Appendice 2: Applicazioni delle derivate

Università Ca’ Foscari di Venezia
Dipartimento di Economia
Appunti per un corso
di
Matematica
Appendice 2
Applicazioni delle derivate
Luciano Battaia
Versione del 7 novembre 2014
2
B. Alcune applicazioni del calcolo
differenziale
Questa appendice fa parte integrante del testo “Appunti per un corso di Matematica” di Luciano Battaia. Per comodità degli studenti che hanno stampato il testo, queste appendici sono
pubblicate come note indipendenti. Alla fine del corso esse saranno integrate nel testo.
B.1. La derivata della funzione inversa
Teorema B.1 (Derivata della funzione inversa). Sia f una funzione strettamente monotona
definita in un intervallo e sia g la sua inversa. Se f è derivabile in un punto x0 con derivata
non nulla, posto y0 = f (x0 ) e quindi x0 = g(y0 ), la funzione inversa è derivabile in y0 e si ha
g 0 (y0 ) =
(B.1)
1
.
f 0 (x0 )
Dimostrazione. Detto h l’incremento della variabile x e indicato con k = f (x0 + h) − f (x0 ) il
corrispondente incremento della variabile y, si ha
y0 + k = f (x0 ) + k = f (x0 + h),
da cui g(y0 + k) = g(f (x0 + h)) = x0 + h = g(y0 ) + h.
Osserviamo che, essendo f strettamente monotona, k 6= 0 se h 6= 0. Dunque
g(y0 + k) − g(y0 )
h
=
.
k
f (x0 + h) − f (x0 )
Poiché la funzione inversa g è continua, si ha
lim h = lim g(y0 + k) − g(y0 ) = 0.
h→0
k→0
Dunque
h
1
g(y0 + k) − g(y0 )
= lim
= 0
,
k→0
h→0 f (x0 + h) − f (x0 )
k
f (x0 )
lim
ovvero la tesi, essendo il primo membro proprio il limite del rapporto incrementale della funzione
inversa g in y0 .
Forniamo anche una significativa giustificazione per via grafica di questo teorema.
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B. Alcune applicazioni del calcolo differenziale
Appunti per un corso di Matematica
f −1 (x) = g(x)
β
x0 = g(y0 )
y0 = f (x0 )
F
b
b
D
b
α
f (x)
b
b
b
y0
x0
Il grafico proposto e le note proprietà di simmetria tra il grafico di una funzione e quello della
sua inversa implicano anche che le tangenti al grafico di f e della sua inversa sono simmetrici
rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Tuttavia la tangente al grafico di f è calcolata
nel punto x0 , quella al grafico dell’inversa nel punto y0 : ecco perché nella formula B.1 compaiono
due punti diversi, precisamente simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Utilizziamo la formula B.1 per ricavare le derivate di alcune funzioni elementari importanti.
Cominciamo dalla funzione f (x) = ln x. Come è noto la funzione ln x è l’inversa della funzione
esponenziale f (x) = ex . Poiché D(ex ) = ex , posto y = f (x) = ex , otteniamo x = g(y) = ln y, da
cui
1
1
1
1
g 0 (y0 ) = 0
= x0 = ln y0 = .
f (x0 )
e
y0
e
Da qui ricaviamo la regola
1
f (x) = ln x ⇒ f 0 (x) = .
x
Sia ora f (x) = sin x. La funzione non è biunivoca, e quindi non è invertibile, ma come
sappiamo tale diventa se la restringiamo all’intervallo [−π/2 , π/2]. L’inversa di questa restrizione
è la funzione arcsin x. Sapendo che D(sinx) = cos x, posto y = f (x) = sin x, otteniamo
x = g(y) = arcsin y, da cui
g 0 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
=
1
1
1
=
=p
.
cos x0
cos arcsin y0
1 − y02
Procedendo in maniera analoga per la funzione coseno (questa volta ristretta all’intervallo
[0, π]) avremo y = f (x) = cos x, da cui x = g(y) = arccos y e quindi
g 0 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
=
1
1
1
=−
= −p
.
− sin x0
sin arccos y0
1 − y02
Ne deduciamo le due regole
f (x) = arcsin x
⇒
f 0 (x) = √
1
1 − x2
f (x) = arccos x
⇒
f 0 (x) = − √
1
.
1 − x2
Si noti che entrambe le formule sono valide solo in ] − 1, 1[, mentre per x = ±1 le derivate
diventano infinite, in accordo con il fatto che le tangenti al grafico di sin x e cos x sono orizzontali
rispettivamente in ±π/2 e in 0, π.
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Luciano Battaia
Appunti per un corso di Matematica
B.2. I teoremi fondamentali del calcolo differenziale
B.2. I teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Questo paragrafo integra il paragrafo 6.1, a pagina 93, del testo.
Teorema B.2 (Teorema di Lagrange). Sia f una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b]
e avente le seguenti proprietà:
1. f è continua in [a, b] (compresi gli estremi!);
2. f è derivabile almeno in ]a, b[ (potrebbe non essere derivabile negli estremi, per esempio
potrebbe avere derivata infinita negli estremi).
Allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] dove per la derivata prima della funzione si ha
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura 6.4 del testo.
Consideriamo i punti A(a, f (a)) e B(b, f (b)). La retta che passa per A e B ha coefficiente
angolare
f (b) − f (a)
b−a
ed equazione
y = f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
= h(x) .
Consideriamo ora la funzione g(x) = f (x) − h(x); essa ha le stesse proprietà di regolarità della
funzione f e, in più, è tale che g(a) = g(b) = 0. Alla funzione g possiamo applicare il teorema
di Weierstrass: esisteranno dunque due punti c e d in uno dei quali la funzione assume il suo
massimo, mentre nell’altro assume il suo minimo. Se entrambi questi punti coincidessero con
gli estremi di [a, b], allora la funzione sarebbe costante in [a, b] (con valore nullo della costante)
e avrei g 0 (x) = 0 su tutto [a, b]; se invece almeno uno dei due punti, diciamo c, è interno ad
]a, b[, allora in esso deve essere g 0 (c) = 0. In ogni caso in almeno un punto c di ]a, b[ deve essere
g 0 (c) = 0. Poiché
f (b) − f (a)
g 0 (x) = f 0 (x) −
,
b−a
si conclude subito con la tesi.
Teorema B.3 (Teorema di Rolle). Sia f una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] e
avente le seguenti proprietà:
1. f è continua in [a, b] (compresi gli estremi!);
2. f è derivabile almeno in ]a, b[ (potrebbe non essere derivabile negli estremi, per esempio
potrebbe avere derivata infinita negli estremi);
3. f (a) = f (b) (le “quote” iniziale e finale del grafico sono identiche).
Allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] dove la derivata prima della funzione si annulla.
Dimostrazione. Il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange in quanto la
funzione f ha le stesse caratteristiche richieste per la validità del teorema di Lagrange e, in più,
assume valori uguali agli estremi: da questo segue che la retta passante per i punti A(a, f (a)) e
B(b, f (b)) ha coefficiente angolare nullo e questa è appunto la tesi del teorema di Rolle.
Una generalizzazione del teorema di Rolle è dovuta a Cauchy: riportiamo l’enunciato di questo
teorema, per completezza.
Luciano Battaia
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B. Alcune applicazioni del calcolo differenziale
Appunti per un corso di Matematica
Teorema B.4 (Teorema di Cauchy). Siano f e g due funzioni continue in [a, b] e derivabili
almeno nei punti interni di [a, b] e con g 0 (x) 6= 0 in tutto ]a, b[. Allora esiste almeno un punto c
interno ad [a, b] tale che
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0
.
g(b) − g(a)
g (c)
(B.2)
È ovvio che il teorema di Lagrange discende da questo teorema: basta porre g(x) = x.
Dal punto di vista delle applicazioni, comunque, i risultati fondamentali sono contenuti nei tre
corollari del teorema di Lagrange riportati a pagina 96 del testo.
B.3. Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari
Per alcune funzioni elementari i polinomi di Taylor si possono scrivere per un ordine n qualunque (addirittura per n → +∞, ottenendo le serie di Taylor, di cui comunque non ci occupiamo in
questo corso). Riportiamo le formule relative alle funzioni di uso più comune, dove abbiamo scelto come valore x0 il numero 0, perché in questa situazione le formule diventano particolarmente
semplici.
sin x
cos x
ex
ln(1 + x)
6
x3 x5
x2n−1
+
+ · · · + (−1)n−1
3!
5!
(2n − 1)!
2
4
2n
x
x
x
1−
+
+ · · · + (−1)n
2!
4!
(2n)!
2
3
n
x
x
x
1+x+
+
+ ··· +
2!
3!
n!
3
2
x
x
xn
x−
+
+ · · · + (−1)n−1
2
3
n
x−
Luciano Battaia

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