Modulatie - Universiteit van Amsterdam

Modulatie
Jos´e Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2014
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
1 / 41
1
Modulatie
Modulatie voor draadloze communicatie
Antenne-lengte versus frequentie
Vermenigvuldigen in tijddomein is convolutie in frequentiedomein
2
Amplitude Modulatie (AM)
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie
Synchrone demodulatie
Asynchrone modulatie en demodulatie
Amplitude modulatie met carrier
Frequency-division multiplexing
3
Amplitude, fase en frequentie modulatie
Momentane frequentie van draaggolf
Frequentie modulatie (FM)
Modulatie index van FM
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
2 / 41
Modulatie voor draadloze communicatie
Draadloze overdracht van zender naar ontvanger
Met elektro-magnetische (radio) golven
Zendantenne zet elektrische energie afkomstig van microfoon om
in elektro-magnetische golven die ether in gestuurd worden
Ontvangstantenne ontvangt elektro-magnetische golven en zet
deze om in elektrische energie, die door luidspreker omgezet
wordt in geluid
Voor effici¨ente verzending en ontvangst moet antenne-lengte
ongeveer gelijk aan golflengte zijn
Toonladder middle C tot C (262 Hz - 524 Hz)
Hoe lang moet antenne zijn?
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
3 / 41
Van frequentie naar passende antenne-lengte
EMG: verband tussen frequentie f en golflengte λ
Snelheid EMG is c = 3 × 108 m/s
Golflengte λ is afstand afgelegd gedurende 1 periode
λ=
c m/s
f Hz
Hoe lang moet antenne zijn voor 262 Hz - 524 Hz?
1
2
3
4
5
< 1mm
∼ cm
∼m
∼ km
> 100km
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
4 / 41
Van frequentie naar passende antenne-lengte
Frequenties van 262 Hz - 524 Hz
3 × 108 m/s
= 1.2 × 106m = 1200km
262Hz
3 × 108 m/s
= 0.8 × 106m = 800km
λ=
524Hz
Hoe groot moet antenne-lengte zijn?
1
< 1mm
×
2
∼ cm
×
3
∼m
×
4
∼ km
×
5
> 100km
X
λ=
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
5 / 41
Van antenne-lengte naar passende frequentie
Antenne-lengte van 10 cm
Welke frequentie past daar goed bij?
1
< 100 kHz
2
1 MHz
3
10 MHz
4
100 MHz
5
> 1 GHz
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
6 / 41
Van antenne-lengte naar passende frequentie
Antenne-lengte van 10 cm
f =
3 × 108 m/s
c
=
∼ 3GHz
λ
0.1 m
Welke frequentie past daar goed bij?
1
< 100 kHz
×
2
1 MHz
×
3
10 MHz
×
4
100 MHz
×
5
> 1 GHz
X
Mobiele telefoons gebruiken frequenties in de buurt van 2 GHz
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
7 / 41
1. Vermenigvuldigen in tijddomein
Wat is spectrum van product van twee sinuso¨ıden?
y (t) = x(t)c(t) = sin(πt) cos(10πt)
Voor spectrum is som van frequentiecomponenten nodig:
y (t) =
e jπt − e −jπt e j10πt + e −j10πt 1 j11πt
4j e
2j
2
=
− 4j1 e j9πt + 4j1 e −j9πt − 4j1 e −j11πt =
1
1
2 sin(11πt) − 2 sin(9πt)
Y (ω)
−11π −9 π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0
9π
Modulatie
11 π
ω
November, 2014
8 / 41
Modulatie-eigenschap van Fouriertransformatie
Modulatie-eigenschap
Als y (t) = x(t)c(t) met Y (ω), X (ω), C (ω) de bijbehorende
1
Fouriertransformaties, dan is Y (ω) = 2π
X (ω) ∗ C (ω)
Convolutie met cos is verschuiving in frequentiedomein
X (ω)
−π 0 π
ω
C (ω)
−10π
0
10 π
ω
Y (ω)
−11π −9 π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0
9π
Modulatie
11 π
ω
November, 2014
9 / 41
1. Vermenigvuldigen in tijddomein
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
10 / 41
2. Vermenigvuldigen in tijddomein
Wat is spectrum van product x(t) cos(ωc t)?
e jωc t + e −jωc t =
y (t) = x(t) cos(ωc t) = x(t)
2
1
1
x(t)e jωc t + x(t)e −jωc t ⇒
2
2
Y (ω)
shift property
=
1
1
X (ω − ωc ) + X (ω + ωc )
2
2
Spectrum bevat verschoven copie¨en
Fouriertransformatie bevat twee naar ±ωc verschoven copie¨en van
spectrum van x(t)
Vermenigvuldigen cos(ωc t): spectrum verschuiven naar ±ωc
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
11 / 41
Verschuiven originele spectrum naar ±ωc
Spectrum van y (t) = x(t) cos(ωc t)
X (ω)
0
−ωc
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
ωc
0
1
2 X (ω + ωc )
−ωc
ω
Y (ω)
1
2 X (ω − ωc )
ωc
0
Modulatie
ω
ω
November, 2014
12 / 41
Amplitude Modulatie (AM)
Inleiding Amplitude Modulatie (AM)
y (t)
x(t)
c(t)
Amplitude Modulatie
modulatie: proces van embedden van informatiedragend signaal
x(t) in ander hoogfrequent signaal c(t)
informatie dragende signaal x(t) wordt gebruikt om amplitude
van draaggolf c(t) te veranderen
demodulatie: het extraheren van informatiedragend signaal
x(t) uit ander signaal y (t)
sinuso¨ıde amplitude modulatie: een sinuso¨ıde draaggolf
(carrier) c(t) = cos(ωc t) wordt gebruikt als hoogfrequent signaal
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
13 / 41
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie
1
2
3
4
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie (AM) is vermenigvuldigen van
laagfrequente signaal x(t) met hoogfrequente sinuso¨ıde
inhoud van originele signaal wordt verschoven naar hogere
frequentie ωc van carrier signaal c(t) = cos(ωc t)
vermenigvuldigen met sinuso¨ıde in tijddomein correspondeert
met frequentieverschuiving (is convolutie) in frequentiedomein
ωc heet carrier frequentie, x(t) heet modulating signaal, y (t)
heet modulated signaal
y (t)
x(t)
cos(ωc t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie
Modulatie
November, 2014
14 / 41
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie van x(t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
15 / 41
AM radio
1
2
3
4
5
AM radio verzendt bijvoorbeeld radio signalen in range van
720kHz tot 760kHz, bandbreedte van 40 kHz
radio station is niet ge¨ınteresseerd in verzenden van alleen
frequenties in tussen 720kHz en 760kHz
menselijke stem bevat frequenties tussen ongeveer 50Hz en
10kHz
stem wordt verschoven naar gewenste frequentiebereik
radio ontvanger moet signaal demoduleren d.w.z. verschuiven
naar oorspronkelijke frequentiebereik
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
16 / 41
Aannames voor synchrone demodulatie
Amplitude modulatie
1
2
3
4
Amplitude modulatie verschuift spectrum van signaal naar
nieuwe frequentieband
Originele Fouriertransformatie blijft bewaard in Y (ω)
We kunnen originele signaal achterhalen: demodulatie
We moeten Fouriertransformatie copie¨en centreren op 0
Aannames voor synchrone demodulatie
1
2
carrier c(t) moet precies bekend zijn
x(t) kan achterhaald worden alleen als ωc > ωx zo dat
verschoven spectra niet overlappen
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
17 / 41
Synchrone demodulatie
Hoe kun je x(t) verkrijgen uit y (t)?
y (t)
x(t)
cos(ωc t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Sinuso¨ıde Amplitude Modulatie
Modulatie
November, 2014
18 / 41
Synchrone demodulatie
Hoe kun je x(t) verkrijgen uit y (t) = x(t) cos(ωc t)
1
eerst y (t) vermenigvuldigen met carrier
z(t) = y (t) cos(ωc t) = x(t) cos(ω
c t) cos(ωc t)=
1
x(t) 2 + 21 cos(2ωc t)
2
dan low-pass filter
z(t)
y (t) = x(t) cos(ωc t)
low-pass
filter
x ′ (t)
cos(ωc t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
19 / 41
Synchrone demodulatie
convolutie in frequentiedomein
Y (ω)
−ωc
0
ωc
ω
−ωc
0
ωc
ω
Z (ω)
−2ωc
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0
2ωc
Modulatie
ω
November, 2014
20 / 41
Synchrone demodulatie
x(t) terugvinden door low-pass filter
Y (ω)
−ωc
0
ωc
ω
−ωc
0
ωc
ω
Z (ω)
−2ωc
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
0
2ωc
Modulatie
ω
November, 2014
21 / 41
Frequenties of fases niet synchroon
Frequentie en fase niet synchroon
z(t)
x(t) cos(ωc t)
low-pass
filter
x ′ (t)
cos(ω′c t + φ)
Carrier signaal moet precies bekend zijn
Fase verschil bij demodulatie
Wat gebeurt er als er een fase verschil is tussen signaal gebruikt om
te moduleren en te demoduleren?
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
22 / 41
Frequenties of fases niet synchroon
Fase verschil bij demodulatie
z(t)
x(t) cos(ωc t)
low-pass
filter
x ′ (t)
cos(ωc t + φ)
z(t) = x(t) × cos(ωc t) × cos(ωc t + φ) =
x(t) × 12 cos φ + 21 cos(2ωc t + φ)
z(t) door low-pass filter halen levert 12 x(t) cos φ
als φ = π/2 is uitvoer van filter gelijk aan 0
als φ verandert in tijd, dan dooft signaal af en toe uit
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
23 / 41
Asynchrone modulatie en demodulatie
Demodulatie van AM signaal
1
2
3
asynchrone modulatie vereist niet dat carrier signaal c(t)
beschikbaar is bij de ontvanger
dan is er geen noodzaak om te synchronizeren
aannames voor asynchrone modulatie
◮
◮
4
5
ωc >> ωx
x(t) > 0 voor alle t
in dat geval is de enveloppe van modulated signaal y (t) bij
benadering gelijk aan informatie dragende signaal x(t)
dus we kunnen goede benadering van x(t) verkrijgen met
enveloppe detector: amplitude modulatie met carrier
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
24 / 41
Amplitude modulatie met carrier
Verstuur carrier signaal mee
y (t) = x(t) cos(ωc t) + C cos(ωc t) = x(t) + C cos(ωc t)
1
carrier signaal meesturen ∼ DC waarde signaal opschuiven
2
demodulatie door enveloppe detector: benadert x(t) + C
3
Opmerking: er moet gelden C ≥ max(|x(t)|)
x(t) + C ≥ 0
t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
25 / 41
Frequency-division multiplexing
Veel gebruikte toepassing voor communicatie
1
2
3
4
5
we kunnen meerdere signalen versturen met ´e´en zendantenne
met frequency-division multiplexing
elk informatie-dragend signaal x(t) wordt verschoven naar unieke
band
dan kunnen meerdere signalen tegelijkertijd verstuurd worden
over een enkel frequentie-band
de verschillende gemoduleerde signalen y1 (t), y2 (t), y3 (t), . . .
worden opgeteld voor verzending
om specifiek signaal te extraheren, wordt de corresponderende
frequentie verkregen met bandpass filter
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
26 / 41
Frequency-division multiplexing
Multiplexing en demultiplexing
x1 (t)
cos ω1 t
y1 (t)
y (t)
x2 (t)
y2 (t)
cos ω2 t
y3 (t)
z(t)
LPF
x1′ (t)
cos ω1 t
x3 (t)
cos ω3 t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
27 / 41
FDM: kies demodulatie frequentie
Y (ω)
−ω3 −ω2 −ω1
0
ω1
−ω1
0
ω1
ω2
ω3
ω
ω
Z (ω)
−2ω1
0
2ω1
ω
ω3
ω
X1 (ω)
ω1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
ω2
November, 2014
28 / 41
Frequency-division multiplexing
Multiplexing en demultiplexing
1
2
3
4
individuele te verzenden signalen overlappen in frequentie
als hun frequentie-inhoud wordt verschoven door sinuso¨ıde AM,
zodat de spectra van de individuele signalen niet overlappen
(door verschillende carrier frequenties te gebruiken), kunnen ze
tegelijkertijd verstuurd worden
dan gebruiken individuele signalen verschillende segmenten van
de frequentie-band
signaal extracten door demodulatie en low-pass filter
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
29 / 41
Amplitude, fase en frequentie modulatie
Veel manieren om x(t) in draaggolf te verwerken
1
2
3
Amplitude modulatie AM + carrier: y (t) = x(t) + C cos(ωc t)
Phase modulatie PM:
y (t) = cos(ωc t + kx(t))
R
Frequentie modulatie FM:
y (t) = cos(ωc t + k x(t)dt)
x(t) moduleert amplitude of fase van c(t) = cos(ωc t)
1
2
3
AM: x(t) moduleert amplitude van draaggolf
PM: x(t) moduleert momentane fase van draaggolf
FM: x(t) moduleert momentane frequentie van draaggolf
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
30 / 41
Momentane frequentie van draaggolf
Vari¨eren van frequentie in c(t) = cos(φ(t))
We willen frequentie van draaggolf laten vari¨eren
Dit doen we door de hoek φ(t) van de draaggolf te laten vari¨eren
Constante en momentane frequentie van sinuso¨ıde
constante frequentie van cos(ωc t + φ) is ωc
vari¨erende frequentie ω(t) van cos(φ(t)) is?
momentane frequentie van cos(φ(t)) is: ω(t) ≡
R
d
φ(t)
dt
daar uit volgt: φ(t) = ω(t)dt
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
31 / 41
Frequentie modulatie (FM)
FM verandert frequentie van draaggolf
informatie van modulating signaal x(t) gebruikt om momentane
frequentie ω(t) van draaggolf te veranderen
y (t) = cos(φ(t))
FM signaal voor x(t) verandert ω(t) lineair met x(t):
d
φ(t) = ωc + kx(t)
dt
Z
FM signaal voor x(t) is: y (t) = cos ωc t + k x(t) dt
ω(t) =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
32 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Opgave 1
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
2
momentane frequentie ω(t) =
3
FM signaal voor x(t):
d
dt φ(t)
R
y (t) = cos ωc t + k x(t) dt
Wat is y (t) als x(t) constant is?
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
= ωc + kx(t)
Modulatie
November, 2014
33 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Antwoord Opgave 1
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
2
momentane frequentie ω(t) =
3
FM signaal voor x(t):
d
dt φ(t)
= ωc + kx(t)
R
y (t) = cos ωc t + k x(t) dt
als x(t) constant, dan ω(t) = ωc + kC1 = C
dan y (t) = cos(Ct),
dan is y (t) sinuso¨ıde met frequentie evenredig met C1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
34 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Opgave 2
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
d
2
momentane frequentie ω(t) = dt
φ(t) = ωc + kx(t)
R
3
FM signaal voor x(t): y (t) = cos(ωc t + k x(t) dt)
Wat is y (t) als x(t) = cos(πt), ωc = 10π, k = 9?
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
35 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Antwoord Opgave 2
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
2
momentane frequentie ω(t) =
3
FM signaal voor x(t):
d
dt φ(t)
= ωc + kx(t)
R
y (t) = cos ωc t + k x(t) dt
Wat is y (t) als x(t) = cos(πt), ωc = 10π, k = 27?
ω(t) =
d
dt φ(t) = 10π + 27 cos(πt)
R
y (t) = cos 10πt + 27 cos(πt) dt ≈ cos 10πt + 9 sin(πt)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
36 / 41
FM signaal y (t) = cos 10πt + 9 sin(πt)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
37 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Opgave 3
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
d
2
momentane frequentie ω(t) = dt
φ(t) = ωc + kx(t)
R
3
FM signaal voor x(t): y (t) = cos(ωc t + k x(t) dt)
Wat is y (t) als x(t) = cos(ωx t)?
Tussen welke frequenties varieert ω(t)?
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
38 / 41
Frequentie modulatie (FM)
Antwoord Opgave 3
Gegeven:
1
y (t) = cos(φ(t))
2
momentane frequentie ω(t) =
3
FM signaal voor x(t):
d
dt φ(t)
= ωc + kx(t)
R
y (t) = cos ωc t + k x(t) dt
Wat is y (t) als x(t) = cos(ωx t)?
d
ω(t) = dt
φ(t) = ωc + k cos(ωx t)
R
y (t) = cos ωc t + k cos(ωx t) dt = cos ωc t + ωkx sin(ωx t)
Tussen welke frequenties varieert ω(t)?
Tussen ωc + k en ωc − k
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
39 / 41
Modulatie index van FM
Modulating signaal is x(t) = cos(ωx t)
1
2
3
ω(t) = ωc + k cos(ωx t)
y (t) = cos ωc t + ωkx sin(ωx t)
ω(t) varieert tussen ωc + k en ωc − k
Definitie van modulatie index
1
2
3
4
noteer eerst ∆ω = k, de verandering van ωc
∆ω
modulatie index m =
ωx
als m klein: narrowband FM
als m groot: wideband FM
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
40 / 41
Samenvatting
Modulatie
1
2
3
4
5
6
7
Modulatie is proces van embedden van signaal in ander signaal
met de gewenste eigenschappen voor verzending
Meeste vormen van modulatie zijn niet lineair
Sinuso¨ıde AM is relatief simpel en goedkoop
Synchrone AM is effici¨enter dan asynchrone AM, maar wel
duurder
Voordeel FM is dat amplitude van verstuurde signaal kan altijd
op maximale sterkte zijn
FM veel minder gevoelig voor ruis
FM vereist grotere bandbreedte
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Modulatie
November, 2014
41 / 41

Download Report