Inleiding tot relativiteitstheorie

Onderzoekscompetenties 6de jaar
Werkschema Inleidende relativiteitsleer
Galilei-Lorentztransformaties, massaveranderingen
1. Algemene lesgegevens
De bedoeling van deze reeks lessen is om een klein deel te bespreken van de speciale relativiteitstheorie.
2. Lesverloop
Agenda leerlingen: Inleiding tot relativiteit.
Opdracht:
1. Op zelfstandige manier de theorie eigen maken.
2. Oefeningen maken.
3. Oplossingen via de uploadzone doorsturen.
1
Inleiding tot de speciale relativiteitstheorie:
1 Galileitransformaties
1.1 Inleiding
Toen ik nog op de schoolbanken zat, deed de leerkracht Nederlands ooit een filosofische uitspraak:
“De waarheid is relatief.” Als jonge, rebelse snaak kon ik niet akkoord gaan met deze boutade.
Volgens mij bestond 'de waarheid' uit feiten. Feiten, die je wel uit een ander gezichtspunt kunt
bekijken, maar die uiteindelijk hun vorm behouden. De wetten van de fysica leken mij hierin te
steunen. Eén meter blijft één meter, uit welk perspectief ook.
Later hoorde ik van de relativiteit in de natuurkunde. Had de leraar Nederlands dan toch gelijk? Ik
was dan ook zeer geïnteresseerd in de relativiteitsleer, een kind van de beroemde A. Einstein. In
deze tekst gaan we er verder op in en zullen tot enkele vreemde vaststellingen komen.
1.2 De transformaties
Maar laten we eerst starten bij het begin: Galileïtransformaties (GT). Met GT kunnen we
waarnemingen van één persoon vertalen in het perspectief van een ander. We geven een voorbeeld.
Jan zit stil op een bankje en ziet een schildpad voorbij wandelen met een snelheid van 21m/s. An
loopt in dezelfde richting en heeft een snelheid van 14m/s. Voor haar lijkt de schildpad langzamer
vooruit te bewegen, nl. Aan 7m/s.
Met galileitransformaties kunnen we de tijd en ruimtecoördinaten van de ene vertalen in de
coördinaten van de andere.
vw
vw
Voor de ene waarnemer (Jan bv.) gebruiken de coördinaten zonder accenten.
Voor de andere (An) gebruiken we coördinaten met accenten
De snelheid van An tov Jan noemen we 𝑣𝑤 .
2
De transformaties zien er als volgt uit:
Van S → S'
𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑤 . 𝑡
𝑡′ = 𝑡
1
of [
0
−𝑣𝑤 𝑥
] . [ ] = [𝑥′]
𝑡
1
𝑡′
In ons voorbeeld is de plaats van de schildpad:
Op t=0s
Op t=1s
Jan
0m,0s
21m,1s
An
0m,0s
1
[𝑥′] = [
0
𝑡′
−14 21
7
].[ ] = [ ]
1
1
1
Algemeen:
Een waarnemer (stelsel S') beweegt met een snelheid𝑣𝑤 ten opzichte van een andere waarnemer
(stelsel S). De coördinatentransformatie is dan:
1
[
0
3
−𝑣𝑤 𝑥
] . [ ] = [𝑥′]
𝑡
1
𝑡′
en
1
[
0
𝑥
𝑣𝑤 𝑥′
].[ ] = [ ]
𝑡
1
𝑡′
1.3 Opgaven
1.
Een auto rijdt met een constante snelheid van 3m/s t.o.v. een stilstaande waarnemer (S). De positie
is:
x(t)  3.t
Een andere waarnemer (S’) beweegt tov de eerste met een snelheid van 10m/s.
a) Maak een x(t)-grafiek.
b) Stel de transformatiematrix op.
c) Transformeer de volgende tijd-ruimtecoördinaten naar het stelsel S’: (t=0s, x=0m) en
(t=5s, x=15m)
d) Maak een x’(t’)-grafiek.
2.
Een voorwerp beweegt in stelsel S met een snelheid v. Zoek een formule voor de snelheid van dit
voorwerp in het stelsel S’ dat beweegt met een snelheid𝑣𝑤 .
3.
Stel de transformatiematrix op voor een stelsel S’ dat een snelheid 𝑣𝑤 heeft in de y-richting.
. . . 𝑥
𝑥′
[. . .] . [𝑦] = [𝑦′]
. . . 𝑡
𝑡′
4.
Vanop een bergtop bekijk je een lawine. Deze heeft een snelheid van 20m/s.
Een skiër bevindt zich op 1500m van de lawine en skiet naar beneden met een snelheid van 15m/s.
Met welke snelheid neemt hij de lawine waar?
Hoelang duurt het voordat hij in de lawine terecht komt?
5.
Een auto rijdt met een constante snelheid van 130 km/h en wordt achtervolgd door een
politiewagen. De politiewagen rijdt met een constante snelheid van 160 km/h. Hoe groot is de
onderlinge afstand tussen de twee wagens, één minuut voor de politiewagen de auto heeft
ingehaald?
4
2 Lorentztransformaties
2.1 De transformaties
De eerste laboratoriummetingen van de lichtsnelheid stammen uit 1849. Ze werden uitgevoerd door
Fizeau. Ook toonde hij aan dat de lichtsnelheid in een snelstromende vloeistof, zeg met snelheid v
in de voortplantingsrichting van het licht, NIET toeneemt tot c + v zoals op basis van de
Galileïtransformatie verwacht zou worden.
Omdat de snelheid van het licht voor elke waarnemer constant is, wordt deze grootheid gebruikt om
de 'meter' te definiëren. Eén meter is namelijk de afstand die het licht aflegt in 3,3.10-9s.
Einstein zette een rigoureuze stap. Hij was ervan overtuigd dat er een relativiteitsprincipe moest
bestaan dat zowel gold voor mechanica als voor elektromagnetisme. Galileïtransformaties waren het
antwoord niet. Er moet een ander type van transformaties gezocht worden.
Einsteins relativiteitstheorie is gebaseerd op drie postulaten:
1. Het relativiteitsprincipe
De natuurwetten en de resultaten van alle experimenten uitgevoerd in een zeker
referentiestelsel zijn onafhankelijk van de translatiebeweging van het systeem.
2. Constantheid van de lichtsnelheid
De lichtsnelheid is eindig en onafhankelijk van de bewegingstoestand van de
lichtbron.
Het is de limietsnelheid voor natuurkundige objecten. (In dit tweede postulaat wordt
impliciet aangenomen dat de lichtsnelheid als fundamentele natuurconstante een
universele rol speelt en niet alleen van belang is voor verschijnselen waar licht bij
betrokken is.)
3. Massa en energie
Massa is een vorm van energie, en omgekeerd.
E = m.c²
De enige mogelijke transformatie die hiervoor in aanmerking komt is een Lorentztransformatie.
Deze lijkt een beetje op de Galileïtransformatie, met dit verschil dat er een evenredigheidsfactor
voor komt te staan.We gaan er van uit dat de waarnemers op dezelfde plaats staan (x=x'=0) als hun
klokken starten (t'=t=0).
x'   .x  v.t 
(*)
Er moet ook een omgekeerde transformatie bestaan om van waarnemingen in S’ over te gaan naar
waarnemingen in S.
(**)
x   .( x'v.t ' )
v is hierbij de snelheid van stelsel S’, de evenredigheidsconstante  
1
1
5
v²
c²
Als je deze twee vergelijkingen (*) en (**) combineert, vind je:
v
c.t '   .(c.t  .x)
c
v
c.t   .(c.t ' .x' )
c
(zie opdracht 1)
De transformatiematrix van S naar S’ ziet er dan als volgt uit:
 γβ   x 
 x'   γ
v
1
   
.  met  
en  
   c.t 
c
v²
 c.t '    
1
c²
6
2.2 Gevolgen van de Lorentztransformaties
2.2.1 Tijdsdilatatie
Een raar gevolg van deze transformatie, is dat de tijd voor bewegende waarnemers langzamer loopt
ten opzichte van een stilstaande waarnemer. Bekijken we dit in detail.
Een bewegende waarnemer S’ kijkt naar zijn klok en ziet deze vooruitgaan. Laten we zeggen dat
deze klok zich in de oorsprong bevindt en dat hij er een periode ∆𝑡′naar kijkt.
Zoeken we nu de overeenkomstige plaatsen en tijden in stelsel S, dan vind je:
𝑥
𝛾
[𝑐𝑡 ] = [
𝛾𝛽
𝑏
𝛾𝛽
0
0
].[ ] = [ ]
𝛾
𝑐. 0
0
𝑥
𝛾
[𝑐𝑡 ] = [
𝛾𝛽
𝑒
𝛾𝛽
𝛾𝛽𝑐∆𝑡′
0
]=[
].[
]
𝛾
𝑐∆𝑡′
𝛾𝑐∆𝑡′
De plaatsen interesseren ons niet, wel de tijden. Een periode ∆𝑡′ in S’ gemeten zal overeenkomen
met een periode ∆𝑡 in S, waarbij:
∆𝑡 = 𝛾. ∆𝑡′
Omdat de constante𝛾 > 1 zal de periode in S steeds groter zijn.
Besluit: Bewegende klokken lopen langzamer.
7
2.2.2 Lengtecontractie
We gaan nu iets gelijkaardigs doen rond de lengte.
Bekijken we nu een lat in S' die bijvoorbeeld 𝑙0 meter lang is. We veronderstellen dat de lat in S' niet
beweegt. We nemen aan dat het ene uiteinde in de oorsprong 0 = 𝑥1 ′ ligt en het andere op 𝑙0 = 𝑥2 ′.
Diezelfde lat beweegt dus met een snelheid v in het S stelsel. De twee uiteinden bewegen als volgt:
𝑥1 = 𝑣. 𝑡
𝑥2 = 𝑙 + 𝑣. 𝑡
Transformeren we de twee punten:
𝑥1 ′ = 0
𝑥2′ = 𝛾. (𝑙 + 𝑣. 𝑡 − 𝛽𝑐𝑡) = 𝛾. 𝑙
Dus:
𝑙=
Besluit: Bewegende objecten worden korter.
8
1
.𝑙
𝛾 0
2.2.3 Massaverandering
De natuurwetten moeten dezelfde zijn voor alle waarnemers, zolang deze waarnemers bewegen aan
constante snelheden. Omdat de tweede wet van Newton verandert bij toepassing van
Lorentztransformaties, was deze wet aan herziening toe.
Einstein stelde de volgende aanpassing voor:
𝑑(𝑚. 𝑣) 𝑑𝑝
𝐹=
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Het product 𝑚. 𝑣 wordt het impuls 𝑝 genoemd.
Een kracht zal dus niet alleen de snelheid veranderen zoals bij Newton, maar ook de massa
wijzigen.
Passen we nu de wet van behoud van energie toe:
𝐹. 𝑑𝑥 = 𝑑𝐸
𝑑(𝑚. 𝑣)
. 𝑑𝑥 = 𝑑(𝑚. 𝑐 2 )
𝑑𝑡
𝑑𝑥
. 𝑑(𝑚. 𝑣) = 𝑑(𝑚. 𝑐 2 )
𝑑𝑡
𝑣. 𝑑(𝑚. 𝑣) = 𝑑(𝑚. 𝑐 2 )
𝑚. 𝑣. 𝑑(𝑚. 𝑣) = 𝑚. 𝑑(𝑚. 𝑐 2 )
𝑑 (𝑚2 . 𝑣 2 ) = 𝑑(𝑚2 . 𝑐 2 )
∫ 𝑑(𝑚2 . 𝑣 2 ) = ∫ 𝑑(𝑚2 . 𝑐 2 )
𝑚². 𝑣² = 𝑚². 𝑐² + 𝐾
Als 𝑣 = 0 dan is de massa van het deeltje gelijk aan de rustmassa 𝑚0 , dus 𝐾 = − 𝑚0 ². 𝑐²
𝑚². 𝑣² = 𝑚². 𝑐² − 𝑚0 ². 𝑐²
Dus:
𝑚 = 𝛾. 𝑚0
Besluit: Bewegende deeltjes worden zwaarder.
9
2.3 Opdrachten
1. Toon aan dat uit (*) en (**) volgt dat:
v
c.t'.(c.t  .x)
c
v
c.t .(c.t' .x')
c
2. Maak een grafiek waarbij je γ uitzet in functie van v.
3. Een waarnemer beweegt met een snelheid 𝑣 = 0,6. 𝑐. Zoek γ, β en β γ.
4. Een lichtflits wordt gemeten in S. Deze kan als volgt beschreven worden:
s
x  c.t met c  1
s
a. Maak een x(t)-grafiek
b. Neem twee punten (0,0) en (1,c) uit de grafiek en transformeer naar S’ (S’ beweegt
aan 60% van de lichtsnelheid)
c. Maak een x’(t’)-grafiek.
d. Wat valt op?
5. Een voorwerp beweegt met een snelheid v0 <1s/s in S. Deze kan als volgt beschreven
worden:
x  v0 .t
a. Maak een x(t)-grafiek
b. Neem twee punten (0,0) en (t=1,x=v0.1) uit de grafiek en transformeer naar S’
c. Maak een x’(t’)-grafiek.
d. Toon aan dat de snelheid in S’ gelijk is aan:
v v
v0' 0
v .v
1 0
c²
6. De afstand aarde – zon is 1,44.1011m. Een ruimteschip heeft een snelheid 𝑣 = 0,98. 𝑐. Hoe
groot is deze afstand voor een waarnemer in het ruimteschip?
7. Een muon (µ-) ontstaat door botsingen van atmosferische straling in de hoogste luchtlagen
van onze atmosfeer. De snelheid van het muon is 𝑣 = 0,9995. 𝑐. Een stilstaand muon heeft
een levensduur van 2,2.10-6s. Hoe lang zal dit bewegende muon leven voor waarnemers op
de aarde?
8. Einstein puzzel
Einstein, als jongen van 16, vroeg zich het volgende af: Een hardloopster ziet
zichzelf in een spiegel die zij in haar hand houdt, een armlengte voor haar
gezicht. Als zij nu met bijna de snelheid van het licht rent, zal ze zichzelf
dan nog steeds in de spiegel zien?
9. Einsteins gedachte-experiment
Als werknemer bij een patentburo in Bazel zag Einstein vanaf zijn werkkamer
de klok van de kerktoren. Op een bepaald moment stond de klok op precies 3
uur. Hij stelde zich voor dat het licht, dat weerkaatst wordt vanaf de klok en
het `beeld' van de klok met zich draagt, met een snelheid van 300000 km/s
de ruimte in suist. Hij vroeg zich af hoe je de klok ziet lopen als je met dit
licht zou kunnen meereizen.
Hoe verloopt de tijd voor een (hypothetische) waarnemer die met de
snelheid van het licht reist?
10
10. Afstanden
In het ruststelsel van de aarde is de afstand tussen Amsterdam en New York
ongeveer 6000 km (5877 km om precies te zijn). Met hoeveel wordt de afstand
tussen de steden verkort zoals geobserveert door een vliegtuig (1000 km/uur)?
Of door de International Space Station (8 km/s)? Of door een kosmisch
deeltje dat met een snelheid van 0.9c reist?
11. Neutron
De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hij
in een proton, electron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuit
de zon de aarde bereiken (afstand 1,5.1011m). Met welke snelheid moeten
die minstens door de zon zijn uitgestoten?
12. Een astronaut wil binnen een jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een ster
die op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheid
lichtjaar en als tijdseenheid jaar.
a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden?
b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben?
c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening?
11
Bijlage:
I. Bepaling van de schaalfactor aan de hand van de postulaten van Einstein.
De schaalfactor duiden we aan als γ.
𝑣
Een andere grootheid is 𝛽 = 𝑐𝑤
We moeten aantonen dat  
1
1
v w2
c2

1
1  2
Voor het gemak zullen we snelheden uitdrukken in lichtjaar per jaar.
𝑙𝑗
De lichtsnelheid is dan 𝑐 = 1 𝑗
De LT zijn dan:
X'X
 x   γ γβ   x' 
   
.  (1)
 c.t       c.t ' 
X X'
 x'   γ
   
 c.t '    
 γβ   x 
. 
   c.t 
(2)
We gaan nu na wat de schaalfactor is. Veronderstel dat de twee waarnemers een lichtdeeltje volgen.
De waarnemers beschrijven dit als:
x  c.t  t
(3)
x'  c.t '  t '
Gebruiken we nu (1a) en (2a) en vervangen we t door x en t' door x' (3) dan:
x   x'  .x'
x '    x   .x 
x   1   x'  0
 1   x  x'  0
Dit moet oplossingen geven voor alle x en x'.
Dus
1
  1   
0
 1   
1
 1   2 .(1   2 )  0
 
QED.
12
1
1  2
II. Aanpassingen van de wetten van Newton.
13

Download Report