Transcendente functies

Transcendente functies
Transcendente functies
5-0
Transcendente functies
Inhoud
5.1 De exponentiele
¨ functie: exp
De functie exp wordt gedefinieerd door:
exp
¨ functie
1. De exponentiele
2. De logaritmische functie
¨ functie en de algemene
3. De algemene exponentiele
logaritmische functie
: C 7→ C : x 7→ exp(x) =
5. De inverse goniometrische functies
¨ functie in het complexe vlak
6. De exponentiele
1 , geldt
• Omdat ck = k!
1/k!
(k + 1)!
ck
=
=
= k + 1.
ck+1 1/(k + 1)!
k!
Dus
Rc = lim
ck
k→∞ ck+1
Transcendente functies
Het getal e
• De afgeleide bekomen we door de machtreeks terms-
=
k=1
∞
X
k=0
Dus
∞
X
k k−1
1
x
=
xk−1
k!
(k − 1)!
k=1
1 k
x = exp(x)
k!
d
exp(x) = exp(x).
dx
• De verandering in de functie exp (zoals gegeven door
de afgeleide) is precies gelijk aan de functie zelf.
• Dus: hoe groter de functiewaarde, hoe groter ook de
verandering in de functie.
= +∞.
Transcendente functies
5-1
d
exp(x) =
dx
.
• De machtreeks is inderdaad convergent voor elke
x ∈ C.
7. Lineaire differentiaalvergelijkingen
gewijs af te leiden
∞
X
k=0
k!
• Dat volgt bv. uit de verhoudingstest van d’Alembert.
4. De goniometrische functies
De afgeleide van exp
∞ k
X
x
Per definitie is
e = exp(1) =
∞
X
1
k!
k=0
Dus
1 1 1
1
e = 1+1+ + + +
+· · · = 2, 7182818 . . .
2 6 24 120
Andere notatie voor de exponentiele
¨ functie
exp(x)
= ex .
Transcendente functies
Transcendente functies
5-3
Belangrijkste eigenschappen
• Neem y vast en schrijf f (x) = e−xex+y .
• e 0 = 1, e 1 = e
• e−x = e1x
• ex+y = exey
• (ex)y = exy
d ex = e x
• dx
• ex > 0 voor elke x ∈ R
lim ex = +∞
•
x→+∞
•
x→−∞
lim
Bewijs van ex+y = exey
ex = 0
• Dan is f (0) = ey en
d −x x+y
d x+y
0
−x
f (x) =
e
e
+e
e
dx
dx
= −e−x ex+y + e−x ex+y
=0
• Omdat f 0(x) ≡ 0 is f een constante functie.
• Omdat f (0) = ey geldt dan dat f (x) = ey voor
elke x.
• Bijgevolg e−xex+y = ey , oftewel
ex+y = exey .
Transcendente functies
Transcendente functies
5-5
Limieten
Voor elke n
Grafiek
∈ N geldt
ex
= +∞.
x→+∞ xn
lim
• Omdat alle termen in de machtreeks positief zijn,
geldt voor x > 0,
∞ k
X
x
xn+1
x
e =
>
.
k!
(n + 1)!
k=0
• Bijgevolg is voor x > 0,
ex
1 xn+1
x
>
=
.
n
n
x
x (n + 1)! (n + 1)!
• Dan is het duidelijk dat
ex
lim
= +∞.
x→+∞ xn
Transcendente functies
Transcendente functies
5-7
• De grafiek van ex gaat sneller naar oneindig dan de
grafiek van xn
Exponentiele
¨ groei en exponentiele
¨ afname
Voor γ
> 0 is
• exp(γx) een exponentieel stijgende functie als
x → +∞.
• exp(−γx) een exponentieel dalende functie als
x → +∞.
Grafiek van de functies ex en xn, voor n = 1, 2, 3.
Transcendente functies
Transcendente functies
5-9
Hyperbolische functies
Grafieken
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh x =
2
sinh x
tanh x = tghx =
cosh x
cosh x
cotghx =
sinh x
sinh x =
Grafieken van de hyperbolische functies.
Transcendente functies
Radioactief verval
Transcendente 5-11
functies
De logaritmische functie:
r(t) = r0 e−λ(t−t0),
met λ > 0 de vervalconstante
lnx is de inverse functie van exp(x).
(t ≥ t0)
• De halveringstijd is het tijdstip th met
1
r(th − t0) = r(t0).
2
ln
• exp : R → R is een strikt stijgende functie met
domein R en bereik R+
0.
• lnx is de inverse: het domein is R+
0 en het domein
is R.
• Als x > 0 dan geldt
y = lnx
⇐⇒
x = ey .
• Halveringstijd th voldoet aan
1
e−λth = .
2
Transcendente functies
Transcendente 5-13
functies
Radioactief verval
Als
r(t) = r0 e−λ(t−t0),
(t ≥ t0)
met λ > 0 de vervalconstante, dan voldoet de
halveringstijd th aan
1
e−λth = .
2
1
−λt
h
• Neem logaritme: ln e
= ln
2
1
• Dan is −λth = ln
oftewel
2
1
1
th = − ln
λ
2
Afgeleide
De logaritmische functie ln is afleidbaar en voor x
geldt
>0
d
1
lnx = .
dx
x
• Volgens de regel voor de afgeleide van de inverse
functie:
dlnx
1
1
1
=
=
=
dexp(y)
dx
exp(y)
x
dy
Transcendente functies
Transcendente 5-15
functies
Eigenschappen
lne
• ln1 = 0,
Grafiek
=1
2
• ln(xy) = lnx + lny
y1
• ln(xy ) = y lnx
d lnx = 1
• dx
x
0
• lnx > 0 voor x > 1
2
1
3
lim lnx = +∞
x→+∞
• lim lnx = −∞
x→0+
•
Transcendente 5-17
functies
5.3.1 De functies ax en
De logaritme groeit trager dan een macht van x.
logax
¨ functie met grondtal a
De exponentiele
> 0 is
ax = ex lna
• Voor elke p > 0 geldt
lnx
x→+∞ xp
5
–2
Transcendente functies
lim
4
–1
• lnx < 0 voor 0 < x < 1
Limieten
x
= 0.
De logaritme met grondtal a
> 0 (a 6= 1) is
1
logax =
lnx
lna
• Grondtal 10 wordt gebruikt in Richterschaal, deci-
belschaal, pH-schaal, etc., Ook in weergeven van
data die in grootte sterk uiteenlopen.
• Grondtal 2 wordt gebruikt in informatica: complexiteit
van algoritmen, informatietheorie.
• Grondtal e is de natuurlijke logaritme.
Transcendente functies
Transcendente 5-40
functies
Grafieken
Algemene machtsfunctie
Een functie van de vorm
f (x)g(x)
kan het best onderzocht worden door te schrijven
g(x)
g(x) lnf (x)
f (x)
Voorbeeld
=e
Wat is de afgeleide van xx ?
• Schrijf xx = exlnx.
• Dan met de kettingregel:
d x
d
x
lnx
x =e
xlnx = xx (lnx + 1) .
dx
dx
• Afgeleide is nul als lnx + 1 = 0, dus als x = e−1.
De functies ax en
Hier bereikt de functie een minimum.
logax.
Transcendente functies
Transcendente 5-42
functies
5.4 De goniometrische functies
De functies sin en cos
sinx en cosx zijn gedefinieerd door
∞
X
x2k+1
k
sinx =
(−1)
cosx
=
k=0
∞
X
k=0
(2k + 1)!
Afgeleide
We mogen de machtreeksen termsgewijs afleiden:
∞
X
d
(−1)k d 2k+1
sinx =
x
dx
=
∞
X
(−1)k
k=0
(2k)!
• Dit kan nagegaan worden met de verhoudingstest
(−1)k
(2k + 1)x2k
(2k + 1)!
k=0
= cosx
• De machtreeksen convergeren voor elke x ∈ C.
(test van d’Alembert).
=
,
x2k
.
(−1)k
(2k + 1)! dx
k=0
∞
X
Net zo
(2k)!
x2k
d
cosx = −sinx.
dx
Transcendente functies
Transcendente 5-44
functies
Eigenschappen
• sin0 = 0
en
cos0
• sin(−x) = −sinx,
Het getal π
Het kleinste postieve nulpunt van de cosinusfunctie noe-
= 1,
cos(−x)
= cosx,
• cos2x + sin2x = 1
• cos(x + y) = cosxcosy − sinxsiny
• sinxsiny = 12 [cos(x − y) − cos(x + y)]
• sinxcosy = 12 [sin(x + y) + sin(x − y)]
• cosxcosy = 12 [cos(x + y) + cos(x − y)]
• Als x ∈ R, dan
Grafieken
• De sinus en cosinus zijn periodieke functies met
periode 2π :
• sin(x + 2π) = sinx
• cos(x + 2π) = cosx
− 1 ≤ cosx ≤ 1
Transcendente functies
π
π
=0
sin = 1.
2
2
• Benadering π = 3, 1415926 . . .
cos
• sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny
−1 ≤ sinx ≤ 1 en
men we π/2:
Transcendente 5-46
functies
De goniometrische cirkel
1
P(x,y)
sin t
t
-1
0
cos t
1
-1
De functies cosx (onderbroken lijn) en sinx (volle lijn).
• Leg vanuit het punt (1, 0) een afstand t af op de
eenheidscirkel.
• Je komt dan uit in het punt P (cost, sint).
Transcendente functies
Transcendente 5-48
functies
5.4.2 Andere goniometrische functies
tan x = tgx =
sinx
cosx
cosx
1
cotanx =
=
tan x sinx
1
cosecx =
sinx
1
secx =
cosx
5.5 Cyclometrische functies
π
sinx is niet injectief maar de beperking tot [− π
2 , 2 ] wel.
• De inverse functie is de boogsinus:
π π
bgsin : [−1, 1] → [− , ]
2 2
• Eigenschap
π π
bgsinx = y ⇐⇒ y ∈ [− , ] en x = siny.
2 2
Transcendente functies
Transcendente 5-50
functies
Afgeleide
Boogcosinus
• De afgeleide kunnen we uitrekenen met de regel voor
de afgeleide van de inverse functie.
• Zij y = bgsinx. Dan
d
1
1
bgsinx =
=
dsiny
dx
cosy
dy
π
• Omdat siny = x en − 2 ≤ y ≤ π2 geldt
• Dus
q
p
cosy =
1 − sin2y = 1 − x2.
1
d
bgsinx = √
dx
1 − x2
De beperking van cosx tot [0, π] is injectief.
• De inverse functie is de boogcosinus:
bgcos
• Eigenschap
bgcosx
• Afgeleide
: [−1, 1] → [0, π]
= y ⇐⇒ y ∈ [0, π] en x = cosy.
d
1
bgcosx = − √
.
dx
1 − x2
Transcendente functies
Transcendente 5-52
functies
Boogtangens
π
De beperking van tan x tot ] − π
2 , 2 [ is injectief.
• De inverse functie is de boogtangens
π π
bgtan : R → ] − , [
2 2
• Eigenschap
π π
bgtanx = y ⇐⇒ y ∈] − , [ en x = tan y.
2 2
• Afgeleide
1
d
bgtanx =
.
dx
1 + x2
Grafiek

Download Report