電気回路学講義資料

電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田博仁
RLC直列回路の過渡現象
S
t=0 R
L
RLC直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
C
E  Ri (t )  L
di (t ) 1
  i (t )dt  (1) で与えられる。
dt
C
なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。
dq (t )
を用いて書き直し、
dt
2
d 2 q(t )
dq(t ) q(t )
R
1

EL

R

,
t

0


(
2
)
D


とおく
 
dt 2
dt
C
 2L  LC
キャパシタの電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 i (t ) 
まず、E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、
dq (t )
 0 から、 qs  EC となる。
dt
st
次に、E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、 q  e を式(2)に代入して得られる
t → ∞ における回路の状態、或いは
2
1
特性方程式 Ls  Rs   0 の根 s1 および s2、即ち s1 , s2   R   R   1 から、
C
2L
 2 L  LC
2
RLC直列回路の過渡現象
2
(a) R  4
L
C
即ち、D = 0 の時には、 s1  s2  
R
で重根となるから、
2L
E = 0 とした式(2)の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、
q f (t )  A1es1t  A2tes1t によって与えられる。
従って、前述の定常解(特解) qs と重ねて、
q(t )  qs  q f  EC  A1es1t  A2tes1t
が式(2)の解となる。
これから、電流 i(t) が、
i (t ) 
dq (t )
 A1s1e s1t  A2 (1  s1t )e s1t
dt
と与えられる。
何故なら、コイルを流
れる電流は瞬時には
変化できないので
A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
回路から、t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、キャパシタの初期電荷を
q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0)  q0  EC  A1
従って、 A1  q0  EC
i(0)  0  A1s1  A2
従って、 A2   s1 A1 
R
q0  EC 
2L
RLC直列回路の過渡現象
以上より、
R
q0  ECte s1t
2L
R  s1t
R   2RL t


 EC  (q0  EC)1 
t e  EC  (q0  EC)1 
t e , t  0
2
L
2
L




R
q0  EC (1  s1t )e s1t
i (t )  A1s1e s1t  A2 (1  s1t )e s1t  q0  EC s1e s1t 
2L
q(t )  EC  A1e s1t  A2te s1t  EC  (q0  EC)e s1t 
2
R
R
q0  EC (1  R t )e s1t  q0  EC  R  te s1t
 q0  EC  e s1t 
2L
2L
2L
 2L 
2
 R   2Lt


 EC  q0   te , t  0
 2L 
R
と求まる。
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。i(t) は、t = 2L/R で最大値
im = 2E/Re をとる。
R2  4
L
の場合は、臨界的(critical)あるいは臨
C
界減衰(clitical-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(b) R  4
L
C
即ち、D > 0 の時には、特性方程式 Ls 2  Rs 
1
 0 の根は、
C
2つの異なる実根 s1, s2 となる。
2
R
1
 R 
s1 , s2  
   
  0   1
2L
 2 L  LC
と置く。
ただし、  0  1  0
R
0 
2L
s1   0  1, s2   0  1
E = 0 とした式(2)の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、
q f (t )  B1es1t  B2es2t によって与えられる。
従って、前述の定常解(特解) qs と重ねて、
q(t )  qs  q f  EC  B1es1t  B2es2t
電流 i(t) は、 i (t ) 
2
1
 R 
1    
 2 L  LC
が式(2)の解となる。
dq (t )
 B1s1e s1t  B2 s2 e s2t と与えられる。
dt
B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
RLC直列回路の過渡現象
初期条件は同様に、i(0) = 0、q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0)  q0  EC  B1  B2
従って、 B1 
i(0)  0  B1s1  B2 s2
s2
EC  q0 
s1  s2
従って、 q(t )  EC 
B2 
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
s1  s2
s1  s2
s1  s2   0  1  ( 0  1 )  21
より、

s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t  EC  1 EC  q0  s2e s1t  s1e s2t
2 1
2 1
2 1
q(t )  EC 
e s1t  e 0t e1t
q(t )  EC 
ここで、
 s1
EC  q0 
s1  s2
e s2t  e  0t e 1t

より、
1
EC  q0 e 0t s2e1t  s1e1t
2 1
s2
s1
 e K と置くと、

s1  s1 s2 e K
s2  s1 s2 eK

RLC直列回路の過渡現象

1
EC  q0  s1 s2 e 0t e K e1t  e K e1t
2 1
従って、 q(t )  EC 

x
x
e

e
ここで、双曲線関数を用いると、
 sinh x であるから、
2
e K e1t  e K e1t  2 sinh1t  K 
従って、 q(t )  EC 
1
1
EC  q0 
さらに、s1, s2 < 0 であるから、
従って、 q(t )  EC 
1
1
であり、
s1 s2 e  0t sinh 1t  K 
s1 s2   s1s2  
EC  q0 
指数関数と
双曲線関数
との関係式
1
LC
1  0t
e sinh 1t  K 
LC


1
 0t
 q0  EC  q0 1 
e sinh 1t  K 
  1 LC

t>0
RLC直列回路の過渡現象
電流 i(t) についても同様に、
dq(t )
e 0t
 0 sinh1t  K   1 cosh1t  K 
i(t ) 
 EC  q0 
dt
1 LC
ここでまず、{
s2
s1
e
K
}内について考える。
より、 e  e
K
e e
K
K
K
s s

 2 1  2 0 LC
s1
s2
s1 s2
e K  e K
0 
2 LC
s s

 2 1  2 1 LC
s1
s2
s1 s2
e K  e K
1 
2 LC

s2

s2
s1
s1
RLC直列回路の過渡現象
従って、{
}内は、
e K  e K
e K  e K
 0 sinh 1t  K    1 cosh 1t  K  
sinh 1t  K  
cosh 1t  K 
2 LC
2 LC
e K  e  K e 1t  K  e  1t  K e K  e  K e 1t  K  e  1t  K


2
2
2 LC
2 LC
1

e K  e  K e 1t  K  e  1t  K  e K  e  K e 1t  K  e  1t  K
4 LC



 

1

2e 1t  2e  1t 
4 LC
1 e 1t  e  1t

2
LC


1
sinh  1t
LC
従って電流 i(t) は、
dq(t )
e 0t
i(t ) 
 EC  q0 
dt
1 LC
EC  q0  0t
1
sinh 1t 
e sinh 1t
LC

LC
1
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2  4
L
の場合は、臨界的の場合よりも収束が
C
遅いので、非振動的(aperiodic)あるい
は過減衰(over-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(c) R  4
L
C
即ち、D < 0 の時には、特性方程式 Ls 2  Rs 
2つの異なる虚根 s1, s2 となる。
s1   0  j0 , s2   0  j0
2
R
1
 R 
s1 , s2  
   
  0  j0
2L
 2 L  LC
と置く。
s2
 e j
s1
q (t )  EC 
ただし、  0  0
s1  s1 s2 e
 j
1
 0 の根は、
C
2
1
 R 
j 0  
 
 2 L  LC
R
0 
2L
かつ ω0 は実数である。
s2  s1 s2 e
j
e j  e  j
sin  
2j
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
s1  s2
s1  s2
指数関数と
三角関数と
の関係式
 EC 
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
j 20
j 20
 EC 
1
EC  q0  s2e s1t  s1e s2t  EC  1 EC  q0  s2e  0t  j0t  s1e  0t  j0t
j 20
j 20
 EC 
1
EC  q0  s1 s2 e  0t e j e j0t  e  j e  j0t
j 20






RLC直列回路の過渡現象
q (t )  EC 
1
0
EC  q0 
s1 s2 e
 0t
e j e j 0 t  e  j e  j  0 t
j2
 1  0t e j 0t    e  j 0t  
EC  q0 
 EC 
e
0
j2
LC
何故なら、s1, s2 < 0 であるから、
1
 0t
EC  q0 e sin 0t   
 EC 
1
0 LC
s1 s2   s1s2  
LC


1
 q0  EC  q0 1 
e  0t sin 0t   
t>0

LC
0


1
0
e j  e j
tan 

j e j  e j
0

i(t ) 

dq(t ) EC  q0  0t

e sin 0t
dt
0 LC
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2  4
インピーダンスの値が Z  R  jL 
L
の場合は、振動的(oscillatory)あるいは
C
振動減衰(under-damping)と呼ばれる。
1
のRLC直列回路の共振角周波数 ωn は、
jC
n 
1
であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、
LC
0 
1  R 
 
LC  2 L 
2
の角周波数で振動し、ωn とは多少異なる。
R → 0 の時、ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。
回路シミュレータ利用の薦め
電子回路、或いは電気回路(特に過渡現象)の学習に、回路シミュレータを利用する
ことをお薦めします。
代表的な回路シミュレータとしては、SPICE, PSpice, LTspice, TINAなどがあります。
LTspiceは、Linear Technology社の以下のHPから無料でダウンロードできます。
http://www.linear-tech.co.jp/designtools/software/
TINAは、Texas Instruments社の以下のHPから、無償版TINA-TI (日本語版あり)を
ダウンロードできます。
http://www.tij.co.jp/tool/jp/tina-ti
回路シミュレータ利用の薦め
例えば、TINAを使って、 RLC直列回路の過渡現象を解析してみましょう。
S
t=0 R
E
(a) 左の回路で、R = 20Ω, L = 100uH, C = 1uF の時
L
R2  4
の関係が成り立ち、回路は臨界的
C
L
i(t)
C (b) 左の回路で、R = 40Ω, L = 100uH, C = 1uF の時
L
R2  4
の関係が成り立ち、回路は過減衰
C
R = 10Ω
(c) 左の回路で、R = 10Ω, L = 100uH, C = 1uF の時
L
R2  4
の関係が成り立ち、回路は振動的
C
R = 20Ω
R = 40Ω
R = 10Ω
R = 20Ω
R = 40Ω
回路に流れる電流 i(t) の計算結果
C の両端の電圧の時間変化

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