Die Botschaft des göttlichen Feuers: Die Sonne im Horoskop und

IAS scheda di esercizi n. 02
Eugenio Montefusco
09.10.2014
Esercizio n. 1 Sia (X , d ) uno spazio metrico e A : X −→ X un’applicazione tale che,
per un certo k ∈ , A k = (A ◦ · · · ◦ A) (cioè l’operatore A composto con sé stesso k
volte) sia una contrazione su X . Si provi che A possiede un unico punto fisso.
Esercizio n. 2 Sia `2 lo spazio di Hilbert delle successioni di quadrato sommabile,
e sia A : `2 −→ `2 il seguente operatore lineare
µ
¶
x1 x2
xk
D(x) =
, 2 ,..., k ,...
2 2
2
Si provi che l’operatore è limitato (cioè esiste K > 0 tale che kD(x)k ≤ K kxk per ogni
x ∈ `2 . D trasforma la convergenza debole in convergenza forte?
Esercizio n. 3 Supponiamo di avere una successione di funzioni misurabili { f k }
definite su uno spazio (X , M , µ) a valori in [0, +∞]. Supponiamo che
f 1 (x) ≥ f 2 (x) ≥ f 3 (x) ≥ · · · ≥ 0
e che
Z
X
f k (x) −→ f (x)
e
∀x ∈ X
f 1 d µ < +∞
Si provi che
Z
X
f k d µ −→
Z
X
f dµ
È necessaria l’ipotesi di sommabilità di f 1 ?
Esercizio n. 4 Si consideri lo spazio di misura ([0, 1], M , m) e la successione di
funzioni
(
n(1 − nx) x ∈ [0, 1/n]
f k (x) =
0
x ∈ [1/n, 1]
si calcoli il limite puntuale della successione { f k }, il limite degli integrali e si commenti il risultato ottenuto...
Esercizio n. 5 Sia (X , M , µ) una spazio di misura e f : X −→ tale che l’insieme
{x ∈ X : f (x) ≥ q} ∈ M per ogni q ∈ . Si mostri che f è µ-misurabile.
Esercizio n. 6 Si scriva l’enunciato del teorema della convergenza dominata nel
caso X = , M = P () e µ = δp (con p ∈ ). Si commenti l’affermazione ottenuta.
1
Esercizio n. 7 Si consideri lo spazio di misura (X , M , µ) dove X = , M = {A ⊆ :
A o C (A) è numerabile} e
(
0 se A è numerabile
µ(A) =
1 se C (A) è numerabile
Si provi che M è una σ-algebra e µ è una misura su M .
Esercizio n. 8 Sia (X , M , µ) una spazio di misura e f : X −→ [0, +∞] misurabile tale
che
Z
X
f d µ < +∞
Allora per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che
Z
f d µ < +ε
se
E
µ(E ) < δ
Esercizio n. 9 Sia X un insieme non vuoto, f : X −→ [0, +∞] una funzione. Per
E ∈ P (X ) definiamo
)
(
X
f (x) : F ⊆ E , F finito
µ(E ) = sup
x∈F
Si provi che µ è una misura su X .
Esercizio n. 10 Sia (X , M , µ) una spazio di misura tale che µ è non-atomica, cioè
una misura tale che per ogni insieme E ∈ M di misura positiva, esiste F ∈ M , con
F ⊆ E , tale che 0 < µ(F ) < µ(E ). Allora il codominio di µ è l’intervallo [0, µ(X )].
(Attenzione: questo esercizio è impegnativo!)
2

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