Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]

KU Leuven
Meetkunde I
[B-KUL-G0N31B]
Notities
Tom Sydney Kerckhove
Gestart
24 september 2014
Gecompileerd 24 september 2014
Docent:
Prof. Wendy Goemans
Inhoudsopgave
1 Affiene meetkunde
1.1 Affiene ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
Hoofdstuk 1
Affiene meetkunde
1.1
Affiene ruimte
Definitie 1.1. Een n-dimensionaal punt is een veeltal met n co¨ordinaten.
p = (p1 ,p2 , . . . ,pn )
Definitie 1.2. Een n-dimensionale affiene ruimte An bestaat uit n-dimensionale punten.
An = {(p1 ,p2 , . . . ,pn ) | pi ∈ R
Definitie 1.3. A2 noemen we het affiene vlak.
Definitie 1.4. Zij p ∈ An een punt van de n-dimensionale affiene ruimte An en zij v ∈ Rn een ndimensionale re¨ele vector. Een koppel (p,v) noemen we een raakevector met aangrijpingspunt
p en vectordeel v.
vp = (p,v)
Definitie 1.5. Twee raakvectoren vp = (p,v) en wq = (q,w ) zijn gelijk als elk zowel hun
aangrijpingspunten en vectordelen gelijk zijn.
vp = wq ⇔ p = q ∧ v = w
Definitie 1.6. De rakende ruimte Tp An in een punt p aan een affiene ruimte An is de verzameling van raakvectoren met p als aangrijpingspunt in An .
(
)
{vp = (p,v) | v ∈ Rn
2
3
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
Definitie 1.7. De verzameling van alle raakvectoren vp aan punten p in een affiene ruimte An
noemen we de rakende bundel mT An van die affiene ruimte An .
(
)
T An = vp | p ∈ An ,v ∈ Rn
= (p,v) | p ∈ An ,v ∈ Rn
= An × Rn
Definitie 1.8. Zij vp en wp twee raakvectoren in de rakende ruimte Tp An van hetzelfde punt p,
dan defini¨eren we de som vp + wp als volgt.
vp + wp = (v + w )p
Definitie 1.9. Zij vp een raakvector aan een punt p van de affiene ruimte An en λ ∈ R een re¨eel
getal, dan defini¨eren we het scalair product λvp als volgt.
λvp = (λv)p
Stelling 1.10. Elke rakende ruimte in een punt p aan An vormt een vectorruimte over R.
TODO: bewijs zie p 6 voor opgave.
Bewijs. We bewijzen de axioma’s van een vectorruimte
• associativiteit van de optelling
• neutraal element voor de optelling
• symmetrisch element voor de optelling
• commutativiteit van de optelling
• distributiviteit van het scalair product ten opzichte van de optelling
• distributiviteit van de optelling ten opzichte van het scalair product
• gemengde associativiteit
• neutraal element van het scalair product
Stelling 1.11. Voor elk willekeurig punt p van de affiene ruimte An is de afbeelding van de raakvector op de vector een isomorfisme van de rakende ruimte in dat punt en de re¨ele vectorruimte Rn .
phip is dus een isomorphisme.
ϕp : Tp An → Rn : vp 7→ v
Bewijs. Een isomorphisme is een bijectieve lineaire afbeelding.
• ϕp is een bijectie.
– ϕp is een injectie.
∀vp ,wp ∈ Tp An : ϕp (vp ) = ϕp (wp ) ⇒ vp = wp
4
HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE
– ϕp is een surjectie.
∀v ∈ Rn , ∃vp ∈ Tp An : ϕp (vp ) = v
• ϕp bewaart de lineariteit:
ϕp (vp + wp ) = ϕp ((v + w )p ) = v + w = ϕp (vp ) + ϕp (wp )
ϕp (λvp ) = ϕp (λv)p ) = λv = λϕp (vp )
Stelling 1.12. Voor elke twee willekeurige punten p en q van de affine ruimte An zijn de rakende
ruimten isomorf. ψ is dus een isomorphisme.
ψpq : Tp An → Tq An : vp 7→ vq
Bewijs. ψpq is een samenstelling van isomorphismen1 , en bijgevolg ook een isomorphisme.
ψpq = ϕp−1 ◦ ϕp
1 Zie
het isomorphisme ϕp (stelling 1.11)

Download Report