SignalenWiskundeWeek..

Inhoud week 7
7.1 Diagonalisatie van symmetrische matrices
2
SignalenWiskundeWeek_7.nb
Essentie week 7
Symmetrische matrices
Een symmetrische matrix A is altijd diagonaliseerbaar,
dat wil zeggen A = P D P -1 met D een diagonaalmatrix.
Het is bij een symmetrische matrix A altijd mogelijk om P zo te
kiezen dat de kolommen van P onderling loodrecht zijn en
lengte een hebben met als gevolg dat P § = P -1 .
SignalenWiskundeWeek_7.nb
Getransponeerde matrix (uit 2.1)
Laat A een m μ n matrix zijn.
a1,1 a1,2 ∫ a1,n
a1,1 a2,1
a2,1 a2,2 ∫ a2,n
a1,2 a2,2
Als A =
, dan is A§ =
ª
ª
∏
ª
ª
ª
am,1 am,2 … am,n
a1,n a2,n
∫ am,1
∫ am,2
∏
ª
… am,n
.
Als A een m μ n matrix is, dan is A§ een n μ m matrix.
De kolommen van A zijn de rijen van A§ en de rijen van A zijn de kolommen van A§ .
Voor geschikte matrices A, B en C geldt dat A B§ = B§ A§ en A B C§ = C§ B§ A§ .
3
4
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Symmetrische matrix
Een n μ n matrix A heet symmetrisch als A§ = A.
1 2 3
Matrix 2 3 4 is symmetrisch.
3 4 5
1 2 3 4
Matrix 2 3 4 5 is niet symmetrisch.
3 4 5 6
1 -2 -3
Matrix 2 3 -4 is niet symmetrisch.
3 4 5
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Loodrechte eigenvectoren
Stelling 1
Laat A symmetrisch zijn.
Laat v1 , v2 twee eigenvectoren bij eigenwaarden l1 , l2 zijn,
waarbij de eigenwaarden onderling verschillend zijn.
Dan v1 ¦ v2 .
Bewijs
Herinner u in R2 of R3 het inproduct x, y = x • y
met x, y = x1 y1 + x2 y2 +x3 y3  = x § y.
Dan A v1 , v2  = l1 v1 , v2  = l1 v1 , v2 .
Nu is A v1 , v2  = A v1 § v2 = v1§ A§ v2 = v1§ A v2 = v1 , A v2  = v1 , l2 v2  = l2 v1 , v2 .
Gevolg l1 v1 , v2  = l2 v1 , v2  ofwel l1 - l2  v1 , v2  = 0.
Omdat l1 ∫ l2 geldt dat v1 , v2  = 0 ofwel v1 ¦ v2 .
5
6
SignalenWiskundeWeek_7.nb
Orthogonale 2×2 matrix (uit 6.1)
u2  en de kolommen u1 , u2 zijn onderling
Laat P =  u1
loodrecht en hebben lengte 1.
De matrix P wordt een orthogonale matrix genoemd.
Het stelsel u1 , u2 is lineair onafhankelijk.
De matrix P is inverteerbaar met inverse P -1 .
u§1
Dan P § = — en
u§2
u§1
u§1 u1 u§1 u2
1 0
§
u2  =  §

=

P P = —  u1
.
0 1
u2 u1 u§2 u2
§
u2
Dus P § P = I en dus P § = P -1 . Waarom?
SignalenWiskundeWeek_7.nb
Orthogonale 3×3 matrix (uit 6.1)
u2
u3  en de kolommen u1 , u2 , u3 zijn
Laat P =  u1
onderling loodrecht en hebben lengte 1.
De matrix P wordt een orthogonale matrix genoemd.
Het stelsel u1 , u2 , u3 is lineair onafhankelijk. Waarom?
De matrix P is inverteerbaar met inverse P -1 .
u§1
—
§
Dan P = u§2 en
—
u§3
u§1
—
P § P = u§2  u1
—
u§3
u2
u§1 u1 u§1 u2 u§1 u3
1 0 0
§
§
§
u3  = u2 u1 u2 u2 u2 u3 = 0 1 0 .
0 0 1
u§3 u1 u§3 u2 u§3 u3
Dus P § P = I en dus P § = P -1 . Waarom?
7
8
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Orthogonaal diagonaliseerbaar
Definitie
Een n μ n matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar als
A = P D P § met D een diagonaalmatrix en P § = P -1 .
Stelling 7
Beschouw een n μ n matrix A.
Als A symmetrisch is, dan is A orthogonaal diagonaliseerbaar.
Als A orthogonaal diagonaliseerbaar is, dan is A symmetrisch.
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Voorbeeld 1 Diagonalisatie
3 0
De matrix A = 0 6
-1 0
1
met eigenvectoren 0
1
-1
0 heeft eigenwaarden 2, 4, 6
3
1
0
, 0 respectievelijk 1 .
-1
0
Geef een diagonalisatie van A, d.w.z. schrijf A als P D P -1 met D een diagonaalmatrix.
De matrix A is diagonaliseerbaar:
3 0 -1
1 1 0
0 6 0 = 0 0 1
-1 0 3
1 -1 0
2 0 0
0 4 0
0 0 6
1
2
1
2
0
0
0 1
1
2
-1
2
0
9
10
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Voorbeeld 1 Orthogonale diagonalisatie
3 0
De matrix A = 0 6
-1 0
1
met eigenvectoren 0
1
-1
0 heeft eigenwaarden 2, 4, 6
3
1
0
, 0 respectievelijk 1 .
-1
0
Geef een orthogonale diagonalisatie van A,
d.w.z. schrijf A als P D P § met D een diagonaalmatrix.
Merk op dat de eigenvectoren onderling loodrecht zijn.
De matrix A is diagonaliseerbaar:
1
1
0
3 0 -1
2 0 0
2
2
0 6 0 = 0
0
1 0 4 0
1
-1 0 3
- 1 0 0 0 6
2
2
1
2
1
2
0
0
0 1
1
2
1
2
0
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Voorbeeld 2 Diagonalisatie
2 -1 -1
Laat A = -1 2 -1
-1 -1 2
-1
eigenvectoren 0 ,
1
; Matrix A heeft eigenwaarden 3, 3, 0 met
-1
1
1 respectievelijk 1 .
0
1
Merk op dat de laatste loodrecht op de eerste twee staat.
Geef een diagonalisatie van A, d.w.z. schrijf A als P D P -1 met D een diagonaalmatrix.
De matrix A is diagonaliseerbaar:
2 -1 -1
-1 -1 1
-1 2 -1 = 0 1 1
-1 -1 2
1 0 1
3 0 0
0 3 0
0 0 0
-1 -1
3
-1
3
1
3
3
2
3
1
3
2
3
-1
3
1
3
11
12
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Voorbeeld 2 Orthogonale diagonalisatie
2 -1 -1
Laat A = -1 2 -1 ; Matrix
-1 -1 2
-1
eigenvectoren v1 = 0 , v2 =
1
A heeft eigenwaarden 3, 3, 0 met
-1
1
1 respectievelijk v3 = 1 .
0
1
Geef een orthogonale diagonalisatie van A,
d.w.z. schrijf A als P D P § met D een diagonaalmatrix.
De eigenvectoren en v1 en v3 staan onderling loodrecht.
De eigenruimte bij eigenwaarde 3 is vlak met vergelijking x + y + z = 0.
-1
1
-1
2 -1 -1 -1
-3
2 = 6 = 3 v4 .
Laat v4 = v1 äv3 = 0 ä 1 = 2 . Dan A v4 = -1 2 -1
1
1
-1
-1 -1 2
-1
-3
Inderdaad: A is orthogonaal diagonaliseerbaar, want
1
1
- 1
- 1
- 1
0
2
3
6
2
2
3 0 0
1
2
1
1
1
0
A=
0 0 0
3
6
3
3
3
0 0 3
1
1
1
1
2
- 1
2
3
6
6
6
6
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 De spectrale stelling
Stelling 3
Laat A een n μ n symmetrische matrix zijn.
Dan
A heeft n eigenwaarden, multipliciteiten meegeteld.
De dimensie van een eigenruimte is gelijk aan de multipliciteit van
een eigenwaarde.
De eigenruimten zijn onderling loodrecht.
A is orthogonaal diagonaliseerbaar.
Opmerking
In R3 staan de eigenruimten loodrecht wil zeggen dat vlak en/of
lijnen door oorsprong onderling loodrecht staan.
13
14
SignalenWiskundeWeek_7.nb
7.1 Spectrale decompositie
Als u een vector in Rn is, dan is u§ u een getal en u u§ een
n μ n matrix.
Laat A een symmetrische matrix zijn met orthogonale
diagonalisatie.
Als A een 2 μ 2 matrix is, dan
u§1
l 0
u2   1
 — = l1 u1 u§1 + l2 u2 u§2 .
A =  u1
0 l2
u§2
Als A een 3 μ 3 matrix is, dan
A =  u1
u2
l1 0 0
u3  0 l2 0
0 0 l3
u§1
—
u§2 = l1 u1 u§1 + l2 u2 u§2 + l3 u3 u§3 .
—
u§3

Download Report