermativa : Tutti i P sono Q (Ogni P ´e Q) (E) Universale negativa : Tutti i P non sono Q (Nessun P ´e Q) (I) Particolare affermativa : Qualche P ´e Q (Esiste un P che ´e Q) (O) Particolare negativa : Qualche P non ´e Q (Esiste un P che non ´e Q). . Es: Tutti i liguri sono italiani, Tutti gli italiani sono europei dunque Tutti i liguri sono europei. . Ci sono 4 posizioni possibili del termine medio (classicamente si diceva 4 figure) e tutte le combinazioni possibili 3 delle posizioni delle propriet´ a danno luogo a 256 possibili sillogismi. Un sillogismo ´e corretto se e solo se la conclusione ´e conseguenza logica delle premesse, ossia se la verit´ a delle premesse implica quella della conclusione (non pu´o darsi il caso che le premesse siano vere e la conclusione falsa). Tra i 256 sillogismi possibli, quelli corretti sono 19. La correttezza del sillogismo pu´ o essere dimostrata utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn. Bisogna fare attenzione perch´e gli insiemi (o sottoinsiemi) in gioco nei diagrammi possono anche essere vuoti. Esercizio: Stabilire quali dei seguenti sillogismi sono corretti: (1) Tutti i mammiferi allattano i piccoli. Nessun serpente allatta i piccoli. Quindi nessun serpente ´e un mammifero. (2) Tutti gli ubriaconi sono teste calde. Tutti i bergamaschi sono teste calde. Quindi tutti i bergamaschi sono ubriaconi. (3) Tutti gli elefanti sono mammiferi. Nessun cane ´e un elefante. Quindi nessun cane ´e un mammifero. (4) Tutti gli scienziati fanno ricerche. Nessuno che fa ricerca ´e una persona corruttibile. Quindi nessuna persona corruttibile ´e uno scienziato. (5) Alcuni matematici non sanno fare i conti. Alcuni commercianti non sanno fare i conti. Quindi alcuni commercianti non sono matematici. (6) Nessuna persona onesta interessata alle bische. Alcuni politici sono onesti. Nessun politico ´e interessato alle bische. (7) Nessun pesce ha i polmoni. Tutti i pesci sono animali che vivono sottacqua. Nessun animale che vive sottacqua ha i polmoni. . fonte: prof. Dario Palladino Univ. Genova http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/dispense.htm