Prova Scritta di CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Informatica Facolt` a di INGEGNERIA 02 Luglio 2014 Prof. Francesca PELOSI Testo B Esercizio 1. (7 punti) Assegnati i nodi x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2 e la funzione √ f (x) = (x − 1)2 − x + 3, sia p(x) il polinomio interpolante i punti (xi f (xi )) con i = 0, 1, 2. Senza costruire il polinomio, dare una maggiorazione dell’errore di interpolazione in valore assoluto, |e(x)|: |e(x)| := |f (x) − p(x)|, per x ∈ [−2, 2]. Esercizio 2. (8 punti) Assegnata l’equazione 1 ; e2 i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne la radice e in caso di convergenza determinare l’ordine. x f (x) = e− 2 − f (x) = 0; ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi ) con 1 e2 `e convergente e in caso affermativo determinarne l’ordine. x g(x) = x + e− 2 − Esercizio 3. (10 punti) 2 R2 Calcolare l’approssimazione dell’integrale −2 cos( π2 x) − 4 dx = 66 i) usando la formula di Newton-Cotes su n + 1 punti con n = 1 e n = 2; ii) usando la formula dei Trapezi composita su N = 2 e N = 4 intervalli. iii) Calcolare, utilizzando le relative formule, una stima dell’errore commesso con ciascuna delle 4 formule di quadratura utilizzate nei punti i) e ii). Di seguito la tabella dei coefficienti delle formule di Newton-Cotes al variare di n nella forma αi = cβi : n c β β β β β β Errore 1 2 3 4 5 1/2 1/3 3/8 2/45 5/288 0 1 1 1 1 7 19 1 4 3 32 75 2 1 3 12 50 3 1 32 50 4 7 75 5 19 1 3 (2) − 12 h f (η) 1 5 (4) − 90 h f (η) 3 5 (4) − 80 h f (η) 8 7 (6) − 945 h f (η) 275 7 (6) − 12096 h f (η) Esercizio 4. (5 punti) Assegnato il sistema lineare Ax = b con     A= 4 0 −1 0 0 10 −1/5 0 0 −1/2 1 0 1 0 0 −1    ;  i) analizzando unicamente la matrice A, si pu`o stabilire se il metodo iterativo di Jacobi applicato al sistema `e convergente? Cosa si pu`o dire per il metodo iterativo di Gauss-Seidel? ii) Costruire la matrice di iterazione del metodo di Jacobi e studiare la convergenza del metodo iterativo associato. In caso di convergenza, cosa si pu`o dire sulla corrispondente velocit` a? iii) Visti i risultati ottenuti al punto ii) e senza costruirne la matrice di iterazione, cosa si pu` o stabilire sulla convergenza del metodo di Gauss-Seidel?