修論発表

２資産に依存するオプションの
高速・高精度価格計算手法
名古屋大学計算理工学専攻
高柳健一郎山本有作
東京大学情報理工学専攻
杉原正顕
1
発表の概要
1.
2.
3.
4.
5.
6.
オプションとは
本研究の目的
従来の数値計算手法
新手法の提案
数値実験
まとめ・今後の課題
2
１．オプションとは


市場変動によるリスクを回避するための金融商品
リスクの例
・株価下落に伴う資産価値減少
・為替レート変動に伴う原材料の輸入価格の高騰

IBM株
（2004/2/2~2005/2/2）
Yahoo! Finance
http://finance.yahoo.com

円／ドル為替レート
（2004/2/2~2005/2/2）
朝日新聞（経済為替欄）
http://www.asahi.com/business/exchange.html
3
オプションによる市場変動リスクの回避


オプション＝将来のある時点T（満期）において資産を決まった
価格K（行使価格）で売買する権利
例１株
企業Aが半年後にB株を売却予定

半年後に１０００円で売却できるオプションを購入
→ 半年後に下落して１０００円未満となっても１０００円で売却可能

例２為替
日本企業Ｃが３ヵ月後にアメリカから製品原材料を輸入予定

３ヶ月後に為替レート１１０円/ドルで取引できるオプションを購入
→ ３ヶ月後に円安で１１０円/ドル以上になっても１１０円/ドルで取引可能

それでは，この権利の値段はいくらにするのが妥当か？
オプションの価格評価問題
4
実際に取引されているオプションの例

IBM株のオプション

QBトレードの画像を貼り付ける
Chicago Board Options Exchange
(CBOE)
5
オプションの価格評価


オプションの値段はいくらにするのが妥当か？
満期 T において権利行使により得られる利益（ペイオフ）を
考える
（例）資産 S を満期 T において K 円で購入できるオプション
（ヨーロピアン・コール・オプション）
(i) ST  K ならペイオフは p ( ST ) = ST  K
(ii) ST  K ならペイオフは p ( ST ) =
p ( ST )  max( ST  K ,0)
0
p ( ST )
(i)
(ii)
K
ST
オプション価格 = 資産価格がある確率モデルに従うとした時の
ペイオフの（リスク中立測度の下での）期待値
Q( ST )  E[ p ( ST )]
6
資産価格の確率モデル

ブラック-ショールズモデル
• 資産価格が幾何ブラウン運動に従うと仮定
1.4
"Brown.dat"
1.2
1
dSt   dt   dX t
0.8
0.6
0.4
 ：期待成長率
0.2
0
 ：ボラティリティ
-0.2
-0.4
0

0.2
0.4
0.6
0.8
1
ブラック-ショールズモデルの下でのオプション価格
• ヨーロピアン・コール・オプションに対しては，ペイオフの期待値を
解析的に求めることが可能
ブラック＝ショールズ公式
Q( St )  St N (d1 )  Ee
 r (T  t )
N (d 2 )
S
1
log( t )  (r   2 )(T  t )
K
2
d1 
 T t
N : 標準正規分布
S
1
log( t )  (r   2 )(T  t )
K
2
d2 
 T t
7
より複雑なオプションの例


2つの資産に依存するオプションとして以下のオプションがあり
広く用いられている
スプレッド・オプション
• 満期において2つの資産を交換できる権利
• ペイオフ： Q(S1,T , S2,T) = max(S2,T – S1,T – K, 0 )

Maxオプション
• 満期において２つの資産のうち高価な方を価格Kで購入出来るオプション
• ペイオフ： Q( S1,T , S2,T )  max(max( S1 , S2 )  K ,0)

クウォント・オプション
• 外国株の株価変動と為替変動リスクを同時に回避するオプション
• ペイオフ： Q( S1,T , S2,T )  S1 max( S2  K ,0)
8
より複雑なオプションの例（続き）

バリア付きの変種
• バリア = 一方の資産の価格がある閾値（バリアレベル）Hを越えたら
オプションの権利が無効になるという特約
• オプションから得られる利益に上限あり → その分価格が安い
1.4
S1
"Brown.dat"
1.2
1
バリアレベルH
0.8
0.6
0.4
この時点で権利消滅
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
2資産に依存するオプション，およびバリア付きの変種では
解析的な価格公式が求められないのが普通
9
２．本研究の目的


２資産に依存するオプション（バリア付きの変種を含む）に
対し，高速・高精度な価格計算手法を開発する
そのため，１資産の複雑なオプション計算に有効なＤＥ-ＦＧＴ
法（Broadie & Yamamoto, 2004）を２資産に依存する
オプションに拡張適用する
10
３．従来の数値計算手法

２資産のブラック＝ショールズモデル
dS1t
 1dt  1dX1
S1t

dS2t
 2 dt   2 dX 2
S2t
：相関係数
dX 1dX 2   dt
従来法１：モンテカルロ法
権利消失（バリアレベル）
• 確率微分方程式を離散化し，(t , X 1 , X 2 ) 空間に
多数のサンプルパスを発生させる
• ペイオフの平均値として期待値を近似
1 N
Q( ST )  E[ p ( ST )]  E[  p( STi )]
N i
• 実装が簡単
• 計算量： O(N)
1
• 誤差のオーダー： O (
)
N
11
従来の数値計算手法（続き）

従来法２：２項モデル
• 連続的な確率過程を時間・空間が離散的な確率過程で近似
• 各時間ステップにおける S1, S 2 の動きは上昇／下降の２通りのみ
• 上昇／下降の大きさは，離散的な過程の2次までのモーメントが連続
的な過程と一致するよう決定
１資産
1/2
uS
(u2, B2)
２資産
(u2, AB)
(u, B)
(u2, A2)
S
1/2
dS
Dt = N/t
Qt(St) = e–rDt E[Qt+Dt(St +Dt)
= e–rDt {Qt+Dt(uSt)+ Qt+Dt(dSt)}/2
3
• ２資産の計算量： O ( N )
• 誤差のオーダー： O ( 1 )
N
S1
1/4
(ud, AC)
(S1, S2) 1/4
S2
(d, C)
Dt
(d2, C2)
2Dt
Qt(S1t, S2t) = e–rDt E[Qt+Dt(S1t +Dt, S2t +Dt)]
= e–rDt {Qt +Dt(uS1t, AS2t)
+ Qt +Dt(uS1t, BS2t)
+ Qt +Dt(dS1t, CS2t)
+ Qt +Dt(dS1t, DS2t)}/4
12
４．新手法の提案

基本的なアイディア
• 2項モデルの代わりに多項モデルを用いる
• 各時間ステップに対し，資産価格の取りうる値が M 個存在
• 1ステップで，どの価格からどの価格へも変化しうると仮定
収束性は２項モデルに比べ向上
・ペイオフが解析関数の場合，誤差は M に関して指数的に減少
1資産の場合の
多項モデル
DW
S
Dt
t 0
t 1
t2
13
多項モデルの計算式と計算量

計算式
• 変数を (S1t, S2t) から適当な変数 (Y1t, Y2t) に変換すると，価格間の遷移
確率はガウス分布に従う
価格計算式
Qt(Y1t（j）, Y2t（k）) = e–rDt E[Qt+Dt(Y1t +Dt, Y2t +Dt)]
= e–rDt m1M2 l1M1 Qt +Dt(Y1t+Dt（l）, Y2t+Dt（m）)
× (1/2p) exp{– (Y1t+Dt（l） – Y1t（j）)2 / 2} w1t+Dt（l）
×
exp{– (Y2t+Dt（m） – Y2t（k）)2 / 2} w2t+Dt（m）

1ステップの計算量
1
…
…
• 1資産の場合： O(M2)
• 2資産の場合： O(M4)
i
…
…
Dt
計算量が膨大
N
t 0
t 1
t2
t k
t  k 1
t T
14
高速ガウス変換による加速

高速ガウス変換（Fast Gauss Transform）とは
• 高速多重極展開法（FMM）の一種
• 次のような数列とガウス分布の離散畳み込み積を O(N) で計算可能
N
Qi   Pj exp{
j 1

( xi  y j )2
2 2
},(i  1,2,
, N)
多項モデルへの適用
• Qt(y1t, y2t) の計算式は，2次元配列とガウス分布との離散畳み込み積
• 高速ガウス変換を y1 ，y2 の両方向に対して行うことで計算可能
計算量を O(M4) → O(M2) に削減
2資産に対するFGT法
15
バリア付きオプションへの適用

バリア付きオプションの場合の問題点
• S1 に対するバリア： S1 > H のとき Qt(S1t, S2t) = 0
• Qt の不連続性により，多項モデルの収束性は大きく低下
• S1 （変換後の変数では Y1）方向の格子点を2重指数型数値積分公式
（DE公式）の標本点に取ることにより，収束性の向上が可能
• 格子点は不等間隔になるが，高速ガウス変換はそのまま適用可
2資産に対するDE-FGT法
Y2
Y2
Y1
Y1 = h
Y1
Y1 = h
16
５．数値実験

問題１ Maxオプション

パラメータ
Q( S1,T , S2,T )  max(max( S1 , S2 )  K ,0)
• S1=100, S2=100, K=95, 1=0.1,
2=0.2, q1=0.01, q2=0.02,  =0.5,
T=0.25

計算機環境
• OS: Windows XP
• CPU:Pentium4 1.7GHz
• Memory: 256MB

真値との絶対誤差
モンテカルロ法
結果
• ＦＧＴ法は他の手法に比べ，収束が速い
• しかし，誤差には振動が見られた
2項モデル
FGT法

誤差の振動の原因
• ペイオフが1階導関数に不連続を持つ
• 2資産の場合に固有の問題
17
５．数値実験

問題２クウォント・オプション Q( S1,T , S2,T )  S1 max( S2  K ,0)

パラメータ
• S1=50, S2=50, K=40, 1=0.1,
2=0.2, q1=0.01, q2=0.02,  =0.5,
T=0.25

真値との絶対誤差
結果
• ＦＧＴ法は極めて速く真の解に収束した
モンテカルロ法
2項モデル

収束が速い理由
• ペイオフは1階導関数に不連続を持つが，
不連続点は直線 S2 = K 上のみ
• 多項モデルの格子点をこの直線上に取る
ことにより，不連続の影響を小さくできる
FGT法
18
５．数値実験


問題３クウォント・オプション Q( S1,T , S2,T )  S1 max( S2  K ,0)
（バリア付き）
パラメータ
• S1=50, S2=50, K=50, 1=0.1,
2=0.2, q1=0.01, q2=0.02,  =0.5,
T=0.25
• バリアレベル： H=52 （S1に対するバリア）

真値との絶対誤差
モンテカルロ法
2項モデル
結果
• DE-FGT法は他の手法と同程度の時間で2
～3桁高精度な価格が計算できる
• ただし，バリアなしに比べると収束は遅い
DE-FGT法

収束が遅くなる理由
• バリアによる不連続の影響はDE公式で回避
• しかし，その結果，格子点がペイオフの１階
導関数の不連続点からずれる
19
６．まとめと今後の課題

まとめ
• 多項モデルにDE公式と高速ガウス変換を用いたDE-FGT
法を2資産に依存するオプションに適用した
• 数値実験の結果，種々のオプションに対しDE-FGT法は従
来の２項モデル，モンテカルロ法などに比べ高速・高精度
であった

今後の課題
• バリアなしMaxオプションやバリア付オプションの精度向上
• DE-FGT法を３資産以上のオプションに適用・評価
20

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