1 1 1 0 1 0 m 1 m 0 1 mm 0 1 mm 0 m 1 0 2m 0 0 mm 1 mm

Oefening 77:
Gegeven de vlakken:
  x  my  z  2m
 xyz0
   m  1 x  my  z  m
Bepaal de waarde(n) van m waarvoor de drie vlakken juist 1 punt gemeen hebben dat drie
gehele coördinaatgetallen heeft.
Dit is eigenlijk een oefening van lineaire algebra (5de jaar): bespreken van stelsels.
1 1 0  1
1
1
0 
 1

 

m 1 2m  0 m  1 0 2m 
 1
m  1 m 1 m  0
1 m m 
Om geen parameter in de spil te hebben, verwisselen we best de tweede en de derde rij (dit
is een elementaire rijtransformatie, dus het stelsel blijft gelijkwaardig).
1
1
0   1 0
m 1
m 
1


0

1 m m    0 1
m
m 

0 m  1 0 2m  0 0 m  m  1 m2  m
De nieuwe spil m (m - 1) moet verschillend zijn van 0, dus maken we een opsplitsing:
Geval 1:
m  0 en m  1
 1 0

m 1
m


m
m
 0 1

 0 0 m  m  1  m m  1 


We maken onze nieuwe spil 1, door de derde rij te delen door m (m – 1). Bovendien
vermenigvuldigen we de eerste en tweede rij met -1 zodat alle hoofdelementen 1 zijn.



 1 0 0
1 
1 0 1  m
m  


 
2m 
m
m   0 1 0
0 1

1  m

m  1 

1
0 0
 0 0 1 m  1 

1  m

1  m

 x  1

2m

Het stelsel heeft 1 oplossing, nl. y 
1m

m 1

z  1  m
De vlakken hebben dus 1 punt gemeen.
Om te bepalen wanneer dit punt gehele coördinaatgetallen heeft, schrijven we via de
Euclidische deling de coördinaatgetallen best als volgt:

 x  1

2

y  2 
1m

2

z  1  1  m
In elk geval zijn de y- en z-waarden niet geheel als 1  m  2  m  1 of m  3
We zoeken nu alle gehele waarden van m in 1,3 \ 0,1 waarvoor
2
geheel is:
1m

m = -1:
de vlakken snijden elkaar in het punt S  1,1,0 

m = 2:
de vlakken snijden elkaar in het punt S  1, 4, 3 

m = 3:
de vlakken snijden elkaar in het punt S  1,3, 2 
Geval 2:
m=0
 1 0
m 1
m 


m
m  wordt dan
 0 1
 0 0 m  m  1 m2  m


x  z  0
y  0
De rechte 
1 0 1 0 


0 1 0 0 
0 0 0 0 
is een snijlijn van de 3 vlakken.
De vlakken zijn in dit geval:
  x  z  0

  x  y  z  0
  x  z  0

 en  zijn samenvallend en snijden het vlak  .
Geval 3:
m=1
 1 0
m 1
m 


m
m  wordt dan
 0 1
 0 0 m  m  1 m2  m


 1 0 0 1 


 0 1 1 1 
 0 0 0 2 
Het stelsel is strijdig, de 3 vlakken hebben dus geen punten gemeenschappelijk.
De vlakken zijn in dit geval:
  x  y  z  2

  x  y  z  0
  2x  y  z  1


Download Report