Slides college 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen
Wiskunde 2, 2DM60
College 2b
Ruud Pellikaan
[email protected]
2014-2015
/k
Lineaire vergelijking
2/64
DEFINITIE:
Een lineaire vergelijking
in de variabelen of onbekenden x1 , . . . , xn is van de vorm
a1 x1 + · · · + an xn = b
aj is de coëfficiënt van xj
b heet de constante van de vergelijking
VOORBEELD:
x1 − x2 + 5x3 = 7
/k
Stelsel lineaire vergelijkingen
3/64
DEFINITIE:
Een stelsel lineaire vergelijkingen
in de variabelen x1 , . . . , xn is van de vorm

a11 x1 + · · · + a1n xn




..


.








ai 1 x1 + · · ·
..
.
am1 x1 + · · ·
+
ain xn
+ amn xn
aij is de coëfficiënt van xj in de i -e vergelijking
bi is de constante van de i -e vergelijking
/k
=
..
.
b1
=
..
.
bi
= bm
Oplossing van stelsel vergelijkingen
DEFINITIE:
Een oplossing van een stelsel is een
toekenning van speciale waarden x1 = s1 , . . . , xn = sn
aan de onbekenden die aan de vergelijkingen voldoet.
VOORBEELD:
x1 = 7, x2 = 5, x3 = 1
is een oplossing van x1 − x2 + 5x3 = 7
/k
4/64
Stelsels lineaire vergelijkingen
DEFINITIE:
Een stelsel heet homogeen
indien bi = 0 voor alle i .
DEFINITIE:
Een oplossing heet triviaal
indien de toekenning xi = 0 voor alle i een oplossing is.
STELLING:
Een stelsel is homogeen dan en slecht dan als
het een triviale oplossing heeft.
/k
5/64
Stelsels lineaire vergelijkingen
DEFINITIE:
Twee stelsels lineaire vergelijkingen


 a11 x1 + · · · + a1n xn
..
.


am1 x1 + · · · + amn xn
en


 c11 x1 + · · ·
..
.


cl 1 x1 + · · ·
6/64
=
..
.
b1
= bm
+ c1n xn
= d1
..
.
cln xn
= dl
+
in hetzelfde aantal variabelen heten equivalent indien
ze precies dezelfde oplossingen hebben.
/k
Stelsels lineaire vergelijkingen
VOORBEELD:
x1 + 2x2 = 3
3x1 + 4x2 = 7
heeft x1 = 1, x2 = 1 als enige oplossing.

 4x1 + 6x2 = 10
6x1 + 8x2 = 14

x1 + x2 = 2
heeft x1 = 1, x2 = 1 als enige oplossing.
CONCLUSIE:
beide stelsels zijn equivalent.
/k
7/64
Consistent stelsel vergelijkingen
DEFINITIE:
Een stelsel heet consistent als het een oplossing heeft.
Een stelsel heet strijdig of inconsistent
indien er geen oplossing is.
VOORBEELD:
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 4
heeft geen oplossing, anders is 6 = 4.
/k
8/64
Stelsels lineaire vergelijkingen
9/64
STELLING:
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden:
(a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent)
(b) precies één oplossing (consistent)
(c) oneindig veel oplossingen (consistent)
VOORBEELD:
(a) twee evenwijdige lijnen
(b) twee lijnen snijden in één punt
(c) twee samenvallende lijnen
/k
Afhankelijk stelsel vergelijkingen
DEFINITIE:
Een stelsel heet afhankelijk
indien een vergelijking het gevolg is van de overige vergelijkingen.
VOORBEELD:
/k
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
10/64
Elementaire rij operaties
STELLING:
Twee stelsels zijn equivalent indien
de een uit de ander verkregen kan worden door de
volgende drie elementaire rij operaties:
1. verwisselen van rijen
2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul
3. een rij bij een andere rij optellen
OPMERKING: De omkering zal ook blijken te gelden.
/k
11/64
De uitgebreide matrix
Neem weer het voorbeeld:

 1 · x1 + (−1) · x2 + 1 · x3 = 0
4 · x1 +
2 · x2 + 0 · x3 = 8

0 · x1 +
2 · x2 + 5 · x3 = 9
Laat de variabelen, plussen en gelijktekens weg
Zet coëffieciënten en constanten in een uitgebreide matrix:


1 −1 1 0
 4
2 0 8 
0
2 5 9
/k
12/64
Vegen van een matrix


x1 − x2 + x3
4x1 + 2x2 +
0

0 + 2x2 + 5x3

x3
 x1 − x2 +
0 + 6x2 + −4x3

0 + 2x2 +
5x3
13/64
= 0
= 8
= 9
= 0
= 8
= 9

x3 =
0
 x1 − x2 +
0 +
0 − 19x3 = −19

0 + 2x2 + 5x3 =
9
/k

1 −1 1 0
 4
2 0 8 
0
2 5 9


1 −1
1 0
 0
6 −4 8 
0
2
5 9



1 −1
1
0
 0
0 −19 −19 
0
2
5
9
Vegen van een matrix

 x1
0

0

 x1
0

0

 x1
0

0
− x2 + x3 = 0
+
0 + x3 = 1
+ 2x2 + 5x3 = 9
− x2 + x3 = 0
+ 2x2 + 5x3 = 9
+
0 + x3 = 1
− x2 + 0 = −1
+ 2x2 + 0 =
4
+
0 + x3 =
1
/k
14/64

1 −1 1 0
 0
0 1 1 
0
2 5 9


1 −1 1 0
 0
2 5 9 
0
0 1 1


1 −1 0 −1
 0
2 0
4 
0
0 1
1

Vegen van een matrix

 x1 −
0 +

0 +

 x1 −
0 +

0 +

 x1
0

0
x2 + 0 = −1
2x2 + 0 =
4
0 + x3 =
1
x2 + 0 = −1
x2 + 0 =
2
0 + x3 =
1
+ 0 + 0 = 1
+ x2 + 0 = 2
+ 0 + x3 = 1
15/64

1 −1 0 −1
 0
4 
2 0
0
0 1
1


1 −1 0 −1
 0
1 0
2 
1
0
0 1


1 0 0 1
 0 1 0 2 
0 0 1 1

Dus x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1 is de unieke oplossing.
/k
Vegen van een matrix
Voortaan wordt een stelsel lineaire vergelijkingen
direct omgezet in de uitgebreide matrix
en met deze matrix wordt geveegd.
De vergelijkingen worden verder weggelaten
/k
16/64
Elementaire rij operaties
STELLING:
Twee stelsels zijn equivalent dan en slechts dan als
de een uit de ander verkregen kan worden door de
volgende drie elementaire rij operaties:
1. verwisselen van rijen
2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul
3. een rij bij een andere rij optellen
OPMERKING:
Dezelfde operaties kunnen ook op kolommen worden uitgevoerd
maar dan zijn de vergelijkingen niet meer equivalent!
/k
17/64
Gauss eliminatie en vegen van een matrix
Gauss eliminatie of vegen van een matrix


9
het element 1 wordt een spil genoemd
1
3 −6

 −1 −3
4 −5
tel de eerste rij bij de tweede op
1
5 −8
7
trek de eerste rij van de derde af


1 3 −6
9
 0 0 −2
4 
0 2 −2 −2
met een spil wordt de kolom schoon geveegd
verwissel de tweede en derde rij


1 3 −6
9
 0 2 −2 −2 
0 0 −2
4
/k
18/64
Vegen van een matrix

1 3 −6
9
 0 2 −2 −2 
0 0 −2
4


vermenigvulig tweede rij met 1/2
vermenigvulig derde rij met − 1/2

1 3 −6
9
 0 1 −1 −1 
0 0
1 −2
De matrix is in echelon of trap vorm.
/k
19/64
Terugwaardse substitutie

1 3 −6
9
 0 1 −1 −1 
0 0
1 −2

Het bijbehorende stelsel is:

9
 x1 + 3x2 − 6x3 =
x2 − x3 = −1

x3 = −2
Dus x3 = −2. Terugwaardse substitutie in de tweede rij geeft
x2 + 2 = −1, ofwel x2 = −3.
Terugwaardse substitutie in de eerste rij geeft
x1 − 9 + 12 = 9, ofwel x1 = 6.
/k
20/64
Gauss-Jordan eliminatie
Gauss-Jordan eliminatie


9
1 3 −6
 0 1 −1 −1 
0 0
1 −2
trek 3 maal de tweede rij af van de eerste
het element 1 is nu de nieuwe spil
het element 0 is al nul


1 0 −3 12
 0 1 −1 −1 
0 0
1 −2
/k
21/64
Gauss-Jordan eliminatie

1 0 −3 12
 0 1 −1 −1 
0 0
1 −2



1 0 0
6
 0 1 0 −3 
0 0 1 −2
/k
tel 3 maal de derde rij bij de eerste op
tel de derde rij bij de tweede op
het element 1 is nu de nieuwe spil
dit is de gereduceerde rij trap vorm
ofwel de reduced row echelon form
22/64
Gereduceerde rij trap vorm
DEFINITIE:
Een matrix is in row echelon form ofwel
in rij trap vorm als geldt:
I
alle nulrijen zitten onderaan
I
de spillen vormen een trap
I
in elke rij is het eerste element ongelijk 0 gelijk aan 1,
dit is de kopterm of spil
De matrix is in reduced row echelon form ofwel
in gereduceerde rij trap vorm als bovendien geldt:
I
in de kolom van een spil staan verder alleen nullen
/k
23/64
Gereduceerde rij trap vorm

1
 0

 0
0
/k
∗
0
0
0
∗
0
0
0
0
1
0
0
∗
∗
0
0
24/64
∗
∗
0
0
0
0
1
0
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
0

∗
∗ 

∗ 
0
Voorbeeld
25/64


1 2 0 3 4
 0 0 1 5 6 
0 0 0 0 0
is in gereduceerde rij trap vorm


1 2 7 3 4
 0 0 1 5 6 
0 0 0 0 0
is wel in rij trap vorm, maar is niet gereduceerd
/k
Voorbeeld
26/64


0 0 1 5 6
 1 2 0 3 4 
0 0 0 0 0
is niet in rij trap vorm
/k
Elementaire operaties en rref
STELLING:
1) Iedere matrix A is door middel van de drie elementaire operaties
over te brengen in een matrix in gereduceerde rij trap vorm (rref).
Dit proces heet vegen.
2) Voor gegeven A is op heel veel verschillende manieren
een matrix in rref te verkrijgen,
maar het eindresultaat is uniek en wordt genoteerd door rref(A ).
/k
27/64
Matrix vergelijking
Het stelsel vergelijkingen


 a11 x1 + · · ·
..
.


am1 x1 + · · ·
28/64
+ a1n xn
=
..
.
b1
+ amn xn
= bm
wordt ook weergegeven door de matrix vergelijking AX = B :


 

a11 . . . a1n
x1
b1
 ..
..
..   ..  =  .. 
 .
.
.  .   . 
am1 . . . amn
/k
xn
bm
Uitgebreide matrix
De matrix vergelijking AX = B :


 
a11 . . . a1n
x1
 ..
..
..   ..  = 
 .
.
.  .  
am1 . . . amn
xn
29/64

b1
.. 
. 
bm
wordt ook genoteerd door de uitgebreide matrix [A |B ]


a11 . . . a1n b1

..
..
.. 
[A |B ] =  ...
. 
.
.
am1 . . . amn bm
/k
Voorbeeld


x1 + 3x2 − 6x3 =
9
−x1 − 3x2 + 4x3 = −5
stelsel vergelijkingen

x1 + 5x2 − 8x3 =
7


 

1
3 −6
x1
9
 −1 −3
4   x2  =  −5 
matrix vergelijking
1
5 −8
x3
7


9
1
3 −6
 −1 −3
4 −5 
uitgebreide matrix
1
5 −8
7
/k
30/64
Voorbeeld
31/64

9
1
3 −6
 −1 −3
4 −5 
7
1
5 −8

We hebben gezien dat door vegen bovenstaande matrix overgaat in


1 0 0
6
 0 1 0 −3 
0 0 1 −2
Dus x1 = 6, x2 = −3 en x3 = −2.
/k
Equivalente stelsels vergelijkingen
STELLING: Beschouw de volgende stelsels lineaire vergelijkingen:
AX = B en CX = D
(in matrix notatie)
Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
1) de stelsels hebben dezelfde oplossingen
2) de matrices [A |B ] en [C |D ] zijn rij equivalent
3) door elementaire rij operaties zijn ze in elkaar over te voeren
4)
rref [A |B ] = rref [C |D ]
met weglating van de nulrijen
/k
32/64
Homogeen stelsel
33/64
Herinner:
DEFINITIE:
Een stelsel vergelijkingen AX = B heet homogeen als B = 0.
VOORBEELD:
Beschouw het stelsel vergelijkingen:

 x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1
+
x4 = 0

x1 + 2x2 + x3
= 0

1 1 1 1 0
 1 0 0 1 0 
1 2 1 0 0

met
/k
als uitgebreide matrix
Homogeen stelsel
34/64
Het vegen van deze matrix geeft


verwissel eerste en tweede rij
1 1 1 1 0
 1 0 0 1 0 
1 2 1 0 0


1 0 0 1 0
het element 1 is nu de nieuwe spil
 1 1 1 1 0 
trek de eerste rij af van de tweede
1 2 1 0 0
trek de eerste rij af van de derde


1 0 0
1 0
 0 1 1
0 0 
0 2 1 −1 0
/k
het element 1 is nu de nieuwe spil
trek de 2 maal de tweede rij af van de derde
Homogeen stelsel

1 0
0
1
 0 1
1
0
0 0 −1 −1

1 0 0 1 0
 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0

1 0 0
 0 1 0
0 0 1
/k
35/64

0
0 
0

vermenigvuldig derde rij met -1
trek de derde rij af van de tweede
het element 1 is nu de nieuwe spil

1 0
de matrix is nu in rref

−1 0
1 0

Vrije en gebonden variabelen


1 0 0
1 0
 0 1 0 −1 0 
0 0 1
1 0

 x1
+
x2

/k
x3
36/64
de spillen corresponderen met de
gebonden variabelen x1 , x2 , x3
de vierde kolom correspondeert met de
vrije variabele x4
x4 = 0
− x4 = 0
+ x4 = 0
ofwel

 x1 = −x4
x2 =
x4

x3 = −x4
Parameter voorstelling
 
−x4
x1
 x2   x4
 
X =
 x3  =  −x4
x4
x4

37/64

−r
  r 

=
  −r 
r


Parametervoorstelling van de oplossing:




x1
−1
 x2 
 1 



X =
 x3  = r  −1 
x4
1
hierin is r een willekeurig te kiezen getal
/k
Homogeen stelsel
STELLING:
1) Een homogeen stelsel van m lineaire vergelijkingen
in n variabelen heeft een oplossing, n.l. de nuloplossing.
2) Als bovendien m < n, dan is er een oplossing ongelijk aan 0.
BEWIJS:
Het aantal spillen van rref(A ) is hoogstens m < n.
Deze spillen corresponderen met gebonden variabelen.
Er zijn dus minstens n − m > 0 vrije variabelen.
Er is dus een oplossing ongelijk aan 0.
/k
38/64
Particuliere oplossing
DEFINITIE:
Stel AX = B is een stelsel vergelijkingen.
Dan heet AX = 0 het bijbehorende homogene stelsel.
Xp heet een particuliere oplossing als AXp = B .
Xh heet een homogene oplossing als AXh = 0.
/k
39/64
Particuliere oplossing
40/64
STELLING:
Stel Xp is een gegeven particuliere oplossing van AX = B .
Voor elke andere oplossing X is er een homogene oplossing Xh
zodanig dat
X = Xp + Xh .
BEWIJS:
Stel AX = B , dan is
A (X − Xp ) = AX − AXp = B − B = 0.
Dus Xh = X − Xp is een homogene oplossing , en X = Xp + Xh .
/k
Equivalente beweringen
STELLING:
Stel A is een n × n matrix.
Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
(1)
(2)
(3)
(4)
A is inverteerbaar.
AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
De gereduceerde rij trap vorm is de n × n eenheidsmatrix.
rref(A ) = In .
/k
41/64
Het vinden van A −1
OPMERKING:
Stel A is een inverteerbare n × n matrix.
Dan is er een B zodanig dat AB = In .
Dus B is een oplossing van de matrix vergelijking AX = In .
Dus
rref [A |In ] = [In |B ] .
CONCLUSIE:
Door het vegen van [A |In ] in rref
weten we of A inverteerbaar is en wat de inverse is.
/k
42/64
Het vinden van A −1
43/64
VOORBEELD:
Is de volgende matrix


1
2 −3
1 
A =  1 −2
5 −2 −3
inverteerbaar?
Zo ja , dan heeft de matrix vergelijking AX = I3 , ofwel heeft



 
1 0 0
1
2 −3
x11 x12 x13
 1 −2
1   x21 x22 x23  =  0 1 0 
0 0 1
5 −2 −3
x31 x32 x33
een oplossing?
/k
Het vinden van A −1
44/64
De bijbehorende uitgebreide matrix is [A |I3 ] =

1
2 −3 1 0 0
 1 −2
1 0 1 0 
5 −2 −3 0 0 1

het element 1 is nu de nieuwe spil
trek de eerste rij af van de tweede
trek 5 maal de eerste rij af van de derde


1
2 −3
1 0 0
 0 −4
4 −1 1 0 
0 −12 12 −5 0 1

1
2 −3
1
0 0
 0 −4
4 −1
1 0 
0
0
0 −2 −3 1
trek 3 maal de tweede rij af van de derde

/k
Dit geeft een strijdig stelsel
De matrix heeft dus geen inverse
Het vinden van A −1
45/64
VOORBEELD:
Is de volgende matrix
A=
1 2
3 5
inverteerbaar?
Zo ja , dan heeft de matrix vergelijking AX = I2 een oplossing
De bijbehorende uitgebreide matrix is [A |I2 ] =
het element 1 is nu de nieuwe spil
1 2 1 0
3 5 0 1
trek 3 maal de eerste rij af van de tweede
1
2
1 0
0 −1 −3 1
vermenigvulidg de tweede rij met -1
/k
Het vinden van A −1
1 2 1
0
0 1 3 −1
46/64
het element 1 is nu de nieuwe spil
trek 2 maal de tweede rij af van de eerste
1 0 −5
2
0 1
3 −1
A
/k
−1
dus A is inverteerbaar en
=
−5
2
3 −1
Inverse matrix en unieke oplossing
STELLING:
Stel A is een inverteerbare n × n matrix,
en B = [b1 , . . . , bn ]T .
Dan heeft het stelsel vergelijkingen


 a11 x1 + · · · + a1n xn
..
.


an1 x1 + · · · + ann xn
de unieke oplossing X = [x1 , . . . , xn ]T met
X = A −1 B .
/k
47/64
= b1
..
.
= bn
Inverse matrix
48/64
BEWIJS:
Het oplossen van het stelsel vergelijkingen is equivalent met
het oplossen van de matrix vergelijking
AX = B
A −1 B is een oplossing, want
A (A −1 B ) = (AA −1 )B = In B = B .
De oplossing is uniek, want uit AX = B volgt
X = In X = (A −1 A )X = A −1 (AX ) = A −1 B ,
want A is inverteerbaar.
/k
Aantal oplossingen
49/64
STELLING:
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden:
(a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent)
(b) precies één oplossing (consistent)
(c) oneindig veel oplossingen (consistent)
/k
Aantal oplossingen
BEWIJS:
Het stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen
kan weergegeven worden door de matrix vergelijking AX = B .
Stel er is meer dan één oplossing, zeg X1 en X2 .
Dan is AX1 = B en AX2 = B .
Stel X0 = X1 − X2 .
Dan is AX0 = A (X1 − X2 ) = AX1 − AX2 = B − B = 0.
Stel c is een willekeurig getal.
Dan is A (X1 + cx0 ) = AX1 + cAX0 = B + 0 = B .
Dus er zijn oneindig veel oplossingen.
/k
50/64
Equivalente beweringen
STELLING:
Stel A is een n × n matrix.
Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A is inverteerbaar.
AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
De gereduceerde rij trap vorm is de n × n eenheidsmatrix.
rref(A ) = In .
AX = B heeft een oplossing voor elke B .
AX = B heeft precies één oplossing voor elke B .
/k
51/64
Bovendriehoeksmatrix
52/64
DEFINITIE:
Stel A is een n × n matrix.
Dan is A een bovendriehoeksmatrix als
alle elementen onder de diagonaal nul zijn.
Dat wil zeggen
aij = 0 voor alle i > j .
VOORBEELD:
/k


1 2 3
A = 0 4 5 
0 0 6
Benedendriehoeksmatrix
DEFINITIE:
Stel A is een n × n matrix.
Dan is A een benedendriehoeksmatrix als
alle elementen boven de diagonaal nul zijn.
Dat wil zeggen
aij = 0 voor alle i < j .
VOORBEELD:
/k


7 0 0
A = 8 9 0 
10 11 12
53/64
Boven- en benedendriehoeksmatrix
EIGENSCHAP:
A is een bovendriehoeksmatrix
dan en slechts dan als
A T is een benedendriehoeksmatrix.
/k
54/64
Diagonaalmatrix
DEFINITIE:
Stel A is een n × n matrix.
Dan heet A een diagonaalmatrix
als buiten de hoofddiagonaal van A alleen maar nullen staan.
Dus A is een bovendriehoeksmatrix is en
een benedendriehoeksmatrix.
/k
55/64
product van driehoeksmatrices
EIGENSCHAP:
Het product van bovendriehoeksmatrices
is weer een bovendriehoeksmatrix.
Evenzo geldt:
Het product van benedendriehoeksmatrices
is weer een benedendriehoeksmatrix.
/k
56/64
Inverteerbare bovendriehoeksmatrix
EIGENSCHAP:
Een boven- of benedendriehoeksmatrix is inverteerbaar
dan en slechts dan als
alle elementen op de hoofddiagonaal zijn ongelijk nul
/k
57/64
Symmetrisch
58/64
DEFINITIE:
Een matrix A heet symmetrisch als
AT = A.
In het bijzonder is A dan vierkant.
VOORBEELD:
/k


1 2 3
A = 2 4 5 
3 5 6
Symmetrisch
Stel is een A een n × n matrix.
Dan is B = A + A T symmetrisch.
Want
B T = (A + A T )T = A T + (A T )T = A T + A = B .
/k
59/64
Anti-symmetrisch
60/64
DEFINITIE:
Een matrix A heet anti-symmetrisch of scheef-symmetrisch als
A T = −A .
In het bijzonder is A dan vierkant.
VOORBEELD:
/k


0 2
3
A =  −2 0 −5 
−3 5
0
Anti-symmetrisch
61/64
EIGENSCHAP:
Op de diagonaal van een anti-symmetrische matrix
staan alleen maar nullen.
BEWIJS:
Stel A is anti-symmetrisch.
Dan is
A T = −A .
aii = aiiT = −aii
Dus
aii = 0.
/k
Anti-symmetrisch
62/64
VOORBEELD:
De matrix


1
2 3
1 2 
A =  −2
−3 −2 1
is niet anti-symmetrisch en ook niet symmetrisch.
/k
Anti-symmetrisch
Stel is een A een n × n matrix.
Dan is C = A − A T anti-symmetrisch.
Want
C T = (A − A T )T = A T − (A T )T = A T − A = −C .
/k
63/64
symmetrisch + anti-symmetrisch
Stel is een A een n × n matrix.
Dan is A te schrijven als som A = B + C
met B symmetrische en C anti-symmetrisch.
Deze schrijfwijze is uniek met:
B = 21 (A + A T ) en C = 12 (A − A T ).
BEWIJS:
1
(A
2
+ A T ) + 12 (A − A T ) = A
Stel A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch.
Dan is
A T = (B + C )T = B T + C T = B − C .
Dus A + A T = 2B en A − A T = 2C .
/k
64/64

Download Report