COMPLEMENTI DI ANALISI
VETTORIALE
Giovanni Maria Troianiello
28 novembre 2014
1
RICEVIMENTO NELLO STUDIO 128 DI MATEMATICA IL VENERD`
I ALLE 15
STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL’APPELLO
STRAORDINARIO INVERNALE
RAFFA (C) — TOSTI GUERRA (C)
(A: 27–30, B: 24-26, C: 19-23, D: 15-18)
ORALI DELL’APPELLO STRAORDINARIO INVERNALE — STUDIO 128 DI MATEMATICA
MERCOLED`
I 3/12 ALLE 15
RAFFA — PARDO — SANNA — SCETTRI
VENERD`
I 5/12 ALLE 12
SOCCODATO
VENERD`
I 5/12 ALLE 15
TOSTI GUERRA
CORREZIONE DELLO SCRITTO DEL 25-11-2014
Esercizio 1 Sia
f (x, y) =
x(1 − cos y)
,
x2 + 2y 2
(x, y) 6= (0, 0),
f (0, 0) = 0.
Studiare la derivabilit`
a, la differenziabilit`a e l’esistenza delle derivate direzionali in (0, 0).
Risposta La funzione `e continua in (0, 0) dato che
|x|(1 − cos y)
y2
≤
|x|
≤ |x|.
x2 + 2y 2
x2 + 2y 2
Esistono fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. La funzione non `e differenziabile. Infatti
f (h, k) − f (0, 0) − fx (0, 0)h − fy (0, 0)k
h(1 − cos k)
√
√
=
2
2
2
h +k
(h + 2k 2 ) h2 + k 2
2
e, lungo la direzione h = k, il limite non `e 0. La derivata direzionale rispetto al versore (v1 , v2 ) `e
v1 t(1 − cos(v2 t))
v1 v22
=
.
t→0
(1 + v22 )t3
2(1 + v22 )
lim
Esercizio 2 Data la serie
∞
X
(−1)k x2k
3k
k=0
.
studiare la convergenza semplice, assoluta e totale. Detta f (x) la somma, calcolare
Z
1
f (x)dx.
0
2
Risposta Ponendo
√ √ y = −x /3 si ottiene la serie geometrica, quindi la serie converge puntualmente per x ∈ (− 3, 3) alla funzione
(∗)
f (x) =
1
√
1 + (x/ 3)2
√ √
La serie converge assolutamente in (− 3, 3) e totalmente in ogni compatto ivi contenuto. L’integrale richiesto `e quindi
Z
0
1
√
1
√ dx = 3
2
1 + (x/ 3)
Z
√
1/ 3
0
√
√ π
1
dy
= 3 arctan √ = 3 .
2
1+y
6
3
Ma tutti hanno ignorato o trascurato l’espressione esplicita (∗) ed hanno invece scambiato (correttamente, ma qui non convenientemente!) la serie con l’integrale, ottenendo
Z
1
f (x)dx =
0
∞
X
k=0
(−1)k
.
3k (2k + 1)
Infatti per ogni α > 0 (qui α = 3) valgono le seguenti identut`a:
√
1
α arctan √ =
α
Z
0
1
1
√
dx =
1 + (x/ α)2
Z
∞
1X
0 k=0
∞
X (−1)k
(−1)k x2k
dx =
.
k
α
αk (2k + 1)
k=0
Esercizio 3 Si dimostri che l’equazione
x4 + 3x2 y + exy = 2
definisce implicitamente in un intorno del punto (1, 0) una funzione regolare y = f (x). Si calcolino
quindi f 0 (1), f 00 (1).
3
Risposta Posto G(x, y) = x4 + 3x2 y + exy − 2, si verifica che G(1, 0) = 0 quindi si calcola
Gy (1, 0) = 4 e Gx (1, 0) = 4 da cui si deduce f 0 (1) = −1. Dalla regola della derivazione delle
funzioni composte si ha che
0=
d2
G(x, f (x)) = Gxx (x, f (x)) + 2Gxy (x, f (x))f 0 (x) + Gyy (x, f (x))(f 0 (x))2 + Gy (x, f (x))f 00 (x),
dx2
dove
Gyx (x, y) = 6x + (1 + xy)exy ,
Gyy = x2 exy ,
Gxx = 12x2 + 6y + y 2 exy
(ma stranamente molti hanno sbagliato il calcolo della derivata mista). Dall’essere f (1) = 0,
Gxx (1, 0) = 12,
Gxy (1, 0) = 7,
si trova
Gyy (1, 0) = 1
1
f 00 (1) = .
4
Esercizio 4 Data
Z
ex
cos(xt2 )dt,
F (x) =
−ex
determinare il polinomio di Taylor del primo ordine di F (x) in x = 0.
Risposta L’integrale in questione `e ben definito per ogni x ∈ R, si ottiene una funzione liscia
e per le regole di derivazione sotto il segno di integrale si ha:
Z ex
0
x
2x
F (x) = 2e cos(xe ) −
t2 sin(xt2 )dt
−ex
quindi F 0 (0) = 2, da cui il polinomio richiesto 2 + 2x.
Esercizio 5 Disegnare l’insieme D contenuto nel primo quadrante, tale che
√
4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16, x ≤ y ≤ 3x.
Calcolare
ZZ
(x2 + xy)dxdy.
D
Risposta Introducendo un sistema di coordinate polari l’insieme D si trasforma nell’insieme
S = {(ρ, θ) : 2 ≤ ρ ≤ 4,
π
π
≤ θ ≤ }.
4
3
Quindi
ZZ
ZZ
2
((cos θ)2 + sin θ cos θ)ρ3 dρdθ =
(x + xy)dxdy =
D
π
3
Z
π
4
2
S
Z
((cos θ) + sin θ cos θ)dθ
2
4
ρ3 dρ =
√
√
1 5
−3 + 3 3 + π 60 =
−3 + 3 3 + π .
24
2
4
Esercizio 6 Risolvere l’equazione differenziale
(x2 + xy 2 ) dx + x2 y dy = 0.
Risposta E’ una equazione esatta, differenziale di
f (x, y) =
x3 x2 y 2
+
3
2
quindi le soluzioni sono le curve di livello
x3 x2 y 2
+
=k
3
2
r
⇒y=±
2 3k − x3
.
·
3
x2
Lezioni
30/9/2013 Insiemi di definizione di funzioni di due variabili; piani e paraboloidi.
1/10/2013 Continuit`
a: definizione, esempi e controesempi.
2/10/2013 Limiti, derivate direzionali, definizione di differenziabilit`a, piano tangente al grafico,
formula di derivazione delle funzioni composte.
4/10/2013 Teorema del differenziale totale, derivate seconde ed enunciato del Teorema di Schwarz.
7/10/2013 Estensioni allo spazio N –dimensionale.
8/10/2013 Permanenza del segno; insieme compatti per successioni; Teorema di Weierstrass.
9/10/2013 Compito in classe.
11/10/2013 Formula di Taylor in pi`
u variabili.
15/10/2013 Condizioni di estremalit`
a locale del II ordine.
16/10/2013 Introduzione al Teorema di Dini.
18/10/2013 Compito in classe.
16/10/2013 Introduzione al Teorema di Dini scalare nel piano.
21/10/2013 Dimostrazione del Teorema di Dini scalare nel piano: esistenza.
22/10/2013 Dimostrazione del Teorema di Dini scalare nel piano: derivabilit`a.
23/10/2013 Rappresentazioni delle curve piane e Teorema di Dini scalare nel piano; moltiplicatori
di Lagrange; Teorema di Dini scalare nello spazio.
25/10/2013 Compito in classe.
28/10/2013 Teorema di Dini per sistemi 2x3.
5
29/10/2013 Teorema di Dini per sistemi 2x4.
30/10/2013 Invertibilit`
a locale delle trasformazioni del piano; rappresentazioni parametriche delle
superfici, piani tangenti e vettori normali.
4/11/2013 Integrale di Riemann per funzioni limitate e continue con un numero finito di discontinuit`a.
5/11/2013 Integrali impropri; criterio del confronto per integrandi non negativi; convergenza assoluta o condizionata.
6/11/2013 Criterio integrale per le serie; integrali di Riemann dipendenti da un parametro.
8/11/2013 Compito in classe.
11/11/2013 Successioni uniformemente convergenti e continuit`a della funzione limite.
12/11/2013 Continuit`
a e derivabilit`
a degli integrali impropri dipendenti da un parametro: enunciati.
13/11/2013 Continuit`
a e derivabilit`
a degli integrali impropri dipendenti da un parametro: dimostrazioni.
15/11/2013 I compito di esonero.
18/11/2013 Serie di potenze: generalit`
a.
19/11/2013 Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie delle derivate.
20/11/2013 Serie di Taylor. Esempi
22/11/2013 Compito in classe.
25/11/2013 Definizione dell’integrale di Riemann in 2 variabili.
26/11/2013 Integrazione sui rettangoli e formula di riduzione.
27/11/2013 Misura di Peano-Jordan. Domini normali.
29/11/2013 Compito in classe.
2/12/2013 Propriet`
a degli integrali doppi; calcolo di aree elementari con l’integrazione su domini
normali.
3/12/2013 Integrabilit`
a sulle funzioni continue e limitate sugli insieme PJ–misurabili.
4/12/2013 Cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Esempi.
6/12/2013 Compito in classe.
9/12/2013 Integrali tripli e formule di riduzione.
6
10/12/2013 Misura di Peano-Jordan e integrabilit`a sulle funzioni continue e limitate sugli insieme
PJ–misurabili dello spazio.
11/12/2013 Cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Integrali impropri doppi e tripli. Campi
irrotazionali nei rettangoli.
13/12/2013 Compito in classe.
17/12/2013 Curve e integrali curvilinei di I specie.
18/12/2013 Integrali curvilinei di II specie. Forme chiuse e esatte. Domini stellati.
20/12/2013 Illustrazione della formula di Gauss–Green.
7/1/2014 Dimostrazione della formula di Gauss–Green.
8/1/2014 Area di una superficie, teorema di Stokes in 3 dimensioni.
10/1/2014 Teorema della divergenza in 3 dimensioni.
14/1/2014 Equadiff con separazione delle variabili.
15/1/2014 Equazione logistica; equazioni esatte e fattore integrante.
17/1/2014 Correzione di esercizi.
21/1/2014 Problema di Cauchy: esistenza e unicit`a in grande.
22/1/2014 Problema di Cauchy: esistenza e unicit`a in piccolo. Il caso dei sistemi e delle equazioni
di ordine N .
7
STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO GLI ESONERI
PALERMO (D–D) — QUARESIMA (D–D) — QUICI (D–D) — SANTELLI (C–C) — SCHADE
(C–B) — SCHLITZER (A–B) — SINNL (D–D) — SOCCODATO (D–D) — STANESCU (D–D)
— TONIELLI (D–C) — VENDITTI (D–B) — ZANISI (C–B)
STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO
DEL I APPELLO INVERNALE
PARDO (D) — PASQUALI (D) — PLATI (D) — POMPILI (D) — ROMANO (D) — SANNA
(D) — SANTILLI (D) — SCANDI (D) — SEBASTIANI (B) — SERGOLA (B) — VENTAGLI
(B)
STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO
DEL II APPELLO INVERNALE
CECCHETTI (D) — PIOMPONI (D) — PLATI (C) — POMPILI (B) — QUARANTA (D) —
RICCI (D) — SCACCIA (D) — SCANDI (C) — SALAMONE (D) — TOSTI GUERRA (D) —
VENTRE (D)
STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO
DELL’APPELLO STRAORDINARIO
DEL FRANCO (D) — LAMANTEA (D) — PASQUALI (D) — PIZZIRANI (C)
STUDENTESSE E STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO
DELL’APPELLO ESTIVO
PASQUALI (A) — RISSONE (A) — SINNL (B) — SCETTRI (D)
STUDENTI CHE HANNO SUPERATO IL COMPITO SCRITTO DELL’APPELLO
AUTUNNALE
SCIUBBA (C) — QUARANTA (B)
8
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