(re)creatieve wiskunde Jaap Top

(re)creatieve wiskunde
Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT
[email protected]
10 mei 2014
(alumnidag, Groningen)
1
(re)creatief?!
• wiskunde vraagt creativiteit
• “wisconst”
(de kunst van zeker weten. Simon Stevin 1548-1620)
• cre¨
eren = scheppen, maken. re -cre¨
eren...
• recreatie: ontspanning, vermaak
2
Recreatieve wiskunde is populair
Uit artikel van H.W. Lenstra (2005):
Profinite integers do not enjoy widespread popularity among
mathematicians. They form an important technical tool
in several parts of algebraic number theory and arithmetic
geometry, but their recreational virtues have never been
recognized.
3
Er zijn heel veel boeken over recreatieve wiskunde.
4
Een van de klassiekers is gepubliceerd in 1612:
Probl`
emes plaisans et d´
electables qui se font par les nombres
(aangename en verrukkelijke problemen over getallen)
Claude Gaspard Bachet de M´
eziriac (1581–1638)
5
Een Nederlandstalig boek over recreatieve wiskunde verscheen in
1636 (vele malen herdrukt)
Auteur: Wynant van Westen, kerkorganist te Nijmegen
Het boek is een bewerkte vertaling van “R´
ecr´
eations Math´
ematiques ”
(1624) van de Franse Jezu¨ıet Jean Leurechon (onder het pseudonym
Hendrik van Etten). Grotendeels bestaat het uit minder moeilijke
problemen uit het boek van Bachet.
6
7
Een voorbeeld uit “Mathematische Vermaecklyckheden”
(pp. 16–18):
8
9
10
11
Wynant van Westen legt uit, dat de oplossing verstopt zit in de
(klinkers van de) versregel
populeam virgam, mater regina tenebat
In een Engelse vertaling van Leurechons boek:
from numbers’ aid and art, never will fame depart
[Opgave: bedenk een passend Nederlands analogon!]
12
Nu een eigentijds stukje recreatie: de meest significante decimaal
van een positief getal. Voorbeeld:
n
2n
11
2048
1
2
2
4
3
8
12
4096
18
262144
4
16
13
8192
19
524288
5
32
6
64
14
16384
7
128
8
256
15
32768
20
1048576
9
512
16
65536
21
2097152
10
1024
17
131072
22
4194304
Geen 7 of 9?!
13
14
15
16
Eerst die statistiek. Dalende rij:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
>
>
>
>
>
>
>
> .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Alles met 1 ophogen geeft
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>
>
>
>
>
>
>
>
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vervolgens 10log nemen:
10 log(2) > 10 log(3/2) > 10 log(4/3) > . . . > 10 log(9/8) > 10 log(10/9).
Deze negen getallen zijn positief en tellen op tot 1.
17
Definitie. Een rij positieve getallen (an)n≥1 voldoet aan de wet
van Benford als voor elke j ∈ {1, 2, 3, . . . , 9} geldt
#{n ≤ N : an heeft meest signif. decimaal j}
j+1
10
lim
= log(
).
N →∞
N
j
Voorbeeld. Volgens de OEIS voldoet de rij (2n)n≥1 aan de wet
van Benford.
18
Waarom? Schrijf 2 = 10x, dan 2n = 10nx.
Hier is x ∈ R en x 6∈ Q.
Schrijf nx = {nx} + [nx] met 0 < {nx} < 1 en [nx] ∈ Z.
De meest significante decimaal van 2n = 10{nx} · 10[nx] hangt
alleen af van {nx} = nx mod Z ∈ R/Z:
2n heeft eerste cijfer j ⇔ j ≤ 10{nx} < j + 1
⇔ 10log(j) ≤ {nx} < 10log(j + 1).
19
Leopold Kronecker bewees in 1884 dat voor elke a ∈ R \ Q de
getallen ({na})n≥1 dicht liggen in [0, 1].
Hermann Weyl gaf hier in 1911 een sterker resultaat over:
Stelling. Voor elke a ∈ R \ Q en elke Riemann-integreerbare
f : [0, 1] → C geldt
n
1 X
f (t) dt = lim
f ({na}).
N
→∞
N
0
n=1
Z 1
(
Toepassen op f (t) :=
1
0
als 10log(j) ≤ t < 10log(j + 1)
toont
anders
aan dat (2n)n≥1 aan de wet van Benford voldoet.
20
1823–1891
H. Weyl 1885–1955
21
Een recreatieve vraag over eerste decimale cijfers draagt de naam
van Gel’fand.
Israel M. Gel’fand (1913–2009)
22
23
De blogger en wiskundige John D. Cook rekende in de zomer
van 2013 na:
Voor 1 < n < 1010 geldt: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en alle m, m, m, m, m, m, m, m
komen niet voor als rij eerste cijfers van 2n, 3n, 4n, . . . , 9n.
24
De bachelorscriptie van onze alumnus Jaap Eising (2013) bevat
de volledige antwoorden op “Gel’fand’s Question”:
Vraag 1 hebben we al beantwoord. Vraag 2 en 3 hebben beide
als antwoord: NEE.
Ongeveer tegelijk met het afronden van Eisings scriptie gaf blogger/wiskundige David Radcliffe eveneens dit antwoord.
25
Jaap Eising
(en de rest van het bestuur van de Fysisch-Mathematische
Faculteitsvereniging, 2014)
26
Om vraag 2 te beantwoorden: schrijf 2n = αn × 10m voor een
niet negatief geheel getal m, en 1 < αn = 10{nx} < 10.
Het eerste cijfer van 2n krijg je dan door αn naar beneden af te
ronden.
Hetzelfde doen we met 5n: dus 5n = γn × 10k met k geheel en
1 < γn < 10.
Omdat 2n × 5n = 10n, moet wel gelden αn × γn = 10.
Zou voor n > 1 gelden dat [αn] = 2 is en [γn] = 5, dan is αn
meer dan 2 (maar minder dan 3) en γn zit tussen 5 en 6, dus
dan zou hun product meer dan 10 (en minder dan 18) zijn!
Conclusie: αn en γn met die afronding bestaan niet.
27
Eenzelfde soort argument werkt voor Vraag 3:
Zou het eerste cijfer van elk van 2n tot en met 9n hetzelfde zijn,
dan weer vanwege αn × γn = 10 plus het gegeven dat αn en γn
afgerond hetzelfde zijn,
volgt 3 < αn, γn < 4, dus datzelfde eerste cijfer is 3.
2m heeft dan als eerste cijfer een 9
Maar 4n = 2n × 2n = α2
n × 10
of een 1, dus geen 3.
Conclusie: allemaal hetzelfde eerste cijfer komt niet voor!
28
Hoeveel verschillende rijtjes eerste cijfers in
2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 9n?
Hoogstens 98 = 43046721 mogelijkheden.
In werkelijkheid veel minder!
Noteer 2n = 10{nx} × 10m en 3n = 10{ny} × 10k .
Het rijtje eerste cijfers van 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 8n, 9n hangt alleen af
van a = {nx} en b = {ny}.
Immers, 4n = 2n × 2n en 5n = 10n/2n en 6n = 2n × 3n en
8n = 2n × 2n × 2n en 9n = 3n × 3n.
29
Voorbeeld: eerste cijfers van 2n, . . . , 6n, 8n, 9n gelijk aan 8, 9, 8, 1, 8, 7, 9.
Dan moet
8 ≤ 10a < 9,
9 ≤ 10b < 10,
80 ≤ 102a < 90,
1 ≤ 101−a < 2,
80 ≤ 10a+b < 90,
700 ≤ 103a < 800,
90 ≤ 102b < 100.
Oplossing: 0, 95154 < a < 0, 95424 en 0, 9772 < b < 1 voldoen.
30
De mogelijke condities op a = {nx} delen R/Z op in 55 intervallen.
Idem: de condities op b = {ny} delen R/Z op in 24 intervallen.
Voor (a, b) ∈ R/Z × R/Z levert dat 55 × 24 = 1320 rechthoekjes.
Dan zijn er de condities die het eerste cijfer van 6n, oftewel van
10{nx+ny} bepalen.
31
32
De getekende grenzen in de (a, b)-torus bij de ongelijkheden voor
10a en 10b en 10a+b verdelen het gebied in 1955 stukjes.
Samen met het speciale geval n = 1 en met de 9 mogelijkheden
voor het eerste cijfer van 7n = 10{nz} · 10`, met z = 10log(7):
volgt dan dat er maximaal 9 × 1955 + 1 = 17596 rijtjes kunnen
voorkomen als eerste cijfers van 2n t/m 9n.
Als toepassing van het 3-dimensionale analogon van de eerder
genoemde resultaten van Kronecker en Weyl, volgt dat behalve
de eerste rij 2, 3, 4, . . . , 9, die allemaal voor oneindig (
) veel
waarden van n voorkomen!
4∞
33
De details hierover verschijnen binnenkort in de American Mathematical Monthly:
34
Tot slot mag organist Wynant van Westen nog een keer alle
registers opentrekken. . .
(het huidige K¨
onigorgel in “zijn” kerk)
35
36

Download Report