Transcendente functies Transcendente functies 5-0 Transcendente functies Inhoud 5.1 De exponentiele ¨ functie: exp De functie exp wordt gedefinieerd door: exp ¨ functie 1. De exponentiele 2. De logaritmische functie ¨ functie en de algemene 3. De algemene exponentiele logaritmische functie : C 7→ C : x 7→ exp(x) = 5. De inverse goniometrische functies ¨ functie in het complexe vlak 6. De exponentiele 1 , geldt • Omdat ck = k! 1/k! (k + 1)! ck = = = k + 1. ck+1 1/(k + 1)! k! Dus Rc = lim ck k→∞ ck+1 Transcendente functies Het getal e • De afgeleide bekomen we door de machtreeks terms- = k=1 ∞ X k=0 Dus ∞ X k k−1 1 x = xk−1 k! (k − 1)! k=1 1 k x = exp(x) k! d exp(x) = exp(x). dx • De verandering in de functie exp (zoals gegeven door de afgeleide) is precies gelijk aan de functie zelf. • Dus: hoe groter de functiewaarde, hoe groter ook de verandering in de functie. = +∞. Transcendente functies 5-1 d exp(x) = dx . • De machtreeks is inderdaad convergent voor elke x ∈ C. 7. Lineaire differentiaalvergelijkingen gewijs af te leiden ∞ X k=0 k! • Dat volgt bv. uit de verhoudingstest van d’Alembert. 4. De goniometrische functies De afgeleide van exp ∞ k X x Per definitie is e = exp(1) = ∞ X 1 k! k=0 Dus 1 1 1 1 e = 1+1+ + + + +· · · = 2, 7182818 . . . 2 6 24 120 Andere notatie voor de exponentiele ¨ functie exp(x) = ex . Transcendente functies Transcendente functies 5-3 Belangrijkste eigenschappen • Neem y vast en schrijf f (x) = e−xex+y . • e 0 = 1, e 1 = e • e−x = e1x • ex+y = exey • (ex)y = exy d ex = e x • dx • ex > 0 voor elke x ∈ R lim ex = +∞ • x→+∞ • x→−∞ lim Bewijs van ex+y = exey ex = 0 • Dan is f (0) = ey en d −x x+y d x+y 0 −x f (x) = e e +e e dx dx = −e−x ex+y + e−x ex+y =0 • Omdat f 0(x) ≡ 0 is f een constante functie. • Omdat f (0) = ey geldt dan dat f (x) = ey voor elke x. • Bijgevolg e−xex+y = ey , oftewel ex+y = exey . Transcendente functies Transcendente functies 5-5 Limieten Voor elke n Grafiek ∈ N geldt ex = +∞. x→+∞ xn lim • Omdat alle termen in de machtreeks positief zijn, geldt voor x > 0, ∞ k X x xn+1 x e = > . k! (n + 1)! k=0 • Bijgevolg is voor x > 0, ex 1 xn+1 x > = . n n x x (n + 1)! (n + 1)! • Dan is het duidelijk dat ex lim = +∞. x→+∞ xn Transcendente functies Transcendente functies 5-7 • De grafiek van ex gaat sneller naar oneindig dan de grafiek van xn Exponentiele ¨ groei en exponentiele ¨ afname Voor γ > 0 is • exp(γx) een exponentieel stijgende functie als x → +∞. • exp(−γx) een exponentieel dalende functie als x → +∞. Grafiek van de functies ex en xn, voor n = 1, 2, 3. Transcendente functies Transcendente functies 5-9 Hyperbolische functies Grafieken ex − e−x 2 ex + e−x cosh x = 2 sinh x tanh x = tghx = cosh x cosh x cotghx = sinh x sinh x = Grafieken van de hyperbolische functies. Transcendente functies Radioactief verval Transcendente 5-11 functies De logaritmische functie: r(t) = r0 e−λ(t−t0), met λ > 0 de vervalconstante lnx is de inverse functie van exp(x). (t ≥ t0) • De halveringstijd is het tijdstip th met 1 r(th − t0) = r(t0). 2 ln • exp : R → R is een strikt stijgende functie met domein R en bereik R+ 0. • lnx is de inverse: het domein is R+ 0 en het domein is R. • Als x > 0 dan geldt y = lnx ⇐⇒ x = ey . • Halveringstijd th voldoet aan 1 e−λth = . 2 Transcendente functies Transcendente 5-13 functies Radioactief verval Als r(t) = r0 e−λ(t−t0), (t ≥ t0) met λ > 0 de vervalconstante, dan voldoet de halveringstijd th aan 1 e−λth = . 2 1 −λt h • Neem logaritme: ln e = ln 2 1 • Dan is −λth = ln oftewel 2 1 1 th = − ln λ 2 Afgeleide De logaritmische functie ln is afleidbaar en voor x geldt >0 d 1 lnx = . dx x • Volgens de regel voor de afgeleide van de inverse functie: dlnx 1 1 1 = = = dexp(y) dx exp(y) x dy Transcendente functies Transcendente 5-15 functies Eigenschappen lne • ln1 = 0, Grafiek =1 2 • ln(xy) = lnx + lny y1 • ln(xy ) = y lnx d lnx = 1 • dx x 0 • lnx > 0 voor x > 1 2 1 3 lim lnx = +∞ x→+∞ • lim lnx = −∞ x→0+ • Transcendente 5-17 functies 5.3.1 De functies ax en De logaritme groeit trager dan een macht van x. logax ¨ functie met grondtal a De exponentiele > 0 is ax = ex lna • Voor elke p > 0 geldt lnx x→+∞ xp 5 –2 Transcendente functies lim 4 –1 • lnx < 0 voor 0 < x < 1 Limieten x = 0. De logaritme met grondtal a > 0 (a 6= 1) is 1 logax = lnx lna • Grondtal 10 wordt gebruikt in Richterschaal, deci- belschaal, pH-schaal, etc., Ook in weergeven van data die in grootte sterk uiteenlopen. • Grondtal 2 wordt gebruikt in informatica: complexiteit van algoritmen, informatietheorie. • Grondtal e is de natuurlijke logaritme. Transcendente functies Transcendente 5-40 functies Grafieken Algemene machtsfunctie Een functie van de vorm f (x)g(x) kan het best onderzocht worden door te schrijven g(x) g(x) lnf (x) f (x) Voorbeeld =e Wat is de afgeleide van xx ? • Schrijf xx = exlnx. • Dan met de kettingregel: d x d x lnx x =e xlnx = xx (lnx + 1) . dx dx • Afgeleide is nul als lnx + 1 = 0, dus als x = e−1. De functies ax en Hier bereikt de functie een minimum. logax. Transcendente functies Transcendente 5-42 functies 5.4 De goniometrische functies De functies sin en cos sinx en cosx zijn gedefinieerd door ∞ X x2k+1 k sinx = (−1) cosx = k=0 ∞ X k=0 (2k + 1)! Afgeleide We mogen de machtreeksen termsgewijs afleiden: ∞ X d (−1)k d 2k+1 sinx = x dx = ∞ X (−1)k k=0 (2k)! • Dit kan nagegaan worden met de verhoudingstest (−1)k (2k + 1)x2k (2k + 1)! k=0 = cosx • De machtreeksen convergeren voor elke x ∈ C. (test van d’Alembert). = , x2k . (−1)k (2k + 1)! dx k=0 ∞ X Net zo (2k)! x2k d cosx = −sinx. dx Transcendente functies Transcendente 5-44 functies Eigenschappen • sin0 = 0 en cos0 • sin(−x) = −sinx, Het getal π Het kleinste postieve nulpunt van de cosinusfunctie noe- = 1, cos(−x) = cosx, • cos2x + sin2x = 1 • cos(x + y) = cosxcosy − sinxsiny • sinxsiny = 12 [cos(x − y) − cos(x + y)] • sinxcosy = 12 [sin(x + y) + sin(x − y)] • cosxcosy = 12 [cos(x + y) + cos(x − y)] • Als x ∈ R, dan Grafieken • De sinus en cosinus zijn periodieke functies met periode 2π : • sin(x + 2π) = sinx • cos(x + 2π) = cosx − 1 ≤ cosx ≤ 1 Transcendente functies π π =0 sin = 1. 2 2 • Benadering π = 3, 1415926 . . . cos • sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny −1 ≤ sinx ≤ 1 en men we π/2: Transcendente 5-46 functies De goniometrische cirkel 1 P(x,y) sin t t -1 0 cos t 1 -1 De functies cosx (onderbroken lijn) en sinx (volle lijn). • Leg vanuit het punt (1, 0) een afstand t af op de eenheidscirkel. • Je komt dan uit in het punt P (cost, sint). Transcendente functies Transcendente 5-48 functies 5.4.2 Andere goniometrische functies tan x = tgx = sinx cosx cosx 1 cotanx = = tan x sinx 1 cosecx = sinx 1 secx = cosx 5.5 Cyclometrische functies π sinx is niet injectief maar de beperking tot [− π 2 , 2 ] wel. • De inverse functie is de boogsinus: π π bgsin : [−1, 1] → [− , ] 2 2 • Eigenschap π π bgsinx = y ⇐⇒ y ∈ [− , ] en x = siny. 2 2 Transcendente functies Transcendente 5-50 functies Afgeleide Boogcosinus • De afgeleide kunnen we uitrekenen met de regel voor de afgeleide van de inverse functie. • Zij y = bgsinx. Dan d 1 1 bgsinx = = dsiny dx cosy dy π • Omdat siny = x en − 2 ≤ y ≤ π2 geldt • Dus q p cosy = 1 − sin2y = 1 − x2. 1 d bgsinx = √ dx 1 − x2 De beperking van cosx tot [0, π] is injectief. • De inverse functie is de boogcosinus: bgcos • Eigenschap bgcosx • Afgeleide : [−1, 1] → [0, π] = y ⇐⇒ y ∈ [0, π] en x = cosy. d 1 bgcosx = − √ . dx 1 − x2 Transcendente functies Transcendente 5-52 functies Boogtangens π De beperking van tan x tot ] − π 2 , 2 [ is injectief. • De inverse functie is de boogtangens π π bgtan : R → ] − , [ 2 2 • Eigenschap π π bgtanx = y ⇐⇒ y ∈] − , [ en x = tan y. 2 2 • Afgeleide 1 d bgtanx = . dx 1 + x2 Grafiek
© Copyright 2024 ExpyDoc