Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]

KU Leuven
Meetkunde I
[B-KUL-G0N31B]
Notities
Tom Sydney Kerckhove
Gestart
24 september 2014
Gecompileerd 24 september 2014
Docent:
Prof. Wendy Goemans
Inhoudsopgave
1 Affiene meetkunde
1.1 Affiene ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Affiene deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
4
Hoofdstuk 1
Affiene meetkunde
1.1
Affiene ruimte
Definitie 1.1. Een n-dimensionaal punt is een veeltal met n co¨ordinaten.
p = (p1 ,p2 , . . . ,pn )
Definitie 1.2. De optelling van twee punten is niet gedefini¨eerd, maar de optelling van een
punt en een vector is gedefini¨eerd door ze beide als re¨ele n-tallen te beschouwen en coordinaatsgewijs op te tellen.
Definitie 1.3. Een n-dimensionale affiene ruimte An bestaat uit n-dimensionale punten.
An = {(p1 ,p2 , . . . ,pn ) | pi ∈ R
Definitie 1.4. A2 noemen we het affiene vlak.
Definitie 1.5. Zij p ∈ An een punt van de n-dimensionale affiene ruimte An en zij v ∈ Rn een ndimensionale re¨ele vector. Een koppel (p,v) noemen we een raakevector met aangrijpingspunt
p en vectordeel v.
vp = (p,v)
Definitie 1.6. Twee raakvectoren vp = (p,v) en wq = (q,w ) zijn gelijk als elk zowel hun
aangrijpingspunten en vectordelen gelijk zijn.
vp = wq ⇔ p = q ∧ v = w
2
3
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
Definitie 1.7. De rakende ruimte Tp An in een punt p aan een affiene ruimte An is de verzameling van raakvectoren met p als aangrijpingspunt in An .
(
)
{vp = (p,v) | v ∈ Rn
Definitie 1.8. De verzameling van alle raakvectoren vp aan punten p in een affiene ruimte An
noemen we de rakende bundel mT An van die affiene ruimte An .
(
)
T An = vp | p ∈ An ,v ∈ Rn
= (p,v) | p ∈ An ,v ∈ Rn
= An × Rn
Definitie 1.9. Zij vp en wp twee raakvectoren in de rakende ruimte Tp An van hetzelfde punt p,
dan defini¨eren we de som vp + wp als volgt.
vp + wp = (v + w )p
Definitie 1.10. Zij vp een raakvector aan een punt p van de affiene ruimte An en λ ∈ R een
re¨eel getal, dan defini¨eren we het scalair product λvp als volgt.
λvp = (λv)p
Stelling 1.11. Elke rakende ruimte in een punt p aan An vormt een vectorruimte over R.
TODO: bewijs zie p 6 voor opgave.
Bewijs. We bewijzen de axioma’s van een vectorruimte
• associativiteit van de optelling
• neutraal element voor de optelling
• symmetrisch element voor de optelling
• commutativiteit van de optelling
• distributiviteit van het scalair product ten opzichte van de optelling
• distributiviteit van de optelling ten opzichte van het scalair product
• gemengde associativiteit
• neutraal element van het scalair product
Stelling 1.12. Voor elk willekeurig punt p van de affiene ruimte An is de afbeelding van de raakvector op de vector een isomorfisme van de rakende ruimte in dat punt en de re¨ele vectorruimte Rn .
phip is dus een isomorphisme.
ϕp : Tp An → Rn : vp 7→ v
4
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
Bewijs. Een isomorphisme is een bijectieve lineaire afbeelding.
• ϕp is een bijectie.
– ϕp is een injectie.
∀vp ,wp ∈ Tp An : ϕp (vp ) = ϕp (wp ) ⇒ vp = wp
– ϕp is een surjectie.
∀v ∈ Rn , ∃vp ∈ Tp An : ϕp (vp ) = v
• ϕp bewaart de lineariteit:
ϕp (vp + wp ) = ϕp ((v + w )p ) = v + w = ϕp (vp ) + ϕp (wp )
ϕp (λvp ) = ϕp (λv)p ) = λv = λϕp (vp )
Stelling 1.13. Voor elke twee willekeurige punten p en q van de affine ruimte An zijn de rakende
ruimten isomorf. ψ is dus een isomorphisme.
ψpq : Tp An → Tq An : vp 7→ vq
Bewijs. ψpq is een samenstelling van isomorphismen1 , en bijgevolg ook een isomorphisme.
ψpq = ϕp−1 ◦ ϕp
1.2
Affiene deelruimten
Definitie 1.14. Zij p een punt in de affiene ruimte An in V een k-dimensionale deelruimte
van Rn met 0 ≤ k ≤ n. We noemen p + V de affiene deelruimte van An met richting V en
aangrijpingspunt p.
p + V = p + v ∈ An | v ∈ V
Definitie 1.15. Affiene ruimten met e´ e´ n dimensie noemen we affiene rechten.
Definitie 1.16. Affiene ruimten met twee dimensies noemen we affiene vlakken.
Definitie 1.17. Wanneer we spreken over n-dimensionale affiene ruimten noemen we n − 1dimensionale affiene ruimten affiene hypervlakken.
Lemma 1.18. Zij p en q twee punten uit de affiene ruimte An en V een lineaire deelruimte van Rn .
De volgende uitspraken zijn equivalent:
1 Zie
het isomorphisme ϕp (stelling 1.12)
5
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
1. q ∈ p + V .
−
→∈V
2. pq
3. p + V = q + V
Bewijs. Bewijs door circulaire implicaties.
• (1) ⇒ (2)
−
→ = q − p is danprecies
Als q ∈ p + V geldt, dan bestaat er een v ∈ V zodat q = p + v geldt.2 . pq
v, en we toonden net dat v ∈ V geldt.
• (2) ⇒ (3)
Om de gelijkheid van deze twee verzamelingen aan te tonen bewijzen we de twee inclusies:
– ∀x ∈ p + V : x ∈ q + V
Kies een willekeurige x ∈ p + V . Er bestaat nu een v ∈ V zodat x = p + v geldt.3 .
−
→ +v
p + v = p + v + q − q = q − pq
−
→ ∈ V geldt, geldt ook −pq
−
→ + v ∈ V 4 . Noem nu −pq
−
→ + v = w, dan bestaat er dus
Omdat pq
een w ∈ V zodat x = q + w en zit x bijgevolg ook in q + V .
– ∀x ∈ q + V : x ∈ p + V
Hernoem p naar q en omgekeerd en kijk naar het vorige puntje.
• (3) ⇒ (1)
q zit steeds in q + V (tel bij q de nulvector op). Omdat p + V en q + V gelijk zijn zit q dus ook
in p + V .
Stelling 1.19. Twee affiene deelruimten p +V en q +W zijn gelijk als en slechts als de deelrruimten
V en W gelijk zijn, en het verschil tussen p en q als vector in V = W zit.
−
→∈V
p + V = q + W ⇔ V = W ∧ pq
Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Kies willekeurige deelruimten V en W van Rn en punten p en
q uit de affiene ruimte An .
• ⇒
−
→ ∈ V .5 We bewijzen nu beide inclusies
Als p + V = q + W geldt, dan zit q in p + V en geldt pq
om aan te tonen dat V en W gelijk zijn.
– ∀x ∈ V : x ∈ W
Kies een willekeurige v ∈ V . p + v ∈ p + V geldt en p + V = q + W , dus er bestaat een
w ∈ W zodat q + w = p + v geldt.
w = (p − q) + v
−
→ ∈ V geldt, zit w in V .6 .
Vermits pq
2 Zie
de definitie van affiene deelruimten. (Definitie 1.14)
de definitie van affiene deelruimten. (Definitie 1.14)
4 De optelling is intern in een vectorruimte.
5 Zie lemma 1.18.
6 De optelling is intern in een vectorruimte.
3 Zie
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
6
– ∀x ∈ W : x ∈ V
Hernoem V naar W en omgekeerd en kijk naar het vorige puntje
• ⇐
Dit is al bewezen in deel 3 van het vorige lemma.7
7 Zie
lemma 1.18.

Download Report