Relativiteit
§1
§2
§3
§4
§5
§6
§7
§8
Referentiestelsels; Galileï-transformatie
Postulaten van de speciale relativiteitstheorie
Tijdsduurrek
Lengtekrimp
Minkowskidiagram
Lorentztransformatie
Ruimtetijdinterval
Relativistisch optellen van snelheden
Bijlagen
§ 1 Referentiestelsels; Galileïtransformatie
Referentiestelsel, inertiaalstelsel
In de onderstaande figuur zit Jan op een stoel. Hij heeft een zogenoemd
‘referentiestelsel’. Een referentiestelsel is een coördinatenstelsel (assenstelsel)
waarmee de plaats van voorwerpen in de driedimensionale ruimte met getallen
(coördinaten) aangegeven kan worden. Voor de eenvoud bestaat zijn
referentiestelsel uit slechts één as: de x-as. De twee andere assen zijn weggelaten.
Jan zit is de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel (x = 0 m). In de figuur bevindt
de fietser zich op x = 4 m en de hond op x = 12 m.
Een referentiestelsel dat niet versnelt of roteert wordt een inertiaalstelsel genoemd.
In de figuur is het referentiestelsel van Jan een inertiaalstelsel als we tenminste
afzien van de draaiing van de aarde. In een inertiaalstelsel geldt de eerste wet van
Newton. Deze wet zegt dat, als de resulterende (= netto) kracht op een voorwerp nul
is, de snelheid van dat voorwerp constant is in grootte en in richting. Vanaf nu
beperken we ons tot inertiaalstelsels. Overigens blijven we nog vaak de term
referentiestelsel gebruiken.
Tijd-plaats-diagram
In de bovenstaande figuur rijdt de fietser
met een constante snelheid van 2 m/s naar
rechts. Op tijdstip t = 0 s passeert hij Jan.
De hond verandert niet van plaats (op
x = 12 m). We krijgen dan het tijd-plaatsdiagram dat hiernaast is afgebeeld. In deze
paragraaf wordt dit diagram 1 genoemd.
In tegenstelling tot wat gebruikelijk is in de
natuurkunde, wordt de tijdas hier verticaal
getekend. Dat heeft geen diepere betekenis
en is meer een kwestie van gewoonte bij de
relativiteitstheorie.
Gebeurtenis en wereldlijn
We introduceren nu de volgende twee begrippen die belangrijk zijn in de
relativiteitstheorie.
Een gebeurtenis is een fysische situatie of voorval op één bepaalde plaats en één
bepaald tijdstip. Bijvoorbeeld: je klapt precies hier en precies nu in je handen. In het
tijd-plaats-diagram wordt een gebeurtenis als een stip weergegeven. Zo stelt de stip
in het diagram (x = 12 m en t = 4 s) een blaf van de hond voor.
1
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Een wereldlijn is een lijn in het tijd-plaats-diagram die het verband tussen tijd en
plaats van een voorwerp (of iets anders) weergeeft. Zie de twee lijnen die horen bij
de fietser en de hond in het bovenstaande diagram. Omdat Jan in de oorsprong van
zijn eigen referentiestelsel zit (x = 0 m), is de tijdas de wereldlijn van Jan.
Twee waarnemers W en W’
In het voorgaande voorbeeld was Jan een soort waarnemer die registreerde op
welke plaats x de fietser en de hond zich bevonden op elk tijdstip t. We borduren
hierop voort en laten de fietser nu ook waarnemer zijn. Jan heeft nog steeds de x-as
als referentiestelsel en de fietser heeft de x’-as (spreek uit: x-accent-as) als
referentiestelsel. De fietser zit in de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel. Zie de
volgende figuur waarin ook de x’-as getekend is. Jan wordt met W aangeduid en de
fietser met W’ (spreek uit: W-accent). De letter W staat voor waarnemer.
Belangrijk is het om te beseffen dat de x-as als het ware vastzit aan W (Jan) en de x’as vastzit aan W’ (de fietser). Als W’ dus naar rechts rijdt, neemt hij zijn
referentiestelsel mee.
Het onderstaande linker tijd-plaats-diagram, aangeduid met diagram 2, geeft alle
gebeurtenissen volgens waarnemer W’ weer. Langs de horizontale as staat x’ (dus
met accent) en langs de verticale as t’ (ook met accent). In deze paragraaf is de tijd t’
voor waarnemer W’ gelijk aan de tijd t voor waarnemer W maar daar komt in de
toekomst verandering in. Merk in het diagram op dat de wereldlijnen van Jan en de
hond schuin staan. Voor waarnemer W’ hebben Jan en de hond een snelheid van
(min) 2 m/s. Omdat de fietser in de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel zit
(x’ = 0 m), is de t’-as de wereldlijn van de fietser.
2
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Diagram 2 wordt ‘omgebouwd’ tot diagram 3 om redenen die dadelijk duidelijk
worden. Diagram 3 volgt uit diagram 2 door de t’-as te kantelen zodat hij samenvalt
met de wereldlijn van de fietser in diagram 1. De verticale rasterlijnen in diagram 2
worden met dezelfde hoek gekanteld. De wereldlijnen van Jan en de hond komen
zodoende verticaal te staan, net als in diagram 1. Merk op dat de x’-as niet veranderd
wordt. De overgang van diagram 2 naar diagram 3 mag natuurlijk geen invloed
hebben op de x’- en t’-waarden van een gebeurtenis. Dit is dan ook niet zo. Ga
bijvoorbeeld na dat in beide diagrammen de hond blaft op x’ = 4 m en op t’ = 4 s.
Het voordeel van diagram 3 is dat het
gecombineerd kan worden met diagram 1
door beide diagrammen ‘over elkaar heen te
leggen’. We krijgen dan het hiernaast
afgebeelde diagram 4. Dit diagram bevat twee
tijdassen, namelijk de t- en t’-as, en twee
plaatsassen, namelijk de x- en x’-as. Deze
laatste twee assen vallen samen. In diagram 4
zijn links van de t’-as de rasterlijnen voor
waarnemer W getekend en rechts van de t’-as
de rasterlijnen voor waarnemer W’.
Opmerking
In volgende paragrafen maken we kennis met
minkowskidiagrammen die ook twee tijdassen
en twee plaatsassen bevatten. In deze diagrammen vallen noch de tijdassen, noch
de plaatsassen samen.
Galileï-transformatie
De x- en t- waarden van een willekeurige gebeurtenis kunnen eenvoudig in de x’- en
t’-waarden omgerekend worden en andersom. Dit is mogelijk met de zogenoemde
Galileï-transformaties. Deze staan hieronder weergegeven. Hierin is v de snelheid
van W’ ten opzichte van W.
Neem het blaffen van de hond als voorbeeld. Voor deze gebeurtenis geldt: t = 4 s en
x = 12 m. Volgens de galileï-transformatie van W naar W’ geldt dan:
t’= t = 4 s en x’ = x - v·t = 12 - 2·4 = 4 m.
Dat klopt precies met de waarde voor t’ en x’ die wij in het tijd-plaats-diagram aflezen.
De vergelijking t’ = t wil zeggen dat de klokken van W en van W’ op een bepaald
tijdstip gelijk zijn gezet en dat beide klokken daarna even snel zijn blijven lopen. Voor
hoge snelheden (in de orde van de lichtsnelheid) geldt dit niet meer en moet de
galileï-transformatie worden vervangen door de lorentztransformatie die breder
toepasbaar is (zie de volgende paragrafen).
3
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Voorbeeld van een opgave
In de onderstaande figuur zit waarnemer W op een stoel naast een weg. Het
referentiestelsel van W is de x-as, waarvan hij in de oorsprong (x = 0) zit. Waarnemer
W’ rijdt in zijn auto met een snelheid van 10 m/s naar rechts. Het referentiestelsel van
W’ is de x’-as, waarvan hij in de oorsprong (x’ = 0) zit. Als W’ W passeert, stellen we
de tijd van beiden op nul (t = t’ = 0). Op dat moment ziet W’ op 40 m afstand een
fietser met een snelheid van 5 m/s (ten opzichte van de weg) in zijn richting fietsen.
Na 2 s komt de fietser ten val en blijft liggen.
a.
Maak een tijd-plaats-diagram vanuit het gezichtspunt van W. Teken de wereldlijnen
van W’ en de fietser in dit diagram.
b.
Geef in het diagram duidelijk de t’-as (behorende bij W’) aan.
c.
Bepaal uit het diagram op welke afstand van W’ de fietser ten val komt.
Oplossing
a. en b.
Zie het diagram hiernaast.
c.
Volgens de stippellijn is de afstand
10 m (aflezen langs de horizontale as).
4
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 1
Opgave 1
Wat verstaan we onder een inertiaalstelsel?
Opgave 2
Wat verstaan we onder een gebeurtenis?
Wat verstaan we onder een wereldlijn?
Opgave 3
Geef aan of de volgende beweringen juist of onjuist zijn.
a)
Met de galileï-transformatie kunnen de coördinaten van een gebeurtenis bij grote
snelheden omgerekend worden van het ene inertiaalstelsel in het andere
inertiaalstelsel.
b)
De lorentztransformatie is een veralgemenisering van de galileï-transformatie.
c)
Een gebeurtenis wordt in een tijd-plaats-diagram als een lijn weergegeven.
Opgave 4
In het tijd-plaats-diagram hiernaast
staan een aantal wereldlijnen
getekend.
Geef van elke wereldlijn a t/m d de
bijbehorende snelheid.
5
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 5
In het onderstaande linker figuur rijdt waarnemer W’ in zijn kar langs waarnemer W
die op de grond staat. Waarnemer W heeft de x-as en waarnemer W’ de x’-as als
referentiestelsel. Op het moment dat de oorsprong van beide assen samenvallen,
begint de tijd te lopen. Het tijd-plaats-diagram van beide waarnemers is in de rechter
figuur weergegeven.
a.
Bepaal de snelheid van W’ ten opzichte van W.
De dikke stip in het diagram stelt een gebeurtenis voor.
b.
Bepaal uit het diagram de tijd en plaats van de gebeurtenis voor waarnemer W’. Laat
met een stippellijn in het diagram zien hoe je aan je antwoord komt.
Opgave 6
Een auto rijdt met een constante snelheid van 70 km/h op een rechte weg. Op een
bepaald moment rijdt de auto langs huis A. Op dat moment zetten de bewoner van
het huis (waarnemer W) en de bestuurder van de auto (waarnemer W’) hun klok op
nul en begint voor beiden de tijd te lopen. Na 20 minuten ontploft langs de weg huis
B. De afstand tussen huis A en huis B bedraagt 40 km.
a.
Bereken met de galileï-transformatie hoe ver huis B van de auto verwijderd is op het
moment van de ontploffing.
Na 35 minuten (vanaf het startmoment van de tijd) ziet de autobestuurder 6 km voor
zich een luchtballon opstijgen.
b.
Bereken met de galileï-transformatie hoever deze gebeurtenis van huis A af ligt.
6
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 7
In de onderstaande figuur zit Jan op een stoel. Hij heeft de x-as als referentiestelsel
waarvan hijzelf in de oorsprong zit. Piet loopt naar rechts met een snelheid van
1 m/s. Hij heeft de x’-as als referentiestelsel waarvan hij zelf in de oorsprong zit. Op
het moment dat Piet langs Jan loopt (dus als x = x’ = 0 m), zetten Jan en Piet hun
tijden op 0 s (dus t = t’ = 0 s).
Twee seconden nadat Piet langs Jan loopt (dus als t = t’ = 2 s), schopt Piet een
voetbal met een snelheid van 3 m/s (gerekend ten opzichte van de grond) naar
rechts.
a.
Teken in het t-x-diagram hiernaast
de wereldlijn van Piet. Omdat dit de
t’-as is, kun je langs deze lijn t’ en
(s) zetten.
b.
Teken in het t-x-diagram hiernaast
de wereldlijn van de bal die door
Piet wordt weggeschopt.
Klaas staat 9 m rechts van Jan (dus
op x = 9 m). Op het moment dat Piet
Jan passeert, gooit Klaas een bal
met een snelheid van 1 m/s in de
richting van Jan en Piet.
c.
Teken de wereldlijn van deze bal.
d.
Bepaal aan de hand van het diagram op welke plaats in Piets referentiestelsel beide
ballen elkaar passeren (zonder te botsen). Geef je werkwijze met een stippellijn
weer.
7
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 8
In het tijd-plaats-diagram
hiernaast staan de tijdas en
plaatsas niet loodrecht op
elkaar. In de volgende
paragrafen maken we
kennis met zulke
diagrammen. De
coördinaten van een
gebeurtenis kunnen worden
bepaald met behulp van
rasterlijnen die evenwijdig
aan de tijdas en plaatsas
lopen. Zo zijn de
coördinaten van de dikke
stip x = 2 m en t = 4 s. Ga
dat na.
a.
Teken in het diagram de
wereldlijn van een man
waarvoor het volgende
geldt.
Tussen t = 0 s en t = 2 s staat hij stil op x = 2 m.
Tussen t = 2 s en t = 4 s loopt hij met een snelheid van 1 m/s naar rechts (in de
positieve richting van de x-as).
Tussen t = 4 s en t = 6 s loopt hij met een snelheid van 1 m/s naar links.
b.
Over welke afstand heeft de man zich tussen t = 0 s en t = 6 s verplaatst?
8
Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
§2
Postulaten van de speciale
relativiteitstheorie
De lichtsnelheid
Als we in een kamer het licht aandoen, is meteen de hele kamer verlicht. Wij ervaren
de lichtsnelheid als oneindig groot, maar dat is in feite onjuist. Het licht moet namelijk
van de lamp naar de muren reizen, terugkaatsen en in je oog terecht komen. Dit kost
gewoon tijd. In het verleden is de lichtsnelheid op een aantal verschillende manieren
bepaald. In 1849 vond de Franse natuurkundige Fizeau een snelheid van ongeveer
300 duizend kilometer per seconde. Tegenwoordig is de lichtsnelheid exact
299.792.458 meter per seconde, omdat de meter nu gedefinieerd is aan de hand van
de lichtsnelheid.
In de negentiende eeuw wist men al dat licht zich voortbewoog als een soort golf.
Men nam aan dat licht een soort geheimzinnige tussenstof nodig had om zich in voort
te planten. Dat was bij alle andere golfverschijnselen namelijk ook het geval. Zo had
geluid bijvoorbeeld lucht nodig om zich in voort te planten en zeegolven bijvoorbeeld
water. Men noemde deze onbekende tussenstof voor licht de ‘ether’. Met
experimenten kon men het bestaan van de ether echter niet aantonen en in het begin
van de twintigste eeuw werd het voor alle natuurkundigen duidelijk dat licht géén
tussenstof nodig heeft en dat de ether niet bestaat. Daardoor is licht als
golfverschijnsel zeer bijzonder en vormt de lichtsnelheid de basis voor de
relativiteitstheorie.
Bepaling van de lichtsnelheid door Fizeau (1849)
In 1849 bepaalde
Armand Fizeau in
Parijs de
lichtsnelheid met
de opstelling zoals
hiernaast is
getekend. Hij
stond samen met
zijn kijker op
Montmartre. Bijna
9 km verderop, op
de Mont Valérien à
Suresnes, stond
een spiegel. De
figuur hiernaast
geeft de
schematische
voorstelling van de
opstelling.
9
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
Het licht van een continue lichtbron viel op een bolle lens en vervolgens op een
halfdoorlatende spiegel. Deze reflecteerde de helft van het licht; de andere helft werd
doorgelaten. Het doorgelaten licht is niet getekend en doet verder niet ter zake. De
gereflecteerde lichtbundel kwam in een punt samen ter plaatse van een tandwiel. Als
het tandwiel stilstond, viel het licht tussen twee tanden door. Via twee lenzen kwam
de bundel op een spiegel terecht die 8633 m verderop stond. Na terugkaatsing legde
het licht de omgekeerde weg af terug naar de halfdoorlatende spiegel. Het
doorgelaten deel van de lichtbundel kwam via een lens in het oog van Fizeau. De
gereflecteerde helft doet verder niet ter zake.
Om de lichtsnelheid te bepalen, liet Fizeau het tandwiel draaien met een steeds
groter wordend toerental. Bij een bepaald toerental viel de teruggekaatste
lichtbundel, die op de heenweg tussen twee tanden doorgegaan was, op de
volgende tand van het tandwiel en zag Fizeau niets meer. Uit dit toerental kon Fizeau
de lichtsnelheid berekenen.
Postulaten van de speciale relativiteitstheorie
De speciale relativiteitstheorie gaat over de manier waarop we gebeurtenissen
waarnemen, met name over de manier waarop voorwerpen en gebeurtenissen
worden waargenomen vanuit verschillende inertiaalstelsels die een grote snelheid
ten opzichte van elkaar hebben. Het gaat bijvoorbeeld over hoe processen in een
raket, die met een zeer grote snelheid van de aarde af beweegt, door aardbewoners
worden waargenomen. De speciale relativiteitstheorie beperkt zich tot constante
snelheden en dus ook tot constante snelheidsverschillen. In dit opzicht verschilt de
speciale relativiteitstheorie van de algemene relativiteitstheorie waarin versnellingen
centraal staan.
De speciale relativiteitstheorie van Einstein heeft twee postulaten (uitgangspunten).
Een postulaat is een onbewezen stelling die algemeen wordt geaccepteerd. Deze
postulaten zijn de volgende:
1. De wetten van de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde.
2. De lichtsnelheid in vacuüm is in elk inertiaalstelsel gelijk.
Het eerste postulaat wordt ook wel het relativiteitsprincipe genoemd. De
natuurkundigen Galileï en Newton waren ook al van dit principe doordrongen.
Bijvoorbeeld gelden de drie wetten van Newton en de wet van Snellius in elk
inertiaalstelsel. Het eerste postulaat zegt eigenlijk ook dat alle inertiaalstelsels
onderling volkomen gelijkwaardig zijn. Daarom kun je van geen enkel inertiaalstelsel
zeggen dat het in absolute rust verkeert, want een dergelijk stelsel zou dan een
bijzondere status t.o.v. de andere stelsels hebben.
Het tweede postulaat was begin 20-ste eeuw echter geheel nieuw. Dat postulaat
vloeit voort uit experimenten die omstreeks 1900 met licht zijn uitgevoerd. De
lichtsnelheid in vacuüm wordt met c aangeduid en bedraagt (afgerond):
c = 3 ⋅ 108 m/s .
10
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
Het tweede postulaat komt niet overeen met onze belevingswereld. Neem de
onderstaande figuren. Links is een situatie getekend die wij ons goed kunnen
voorstellen. Een fietsende man gooit een bal naar voren met een snelheid van
10 km/h. Als hij met een snelheid van 20 km/h fietst, heeft de bal voor iemand die op
de weg staat een snelheid van 30 km/h. Je kunt de snelheid van de fietser en de
snelheid van de bal ten opzichte van de fietser gewoon bij elkaar optellen.
De rechter tekening geeft de situatie voor licht weer. Een raket vliegt met een enorme
snelheid, zeg de halve lichtsnelheid, langs de aarde. De raket zendt een lichtstraal in
de bewegingsrichting uit. Voor zowel de aardbewoner als ook voor de astronaut in de
raket heeft het licht dan de lichtsnelheid. In tegenstelling tot de bal in de linker
situatie heeft licht voor alle waarnemers dezelfde snelheid.
Gelijktijdigheid is geen absoluut begrip
Het tweede postulaat heeft verstrekkende gevolgen die vaak tegen onze intuïtie
ingaan. Een voorbeeld hiervan betreft de gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen.
Dat wordt hieronder toegelicht. In de onderstaande figuur staat Jan op de grond en
staan Piet en Bram in een trein die met een zeer grote snelheid naar rechts rijdt.
Precies in het midden tussen Piet en Bram hangt een lamp aan het plafond. Op een
bepaald moment zendt deze lamp een lichtflits in beide richtingen uit. Na korte tijd
zullen Piet en Bram deze lichtflitsen ontvangen.
Volgens Piet en Bram komen de lichtflitsen gelijktijdig bij hen aan. Vanuit hun
gezichtspunt komt het licht met de lichtsnelheid c naar ieder van hen toe. Omdat de
lamp precies in het midden hangt, legt het licht naar Piet een even grote afstand af
als naar Bram.
Echter, volgens Jan komt de lichtflits eerder bij Piet dan bij Bram aan. Jan ziet (net
als Piet en Bram) het licht met de lichtsnelheid c naar links en naar rechts gaan. Het
licht heeft enige tijd nodig om Piet en Bram te bereiken. In die tijd beweegt Piet naar
de lamp toe en beweegt Bram van de lamp af. Kortom, het licht van de lamp hoeft
een kortere afstand te overbruggen om Piet te bereiken dan om Bram te bereiken.
11
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
Uit dit gedachte-experiment blijkt dat wat voor de ene waarnemer gelijktijdig is, voor
de andere waarnemer helemaal niet gelijktijdig hoeft te zijn.
Gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen is dus geen absoluut begrip!
We zien nu in dat het gelijkstellen van de tijden t en t’, zoals we in de vorige
paragraaf nog deden, niet meer voortgezet kan worden. In de volgende paragrafen
komt dit uitvoerig aan bod.
Als we het in deze en in de volgende paragrafen over gelijktijdigheid van twee
gebeurtenissen hebben, wordt rekening gehouden met de tijd, die het licht nodig
heeft om van de gebeurtenissen naar (de ogen van) de waarnemer te gaan. Neem
bijvoorbeeld de onderstaande figuur. Stel dat de twee lampen L1 en L2 ieder een
lichtflits uitzenden en dat de lichtflits van L1 eerder bij Johanna aankomt dan de
lichtflits van L2. Dan kan Johanna toch tot de conclusie komen dat L1 en L2 hun
lichtflitsen gelijktijdig uitzonden of zelfs dat L2 zijn lichtflits eerder uitzond.
12
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 2
Opgave 1
Bereken hoelang het licht erover doet om bij de proef van Fizeau heen en weer te
gaan als je uitgaat van een lichtsnelheid van 3,00·108 m/s. Neem als afstand tussen
beide delen van de opstelling 8633 m.
Opgave 2
Fizeau maakte gebruik van een tandwiel met 720 tanden. Fizeau zag net niets meer
bij een omloopfrequentie van 12,6 Hz.
a.
Bereken met deze gegevens de tijd die het licht nodig had om heen en weer te gaan.
b.
Bereken welke waarde Fizeau voor de lichtsnelheid vond. Neem weer als afstand
tussen beide delen van de opstelling 8633 m.
Opgave 3
Noem de twee postulaten van de speciale relativiteitstheorie.
Opgave 4
Leg met behulp van het tweede postulaat van de relativiteitstheorie uit dat iemand
zich nooit met de lichtsnelheid ten opzichte van iemand anders kan verwijderen.
Opgave 5
Een lichtseconde (symbool: ls) is gedefinieerd als de afstand die het licht in
1 seconde aflegt. Hoe lang is 1 ls?
Op dezelfde manier is een lichtjaar (symbool ly van ‘lightyear’) gedefinieerd. Bereken
hoe groot 1 ly is, uitgedrukt is meter.
13
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
Opgave 6
De eerste degelijke meting van de lichtsnelheid
werd uitgevoerd door de Deen Ole C. Rømer in
1676, door observaties van de maan Io van
Jupiter. Net zoals de drie andere grote manen
van Jupiter (die toen reeds bekend waren)
beweegt Io op regelmatige tijdstippen door de
schaduw van de planeet Jupiter. Zie de figuur
hiernaast. Io is dan plotseling niet meer zichtbaar.
Rømer zag dat, naarmate de afstand tussen
Jupiter en de aarde groter werd, het tijdstip van
verdwijning steeds iets later gebeurde dan wat
men zou verwachten. Dat kwam omdat het licht
van iets verder moest komen. Wanneer de
afstand tussen Jupiter en de aarde weer kleiner werd, kwamen de verdwijningen van
Io weer naar voren in de tijd.
Rømer vond dat de verdwijning van Io bij een maximale afstand tussen Jupiter en de
aarde 22 minuten later plaats vond dan bij een minimale afstand tussen Jupiter en de
aarde. In die tijd schatte men de afstand aarde-zon op 140 miljoen km. Neem aan
dat de afstand van Jupiter tot de zon niet verandert.
Bereken met deze gegevens de snelheid van het licht en bereken hoeveel procent
deze waarde afwijkt van de correcte lichtsnelheid.
Opgave 7
In de onderstaande figuur rijdt Jan in zijn supersnelle trein naar rechts. Links en
rechts in de trein hangen de lampen L1 en L2. Jan staat op gelijke afstand van L1 en
L2. Langs de kant staat Sjoerd. Terwijl de trein langs Sjoerd rijdt, zenden L1 en L2
ieder een lichtflits uit. Het licht komt gelijktijdig bij Jan aan; daar zijn Jan en Sjoerd
het over eens en dit is het uitgangspunt van deze opgave. Voor Jan zenden L1 en L2
hun flitsen gelijktijdig uit en voor Sjoerd zendt L1 zijn flits eerder uit dan L2.
a.
Leg uit dat voor Jan de lichtflitsen gelijktijdig door L1 en L2 uitgezonden moeten zijn.
14
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
b.
Leg uit dat voor Sjoerd L1 zijn lichtflits eerder moet hebben uitgezonden dan L2.
Opgave 8
In de onderstaande figuur rijdt een trein met grote snelheid naar rechts. In de trein
bevindt Piet zich links en een spiegel rechts. Boven Piet hangt een lamp die een
lichtflits uitzendt. Het licht wordt door de spiegel teruggekaatst en vervolgens door
Piet waargenomen. We onderscheiden de heenreis van het licht (van lamp naar
spiegel) en de terugreis van het licht (van spiegel naar Piet).
a.
Leg uit dat de snelheid v van de trein geen invloed heeft op de door Piet
waargenomen tijdsduur van de heenreis en van de terugreis van het licht.
Jan staat langs de rails.
b.
Leg uit dat de snelheid v van de trein wel invloed heeft op de door Jan waargenomen
tijdsduur van de heenreis en van de terugreis van het licht.
15
Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu
§3
Tijdsduurrek
Lichtklok
Omdat de tijd een zeer belangrijke grootheid in de speciale
relativiteitstheorie is, voeren we de zogenoemde lichtklok in. Zie de
figuur hiernaast. Een lichtklok bestaat uit twee evenwijdige spiegels en
een lichtpuls die continu tussen het midden van de twee spiegels op en
neer beweegt. De periode van de klok is de tijd die het licht erover doet
om één keer op en neer te gaan en is een eenheid van tijd. Aangezien
de lichtsnelheid een vaste waarde heeft en ook de afstand D tussen de
spiegels niet verandert, is de lichtklok een betrouwbaar hulpmiddel om
de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen te bepalen.
Tijdsduurrek
In de volgende figuur is een kar afgebeeld waar een lichtklok ingebouwd is. De kar
rijdt met zeer hoge snelheid v op een weg naar rechts. We nemen gemakshalve aan
dat de luchtwrijving in dit voorbeeld geen rol speelt, want anders lukt het nooit om
met de kar een zeer hoge snelheid te bereiken. Langs de weg staan twee vlaggen A
en B. De waarnemer W’ in de kar ziet het licht verticaal op en neer gaan. De
waarnemer W langs de weg ziet het licht niet alleen op en neer gaan maar ook opzij
gaan.
Vanuit W bekeken legt het licht dus een grotere afstand af dan gezien door W’.
Omdat de lichtsnelheid volgens het tweede postulaat van de speciale
relativiteitstheorie voor elke waarnemer gelijk is, is de reistijd van de kar van vlag A
naar vlag B voor W ook groter. De reistijd voor W’ noemen we de ‘eigentijd’ en wordt
met Δt0 aangegeven. De reistijd voor W wordt de uitgerekte tijd of gedilateerde tijd
genoemd en met Δt aangegeven. Het verschijnsel dat Δt groter is dan Δt0 heet
‘tijdsduurrek’, ‘tijdrek’ of ‘tijddilatatie’.
Om uit te rekenen wat het verband is tussen Δt en Δt0 kijken we naar de weg die het
licht aflegt in slechts één periode van de lichtklok (het licht gaat dan dus één keer op
en neer). Het gevonden resultaat geldt dan ook voor het hele traject van A naar B.
Zie de volgende figuur. We volgen een foton dat van de onderste spiegel naar de
bovenste spiegel gaat en terugkeert naar de onderste spiegel. Een foton is een
lichtdeeltje dat natuurlijk met de lichtsnelheid gaat.
16
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Voor W’ heeft het foton een tijdsduur Δto nodig om op en neer te gaan tussen beide
spiegels (zie de linker figuur). De afgelegde afstand is dan dus c·Δto. Waarnemer W
ziet de lichtstraal schuin omhoog en schuin omlaag gaan (zie de rechter figuur). Een
foton heeft voor hem tijdsduur Δt nodig om op en neer te gaan en dus legt het licht
een afstand c·Δt af. In dezelfde tijdsduur Δt beweegt de kar over een afstand v·Δt
naar rechts.
Volgens de wet van Pythagoras (zie de rechthoekige driehoek in de figuur) geldt:
c 2 ∆t 2 = v 2 ∆t 2 + c 2 ∆to2
Hieruit volgt:
v2
∆t 2 − 2 ∆t 2 = ∆to2 .
c
Hieruit volgt:
∆to
.
∆t =
v2
1− 2
c
In de bovenstaande formule is de noemer van het rechterlid kleiner dan 1. Dat
betekent dat tijdsduur Δt voor de waarnemer langs de weg altijd groter is dan Δt0
voor de waarnemer in de kar.
Samenvatting
Als een voorwerp met snelheid v van plaats A naar plaats B beweegt, is de duur van
de reis langer voor de waarnemer die stilstaat ten opzichte van A en B dan voor de
waarnemer die met het voorwerp meereist. Het verband tussen tijdsduur Δt voor de
stilstaande waarnemer en tijdsduur Δt0 voor de meereizende waarnemer, wordt door
de volgende formule gegeven.
17
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Tijdsduur Δt0 wordt de ‘eigentijd’ genoemd.
Rekenvoobeeld
Een raket beweegt van ster A naar ster B met de halve lichtsnelheid. De sterren
staan stil ten opzichte van elkaar. Voor de bemanning van de raket duurt de reis
2,0 jaar. Voor een waarnemer die stilstaat ten opzichte van ster A (en ster B) kan de
reistijd als volgt berekend worden.
v
= 0,5
c
Dus geldt:
∆t o
2,0 jaar
∆t =
=
= 2,3 jaar .
v2
1 − 0,5 2
1− 2
c
Vertrek en aankomst van een reis als gebeurtenissen zien
In deze paragraaf beweegt iets of iemand van punt A naar punt B. We kunnen het
vertrek bij punt A en de aankomst bij punt B beschouwen als twee gebeurtenissen. In
het voorgaande voorbeeld waren dat 1) de kar bij vlag A en 2) de kar bij vlag B. We
kunnen Δt en Δto dan opvatten als de tijdsduur tussen deze twee gebeurtenissen.
De eigentijd wordt door iemand gemeten die beide gebeurtenissen op dezelfde
locatie ziet. In het voorgaande voorbeeld zag de waarnemer in de kar vlag A en vlag
B op dezelfde plaats ten opzichte van zijn eigen referentiestelsel (dat met hem
verbonden is). De uitgerekte tijd wordt door iemand gemeten die de gebeurtenissen
op verschillende locaties ziet plaatsvinden. Zoals we hierna bij het behandelen van
het ruimtetijdinterval zullen zien, is heeft de eigentijd altijd de kleinste waarde.
Alle processen verlopen trager in een bewegend systeem
In het bovenstaande voorbeeld beweegt de kar met lichtklok van plaats A naar plaats
B. Voor waarnemer W’ in de kar duurt de reis korter dan voor waarnemer W langs de
weg. Stel nu dat er in de kar een goedwerkende klok met wijzers hangt (naast de
lichtklok) en dat W een goedwerkende klok met wijzers in zijn handen heeft. Aan het
einde van de reis zijn de wijzers van de klok in de kar dan minder verdraaid dan de
wijzers van de klok die W vasthoudt. Dus ziet W tijdens de reis de wijzers van de klok
in de kar langzamer draaien dan de wijzers van zijn eigen klok.
Het bovenstaande verschijnsel geldt veel algemener. Alle (!) verschijnselen in de kar
verlopen voor W in een soort slow motion film. Neem als voorbeeld een lekkende
kraan in de kar die volgens W’ enkele druppels per minuut laat vallen. W ziet ook
druppels vallen, alleen met een trager ritme uit de kraan. Hetzelfde geldt voor een bal
die met de kar meebeweegt en daar loodrecht naar beneden valt. Die bal lijkt voor W
langzamer te vallen.
18
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Merk op dat vanwege de symmetrie (denk aan het eerste postulaat) we met evenveel
recht mogen zeggen dat voor een waarnemer in de kar alle verschijnselen langs de
kant van de weg zich als het ware in slow motion afspelen. Samengevat geldt het
volgende.
Voor een waarnemer verlopen alle processen in een voor hem bewegend
systeem langzamer.
Rekenvoorbeeld
In de kar in het bovenstaande voorbeeld bevindt zich een hoeveelheid polonium-210.
Deze isotoop is radioactief met een halveringstijd van 138 dagen. In dit kader is de
138 dagen de eigentijd. Als de kar een snelheid van 70% van de lichtsnelheid heeft,
is de halveringstijd voor de waarnemer op straat als volgt te berekenen.
∆to
138 d
∆t =
=
= 193 d
2
v
1 − 0,70 2
1− 2
c
19
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 3
Opgave 1
Een ver sterrenstelsel dat met grote snelheid ten opzichte van ons beweegt, zien wij
in een vroeg stadium van zijn ontwikkeling. Dit komt onder andere omdat het licht er
een tijd over doet om ons te bereiken. Geef een tweede oorzaak hiervan.
Opgave 2
Beschouw de lekkende kraan in de bewegende kar. Voor de stilstaande waarnemer
vallen er per minuut minder druppels naar beneden. Neem aan dat de druppels
vrijwel meteen de stationaire valsnelheid hebben bereikt en dus eenparig vallen.
Toch constateert de stilstaande waarnemer dezelfde verticale afstand tussen twee
opeenvolgende vallende druppels als de meebewegende waarnemer! Hoe kun je dit
beredeneren?
Opgave 3
Deze opgave gaat over de zogenoemde ‘tweelingparadox’. Jan en Jim zijn
tweelingen. Jan heeft een hekel aan reizen en blijft thuis. Jim is astronaut en vliegt in
zijn raket met bijvoorbeeld 80% van de lichtsnelheid naar de dichtstbijzijnde ster. Op
een gegeven moment komt Jim daar aan.
Welke van de onderstaande beweringen is of zijn juist.
A. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis langzamer dan hijzelf.
B. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis sneller dan hijzelf.
C. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis langzamer dan hijzelf.
D. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis sneller dan hijzelf.
Na korte tijd besluit Jim terug te gaan naar de aarde en doet dat met dezelfde
snelheid als op de heenreis.
Welke van de onderstaande beweringen is of zijn juist.
A. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis langzamer dan hijzelf.
B. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis sneller dan hijzelf.
C. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis langzamer dan hijzelf.
D. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis sneller dan hijzelf.
Licht je keuzes kort toe.
Bij thuiskomst is Jim nog in de kracht van zijn leven terwijl Jan al een oude man is.
Leg uit waarom de speciale relativiteitstheorie wel voor Jan geldt maar niet voor Jim?
20
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Opgave 4
Stel je hebt in een stilstaand referentiestelsel identieke klokken op grote afstand van
elkaar. Je wilt controleren of beide klokken precies dezelfde tijd aanwijzen. Je twijfelt
tussen twee methoden.
Bij de eerste methode houd je een draagbare klok eerst bij de ene klok en beweeg je
hem daarna met een flinke snelheid naar de andere klok. Als beide klokken gelijk
lopen met de draagbare, lopen ze ook onderling precies gelijk.
Bij de tweede methode plaats je jezelf precies halverwege beide klokken en lees je
(eventueel met een telescoop) beide klokken af.
Welke methode heeft jouw voorkeur en waarom?
Opgave 5
Jan vliegt met zijn raket van planeet A naar planeet B met een snelheid van 80% van
de lichtsnelheid. Jan meet zelf een reistijd van 55 s. Bereken de reistijd volgens de
bewoners van planeet A.
Opgave 6
Stel dat een instabiele atoomkern een bètadeeltje uitzendt met een snelheid van
99% van de lichtsnelheid en dat het bètadeeltje 50 cm door de lucht gaat. Bereken
dan de tijdsduur van de beweging volgens de waarnemer die met het bètadeeltje
meereist. Neem aan dat de snelheid gedurende de gehele afstand 99% van de
lichtsnelheid is.
Opgave 7
Peter rijdt met zijn superauto door een lange tunnel en meet hoeveel tijd hij daarvoor
nodig heeft. Paul staat stil ten opzichte van de tunnel en meet ook hoeveel tijd Peter
nodig heeft om door de tunnel te gaan. De waargenomen tijd van Paul ligt 30% hoger
dan die van Peter zelf.
Bereken de snelheid van Peter, uitgedrukt als percentage van de lichtsnelheid.
21
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
Opgave 8
Muonen zijn elementaire deeltjes met een gemiddelde levensduur van 2,2 μs. Deze
2,2 μs is de ‘eigen tijd’, dus waargenomen door een waarnemer die ten opzichte van
de muonen stilstaat. Muonen worden op 10 km hoogte in de dampkring gecreëerd
door kosmische straling.
a.
Toon aan dat muonen in hun eigen referentiestelsel gemiddeld een afstand kunnen
afleggen van 660 m als zij met de lichtsnelheid zouden gaan.
Zonder kennis van de relativiteitstheorie zou je verwachten dat muonen het
aardoppervlak nooit kunnen bereiken. Toch is dat onjuist vanwege het verschijnsel
tijdsduurrek. Stel dat een muon de dampkring doorloopt met een snelheid van 99,9%
van de lichtsnelheid.
b.
Bereken dan de levensduur van dit muon gezien vanuit een waarnemer op aarde.
c.
Toon aan dat het muon de dampkring (zeg 10 km dik) wel kan doorlopen als je vanuit
de waarnemer op aarde kijkt.
Opgave 9
Een raket beweegt op grote afstand in een cirkelvormige baan om de aarde. De
baansnelheid is zo hoog, dat alle processen in de raket voor de aardbewoners
merkbaar langzamer verlopen. In de raket staat een lichtbron te knipperen met een
frequentie van 1000 Hz. Op aarde meet men dus een lagere frequentie ten gevolge
van tijdsduurrek. Dit effect staat bekend als het ‘transversale dopplereffect’. Bereken
de frequentie die waarnemer op aarde meet als de raket met een kwart van de
lichtsnelheid beweegt.
22
Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu
§4
Lengtekrimp
Lengtekrimp
In deze paragraaf kijken
we naar de lengte van
voorwerpen en de
afstand tussen twee
punten in de ruimte zoals
deze worden
waargenomen door
verschillende
waarnemers. In de
figuren hiernaast zien we
nogmaals de kar met
lichtklok uit de vorige
paragraaf. De
waarnemer W langs de
weg ziet de kar naar rechts bewegen met snelheid v. Voor hem is de afstand tussen
de vlaggen Δxo. Dit gezichtspunt is in de bovenste figuur getekend. Voor de
waarnemer W’ in de kar beweegt de weg met vlaggen naar achteren (naar links) met
snelheid v. Voor hem is de afstand tussen de vlaggen Δx. Dit gezichtspunt is in de
onderste figuur getekend.
Het feit dat zowel W als W’ de relatieve snelheid v waarnemen, volgt uit het eerste
postulaat van de relativiteitstheorie. Volgens dit postulaat hebben de fysische wetten
in elk inertiaalstelsel dezelfde vorm. Dit betekent dat alle inertiaalstelsels
gelijkwaardig zijn en er symmetrie is voor de waargenomen snelheden.
In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de reistijd van A naar B voor W’ korter
is dan die voor W. Aangezien de snelheden voor beide waarnemers gelijk zijn (v), is
dus ook de afstand tussen de vlaggen voor W’ kleiner dan die voor W. We noemen
dit verschijnsel lengtekrimp of lorentzcontractie. Algemeen geldt het volgende.
De afstand tussen twee punten in de ruimte (zoals de lengte van een voorwerp)
wordt kleiner, als deze punten (of dit voorwerp) een grote snelheid ten opzichte
van de waarnemer hebben (heeft). De lengtekrimp vindt overigens alleen plaats
in de bewegingsrichting (niet loodrecht daarop).
23
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
Formule voor de lengtekrimp
We kijken nogmaals naar het bovenstaande voorbeeld.
Voor W (langs de weg) heeft de kar de tijdsduur Δt nodig om van vlag A naar vlag B
te gaan. Voor de door hem waargenomen afstand Δxo geldt dan:
∆xo = v ⋅ ∆t .
Voor W’ (in de kar) duurt het Δto om van vlag A naar vlag B te gaan. Voor de door
hem waargenomen afstand tussen de vlaggen geldt dan:
∆x = v ⋅ ∆to .
Het verband tussen Δt en Δto hebben we in de vorige paragraaf afgeleid en is:
∆to
∆t =
v2
1− 2
c
Hieruit volgt voor het verband tussen Δx en Δxo:
De rechter formule (met L en Lo) kan gebruikt worden als het om de lengte van een
voorwerp gaat met eindpunten A en B. In deze formule is Lo de eigenlengte van een
voorwerp. Hij wordt gemeten door een waarnemer die in rust is ten opzichte van het
voorwerp. De lengte L van het voorwerp wordt gemeten door een waarnemer die een
snelheid v ten opzichte van het voorwerp heeft.
De lengtekrimp vindt alleen plaats in de bewegingsrichting. Zo zou een snelvliegend
vliegtuig wel korter worden en dus de staart dichter bij de neus komen, maar de
spanwijdte blijft gelijk. Ook verandert de hoogte van de cockpit niet.
Rekenvoorbeeld
Een raket vliegt met een snelheid van 70% van de lichtsnelheid in de richting van
een staaf. De staaf heeft een eigenlengte van 140 cm en heeft dezelfde
lengterichting als de raket. De door de mensen in de raket waargenomen lengte is:
L = Lo ⋅ 1 −
v2
= 140 cm ⋅ 1 − 0,70 2 = 100 cm
2
c
Lorentzfactor
De factor waarmee de tijdsduur uitrekt en waarmee de lengte van een voorwerp
kleiner wordt, wordt de lorentzfactor genoemd en wordt vaak aangeduid met de
Griekse letter γ (gamma). Voor de lorentzfactor geldt dus:
1
.
γ =
v2
1− 2
c
24
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
De formule voor de tijdsduurrek wordt dan:
De formule voor de lengtekrimp wordt dan:
∆T = γ ⋅ ∆To .
∆x
∆x = o .
γ
De verhouding van de snelheid v en de lichtsnelheid c wordt vaak met de Griekse
letter β (bèta) aangeduid. Hiervoor geldt dus:
v
β= .
c
Het verband tussen γ en β is dus:
1
γ =
1− β 2
Het diagram hiernaast toont grafisch
hoe γ van β afhangt. Bij β = 0,70
lezen we uit het diagram af: γ = 1,4.
Tijdsduurrek en lengtekrimp vinden
dan plaats met factor 1,4. Zo is in
het voorgaande voorbeeld de staaf
met een factor 1,4 korter geworden
(van 140 cm naar 100 cm).
Merk op dat, als de snelheid v veel
kleiner is dan de lichtsnelheid, de
waarde van β naar nul nadert en γ
dus naar de waarde 1 nadert. Dat betekent dat tijdsduurrek en lengtekrimp dan
nauwelijks optreden. We zien heel eenvoudig dat alle in het normale leven
optredende snelheden (denk aan treinen, auto’s, vliegtuigen, raketten etc.) veel te
klein zijn t.o.v. de lichtsnelheid om tot een merkbaar verschil te komen tussen twee
waarnemers. Dat verklaart dat in de eeuwen voor de ontdekking van de
relativiteitstheorie niemand ooit deze verschillen heeft bemerkt.
25
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 4
Opgave 1
Een piloot vliegt in zijn raket met een snelheid van 40% van de lichtsnelheid. De
raket is volgens de piloot 50 m lang. Bereken hoe lang de raket is volgens de
waarnemer op de grond.
Bereken de snelheid van de raket als de waarnemer op de grond meet dat de raket
40 m is.
Opgave 2
Muonen zijn elementaire deeltjes die op 10 km hoogte in de dampkring ontstaan en
een gemiddelde levensduur van 2,2 μs hebben. Hun snelheid ligt dicht bij de
lichtsnelheid. Zonder relativiteitstheorie kunnen muonen het aardoppervlak niet
bereiken; zelfs niet als zij met de lichtsnelheid zouden gaan. Toch bereiken ze het
aardoppervlak wel! Vanuit het oogpunt van de waarnemer op het aardoppervlak kan
dat verklaard worden met tijdsduurrek waardoor de gemiddelde levensduur van een
muon veel groter wordt. Vanuit het oogpunt van de meereizende waarnemer (ten
opzichte waarvan het muon stilstaat) kan dat verklaard worden met lengtekrimp
omdat de dampkring veel dunner wordt. Deze opgave bekijkt de dampkring vanuit
het oogpunt van de meereizende waarnemer.
Stel dat de dampkring 10 km dik is vanuit het oogpunt van de waarnemer op het
aardoppervlak. Bereken dan de dikte van de dampkring vanuit het oogpunt van het
muon. Ga er daarbij vanuit dat het muon met 99,9% van de lichtsnelheid door de
dampkring beweegt. Toon vervolgens aan dat het muon het aardoppervlak wel
bereikt.
26
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
Opgave 3
De ‘Concorde’ was een zeer snel passagiersvliegtuig dat met twee keer de
geluidssnelheid (mach 2) tussen onder andere Londen en New York vloog en hier
slechts drie en een half uur voor nodig had. De afstand tussen London en New York
bedraagt 5576 km. Stel dat het vliegtuig de overtocht maakt met een kruissnelheid
van 2158 km/h. Bereken dan hoeveel korter de afstand tussen London en New York
wordt voor de mensen in het vliegtuig ten gevolge van de lengtekrimp.
Gebruik eventueel de benadering
dan 1.
1 − β 2 = 1 − 21 β 2 die opgaat als β veel kleiner is
Opgave 4
Deze opgave gaat over de zogenoemde ‘ladderparadox’. Stel dat een ladder even
lang is als een schuur. Waarnemers W en W’ doen een experiment. Waarnemer W
staat stil naast de schuur. Waarnemer W’ pakt de ladder op en rent met een enorme
snelheid (in de orde van de lichtsnelheid) door de schuur met de ladder onder zijn
arm. Zie de onderstaande figuren.
Nu doet zich iets interessants voor. Waarnemer W ziet de ladder voorbij vliegen en
voor hem is de ladder korter geworden (lengtekrimp). Voor hem past de ladder nu
makkelijk in de schuur. Op het moment dat de ladder zich in de schuur bevindt, sluit
hij gelijktijdig beide deuren van de schuur heel even. Deze situatie is in de linker
figuur getekend. Daarna opent hij de deuren weer.
Waarnemer W’ ziet dat niet de ladder maar juist de schuur korter geworden is. Voor
hem is het dus onmogelijk dat beide deuren tegelijkertijd gesloten zijn terwijl hij met
de ladder in de schuur zit.
Bedenk de oplossing voor deze paradox.
27
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
Opgave 5
Een kubusvormig blok beton van 1 m bij
1 m bij 1 m wordt op een treinwagon
geladen. Bereken het volume van de
kubus voor jou als de wagon (met kubus
erop) met 90% van de lichtsnelheid langs
je rijdt.
Opgave 6
Zoals in de tekst besproken is, treedt lengtekrimp alleen
op voor afmetingen in dezelfde richting als de snelheid.
Met dit in het achterhoofd kijken we naar een wiel dat
zeer snel ronddraait. Zie de figuur hiernaast. Bij
voldoende grote snelheid verandert de omtrek van de
baan wel terwijl de straal gelijk blijft.
Wat heeft dit voor gevolgen voor pi (= omtrek gedeeld
door diameter)?
28
Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
§5
Minkowskidiagram
Minkowskidiagram
Hieronder is een minkowskidiagram afgebeeld. Het lijkt op een tijd-plaats diagram,
zoals we dat eerder zijn tegengekomen, alleen is niet de tijd langs de verticale as
uitgezet maar de lichtsnelheid keer de tijd. Langs de verticale as staat dus c·t in
plaats van t. Het gevolg is dat zowel langs de verticale als de horizontale as van het
diagram de grootheid afstand staat.
Langs beide assen wordt dezelfde
eenheid gebruikt, bijvoorbeeld de meter,
lichtseconde (ls) of lichtjaar (ly). Een
lichtseconde is de afstand die het licht in
één seconde aflegt en een lichtjaar is de
afstand die het licht in een jaar aflegt.
Bovendien wordt de afstand tussen
dezelfde getallen bij beide assen precies
gelijk genomen (de schaalverdeling is
langs beide assen dus gelijk). De ene
schaal is dus niet uitgerekt ten opzichte
van de andere schaal.
In het getekende minkowskidiagram is
de wereldlijn van twee fotonen getekend.
De wereldlijnen van fotonen maken altijd
een hoek van 45º met de horizontale en de verticale as. Fotonen bewegen immers
met de lichtsnelheid naar links of naar rechts. Na bijvoorbeeld een tijdsduur van 4 s is
c·t met 4 ls toegenomen en x met 4 ls toe- of afgenomen.
Voorwerpen en deeltjes bewegen altijd met een kleinere snelheid dan de
lichtsnelheid. In het diagram is de wereldlijn van een deeltje getekend dat met
ongeveer de halve lichtsnelheid naar rechts beweegt en zich op tijdstip t = 0 in de
oorsprong bevond. Voor de hoek α tussen de verticale as en de wereldlijn van een
deeltje met snelheid v geldt:
v
tan(α ) = .
c
In de figuur is dit zichtbaar want in de gearceerde driehoek is de overstaande
rechthoekszijde v·t en de aanliggende rechthoekszijde c·t. Voor deeltjes met massa
(geen fotonen dus) is hoek α altijd kleiner dan 45º.
Twee referentiestelsels in het minkowskidiagram
In de onderstaande figuur staat Jan op de grond en staan Piet en Bram in een trein
die met een zeer grote snelheid v naar rechts rijdt. Precies in het midden tussen Piet
en Bram hangt een lamp aan het plafond. Op een bepaald moment zendt deze lamp
een lichtflits in beide richtingen uit. Na korte tijd zullen Piet en Bram deze lichtflitsen
ontvangen.
29
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
In deze en de volgende paragrafen maken we steeds onderscheid tussen twee
waarnemers W en W’ die ten opzichte van elkaar bewegen. In ons voorbeeld is Jan
waarnemer W en Piet waarnemer W’. Waarnemer W (Jan dus) heeft de x-as als
referentiestelsel en waarnemer W’ (Piet dus) de x’-as (met accent dus). Zoals we
hierna zullen zien, dwingt de natuur ons om bij hoge snelheden onderscheid te
maken tussen de tijd t voor W en de tijd t’ (weer met accent) voor W’.
Op een bepaald moment vallen de oorsprongen van beide referentiestelsels samen.
Op dat moment zetten de waarnemers hun klok op nul dus dan geldt t = t’ = 0 s. In
de figuur is de situatie even later getekend.
In het onderstaande linker diagram zijn de wereldlijnen van Piet, Bram en de lamp
getekend volgens het referentiestelsel van W. Ook zijn de wereldlijnen van de
fotonen getekend die van de lamp naar Piet en Bram gaan. Deze wereldlijnen maken
een hoek van 45º met de horizontale en verticale as. Duidelijk is te zien dat volgens
waarnemer W de lichtflits Piet eerder bereikt dan Bram want bij gebeurtenis A hoort
een kortere tijd t (zonder accent!) dan bij gebeurtenis B.
De gebeurtenissen A en B vinden echter gelijktijdig plaats volgens waarnemer W’. In
feite horen alle punten op de stippellijn tussen A en B bij dezelfde tijd t’ (met accent)
voor waarnemer W’. Je zou dit kunnen nagaan door Bram een andere plaats in de
trein te geven en de lamp in het (nieuwe) midden tussen Piet en Bram weer in twee
richtingen een lichtflits uit te laten zenden.
In het bovenstaande rechter diagram zijn drie stippellijnen getekend. Alle
gebeurtenissen op stippellijn AB vinden voor waarnemer W’ gelijktijdig plaats.
Hetzelfde geldt voor alle gebeurtenissen op stippellijn CD en op stippellijn EF. De
gebeurtenissen op AB vinden (in de ogen van waarnemer W’) echter het eerst plaats
en die op EF het laatst.
30
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
In het onderstaande linker minkowskidiagram zijn de ct-as en de x-as behorend bij de
waarnemer W getekend en de ct’-as en x’-as behorend bij waarnemer W’. De ct’-as
is gelijk aan de wereldlijn van Piet omdat Piet in de oorsprong van de x’-as staat. De
x’-as komt overeen met stippellijn AB uit de vorige figuur en bevat uitsluitend punten
(gebeurtenissen) waarvoor geldt: t’ = 0. Voor hoek α tussen de ct-as en de ct’-as:
v
tan(α ) =
c
Elke rasterlijn die evenwijdig aan de ct’-as loopt, hoort bij één en dezelfde plaats x’
voor waarnemer W’. Elke rasterlijn die evenwijdig aan de x’-as loopt, hoort bij één en
dezelfde tijd t’ voor waarnemer W’. De afstand tussen alle evenwijdige rasterlijnen is
gelijk. De schaalverdeling langs de x’-as is namelijk precies gelijk aan die van de ct’as (net als dat de x-as en de ct-as dezelfde schaalverdeling hebben).
De hoek tussen de x-as en de x’-as is gelijk aan de hoek tussen de ct-as en de ct’- as
en is met α aangegeven. Dit volgt rechtstreeks uit het feit dat het licht voor
waarnemer W’ met de lichtsnelheid moet gaan. Doordat de hoeken α gelijk zijn,
vormen de rasterlijnen (in de linker figuur) ‘ruiten’ waarvan de diagonalen hoeken van
45 graden met de horizontale en verticale as maken. In de figuur is zo’n ruit
gearceerd. Deze diagonalen vallen samen met of lopen evenwijdig aan wereldlijnen
van fotonen, zoals de lijnen a en b in de figuur.
In het rechter diagram stelt de stip een gebeurtenis voor. De coördinaten van deze
gebeurtenis kunnen langs de assen worden afgelezen. Voor waarnemer W zijn de
horizontale en verticale stippellijn van toepassing; voor de waarnemer W’ de schuine
stippellijnen.
31
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Voorbeeld
In de figuur hiernaast rijdt
een speelgoedtrein met 47%
van de lichtsnelheid naar
rechts rijdt. In de trein
bevindt zich een lichtklok
waarbij het licht in
horizontale richting heen en
weer gaat. De afstand tussen
de spiegels bedraagt 3 lichtnanoseconde (afgekort 3 lns). Een lichtnanoseconde is
de afstand die het licht in één nanoseconde aflegt. Dit is in goede benadering 30 cm.
De spiegels staan dus (voor de met de spiegels meebewegende waarnemer) 90 cm
uit elkaar.
Op de grond bevindt zich een waarnemer W en in de trein waarnemer W’.
Waarnemer W heeft de x-as als referentiestelsel en W’ de x’-as. We kiezen in de
trein de positie van de linker spiegel als oorsprong waar dus steeds geldt x’ = 0. Op
het moment dat de oorsprong van de x-as samenvalt met die van de x’-as, stellen we
de tijden van beide waarnemers gelijk aan nul (dus t = t’ = 0). Op dat moment vertrekt
een lichtpuls (of foton) vanaf de linker spiegel.
In de figuur hiernaast is het
minkowskidiagram voor beide
waarnemers getoond. De hoek
tussen de x- en de x’-as en ook
tussen de ct- en de ct’-as kan als
volgt berekend worden.
α = arctan(0,47) = 25° .
Deze hoek is in de figuur
aangegeven.
De wereldlijn van de linker spiegel
is de ct’-as. Voor de wereldlijn van
de rechter spiegel geldt x’ = 3 lns.
De wereldlijn van het foton gaat
zigzaggend tussen de twee eerder
genoemde wereldlijnen naar boven.
Ga na dat de hoek tussen deze
wereldlijn en de horizontale as
steeds 45º is.
32
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 5
Opgave 1
Hiernaast is een
minkowskidiagram getekend.
a.
Teken in het diagram de
wereldlijn van vier deeltjes die
vanuit de oorsprong met
respectievelijk 12,5%, 25%, 50%
en 75% van de lichtsnelheid
bewegen.
b.
Teken in het diagram de
wereldlijn van een foton dat
vanuit de oorsprong vertrekt in
positieve x-richting.
Opgave 2
Hiernaast is een
minkowskidiagram getekend. In
het diagram zijn de wereldlijn
van raket A en raket B getekend.
a.
Bepaal de snelheid van raket A
en B.
b.
Raket A zendt op t = 4 s een lichtpuls in beide richtingen uit.
Teken de wereldlijn van deze lichtpulsen (fotonen).
33
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Opgave 3
Hieronder staat een minkowskidiagram voor twee referentiestelsels, namelijk voor
waarnemer W en voor waarnemer W’.
a.
Geef langs de assen de coördinaten aan van gebeurtenis P. Doe dit zowel voor
waarnemer W als ook voor waarnemer W’. Teken duidelijk de stippellijntjes die
evenwijdig aan de assen lopen.
b.
Breid de vier assen uit naar negatieve tijden en negatieve plaatsen. Spiegel
gebeurtenis P in de oorsprong. Dit is gebeurtenis Q. Geef weer langs de assen de
coördinaten aan van gebeurtenis Q.
34
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Opgave 4
Hiernaast staat een
minkowskidiagram voor
twee referentiestelsels,
namelijk voor waarnemer
W en voor waarnemer W’.
Wereldlijn a hoort bij een
foton dat naar links gaat
en wereldlijn b hoort bij
een foton dat naar rechts
gaat.
Leg aan de hand van de
ruitjes, die door de
rasterlijnen gevormd
worden, uit dat de hoek
tussen de ct- en ct’-as
gelijk moet zijn aan de
hoek tussen de x- en x’as.
Opgave 5
De volgorde van gebeurtenissen kan
verschillend zijn van waarnemer tot
waarnemer. In het minkowskidiagram
hiernaast zijn twee gebeurtenissen P en Q
aangegeven.
a.
Welke gebeurtenis vindt volgens waarnemer
W het eerste plaats?
b.
Welke gebeurtenis vindt volgens waarnemer
W’ het eerste plaats?
35
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Opgave 6
In de onderstaande figuur rijdt waarnemer W’ in een trein met grote snelheid v langs
waarnemer W. Als de oorsprong van W samenvalt met die van W’, worden de tijden
van beide waarnemers op nul gezet. In de trein hangen drie rotjes A, B en C aan het
plafond. Nadat de oorsprong van W’ de oorsprong van W gepasseerd is, laat W’
deze op een bepaald tijdstip gelijktijdig ontploffen (althans voor W’ gelijktijdig).
In het minkowskidiagram zijn de drie explosietjes als stippen weergegeven.
a.
Zet de letters bij de juiste stippen.
b.
Teken in het diagram de stippellijnen naar de ct-as om aan te geven op welke
tijdstippen de explosietjes plaatsvinden voor waarnemer W.
In welke tijdsvolgorde verlopen de explosietjes voor W?
In de tekening staat ook een hond langs de rails. Als de rotjes ontploffen, rijdt de trein
nog in zijn richting.
c.
Zou de tijdsvolgorde voor de hond omgekeerd zijn vergeleken met die van
waarnemer W? Laat hierbij, zoals altijd, de looptijd van het licht naar de (ogen van
de) hond buiten beschouwing. Leg je antwoord uit.
36
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
Opgave 7
Deze opgave gaat over de zogenoemde ‘ladderparadox’. Een ladder is even lang als
een schuur (als ze ten opzichte van elkaar in rust zijn). Waarnemer W staat stil bij de
schuur. Hardloper en tegelijkertijd waarnemer W’ rent met een enorme snelheid (in
de orde van de lichtsnelheid) door de schuur met de ladder onder zijn arm. Zie de
onderstaande figuren. Voor waarnemer W is de ladder korter geworden en past nu
gemakkelijk in de schuur. Hij zou de schuurdeuren zelfs heel even kunnen sluiten
zonder schade te berokkenen. Waarnemer W’ ziet echter dat de schuur korter is
geworden en volgens hem past de ladder helemaal niet meer in de schuur!
In het minkowskidiagram
onder de tekeningen horen
de ct-as en x-as bij
waarnemer W en de ct’-as
en x’-as bij waarnemer W’.
De oorsprongen van de x-as
en x’-as zijn deze keer
verschoven ten opzichte van
W en W’. In het diagram zijn
de wereldlijnen van de
uiteinden van de ladder en
van de schuurdeuropeningen
getekend. Die van de ladder
zijn met LL en LR aanduid en
die van de openingen van de
schuur met SL en SR.
Volgens W is er een tijdstip
waarop de ladder in de
schuur past en precies
evenveel speling bij de linker
als bij de rechter
deuropening heeft.
a.
Teken in het diagram de
ladder in die situatie volgens
W. Teken de ladder als een
rechte streep.
Volgens W’ is er een tijdstip waarop de ladder grotendeels binnen de schuur zit en
evenveel aan de linker als aan de rechter kant uitsteekt.
b.
Teken in het diagram de ladder in die situatie volgens W’. Teken de ladder weer als
een rechte streep.
Als waarnemer W in de situatie, zoals geschetst bij opgave a, kortstondig beide
deuren sluit, ondervindt de ladder geen schade.
c.
Hoe is dit te begrijpen vanuit het standpunt van waarnemer W’?
37
Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu
§ 6 Lorentztransformatie
Overzicht van de gebruikte symbolen
In deze paragraaf gebruiken we de volgende symbolen.
x = plaatscoördinaat van een gebeurtenis volgens waarnemer W
t = tijdcoördinaat van een gebeurtenis volgens waarnemer W
x’ = plaatscoördinaat van een gebeurtenis volgens waarnemer W’
t’ = tijdcoördinaat van een gebeurtenis volgens waarnemer W’
c = lichtsnelheid
v = snelheid van W’ ten opzichte van W.
α= hoek tussen de x-as en de x’-as en ook de hoek tussen de ct-as en de ct’-as
v
β=
c
1
(de lorentzfactor)
γ =
1− β 2
Het verband tussen α en β is: tan(α ) = β .
Schaalverdeling langs de assen van het minkowskidiagram
Hiernaast staat een
minkowskidiagram afgebeeld.
Duidelijk blijkt dat de
schaalverdeling langs de ct’-as en
x’-as uitgerekt is ten opzichte van
die langs de ct-as en x-as. Anders
gezegd: de eenheden langs de ct’as en x’-as zijn langer getekend.
In het voorbeeld van hiernaast is
de schaalfactor voor de assen
gelijk aan 1,29.
De schaalfactor kan als volgt
uitgerekend worden.
1+ β 2
1− β 2
Het bewijs van deze formule staat
in de bijlage.
schaalfactor =
In de figuur is β gelijk aan 0,50 dus W’ beweegt met de halve lichtsnelheid ten
opzichte van W. Hieruit volgt:
schaalfactor =
1 + 0,502
= 1,29
1 − 0,50 2
38
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Lorentztransformatie
In de figuur hiernaast is het
minkowskidiagram getekend voor
β = 0,50. In de figuur zijn twee
gebeurtenissen A en B als stippen
getekend. Voor waarnemer W
heeft gebeurtenis A de
coördinaten
x = 6,0 ls en ct = 4,0 ls.
Uit het diagram kunnen we
aflezen dat de coördinaten van
gebeurtenis A voor waarnemer W’
zijn:
x’= 4,6 ls en ct’ = 1,2 ls.
We kunnen de coördinaten voor
waarnemer W’ echter ook
berekenen met de zogenaamde
lorentztransformatie. Zie de
volgende formules.
In de bijlage worden deze formules bewezen.
Voor het toepassen van de lorentztransformatie moeten we allereerst de lorentzfactor
uitrekenen.
1
1
=
= 1,15
γ =
1− β 2
1 − 0,502
Nu geldt:
x ' = 1,15 ⋅ 6,0 − 1,15 ⋅ 0,50 ⋅ 4,0 = 4,6 ls
ct ' = 1,15 ⋅ 4,0 − 1,15 ⋅ 0,50 ⋅ 6,0 = 1,2 ls
Deze resultaten zijn in overeenstemming met de eerder gevonden resultaten.
Voor waarnemer W’ heeft gebeurtenis B de coördinaten x’ = 2,0 ls en ct’ = 4,0 ls.
Met de volgende lorentztransformatie vinden we de coördinaten voor W.
Toepassen van deze transformatie geeft:
x = 1,15 ⋅ 2,0 + 1,15 ⋅ 0,50 ⋅ 4,0 = 4,6 ls
ct = 1,15 ⋅ 4,0 + 1,15 ⋅ 0,50 ⋅ 2,0 = 5,7 ls
Ga na dat dit in overeenstemming is met het diagram.
39
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Rekenvoorbeeld
Een ruimteschip passeert de aarde met 55% van de lichtsnelheid. Precies in de
vliegrichting van het ruimteschip ontploft een object in de ruimte. Voor de
aardbewoners vindt deze ontploffing 40 seconde na het passeren van het
ruimteschip plaats. Hierbij is (zoals altijd) reeds gecorrigeerd voor de looptijd van het
licht van het ontplofte object naar de aarde. Voor de aardbewoners vindt de
ontploffing op een afstand van 66 lichtseconde plaats.
Bereken op welke afstand de ontploffing plaats vindt voor de bemanning van het
ruimteschip. Bereken ook hoeveel tijd is verstreken tussen het passeren van de
aarde en de ontploffing (vanuit de ruimteschip gezien).
Oplossing
De aarde is waarnemer W en de bemanning van het ruimteschip is waarnemer W’.
Gegeven: x = 66 ls en ct = 40 ls.
Gevraagd: x’ en ct’ (eigenlijk t’)
Oplossing
v
β = = 0,55
c
1
1
=
= 1,20
γ =
2
1− β
1 − 0,552
x ' = γ ⋅ x − γ ⋅ β ⋅ c ⋅ t = 1,20 ⋅ 66 − 1,20 ⋅ 0,55 ⋅ 40 = 52,8 ls
ct ' = γ ⋅ c ⋅ t − γ ⋅ β ⋅ x = 1,20 ⋅ 40 − 1,20 ⋅ 0,55 ⋅ 66 = 4,4 ls
Dus op een afstand van 52,8 ls na 4,4 s.
De galileï-transformatie en de lorentztransformatie
Ons uitgangspunt is de galileï-transformatie (GT) waarmee de coördinaten van een
gebeurtenis omgerekend worden van waarnemer W naar waarnemer W’.
en t ' = t
(GT van W naar W’)
We gaan de GT in twee stappen veralgemeniseren tot de lorentztransformatie (LT);
ook van W naar W’. In de eerste stap passen we de transformatie zodanig aan, dat
de lichtsnelheid voor beide waarnemers W en W’ gelijk is (het tweede postulaat). In
de tweede stap zorgen we ervoor dat waarnemers W en W’ onderling gelijkwaardig
zijn (het eerste postulaat).
x' = x − v ⋅ t
In de onderstaande figuur staat W langs de kant van de weg. W’ rijdt met grote
snelheid v naar rechts. Op het moment dat de oorsprong van W samenvalt met die
van W’, zetten beide waarnemers hun tijd op nul. Op dat moment zendt lichtbron L
een lichtpuls uit. Waarnemer W ziet op tijdstip t de voorkant van de lichtpuls op plaats
x. Waarnemer W’ ziet op tijdstip t’ de voorkant van de lichtpuls op plaats x’.
40
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Stap 1
x
=c
t
x'
Volgens W’ geldt voor de voorkant van de lichtpuls:
=c
t'
Na het uitzenden van de lichtpuls is x’ kleiner zijn dan x. Om voor W en W’ toch op
dezelfde lichtsnelheid c uit te komen, moet t’ in dezelfde verhouding kleiner zijn dan t.
v ⋅ t t − t'
Dus geldt:
=
x
t
v ⋅t2
Hieruit volgt: t − t ' =
x
2
x
v
Omdat 2 = c 2 kunnen we de laatste vergelijking schrijven als: t − t ' = 2 ⋅ x .
t
c
Op deze manier vinden we de eerste verbeterde versie van de GT (van W naar W’).
Zie de volgende twee vergelijkingen.
Volgens W geldt voor de voorkant van de lichtpuls:
x' = x − v ⋅ t
en
t' = t −
v
x
c2
Ter controle gaan we na dat de lichtsnelheid voor W en W’ gelijk is.
v
v ⋅t
x ⋅ (1 − )
x ⋅ (1 −
)
x'
x −v ⋅t
c =x
x
Klopt!
=
=
=
t ' t − v ⋅ x t ⋅ (1 − v ⋅ x ) t ⋅ (1 − v ) t
c
c2 t
c2
Stap 2
Helaas is de eerste aanpassing van de GT nog niet in overeenstemming met het
eerste postulaat (alle waarnemers zijn gelijkwaardig). Uit de twee vergelijkingen volgt
namelijk dat de transformatie van W’ naar W er als volgt uitziet. Je kunt dit met wat
eenvoudige wiskunde vinden.
v
x = γ 2 ⋅ ( x '+v ⋅ t ' ) en t = γ 2 ⋅ (t '+ 2 x ' ) .
c
De extra factoren γ2 in de bovenstaande twee vergelijkingen zorgen ervoor dat de
transformatie van W’ naar W principieel anders is dan de transformatie van W naar
W’ en daarmee in strijd is met het eerste postulaat. Met een extra aanpassing van de
twee eerder gevonden vergelijkingen is dit probleem opgelost. Aldus krijgen we de
lorentztransformatie (LT) die de coördinaten voor W transformeert naar die voor W’.
Zie de onderstaande twee vergelijkingen.
x' = γ ⋅ ( x − v ⋅ t )
en
t ' = γ ⋅ (t −
v
x)
c2
(LT van W naar W’)
De omgekeerde transformatie, dus van W’ naar W, ziet er nu als volgt uit.
x = γ ⋅ ( x '+v ⋅ t ' )
en
t = γ ⋅ (t '+
v
x' ) .
c2
(LT van W’ naar W)
Merk op dat beide transformaties (van W naar W’ en van W’ naar W) nu wel met
elkaar overeenkomen. Merk ook op dat de LT ook geschreven kan worden zoals
eerder in deze paragraaf is gepresenteerd.
41
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 6
Opgave 1
Met de lorentztransformatie van waarnemer W naar waarnemer W’ kun je de
coördinaten van een gebeurtenis voor W’ uitrekenen uit de coördinaten voor W.
De lorentztransformatie van W naar W’ gaat over in de lorentztransformatie van W’
naar W als je in de formule het minteken door een plusteken vervangt. Leg uit dat dit
heel logisch is.
Opgave 2
In een grote ruimte waarin vacuüm
heerst beweegt een proton met grote
snelheid langs een neutron. Op het
moment van passeren begint voor
beiden de tijd te lopen. In het
minkowskidiagram hiernaast horen
de assen zonder accent bij het
neutron en de assen met accent bij
het proton.
a.
Meet in het diagram de hoek tussen
beide tijdassen of tussen beide
plaatsassen.
b.
Bereken uit het antwoord op de bovenstaande vraag de snelheid van het proton ten
opzichte van het neutron. Bepaal ook de lorentzfactor γ.
In het referentiestelsel van het proton botsen na 9 ns op een afstand van 4 nls in de
bewegingsrichting een elektron en een anti-elektron (positron) op elkaar en worden
dan omgezet in twee gammafotonen. Deze gebeurtenis is in het diagram met de
letter A aangegeven.
c.
Bereken met de lorentztransformatie de coördinaten van gebeurtenis A in het
referentiestelsel van het neutron. Ga vervolgens na of dit klopt met de afgelezen
waarden in het diagram.
42
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 3
Een sterrenstelsel beweegt met grote
snelheid weg van ons eigen
melkwegstelsel vandaan. Het begin van
deze beweging vond bij de oerknal plaats,
wat 14 miljard jaar (afgerond) geleden
plaats vond. In het minkowskidiagram
hiernaast horen de assen zonder accent
bij ons eigen melkwegstelsel en de assen
met accent bij het (vreemde)
sterrenstelsel.
a.
Bepaal met behulp van het diagram hoe
oud het sterrenstelsel is volgens ons
eigen referentiestelsel. Geef in het
diagram met een stippellijn aan hoe je aan
je antwoord komt.
Vanwege symmetrie is het (vreemde) sterrenstelsel volgens zijn eigen
referentiestelsel ook 14 miljard jaar oud en is ons melkwegstelsel juist minder oud.
b.
Bepaal met behulp van het diagram hoe oud ons melkwegstelsel is volgens het
vreemde sterrenstelsel. Geef in het diagram met een stippellijn aan hoe je aan je
antwoord komt.
Opgave 4
Een raket wordt vanaf de aarde gelanceerd en vliegt vervolgens met 50% van de
lichtsnelheid in de richting van een ster. De ster staat stil t.o.v. de aarde op een
afstand van 6,0 ly (lichtjaren). Op het moment van lancering staan de klokken in de
raket en op aarde beiden op nul. Als op aarde 6,5 jaren verstreken zijn sinds de
lancering van de raket, ontploft de ster.
a.
Hoeveel jaar na de lancering ziet Bouwe, die met zijn telescoop naar de ster kijkt, dat
de ster ontploft.
b.
Bereken de waarde van gamma (γ) in de bovenstaande situatie.
43
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
c.
Bereken hoe ver de ster tijdens de ontploffing afstaat van de raket volgens de
bemanning van de raket. Gebruik daarbij de lorentztransformatie.
d.
Bereken het tijdstip waarop de ontploffing plaatsvindt volgens de bemanning van de
raket. Gebruik daarbij de lorentztransformatie.
Opgave 5
Een ruimteschip passeert de aarde met een snelheid van 30% van de lichtsnelheid.
Na deze passage is er voor de bemanning van het ruimteschip 4,0 jaar verstreken
als een UFO (unidentified flying object) een signaal afgeeft. Voor de bemanning
bevindt de UFO zich 3,0 lichtjaar vóór het ruimteschip (recht vooruit).
a.
Bereken hoe lang het in het aardse stelsel heeft geduurd (gerekend vanaf de
passage van het ruimteschip) voordat de UFO het signaal afgeeft.
b.
Bereken hoe ver de UFO van de aarde verwijderd is als de UFO het signaal afgeeft
(gerekend vanaf de passage van het ruimteschip en gerekend in het aardse stelsel).
44
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 6
Een sterrenstelsel beweegt met een constante snelheid van 64% van de
lichtsnelheid ten opzichte van de aarde. Het begin van deze beweging vond bij de
oerknal plaats, wat 14 miljard jaar (afgerond) geleden plaats vond.
a.
Teken hiernaast in het
minkowskidiagram de
wereldlijn van dit
sterrenstelsel. Schrijf
eventuele berekeningen
hieronder op.
b.
Bereken de leeftijd (in
jaar) van dit
sterrenstelsel volgens
de aardbewoners. Zet
het getal op de juiste
plaats langs de
getekende wereldlijn.
Als wij nu een foto van dit sterrenstelsel maken, zijn de fotonen lang geleden
vertrokken van het sterrenstelsel.
c.
Teken de wereldlijn van de fotonen die van het sterrenstelsel vertrekken en nu bij de
aarde aankomen.
d.
Bepaal uit het diagram de leeftijd van het sterrenstelsel zoals dat op de foto staat.
45
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
Opgave 7 (valt buiten de lesstof)
Deze opgave gaat over het dopplereffect bij licht. Als lichtbron W’ van waarnemer W
af beweegt, heeft het door W ontvangen licht een lagere frequentie dan het door W’
uitgezonden licht. Zie ook de onderstaande linker figuur.
Het verband tussen de door W’ uitgezonden frequentie fb en de door W ontvangen
frequentie fo is
1− β
fo =
⋅ fb
1+ β
Deze formule volgt uit het bovenstaande linker minkowskidiagram. Hierin vormen de
verticale en horizontale as het referentiestelsel van waarnemer W. De wereldlijn van
bron W’ is als schuine lijn getekend. In deze opgave gaan we bewijzen dat als W’ in
zijn eigen stelsel gedurende 1 seconde een bepaald aantal lichtgolven uitzendt,
1+ β
seconde ontvangt. Hieruit volgt
waarnemer W dit aantal golven in tijdsduur
1− β
vervolgens direct het eerder gegeven verband tussen fo en fb.
1+ β
seconde is
1− β
opgebouwd uit twee bijdragen, namelijk γ seconde en βγ seconde.
a.
Leg uit waarom de eerste bijdrage γ seconde is.
In het rechter minkowskidiagram zien we dat tijdsduur
b.
Leid af dat de tweede bijdrage βγ seconde is.
c.
Leid af dat γ + βγ =
1+ β
.
1− β
46
Theorie Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu
§ 7 Ruimtetijdinterval
Ruimtetijdinterval
Stel dat twee waarnemers W en W’ naar een snel bewegende raket kijken die na
elkaar twee lichtpulsen uitzendt. We kunnen dan twee gebeurtenissen A en B
onderscheiden, namelijk de eerste lichtpuls (gebeurtenis A) en de tweede lichtpuls
(gebeurtenis B). Als W’ stilstaat ten opzichte van W of slechts een kleine snelheid
heeft ten opzichte van W, dan zijn W en W’ het eens over de tijdsduur tussen A en B.
Ook zijn W en W’ het eens over de afstand tussen A en B. Dit kan symbolisch als
volgt genoteerd worden:
∆t = ∆t ' en ∆x = ∆x ' .
Bij kleine snelheden tussen waarnemers zijn ruimte en tijd gescheiden grootheden.
Laten we vervolgens aannemen dat W’ een grote snelheid (in de orde van de
lichtsnelheid) heeft ten opzichte van W en dat de bewegingsrichting van W’ in
dezelfde richting of in tegenovergestelde richting is als die van de raket. W en W’ zijn
het dan niet meer eens over de tijdsduur tussen A en B. Evenmin zijn zij het eens
over de afstand tussen A en B. In symbolen geldt dus:
∆t ≠ ∆t' en ∆x ≠ ∆x' .
Waarnemers W en W’ zijn het echter wel eens over het zogenoemde ‘kwadraat van
het ruimtetijdinterval’ tussen A en B. Onder dit kwadraat s2 van het ruimtetijdinterval
tussen twee gebeurtenissen A en B verstaan we:
s 2 = ∆x 2 − c 2 ∆t 2
We kunnen dus schrijven:
∆x 2 − c 2 ∆t 2 = ∆x '2 −c 2 ∆t '2
Naast de lichtsnelheid is het kwadraat van het ruimtetijdinterval tussen twee
gebeurtenissen de tweede grootheid die in de relativiteitstheorie absoluut is. Ruimte
en tijd zijn beiden relatief, maar het kwadraat van het ruimtetijdinterval niet. In de
bijlage wordt dit bewezen. In het woord ruimtetijdinterval zit het woord ruimtetijd. Dit
laatste woord wordt gebruikt als waarnemers W en W’ een grote snelheid ten
opzichte van elkaar hebben en begrippen ruimte en tijd met elkaar verweven zijn.
Getallenvoorbeeld
Twee rotjes ontploffen. Volgens de ene waarnemer is het tijdsverschil tussen beide
ontploffingen 40 ns (nanoseconden) op een onderlinge afstand van 60 lns
(lichtnanoseconden). Volgens een andere waarnemer bedraagt de onderlinge
afstand tussen beide ontploffingen 50 nls. De tijd tussen beide ontploffingen in dit
stelsel kan als volgt berekend worden.
∆x 2 − c 2 ∆t 2 = ∆x '2 −c 2 ∆t '2
60 2 − 40 2 = 50 2 − c 2 ∆t '2
c 2 ∆t '2 = 500
c∆t ' = 22 lns
De tijd tussen beide ontploffingen volgens de andere waarnemer is dus 22 ns.
47
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Ruimtetijdinterval in een minkowskidiagram
In het hiernaast afgebeelde
minkowskidiagram staan twee
gebeurtenissen A en B aangegeven. De
gebeurtenissen worden waargenomen
door waarnemer W en door waarnemer W’.
Voor waarnemer W geldt:
Δx = 9,1 – 3,4 = 5,7
c·Δt = 8,0 – 3,5 = 4,5
Voor het kwadraat van het
ruimtetijdinterval geldt dan volgens
waarnemer W (afgerond):
s 2 = 5,72 − 4,52 = 12 .
Ga dit na!
Voor waarnemer W’ geldt:
Δx’ = 6,0 – 2,0 = 4,0
c·Δt’ = 4,0 – 2,0 = 2,0
Voor het kwadraat van het ruimtetijdinterval geldt dan voor waarnemer W’:
s 2 = 4,02 − 2,02 = 12 .
Ga dit weer na!
Het kwadraat van het ruimtetijdinterval is dus voor beide waarnemers hetzelfde,
namelijk 12.
Betekenis van het teken van het kwadraat van het ruimtetijdinterval
Zoals we weten geldt voor het kwadraat van het ruimtetijdinterval tussen twee
gebeurtenissen A en B:
s 2 = ∆x 2 − c 2 ∆t 2
Als s2 positief is, spreken we van een ruimteachtig interval. Gebeurtenissen A en B
kunnen dan nooit oorzaak en gevolg van elkaar zijn omdat licht langer over het
overbruggen van de afstand tussen A en B doet dan de tijd tussen A en B.
Als s2 negatief is, spreken we van een tijdachtig interval. Gebeurtenis A en B kunnen
dan wel elkaars oorzaak en gevolg zijn.
Als tussenvorm kan s2 ook nul zijn. We spreken dan over een lichtachtig interval.
Lengtekrimp en tijdsduurrek
In de onderstaande figuur staat waarnemer W langs de kant van de weg. Langs de
weg bevinden zich ook twee lampen L1 en L2. Deze bevinden zich in het
referentiestelsel van W op de plaatsen x1 en x2. Waarnemer W’ rijdt in zijn
racewagen langs W en langs de lampen.
48
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Beide lampen zenden ieder één lichtflits uit waarbij volgens waarnemer W lamp L2
later flitst dan lamp L1. Voor hem is de tijdsduur tussen beide flitsen Δt. Hierna
bedoelen we met gebeurtenis A lamp L1 op het moment dat hij flitst en met
gebeurtenis B lamp L2 op het moment dat hij flitst. We kunnen nu drie gevallen
onderscheiden.
1)
In het eerste geval is Δt zo klein, dat het licht binnen deze Δt onmogelijk van de ene
lamp naar de andere lamp kan reizen. Er is dan sprake van een ruimteachtig interval
tussen A en B. Het ruimtetijdinterval tussen A en B is groter dan nul.
2)
In het tweede geval is Δt precies zo groot, dat het licht in deze tijd van de ene naar
de andere lamp kan reizen. Er is dan sprake van een lichtachtig interval tusen A en
B. Het ruimtetijdinterval tussen A en B is dan nul.
3)
In het derde geval is Δt zo groot, dat het licht in deze tijd méér dan de afstand tussen
de lampen kan overbruggen. We spreken dan over een tijdachtig interval tussen A en
B. Het ruimtetijdinterval tussen A en B is kleiner dan nul.
Neem eerst aan dat Δt voldoende klein is dat het interval tussen A en B ruimteachtig
is (geval 1 dus). Als waarnemer W’ de juiste snelheid heeft, vinden voor hem beide
flitsen gelijktijdig plaats. We krijgen dan de situatie zoals in het onderstande linker
minkowskidiagram is afgebeeld. Beide gebeurtenissen A en B liggen op de x’-as.
Neem vervolgens aan dat Δt zo groot is, dat het interval tussen A en B tijdachtig is
(geval 3 dus). Als waarnemer W’ de juiste snelheid heeft, vinden voor hem beide
flitsen op dezelfde locatie plaats. We krijgen dan de situatie zoals in het onderstande
rechter minkowskidiagram is afgebeeld. Beide gebeurtenissen A en B liggen op de
ct’-as.
49
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Laten we eerst kijken naar het linker minkowskidiagram. Omdat het ruimtetijdinterval
tussen A en B voor beide waarnemers (W en W’) gelijk is, geldt:
∆x 2 − c 2 ∆t 2 = ∆x '2
Omdat tan(α ) = β volgt hieruit dat c∆t = β∆x . We krijgen dan:
∆x 2 − β 2 ∆x 2 = ∆x '2
Met de lorentzfactor
1
γ =
v2
1− 2
c
kan dit herschreven worden tot:
∆x ' =
∆x
γ
.
Omdat waarnemer W stilstaat ten opzichte van de lampen, is Δx de eigenlengte of
eigenafstand tussen de lampen. Waarnemer W’, die beweegt ten opzichte van de
lampen, neemt een kleinere afstand Δx’ waar. Dit hadden wij al eerder gezien en dit
verschijnsel heet lengtekrimp. De laatste formule waren wij reeds eerder
tegengekomen.
Laten we nu kijken naar het rechter minkowskidiagram. Omdat het ruimtetijdinterval
tussen A en B voor beide waarnemers (W en W’) gelijk is, geldt:
∆x 2 − c 2 ∆t 2 = −c 2 ∆t '2
Omdat tan(α ) = β volgt hieruit dat ∆x = β ⋅ c∆t . We krijgen dan:
β 2c 2 ∆t 2 − c 2 ∆t 2 = −c 2 ∆t '2
Dit kan herschreven worden tot:
∆t = γ∆t ' .
Waarnemer W’ neemt beide gebeurtenissen op dezelfde locatie plaats. De door hem
waargenomen tijdsduur Δt’ wordt dan de eigentijd tussen A en B genoemd.
Waarnemer W neemt de gebeurtenissen op verschillende locaties waar en neemt
een grotere tijdsduur Δt waar. We hadden dit al eerder gezien en dit verschijnsel heet
tijdsduurrek. De laatste formule waren wij ook reeds eerder tegengekomen.
50
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 7
Opgave 1
Een raket vliegt met een enorme snelheid van de aarde weg. In de vliegrichting van
de raket ontploffen twee sterren. Voor de bemanning van de raket is de afstand
tussen de eerste ontploffing en de tweede ontploffing 200 ls en ontploft de achterste
ster 120 s later dan de voorste ster. In het aardse stelsel is de tijd tussen de
ontploffingen 100 s.
a.
Bereken voor het aardse stelsel de afstand tussen de ontploffingen.
b.
Kan de ontploffing van de ene ster de oorzaak zijn van de ontploffing van de andere
ster? Leg je antwoord uit.
Opgave 2
In de onderstaande figuur staan twee lampen L1 en L2 op de grond. Iedere lamp
geeft een lichtflits. Voor waarnemer W, die ook op de grond staat, worden de
lichtflitsen gelijktijdig afgegeven en is de afstand tussen de lampen 20 nls (20
nanolichtseconde).
Waarnemer W’ rijdt met een enorme snelheid langs de lamp. Voor hem is de afstand
tussen lamp L1 op het moment dat hij flitst en lamp L2 op het moment dat hij flitst
30 nls.
Bereken voor W’ de tijdsduur tussen beide flitsen.
51
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Opgave 3
In de onderstaande figuur staat lamp L op de grond en geeft twee lichtflitsen. Voor
waarnemer W, die ook op de grond staat, is de tijdsduur tussen de twee flitsen 1,0 s.
Waarnemer W’ rijdt met een enorme snelheid langs de lamp. Voor hem is de tijd
tussen twee flitsen 2,0 s.
a.
Bereken voor W’ de afstand (uitgedrukt in ls) tussen de lamp bij de eerste flits en de
lamp bij de tweede flits.
b.
Bereken de snelheid (uitgedrukt in c) waarmee W’ langs L rijdt.
Opgave 4
In de onderstaande figuur rijdt waarnemer W’ in zijn rijdende raket met een constante
maar zeer hoge snelheid v op een weg. Hij passeert eerst vlag A en daarna vlag B.
Waarnemer W kijkt vanaf de zijlijn toe. We beschouwen het passeren van vlag A als
eerste gebeurtenis en het passeren van vlag B als tweede gebeurtenis.
Voor waarnemer W is de afstand tussen beide vlaggen 40 nls en heeft de raket 60 ns
nodig om van vlag A naar vlag B te gaan.
a.
Bereken met behulp van het kwadraat van het ruimtetijdinterval hoe lang het voor
waarnemer W’ duurt om van vlag A naar vlag B te gaan.
b.
Bereken deze tijdsduur nogmaals maar nu door gebruik te maken van tijdsduurrek.
Reken dus eerst β en γ uit.
52
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
Opgave 5
In de onderstaande minkowskidiagrammen 1 en 2 zijn twee gebeurtenissen P en Q
aangegeven. In de minkowskidiagrammen 3 en 4 zijn twee gebeurtenissen R en S
aangegeven. In diagrammen 1 en 3 zijn de coördinaatverschillen voor waarnemer W
aangegeven en in diagrammen 2 en 4 de coördinaatverschillen voor waarnemer W’.
a.
Is het kwadraat van het ruimtetijdinterval tussen de gebeurtenissen P en Q positief of
negatief? Kan gebeurtenis P gebeurtenis Q hebben veroorzaakt?
b.
Is het kwadraat van het ruimtetijdinterval tussen de gebeurtenissen R en S positief of
negatief?
Kan gebeurtenis R gebeurtenis S hebben veroorzaakt?
We spreken van een ‘causaal verband’ tussen twee gebeurtenissen als de ene
gebeurtenis de andere heeft veroorzaakt.
c.
Hoe kun je in het minkowskidiagram zien of er mogelijk een causaal verband tussen
twee gebeurtenissen is?
53
Theorie Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu
§ 8 Relativistisch optellen van snelheden
Optellen van snelheden
Stel je de volgende situatie voor. Job staat langs de kant van de weg en ziet Klaas
voorbij fietsen met een snelheid van 15 km/h. Klaas heeft een bal in zijn hand en
gooit deze met een snelheid van 10 km/h naar voren. Voor Job gaat de bal dan met
25 km/h naar voren. Als Klaas daarna een steen met een snelheid van 10 km/h naar
achteren gooit (terwijl hij nog steeds met 15 km/h naar voren rijdt), gaat de steen
voor Job met een snelheid van 5 km/h in de rijrichting van Klaas.
Dit principe dat je de snelheden gewoon bij elkaar kunt optellen, geldt niet meer als
de snelheden in de orde van grootte van de lichtsnelheid zijn. Neem het volgende
geval. Stel dat een ruimteschip langs de aarde vliegt met een snelheid van 0,6·c en
dat het ruimteschip een raket in zijn vliegrichting afvuurt met een snelheid van 0,5·c.
Is de snelheid van de raket ten opzichte van de aarde dan 0,6·c + 0,5·c = 1,1·c? Het
antwoord is nee! We zullen hierna zien dat deze snelheid ‘slechts’ 0,85·c bedraagt.
De snelheid van voorwerpen kan namelijk nooit groter dan de lichtsnelheid zijn.
Optellen van snelheden in het minkowskidiagram
Laten we uitgaan van de volgende situatie. Een trein rijdt met de halve lichtsnelheid
over de rails en naast de rails staat waarnemer W. Voor W ziet het
minkowskidiagram er dan uit zoals hieronder links is getekend. In dezelfde tijdsduur
legt licht een twee keer zo grote afstand af als de trein. In het diagram heeft licht in
8 ns een afstand van 8 nls afgelegd en de trein een afstand van 4 nls. De pijlen P en
Q delen de 8 nls in twee helften.
Stel nu dat iemand in de rijdende trein een kogel in de rijrichting afvuurt en dat de
kogel de halve lichtsnelheid (ten opzichte van de trein) heeft. In het referentiestelsel
van de trein (met accenten dus) legt het licht in dezelfde tijdsduur dan een twee keer
zo grote afstand af als de kogel. Dit is in het rechter diagram getekend. De pijlen R
en S delen de afstand die het licht aflegt, in twee helften.
54
Theorie Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu
Uit het rechter diagram blijkt dat de snelheid van de kogel ten opzichte van
waarnemer W, die naast de rails staat, een snelheid heeft van 0,8·c. In 10 ns legt de
kogel namelijk 8 nls af. De conclusie is dus dat je hoge snelheden niet algebraïsch bij
elkaar kunt optellen. In ons voorbeeld is 0,5·c plus 0,5·c dus geen 1,0·c maar 0,8·c.
In de rest van deze paragraaf wordt besproken hoe je met een berekening snelheden
kunt combineren.
Formule voor het optellen van snelheden
Stel we hebben de volgende situatie. Voor waarnemer W beweegt waarnemer W’
met snelheid v. Voor waarnemer W’ beweegt een voorwerp met snelheid u’ in
dezelfde richting. Voor de snelheid u van het voorwerp ten opzichte van waarnemer
W geldt dan:
u=
v + u'
v ⋅ u'
1+ 2
c
In het eerste voorbeeld (van het ruimteschip) is de snelheid van de raket voor de
aardbewoners dan:
0,5 ⋅ c + 0,6 ⋅ c
u=
= 0,85 ⋅ c .
0,5 ⋅ c ⋅ 0,6 ⋅ c
1+
c2
Ga zelf na dat in het tweede voorbeeld (van de trein) de snelheid van de kogel voor
de waarnemer W langs de rails 0,8·c bedraagt.
Merk op dat als v en u’ veel kleiner dan de lichtsnelheid zijn, de noemer van de breuk
bij benadering 1 is en de formule overgaat in:
u = v + u'
Bewijs van de formule
Uitgangspunt is de definitie van snelheid:
x − x1
x' −x'
en u ' = 2 1
u= 2
t 2 − t1
t '2 −t '1
Voor x en t geldt de lorentztransformatie (enigszins anders geschreven).
x = γ ⋅ x '+γ ⋅ v ⋅ t '
v
t = γ ⋅ t '+γ ⋅ 2 ⋅ x '
c
Als we deze formules in de definitie van u substitueren en vervolgens teller en
noemer door γ delen, krijgen we:
(x ' +v ⋅ t '2 ) − (x '1+v ⋅ t '1 )
u= 2
(t '2 +k ⋅ x '2 ) − (t '1+k ⋅ x '1 )
Hierin is k = v/c2
Na herschrijven van de teller en noemer krijgen we:
(x ' − x ' ) + v ⋅ (t '2 −t '1 ) .
u= 2 1
(t '2 −t '1 ) + k ⋅ (x '2 − x '1 )
Als we teller en noemer delen door t '2 −t '1 krijgen we de te bewijzen formule.
55
Theorie Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu
Het tweede postulaat is in overeenstemming met de formule
Stel dat waarnemer W’ een lichtstraal in zijn bewegingsrichting uitzendt. Dan geldt
dus u’ = c. Volgens de formule voor het optellen van snelheden is de snelheid van
het licht voor waarnemer W gelijk aan:
u=
v +c
v +c
=
=c.
v
v ⋅c
1+ 2
1+
c
c
Dus voor zowel waarnemer W als voor waarnemer W’ is de snelheid van het licht
gelijk namelijk c. Dit is in overeenstemming met het tweede postulaat van de speciale
relativiteitstheorie.
Voorbeeld met negatieve snelheid
Een UFO (unidentified flying object) beweegt met 0,6·c langs de aarde. Tijdens zijn
vlucht schiet hij een kogel af met een snelheid van 0,5·c naar achteren. De snelheid
van de kogel voor de aardbewoners is:
0,6 ⋅ c − 0,5 ⋅ c
u=
= 0,14 ⋅ c
0,6 ⋅ c ⋅ 0,5 ⋅ c
1−
c2
56
Theorie Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu
Opgaven bij § 8
Opgave 1
Een raket vliegt met een snelheid van 0,4·c ten opzichte van aarde. De raket vuurt in
zijn bewegingsrichting een kogel af met een snelheid van 0,5·c. Bereken de snelheid
van de kogel ten opzichte van de aarde.
Opgave 2
Een trein rijdt met een
derde van de lichtsnelheid
(dus 0,333…·c) over de
rails. In de trein wordt een
kogel afgeschoten in de
bewegingsrichting van de
trein. De snelheid van de
kogel ten opzichte van de
trein is ook een derde van
de lichtsnelheid.
a.
Bepaal in het diagram
hiernaast hoe groot de
snelheid van de kogel ten
opzichte van de rails is.
Volg de volgende stappen.
Stap 1:
Teken vanuit de oorsprong
de wereldlijn van licht.
Stap 2:
Teken vanuit de oorsprong
de wereldlijn van de trein.
Stap 3:
Teken de plaatsas van het stelsel van de trein.
Stap 4:
Teken de wereldlijn van de kogel.
b.
Bereken met behulp van de gegeven formule de snelheid van de kogel ten opzichte
van de rails.
57
Theorie Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu
Opgave 3
Een raket vliegt met 0,5·c ten opzichte van het aardoppervlak naar rechts. Op een
gegeven moment schiet de raket kogel A in voorwaartse richting en kogel B in
achterwaartse richting af. Vanuit het gezichtspunt van de raket heeft kogel A een
snelheid van 0,7·c en kogel B een snelheid van 0,6·c.
Bereken de snelheid van kogel A ten opzichte van kogel B.
Opgave 4
Je vliegt in een raket boven de aarde met 40% van de lichtsnelheid (ten opzichte van
het aardoppervlak). Je schiet een kogel in de bewegingsrichting van de raket af.
Bereken hoe groot de snelheid van de kogel ten opzichte van de raket moet zijn,
zodat deze voor de aarde 80% van de lichtsnelheid is.
Opgave 5
Een object dat in de ruimte tussen twee sterrenstelsels vliegt, explodeert in twee
gelijke (even zware) delen A en B. Gezien vanuit het oorspronkelijke
massamiddelpunt bewegen zowel A als B met een snelheid van 0,5·c. Vervolgens
exploderen zowel A en B opnieuw in twee gelijke (even zware) delen. Gezien vanuit
de oorspronkelijke massamiddelpunten van A en B bewegen deze delen weer met
een snelheid van 0,5·c. Na de explosies bewegen alle vier de delen langs dezelfde
lijn. Bereken de onderlinge snelheid tussen de twee buitenste delen.
58
Theorie Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu
Bijlagen
Bewijs voor de formule voor de schaalfactor
In de figuur hiernaast is een minkowskidiagram
afgebeeld waarin twee rechthoekige driehoeken
zijn getekend. Deze driehoeken zijn gelijkvormig
omdat de hoek tussen de x’-as en x-as gelijk is
aan de hoek tussen de ct’-as en ct-as. De
verhouding tussen de lengtes van de drie zijden
(d, e en f) is in deze figuur aangegeven. Voor
de gebruikte symbolen β en δ geldt:
v
β=
en
c
δ = 1+ β 2
In het onderstaande bewijs gebruiken we het
feit dat de schuine zijde (f) een factor δ langer is dan de lange rechthoekszijde (d).
Naast de symbolen β en δ gebruiken we in het onderstaande bewijs ook het symbool
γ voor de lorentzfactor. Hiervoor geldt:
γ =
1
1− β 2
We zullen bewijzen dat de schaalfactor voor de assen gelijk is aan het product van γ
en δ. Hiervoor geldt dus:
γ ⋅δ =
1+ β 2
1− β 2
Laten we eerst kijken naar de schaalfactor voor de ct’-as. Beide dikke lijnstukken in
het onderstaande minkowskidiagram stellen 1 lichtseconde (ls) voor. Waarnemer W’
rijdt volgens zijn eigen klok in 1 s van vlag A naar vlag B. Zie de linker figuur. Dit
wordt in het diagram voorgesteld door lijnstuk KL. Voor waarnemer W duurt deze reis
ten gevolge van tijdsduurrek langer, namelijk γ seconde. Dit is langs de verticale as
bij punt M aangegeven. Het punt op deze as waarbij t = 1 s is ook aangegeven,
namelijk bij punt N. Laten we nu naar de lengte van de lijnstukken in het diagram
kijken. Lijnstuk KL is δ keer langer is dan lijnstuk KM en lijnstuk KM is γ keer langer
dan lijnstuk KN. In totaal is lijnstuk KL dus γδ keer langer dan lijnstuk KN.
59
Theorie Relativiteit, Bijlagen, www.roelhendriks.eu
Laten we nu kijken naar de schaalfactor voor de x’-as. Beide dikke lijnstukken in het
onderstaande minkowskidiagram stellen weer 1 lichtseconde (ls) voor. Voor
waarnemer W is de afstand van vlag A naar vlag B precies 1 ls. Zie de linker figuur.
Dit wordt in het diagram voorgesteld door lijnstuk KL. Voor waarnemer W’ is de
afstand tussen A en B door de lengtekrimp kleiner, namelijk 1/γ ls. Dit is langs de x’as bij punt M aangegeven. Het punt op deze as waarbij x’ = 1 ls is ook aangegeven,
namelijk bij punt N. Laten we nu naar de lengte van de lijnstukken in het diagram
kijken. Lijnstuk KN is γ keer langer dan lijnstuk KM en lijnstuk KM is δ keer langer
dan lijnstuk KL. In totaal is lijnstuk KN dus γδ keer langer dan lijnstuk KL.
60
Theorie Relativiteit, Bijlagen, www.roelhendriks.eu
Bewijs van de lorentztransformaties
In de onderstaande figuren zijn minkowskidiagramen afgebeeld. In het kleine
bovenste diagrammetje zijn twee rechthoekige driehoeken getekend. De verhouding
tussen de lengtes van de drie zijden is aangegeven. Deze verhouding wordt gebruikt
bij de twee grote diagrammen.
In de grote diagrammen stelt de stip een gebeurtenis voor. De coördinaten van deze
gebeurtenis zijn (x, ct) volgens W en (x’, ct’) volgens W’. De lengte van het lijnstuk
langs de X’-as is gelijk aan γ·δ·x’. De factor γ·δ is het gevolg van het feit dat de
schaalverdeling langs de X’-as met die factor is uitgerekt ten opzichte van de
schaalverdeling langs de X-as. Om dezelfde reden is de lengte van het lijnstuk langs
de ct’-as gelijk aan γ·δ·ct’.
Met behulp van de figuren kunnen de coördinaten x en ct worden uitgedrukt in x’ en
ct’. Het resultaat is:
x = γ ⋅ x '+γ ⋅ β ⋅ c ⋅ t '
ct = γ ⋅ c ⋅ t '+γ ⋅ β ⋅ x '
Na wat algebraïsch gemanipuleer volgen hieruit vergelijkingen waarin x’ en ct’ in x en
ct worden uitgedrukt. Het resultaat hiervan is:
x' = γ ⋅ x − γ ⋅ β ⋅ c ⋅ t
ct ' = γ ⋅ c ⋅ t − γ ⋅ β ⋅ x
61
Theorie Relativiteit, Bijlagen, www.roelhendriks.eu
Bewijs dat het ruimtetijdinterval invariant onder de
lorentztransformatie is
Voor het ruimtetijdinterval s2 tussen twee gebeurtenissen A en B geldt:
s 2 = ( xB − x A )2 − c 2 (t B − t A )2 .
Het ruimtetijdinterval verandert niet bij een verschuiving van de oorsprong van de
plaatsas (x-as) en/of van de tijdas (ct-as). Zo zullen bijvoorbeeld xB en xA veranderen
maar het verschil (xB – xA) gelijk blijven. We maken het ons nu gemakkelijk door de
nieuwe oorsprong ter plaatse van gebeurtenis A te kiezen.
Voor het ruimtetijdinterval kunnen we dan schrijven:
2
2
s 2 = xB,NIEUW − c 2t B,NIEUW
Hierin komen alleen de nieuwe coördinaten (dus bij de nieuwe oorsprong) van
gebeurtenis B voor. Als we nu kunnen bewijzen dat s 2 = x 2 − c 2t 2 invariant onder de
lorentztransformatie is, is s 2 = ( xB − x A )2 − c 2 (t B − t A )2 dat ook.
Hier volgt het bewijs.
2
x 2 − (ct ) =
= (γ ⋅ x '+γ ⋅ β ⋅ ct ') − (γ ⋅ ct '+γ ⋅ β ⋅ x ')
2
2
= (γ ⋅ x ') + (γ ⋅ β ⋅ ct ') + 2 ⋅ γ 2 ⋅ β ⋅ ct '⋅x '−(γ ⋅ ct ') − (γ ⋅ β ⋅ x ') − 2 ⋅ γ 2 ⋅ β ⋅ ct '⋅x '
2
2
2
2
= (γ ⋅ x ') + (γ ⋅ β ⋅ ct ') − (γ ⋅ ct ') − (γ ⋅ β ⋅ x ')
2
2
(
)
(
2
2
)
= γ 2 − γ 2 ⋅ β 2 ⋅ x '2 − γ 2 − γ 2 ⋅ β 2 ⋅ (ct ')
2
= x '2 −(ct ')
Hiermee is het bewijs geleverd.
2
62
Theorie Relativiteit, Bijlagen, www.roelhendriks.eu

Inleiding tot relativiteitstheorie

De waarnemer als co-piloot

HIDHA/waarnemer (0,6 fte) Ervaren doktersassistente (0,8 fte)

Lichtsnelheid

KEPLER 22B - De Praktijk

antwoorden_rekentoets_pdf

PSV SEO organiseert een dressuurclinic in samenwerking met

Extra proeven onderofficier weerkundig waarnemer

Vrijdag 7 maart van 18.00 tot 19.00 Dojo Hokori

toets - De Gelderlander