a:=3 - TU Delft

BEREKENEN VAN STATISCH ONBEPAALDE
CONSTRUCTIES
KRACHTENMETHODE
VERPLAATSINGENMETHODE
Fundamentele onbekenden
zijn krachten zoals oplegreacties of staafkrachten.
Fundamentele onbekenden zijn
verplaatsingsgrootheden van de
knooppunten.
Ah [kN]
A
B
w(x)
Am [kNm]
Av [kN]
Ir J.W. Welleman
a [m]
b [m]
l [m]
bladnr 1
KRACHTENMETHODE
• Methode voor handberekeningen
• Zelf “handige keuze maken” om
rekenwerk te minimaliseren
• Vergt wel wat inzicht en oefening
Kinematische vergelijkingen
d2w
κ =− 2
dx
Constitutieve vergelijkingen
VERPLAATSINGENMETHODE
• Systematische methode
• Zeer geschikt om te programmeren
• Basis voor computerprogramma’s
Ir J.W. Welleman
d2w
M = EIκ = − EI 2
dx
Evenwichtsvergelijkingen
dM
=V
dx
en
dV
= −q( x)
dx
bladnr 2
KLASSIEKE (CONTINUE) AANPAK MET DE
DIFFERENTIAALVEGELIJKING
d4w
EI 4 = q
dx
met:
r.v.w.: x = 0; w = 0; M = 0
x = l ; w = 0; ϕ = 0
Ir J.W. Welleman
OPLOSSEN
MET
MAPLE
bladnr 3
DISCRETE TOEPASSING :
STAR BLOK OP VEREN
C
T, ϕ
k3
Fu, u
c
Fv, v
A
B
k2
k1
a = 3, 0 m k1 = 1000 kN/m
b = 2, 0 m k2 = 2000 kN/m
a
Ir J.W. Welleman
b
c = 1, 0 m k3 = 3000 kN/m
bladnr 4
KINEMATISCHE RELATIES
e1 = −v − a × ϕ
⎡ e1 ⎤ ⎡ 0 −1 − a ⎤ ⎡ u ⎤
⇒ ⎢⎢e2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 −1 +b ⎥⎥ ⎢⎢ v ⎥⎥
e2 = −v + b × ϕ
⎢⎣ e3 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 0 + c ⎥⎦ ⎢⎣ϕ ⎥⎦
e3 = −u + c × ϕ
kinematische
matrix
CONSTITUTIEVE RELATIES
N1 = k1 × e1
N 2 = k2 × e2
N 2 = k3 × e3
⎡ N1 ⎤ ⎡ k1
k2
⇒ ⎢⎢ N 2 ⎥⎥ = ⎢⎢
⎢⎣ N3 ⎥⎦ ⎢⎣
⎤ ⎡ e1 ⎤
⎥ × ⎢e ⎥
⎥ ⎢ 2⎥
k3 ⎥⎦ ⎢⎣ e3 ⎥⎦
constitutieve
matrix
Ir J.W. Welleman
bladnr 5
EVENWICHTRELATIES
∑ Fhor = 0
∑ Fver = 0 ⇒
N 3 + Fu = 0
N1 + N 2 + Fv = 0
∑T
N1 × a − N 2 × b − N 3 × c + T = 0
MC
=0
⇔
Fu = − N 3
Fv = − N1 − N 2
T = − N1 × a + N 2 × b + N 3 × c
0 −1⎤ ⎡ N1 ⎤
⎡ Fu ⎤ ⎡ 0
⎢ F ⎥ = ⎢ −1 −1 0 ⎥ ⎢ N ⎥
⎢ v⎥ ⎢
⎥⎢ 2⎥
⎢⎣ T ⎥⎦ ⎢⎣ −a +b + c ⎥⎦ ⎢⎣ N 3 ⎥⎦
evenwichts
matrix
Ir J.W. Welleman
bladnr 6
VERPLAATSINGENMETHODE
Kinematische vergelijkingen
{e} = [ B ] {u}
Constitutieve vergelijkingen
{ N } = [ D ]{e}
Evenwichtsvergelijkingen
{ f } = [ B] [ D][ B]{u}
T
{ f } = ⎡⎣ BT ⎤⎦ { N }
{ f } = ⎡⎣Ksysteem ⎤⎦{u}
0 −1⎤ ⎡ k1
⎡ Fu ⎤ ⎡ 0
⎢ F ⎥ = ⎢ −1 −1 0 ⎥ × ⎢
k2
⎢ v⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ T ⎥⎦ ⎢⎣ −a +b +c ⎥⎦ ⎢⎣
Ir J.W. Welleman
⇒ ⎡⎣Ksysteem ⎤⎦ = [ B] [ D][ B]
T
⎤ ⎡ 0 −1 −a ⎤ ⎡ u ⎤
⎥ × ⎢ 0 −1 + b ⎥ ⎢ v ⎥
⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
k3 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 0 + c ⎥⎦ ⎢⎣ϕ ⎥⎦
bladnr 7
NA UITWERKEN RESTEERT
⎡ Fu ⎤ ⎡ k3
⎢F ⎥ = ⎢ 0
⎢ v⎥ ⎢
⎢⎣ T ⎥⎦ ⎢⎣ −ck3
0
k1 + k2
ak1 − bk2
−ck3
⎤ ⎡u ⎤
⎥
⎢
⎥
ak1 − bk2
v
⎥⎢ ⎥
2
2
2
a k1 + b k2 + c k3 ⎥⎦ ⎢⎣ϕ ⎥⎦
Stel de belasting is gegeven:
Fu = 50 kN
Fv = 150 kN
T = −5 kNm
Ir J.W. Welleman
bladnr 8
OPLOSSEN
> restart;
> with(linalg):
> K:=matrix([[k3,0,-c*k3],[0,k1+k2,a*k1-b*k2],
[-c*k3,a*k1-b*k2,a^2*k1+b^2*k2+c^2*k3]]);
> a:=3: b:=2: c:=1:
> k1:=1000: k2:=2000: k3:=3000:
> F:=inverse(K):
> load:=vector([50,150,-5]):
> disp:=multiply(F,load);
u = 0, 022367 m
v = 0, 051900 m
ϕ = 0, 005700 rad
Ir J.W. Welleman
bladnr 9
VEERKRACHTEN
N1 = k1 × e1 = −69 kN
N 2 = k2 × e2 = −81 kN
N 3 = k3 × e3 = −50 kN
Ir J.W. Welleman
bladnr 10
OPDRACHT
c
F
k2
b
k1
a
Ir J.W. Welleman
a) Welke vrijheidsgraden
heeft dit systeem?
b) Stel de vergelijkingen op
waarbij gebruik wordt
gemaakt van de aanpak
volgens de
verplaatsingenmethode.
c) Bepaal de uitdrukking voor
de verplaatsing in de
richting van de
vrijheidsgraden.
bladnr 11

Download Report