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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田博仁
RLC直列回路の過渡現象
S
t=0 R
L
RLC 直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
C
E  Ri (t )  L
di (t ) 1
  i (t )dt で与えられる。
dt
C
なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。
キャパシタの電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 i (t ) 
dq(t )
を用いて書き直し、
dt
d 2 q(t )
dq(t ) q(t )
EL

R

, t  0  (1)
dt 2
dt
C
まず、E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、
dq (t )
 0 から、 qs  EC となる。
dt
st
次に、E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、 q  e を式(1)に代入して得られる
t → ∞ における回路の状態、或いは
2
1
特性方程式 Ls  Rs   0 の根 s1 および s2、即ち s1 , s2   R   R   1 から、
C
2L
 2 L  LC
2
RLC直列回路の過渡現象
2
(a) R  4
L
R
で重根となるから、
の時には、 s1  s2  
C
2L
E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、
q f (t )  A1es1t  A2tes1t によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
q(t )  qs  q f  EC  A1es1t  A2tes1t
が式(1)の解となる。
これから、電流 i(t) が、
i (t ) 
dq (t )
 A1s1e s1t  A2 (1  s1t )e s1t
dt
と与えられる。
A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
回路から、t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、キャパシタの初期電荷を
q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0)  q0  EC  A1
従って、 A1  q0  EC
i(0)  0  A1s1  A2
従って、 A2   s1 A1 
R
q0  EC 
2L
RLC直列回路の過渡現象
以上より、
R
q0  EC tes1t
2L
R  s1t
R   2RL t


 EC  (q0  EC )1 
t e  EC  (q0  EC )1 
t e , t  0
2
L
2
L




R
q0  EC (1  s1t )e s1t
i (t )  A1s1e s1t  A2 (1  s1t )e s1t  q0  EC s1e s1t 
2L
q(t )  EC  A1e s1t  A2tes1t  EC  (q0  EC )e s1t 
2
R
R
q0  EC (1  R t )e s1t  q0  EC  R  tes1t
 q0  EC  e s1t 
2L
2L
2L
 2L 
2
R
 R   2Lt
 EC  q0   te , t  0
 2L 
と求まる。
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。i(t) は、t = 2L/R で最大値
im = 2E/Re をとる。
R2  4
L
の場合は、臨界的(critical)あるいは臨
C
界減衰(clitical-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(b) R  4
L
1
の時には、特性方程式 Ls 2  Rs   0 の根は、2つの異なる
C
C
実根 s1, s2 となる。
2
R
1
 R 
s1 , s2  
   
  0   1
2L
 2 L  LC
と置く。
ただし、  0   1  0
R
0 
2L
s1   0   1 , s2   0   1
E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、
q f (t )  B1e s1t  B2e s2t によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
q(t )  qs  q f  EC  B1es1t  B2es2t
電流 i(t) は、 i (t ) 
2
1
 R 
1    
 2 L  LC
が式(1)の解となる。
dq(t )
 B1s1e s1t  B2 s2 e s2t と与えられる。
dt
B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
RLC直列回路の過渡現象
初期条件は同様に、i(0) = 0、q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0)  q0  EC  B1  B2
従って、 B1 
i(0)  0  B1s1  B2 s2
s2
EC  q0 
s1  s2
従って、 q(t )  EC 
B2 
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
s1  s2
s1  s2
s1  s2   0   1  ( 0   1 )  2 1
より、

s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t  EC  1 EC  q0  s2e s1t  s1e s2t
2 1
2 1
2 1
q(t )  EC 
e s1t  e  0t e 1t
q (t )  EC 
ここで、
 s1
EC  q0 
s1  s2
e s2t  e  0t e  1t

より、
1
EC  q0 e  0t s2e1t  s1e 1t
2 1
s2
s1
 e K と置くと、

s1  s1 s2 e K
s2  s1 s2 e K

RLC直列回路の過渡現象
従って、 q (t )  EC 

1
EC  q0  s1 s2 e  0t e K e1t  e  K e 1t
2 1

x
x
e

e
ここで、双曲線関数を用いると、
 sinh x であるから、
2
e K e1t  e  K e 1t  2 sinh  1t  K 
従って、 q (t )  EC 
1
1
EC  q0 
さらに、s1, s2 < 0 であるから、
従って、 q(t )  EC 
1
1
であり、
s1 s2 e  0t sinh  1t  K 
s1 s2   s1s2  
EC  q0 
1
LC
1  0t
e sinh  1t  K 
LC


1
 0t
 q0  EC  q0 1 
e sinh  1t  K 
  1 LC

t>0
RLC直列回路の過渡現象
電流 i(t) についても同様に、
dq(t )
e  0 t
 0 sinh  1t  K    1 cosh  1t  K 
i (t ) 
 EC  q0 
dt
 1 LC
ここでまず、{
s2
s1
e
K
}内について考える。
より、 e  e
K
e e
K
K
K
s s

 2 1  2 0 LC
s1
s2
s1 s2
e K  e K
0 
2 LC
s s

 2 1  2 1 LC
s1
s2
s1 s2
e K  e K
1 
2 LC

s2

s2
s1
s1
RLC直列回路の過渡現象
従って、{
}内は、
e K  e K
e K  e K
 0 sinh  1t  K    1 cosh  1t  K  
sinh  1t  K  
cosh  1t  K 
2 LC
2 LC
e K  e  K e 1t  K  e  1t  K e K  e  K e 1t  K  e  1t  K


2
2
2 LC
2 LC
1

e K  e  K e 1t  K  e  1t  K  e K  e  K e 1t  K  e  1t  K
4 LC



 

1

2e 1t  2e  1t 
4 LC
1 e 1t  e  1t

2
LC


1
sinh  1t
LC
従って電流 i(t) は、
dq(t )
e  0 t
i (t ) 
 EC  q0 
dt
 1 LC
EC  q0  0t
1
sinh  1t 
e sinh  1t
LC

LC
1
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2  4
L
の場合は、臨界的の場合よりも収束が
C
遅いので、非振動的(aperiodic)あるい
は過減衰(over-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(c) R  4
L
1
の時には、特性方程式 Ls 2  Rs   0 の根は、2つの異なる
C
C
s1   0  j0 , s2   0  j0
虚根 s1, s2 となる。
2
R
1
 R 
s1 , s2  
   
  0  j0
2L
 2 L  LC
と置く。
s2
 e j
s1
q(t )  EC 
ただし、  0  0
s1  s1 s2 e
 j
2
1
 R 
j 0  
 
 2 L  LC
R
0 
2L
かつ ω0 は実数である。
s2  s1 s2 e
j
e j  e  j
sin  
2j
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
s1  s2
s1  s2
 EC 
s2
EC  q0 e s1t  s1 EC  q0 e s2t
j 20
j 20
 EC 
1
EC  q0  s2e s1t  s1e s2t  EC  1 EC  q0  s2e  0t  j0t  s1e  0t  j0t
j 20
j 20
 EC 
1
EC  q0  s1 s2 e  0t e j e j0t  e  j e  j0t
j 20






RLC直列回路の過渡現象
q (t )  EC 
 EC 
 EC 
1
0
1
0
e j e j 0 t  e  j  e  j  0 t
j2
EC  q0 
s1 s2 e
EC  q0 
 1  0t e j 0t    e  j 0t  
e
j2
LC
 0t
1
EC  q0 e  0t sin 0t   
0 LC


1
 q0  EC  q0 1 
e  0t sin 0t   
 0 LC

0
e j  e  j
tan  

j e j  e  j
0

i (t ) 

dq (t ) EC  q0  0t

e sin 0t
dt
0 LC
t>0
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2  4
インピーダンスの値が Z  R  jL 
L
の場合は、振動的(oscillatory)あるいは
C
振動減衰(under-damping)と呼ばれる。
1
のRLC直列回路の共振角周波数 ωn は、
jC
n 
1
であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、
LC
0 
1  R 


LC  2 L 
2
の角周波数で振動し、ωn とは多少異なる。
R → 0 の時、ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。
線形常微分方程式の標準的解法
線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。
定係数の線形常微分方程式の一般形として、
a0 y
(n)
 a1 y
( n 1)
   an 1 y'  an y  f (t )
を考える。ただし、 y
( m)
また、 a0  0, ai (i  0, 1, , n) は定数とする。
dmy
 m
dt
この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), ‥‥, y(n-1)(t0) を定めれば、
ただ一つの解を持つこと(解の存在定理)は、数学的に証明されている。
この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次(斉次)方程式の解を求める。
(a) 同次方程式の解
(n)
( n 1)
   an 1 y'  an y  0
f(t) = 0 と置いた同次(斉次)方程式 a0 y  a1 y
の解は、指数関数以外にない。それを、y = est , (s は定数) としてとして代入すると、
n
n 1
特性方程式 a0 s  a1s    an 1s  an  0 を得る。
この特性方程式の n 個の根、s1, s2, ‥‥, sn の間に等根が無ければ、
y  e s1t ,
y  e s 2 t , ,
y  e snt が、互いに一次独立な n 個の特解である。
線形常微分方程式の標準的解法
従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, ‥‥, n)による一次結合
y (t )  k1e s1t  k 2 e s2t    k n e snt によって与えられる。
ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、
s1 = s2 =‥‥= sm ならば、それらに対する m 個の特解を
e s1t , tes1t , , t m1e s1t とすればよい。
(b) 非同次の場合
f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次(非斉次)形という。この場合は、補関数
yc(t) (同次方程式の一般解に同じ)と、特解 yp(t) を求め、一般解 y(t) は、
y (t )  yc (t )  y p (t ) によって与えられる。
多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が
求まるが、それ以外のf(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、未定係数法、
定数変化法、演算子法などを用いなければならない。
一般に、受動回路網についての補関数は、t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が
経つと yc は小さくなり、yp のみが残る。このような状態が定常状態であり、 yc の値
が無視できない場合を過渡状態である。また、yc は励振がなくても存在するので、
自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。

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