Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni - Nicoli - Esame del 21 Luglio 2014 Gli esercizi devono essere risolti sui fogli dei colori indicati, speci…cando nome cognome e matricola in testa ad ogni foglio. Punteggio totale: 36 Esercizio 1 (foglio bianco, ¡ 12 ¢ punti): Filtraggio di segnale modulato. 3 Il segnale () = 10 sinc 10 cos (20 ), modulato con portante 0 1kHz, è …ltrato attraverso un sistema la cui uscita è () = () + ( ¡ 10¡4 ) con e reali positivi. a. (3 punti) Si rappresentino gra…camente () e la corrispondente trasformata di Fourier ( ). b. (3 punti) Si calcoli l’energia del segnale (). c. (3 punti) Sia () la risposta in frequenza del sistema, si calcoli e si tracci gra…camente j( )j2 . d. (3 punti) Si scelga 0 in modo che l’energia di () sia massimizzata. Si calcoli il valore corrispondente di energia per = = 12. Si confronti con il risultato del punto b e si commenti il risultato. Esercizio 2 (foglio giallo, 12 punti): Processi casuali Si consideri il processo casuale () = 7 cos(21 + 1 ), con fase casuale 1 uniformemente distribuita nell’intervallo [¡ ]. a. (6 punti) Si calcolino valore medio, funzione di autocorrelazione e potenza di (). Si dica se il processo è stazionario. b. (2 punti) Si calcoli la densità spettrale di potenza del processo. c. (2 punti) Il processo è …ltrato attraverso un sistema con risposta all’impulso () = 21 sinc2 (21 ). Si calcoli la potenza del processo in uscita (). d. (2 punti) Si calcoli la potenza del processo casuale () = () + 3 cos(41 + 2 ), con 2 indipendente da 1 e uniformemente distribuita nell’intervallo [¡ ]. Esercizio 3 (foglio rosa, 12 punti): Trasmissione video In un sistema di ripresa video e trasmissione la telecamera acquisisce 10 immagini in bianco-nero al secondo. Ogni immagine è composta da 1024£1024 pixel. Ad ogni pixel è associato un valore che rappresenta l’intensità luminosa. La trasmissione è fatta con modulazione M-PAM, utilizzando un …ltro di trasmissione a radice di coseno rialzato e roll-o¤ 02. Il rumore al ricevitore è gaussiano bianco con densità spettrale di potenza 0 = ¡160dBm/Hz. Il canale ha banda = 20MHz e introduce un’attenuazione di =70dB. a. (3 punti) Si assuma che il valore di ciascun pixel venga quantizzato in modo da garantire un rapporto segnale-rumore di quantizzazione di almeno 50dB. Si calcoli il bit-rate del ‡usso binario generato dalla telecamera. b. (3 punti) Si dia una rappresentazione a blocchi del trasmettitore e del ricevitore M-PAM c. (3 punti) Si scelga il numero dei livelli della modulazione M-PAM per soddisfare le speci…che del sistema. d. (3 punti) Si calcoli la potenza in trasmissione in modo da garantire una probabilità di errore sul bit inferiore o uguale a 10¡9 . 1 Soluzione esercizio 1 a. ¡Il ¢segnale () = () cos(20 ) è una cosinusoide di frequenza 0 modulata in ampiezza da () = sinc ( = 10¡3 , = 10). La trasformata di Fourier è ottenuta quindi traslando alle frequenze §0 lo spettro () = rect ( ): µ ¶ 1 1 1 1 ( ¡ 0 ) + ( + 0 ) = ( ¡ 0 ) + ( + 0 ) () = () ¤ 2 2 2 2 ¶ ¶ µ µ 1 ¡ 0 + 0 1 + rect rect = 3 200 10 200 103 b. Energia: Z 2 2 1 2 1 = = = 005J = j()j = 2 4 2 20 c. Risposta in frequenza del sistema ( = 01ms): 2 () = () + ( ¡ ) () = + exp(¡2 ) Lo spettro in modulo quadro è: j()j2 = 2 + 2 + 2 Re(exp(¡2 )) = 2 + 2 + 2 cos(2 ) con andamento periodico cosinusoidale di periodo 1 = 10kHz, fra il minimo (¡ )2 per = §(1 +2)(2 ) e il massimo ( + )2 per = § = 104 con = 0 1 2 3 . d. Si sceglie 0 = . La trasformata di Fourier dell’uscita, (), è una versione …nestrata di () con due rettangoli di banda 1 attorno alle frequenze §0 : 8 1 < 2 () per j ¡ 0 j 2 1 () = ( )( ) = () per j + 0 j 2 : 2 0 altrove 2 2 L’energia si trova integrando 4 j()j2 nei due intervalli sopra indicati: Z Z Z +12 2 2 +12 2 2 ¡3 j ()j = 2 j()j = 05 £ 10 j()j2 = 4 ¡12 ¡12 µ ¶ Z 2 2 1 +12 sin( ) 2 2 1 = 2 + (1 + cos(2 )) = 4 2 ¡12 4 ³ ³ ´´ 2 1 + sinc = 005J = 4 Si osserva che la banda del segnale (), 1 = 1kHz, è molto minore del periodo del canale 1 =10kHz. Dunque nella banda del segnale il canale è approssimabile come costante j()j2 ¼ ( + )2 = 1. Per cui ¼ . Soluzione esercizio 2 a. Valore medio di () : () = [()] = [7 cos(21 + 1 )] = 7 Funzione di autocorrelazione: Z + ¡ 1 cos(21 + 1 )1 = 0 2 ( ) = [()( + )] = 49[cos(21 + 1 ) cos(21 + 21 + 1 )] 49 1 [cos(41 + 21 + 21 ) + cos(21 )] = 2 Z + 1 cos(41 + 21 + 21 )1 + 245 cos(21 ) = 245 2 ¡ = 245 cos(21 ) 2 Potenza: = (0) = 245W. Il processo ha caratteristiche statistiche indipendenti dal tempo ed è dunque stazionario. b. La densità spettrale di potenza è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione: () = 1225 ( ( ¡ 1 ) + ( + 1 )) c. La risposta in frequenza del sistema è ( ) = tri( ) = tri( ). La densità spettrale di potenza del processo () si ottiene come: () = ( ) ¢ j( )j2 = 1225 j(1 )j2 ( ( ¡ 1 ) + ( + 1 )) = 1225(12)2 ( ( ¡ 1 ) + ( + 1 )) La potenza è: = Z () = 2 ¢ 1225 ¢ 1 = 6125W. 4 d. La potenza del processo () è la somma delle potenze dei due processi componenti: = 6125 + 32 = 10625W 2 Soluzione esercizio 3 a. Imponendo che il rapporto segnale rumore sia almeno 50dB si ottiene il numero di bit di quantizzazione, da cui segue il bit-rate: SNR = 6 ¸ 50 ) ¸ 9bit/campione = 1024 £ 1024 £ 10 £ 9 = 944Mbit/s c. Il numero di livelli di modulazione si ottiene imponendo che la banda sia entro i 20MHz: (1 + ) = 12 · 20MHz 2 log2 2 log2 944 12 = 28 log2 ¸ 40 = 8 = Si sceglie quindi una modulazione 8-PAM. d. Potenza in trasmissione: Ãr Ãr ! ! 2 ¡1 2 2 7 () = = · 10¡9 log2 0 12 0 µ ¶¸2 · 0 ¡1 12 ¡9 10 ¸ = 3 49 £ 10¡15 mJ 2 7 2 ¡ 1 1 = = = 7 ¸ 23mW 3 log2 3
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