Decomposizione in irriducibili di un intero Gaussiano

Esercizi per il corso di Algebra 2
Foglio di Approfondimento
1
Primi Gaussiani
Si consiglia di svolgere i seguenti esercizi nell’ordine suggerito (alcuni non sono
banali).
√
1. Mostrare che α = a + ib ∈ Z[ −1] `e divisibile per n ∈ Z se e solo se n|a e
n|b.
√
2. Siano α, β ∈ Z[ −1] tali che α|β. Mostrare che allora N (α)|N (β), mentre
il viceversa non `e necessariamente vero.
√
3. Mostrare che un primo di p ∈ Z `e irriducibile in Z[ −1] se e solo se p non
`e somma di due quadrati di interi.
√
√
4. Mostrare che un primo p ∈ Z[ −1] `e irriducibile in Z[ −1] se e solo se
p ≡ −1 (mod 4).
Cenno di soluzione Per risolvere questo esercizio occore utilizzare il
seguente teorema:
Teorema: Se K `e un campo finito con q elementi, q dispari, allora K
contiene ua radice quadrata di −1 se e solo se q ≡ 1 (mod 4).
5. Utilizzare l’esercizio precedente per dimostrare che p ∈ Z `e somma dei
quadrati di due interi se e solo se o p = 2 o p ≡ 1 (mod 4).
√
6. Mostrare
√ che se α ∈ Z[ −1] `e tale che N (α) `e primo, allora α `e irriducibile
in Z[ −1].
7. Sia p ∈ Z un primo con p ≡ 1 (mod 4). Allora esiste ed `e unica una coppia
di interi positivi a e b con a > b tale che p = a2 + b2 . (Nell’Esecizio 5 si `e
gi`
a dimostrata l’esistenza.)
√
8. Sia p = a + ib ∈ Z[ −1], allora
• Se p = 2, allora p `e associato a (1 + i)2 e 1 + i `e irriducibile;
√
• Se p ≡ −1 (mod 4), allora p `e irriducibile in Z[ −1];
• Se p ≡ 1 (mod 4), si indichi πp := a + ib, allora p `e associato a πp · πp
e πp e πp non sono associati.
√
9. Sia α ∈ Z[
√ −1] `e irriducibile, allora esiste ed `e unico un p ∈ Z tale che
α|p in Z[ −1].
• Se p = 2, allora α `e associato a p e N (α) = 2;
1
• Se p ≡ −1 (mod 4), allora α `e associato a p e N (α) = p2 ;
• Se p ≡ 1 (mod 4), si indichi p = a2 + b2 e πp := a + ib, allora α `e
associato a πp o a πp e N (α) = p.
√
10. Sia α ∈ Z[ −1],
• α `e divisibile per 1 + i se e solo se N (α) `e pari;
• se p `e un primo con p ≡ −1 (mod 4), allora p divide α se e solo se p
divide N (α);
• se p `e un primo con p ∼ 1 (mod 4), allora α `e divisibile per πp o per
πp se e solo se N (α) `e divisibile per p.
11. Sia n ≥ 2, n ∈ Z. Allora n `e somma di due quadrati di interi se e solo
se nella scomposizione in fattori primi di n i primi congrui ad 1 modulo 4
appaiono tutti con esponenti pari.
1.1
Scomposizione in irriducibili di un intero Gaussiano
In questa sezione non ci sono esercizi. Riassumiamo i risultati ottenuti nella
Sezione 1 con un metodo per calcolare la scomposizione in irriducibili di un
intero Gaussiano
√
α = a + ib ∈ Z[ −1].
1. Prima di tutto osserviamo che se d = (a, b), allora
α = d(a0 + ib0 )
con (a0 , b0 ) = 1.
Separiamo ora la scomposizione di d da quella di α0 := a0 + ib0 .
2. Scomposizione di d:
(a) Scomporre d come prodotto di primi in Z;
√
(b) Scomporre ora ciascuno di questi primi in Z[ −1].
3. Scomposizione di fattori irriducibili di α0 .
√
Osserviamo dapprima che tra i fattori irriducibili di α0 in Z[ −1] non vi
sar`
a nessun primo con p ≡ −1 (mod 4) perch´e a0 e b0 sono relativamente
primi.
(a) Per vedere con quale potenza 1 + i appare in una scomposizione in
fattori irriducibili di α0 poniamo α0 = (1 + i)m β con β non divisibile
per 1+i. Allora N (α0 ) = N ((1+i)m )N (β) = 2m N (β) e √
N (β) dispari.
L’esponente m di 1 + i in una scomposizione di α0 ∈ Z[ −1] `e anche
l’esponente di 2 in una scomposizione di N (α0 ) in Z.
(b) Se p `e un primo con p ≡ 1 (mod 4) e p|N (α0 ), allora πp |α0 oppure
πp |α0 : non `e possibile per`o che α0 sia divisibile sia per πp che per
πp , perch´e questo vorrebbe dire che sia πp che πp appaiono in una
scomposizione di α0 , il che implicherebbe che p = πp πp divide α0 . Ma
questo `e impossibile perch´e a0 e b0 sono relativamente primi. Supponiamo per esempio che πp |α0 e sia α0 = πpm β con β non divisibile
2
per πp . Abbiamo che β non `e divisibile neppure per πp , altrimenti α0
sarebbe divisibile per πp . Quindi N (α0 ) = N (πpm )N (β) = pm N (β) e
p non√divide N (β). L’esponente m di πp in una scomposizione di α0
in Z[ −1] `e anche l’esponente di p in N (α0 ) in una scomposizione di
N (α0 ) in Z.
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