６．低次の行列式とその応用 1 行列式とは行列式とは、正方行列の特徴を表す一つのスカラーである。すなわち、行列式は正方行列からスカラーに写す写像の一種とみなすこともできる。 nn det : R  R A det  A n  n の行列に対する行列式を、 n 次の行列式という。行列 A の行列式を行列式と行列の記号の違いに注意すること。 A は行列式、は行列。 [a ] A とも表す。 n n 正方行列 ij det スカラー（実数） 2 １次の行列式定義（一次の行列式） 1 1 行列 A  a の行列式 A は次式で定義される。 A a det( A)  a 3 2次の行列式定義（２次の行列式） a b  A  c d  とする。このとき、 A の行列式 A は次式で定義される。 A  ad  bc 行列式は、次ぎのように書かれることもある。 det( A)  ad  bc A の求め方 a b c d 乗算して符号が正乗算して符号が負 A  ad  bc 4 2元１次連立方程式から２次の行列式へ ax  by  k (1)  cx  dy  l (2) a b   x  k  c d   y   l       消去法によって、 x, y を求める。 (1)  d  (2)  b (2)  a  (1)  c (ad  bc) x  (bd  bd ) y  kd  bl (ac  ac) x  (ad  bc) y  la  kc  (ad  bc) x  kd  bl  (ad  bc) y  al  kc (ab  bc) の部分が共通に現れた。このスカラーが0以外であれば、一意に解が存在する。 a b  ad  bc c d とすると都合が良い。 5 ２元連立一次方程式の解 (ad  bc) x  kd  bl x 似ている。実は、 a を k に c をl に置き換えただけ。に対応する列ベクトルを定数項ベクトルに置き換える。 y についても同様に考察できる。よって、 k a b l  0 のとき、  x  c d a c y に対応する列ベクトルを定数項ベクトルに置き換える。 b d ,y b d a k c l a b c d （この方法をクラメールの解法といいます。） 6 例題 2 x  3 y  5  4 x  y  2 解）まず、行列で記述する。 2 3  x   5  4 1   y    2      係数行列の行列式を求める。 2 3  2 1  (3)  4  2  12  14  0 4 1 よって、解が一意に定まる。 1 5 3 1 1 x   5  6   14 2 1 14 14 1 2 5 1 24 12 y   4  20     14 4 2 14 14 7 7 練習クラメールの方法を用いて次の連立方程式を解け。（１） ìï x 1 + 2x 2 = 5 ï í ïï 3x 1 + 4x 2 = 6 î （２） ìï 5x - 3y ï í ïï 3x - 2y î = 2 = - 1 8 3元１次連立方程式から３次の行列式へ？  ax  by  cz  p   dx  ey  fz  q  gx  hy  iz  r  これを文字だけで解くことは大変です。しかし、クラメールらによって一般的な解が見つけられています。行列式は、その解が表現できるように定義されています。高次元の行列式は、定義自体も複雑です。まず、３次元の行列式の定義からみていきます。 9 ３次の行列式の定義定義（３次の行列式） 3次の正方行列  a11 A   a21  a31 a12 a22 a32 a13  a23  a33  に対して、その行列式は、 a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32   a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31 と定義される。 10 ３次の行列式の覚え方（サラスの公式） a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33 乗算して符号が正乗算して符号が負 11 例（１） 1 2 3 8 9 4  45  56  144  24  80  189  48 7 6 5 （２） a b c b c a  abc  abc  abc  a 3  b 3  c 3  3abc  a 3  b 3  c 3 c a b 12 練習次の行列式の値を求めよ。（１） 1 4 1 （２） 1 3 3 2 2 8 4 （３） 1 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 3 5 2 6 1 3 （４） 1 2 4 3 1 2 1 5 1 13 3元1次連立方程式に対するクラメールの解法 éa ùéx ù éb1 ù a a 11 12 13 ê úê 1 ú ê ú ê ú êa úê ú ê 21 a 22 a 23 úêx 2 ú= êb2 ú ê úê ú ê ú ê ú x êëa 31 a 32 a 33 úê ûë 3 ú û êëb3 ú û の連立方程式は、行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 ¹ 0 a 31 a 32 a 33 のときに次のような解を持つ。 x1 = b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 b2 a 22 a 23 a 21 b2 a 23 a 21 a 22 b2 b3 a 32 a 33 a 31 b3 a 33 a 31 a 32 b3 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 , x2 = a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ,x3 = a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 14 例次の連立方程式をクラメールの方法で解く。  x  2 y  3 z  22  2 x  3 y  4 z  8 3 x  5 y  z  24  解）まず係数行列の行列式を求める。 1 2 3 2 3 - 4 = 3 + (- 24) + 30 - (- 20) - 4 - 27 = 9 - 11 = - 2 3 5 1 ¹ 0 よって、解が一意に定まる。 15 各列ベクトルを定数項ベクトルと置き換えて、行列式を求める。 22 2 3 - 8 3 - 4 = 66 + (- 196) + (- 120) - (- 440) - (- 16) - (216) = - 6 24 1 5 1 22 3 2 - 8 - 4 = (- 8) + (- 264) + 144 - (- 96) - 44 - (- 72) = - 4 3 24 1 2 1 22 2 3 - 8 = 72 + (- 48) + 220 - (- 40) - 96 - 198 = - 10 3 5 24 よって、 - 6 x = = 3, - 2 - 4 y= = 2, - 2 - 10 z= = 5 - 2 16 練習クラメールの方法により、次の方程式を解け。（１） ìï 3x ïï ï í 2x ïï ïï 2x ïî （２） + 2y + 4z = 0 -y +z = 1 +y + 4z = 2 3x1  x2  3x3   x1  5 x2  2 x3  x  x  3x 3  1 2 1 1 2 17 ベクトル定義（ベクトル） “向き”と“大きさ”を持つ量をベクトルという。大きさ a a 向き低次元のベクトルは矢印を用いて表現可能 18 空間ベクトル定義（空間ベクトル）空間中のベクトルを空間ベクトルという。空間ベクトルは、３つのスカラーを用いて、表現できる。 éa ù êxú 3 3 あるいは b = (bx , by , bz ) Î R と表現できる。 ê ú a = êay úÎ R ê ú êëa z ú û 3 ´ 1 行列（３次元ベクトル）あるいは 1´ 3 z ax x 行列（３次元ベクトル）を空間ベクトルという。 az a ay y 19 空間の単位ベクトル応用の分野では、 x , y , z の軸方向の単位ベクトルを i, j, k であらわす。すなわち、 æ0÷ ö æ1ö æ0ö÷ ç çç ÷ ç ÷ çç ÷ çç ÷ ÷ ÷ çç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ i = e 1 = ç0÷ , j = e = 1 , k = e = 0 ç ç 2 3 ÷ ÷ ÷ ç çç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç çç0÷ ç 0 1 ÷ ÷ ç ç è ø è ø÷ è ÷ ø ÷ ÷ z k O i j y 単位ベクトルは、座標の基準となるベクトル x 20 内積ここでは、低次元空間における内積の定義を示す。定義（３次元ベクトルの内積） éb ù éa ù êx ú êxú ê ú 内積は、 3 a = êêa y ú , b = b Î R êy ú ú に対して、スカラー同じ成分同士の ê ú ê ú êbz ú êëa z ú û êë ú 積和であり、 û axbx + ayby + azbz をベクトル a a gb と表す。 n 次元ベクトルに拡張できる。とベクトル b の内積といい、あるいは (a , b ) 内積は交換可 a gb = b ga このように内積の演算結果はスカラーになるので、内積をスカラー積と呼ぶこともある。 21 転置による内積の表現性質：（転置によるベクトルの内積表現） éb ù éa ù êx ú êxú ê ú 3 a = êêa y ú , b = êby úÎ R ú ê ú ê ú êbz ú êëa z ú û êë ú û に対して、次が成り立つ。 t a gb = ab 証明 t ab = éêa x ë ay éb ù êx ú ê ú é ù a z úêby ú= ëa xbx + ayby + a zbz ù = a gb û ûê ú êbz ú êë ú û QED 22 ベクトルのノルム定義：（３次元ベクトルのノルム）ベクトル a に対して、スカラー a ga をベクトル a のノルム（大きさ、長さ）といい、 a という記号で表す。すなわち、 éa ù êxú 3 a = êêay ú Î R ú ê ú êëa z ú û に対して、 a = a x 2 + ay 2 + a z 2 である。 23 ベクトルのノルムの幾何学的関係 z éa ù êxú 3 a = êêay ú Î R ú ê ú êëa z ú û O y x a = a x 2 + ay 2 + a z 2 ３平方の定理より、空間ベクトルのノルムは、ベクトルの大きさを意味している。 24 内積の幾何学的関係性質：（内積の幾何学的表現） b O q a ベクトルの内積に関して次の関係が成り立つ。 a gb = a b cos q a q b cos q 方向が同じベクトルはスカラー同士の掛け算になる。 25 直交ベクトル定義（直交ベクトル）２つのベクトル a , b Î R 3 の内積が０、すなわち、 a gb = 0 であるとき、２つのベクトルは直交しているという。このとき、２つのベクトルのなす角度 q は p q= 2 である。 b O a 26 外積３次元ベクトル同士では、外積という演算が定義できる。３次元空間は現実の空間であり、応用上重要な演算である。外積の演算結果はベクトルであり、ベクトル積とも呼ばれる。なお、外積が定義できるのは、３次元ベクトル同士だけであるので注意すること。 27 定義（３次元ベクトルの外積） éb ù éa ù êx ú êxú ê ú 3 a = êêa y ú , b = b Î R ê ú y ú ê ú ê ú êbz ú êëa z ú û ú ëê û æa y ç ç ç by ç ç ç ç az ç ç ç ç bz ç ç ç ç ax ç ç ç ç bx ç è ç ç az ö ÷ ÷ ÷ bz ÷ ÷ ÷ ÷ ax ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ bx ÷ ÷ ÷ ay ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ by ø ÷ ÷ ÷ に対して、ベクトル外積は、 æ ö aybz - a zby ÷ ç 演算結果が ÷ ç ÷ ç ÷ ３次元ベクトル ç ÷ a b a b ç ÷ z x x z ç ÷ ç ÷ ÷ ç a b a b ç y x ÷ è x y ø ÷ をベクトル a とベクトル b の外積といい外積は交換 a´ b 不可と表す。 28 3次の行列式を用いた外積の計算法 a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) Î R 3に対して、外積は、３次の行列式の記号を援用して i j k a × b = ax ay az bx by bz az ax ay = by az bz i+ bz bx ax j + bx ay by k 行列式はスカラーのであるので、これは行列式ではない。しかし、記号的には覚えるのに便利である。外積がベクトルであることに注意して、この表現を利用するとよい。 = (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k 29 a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) Î R ３次の行列式の記号を援用して i j k a × b = ax ay az bx by bz az ax bz bx = ay az by bz i+ j + ax ay bx by k 3に対して、外積は、行列式はスカラーのであるので、これは行列式ではない。しかし、記号的には覚えるのに便利である。外積がベクトルであることに注意して、この表現を利用するとよい。 = (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k 30 外積のノルム性質：（外積のノルム（大きさ）） b q a ベクトルの外積に関して、次の式が成り立つ。 a ´ b = a b sin q b q a 外積のノルムはこの平行4辺形の面積である。 31 外積の幾何学的性質性質：（外積の幾何学的性質（外積の向き）） a´ b b a 外積のベクトルは、右ねじの方向に、ベクトル a とベクトル b で生成される平面に直交する。 32 例題外積を利用して、次の２つのベクトルと直交するベクトルを求めよ。 é1 ù éù êú ê4ú êú êú a = ê2 ú, b = ê5ú êú êú ê3ú ê6ú êë úû êë úû 解） i j k 1 2 3 = (12 - 15)i + (12 - 6) j + (5 - 8)k = - 3i + 6 j - 3k 4 5 6 よって、 é- 3ù ê ú ê ú ê6 ú ê ú ê- 3ú êë úû 33 練習２つのベクトルと直交するベクトルを求めよ。（１） a = (2,1, 3) （２）a = (1, - 1, - 1) b = (4,1, 3) a = (- 2, 0,1) b = (4, 2, 0) （３） b = (- 1, 2, - 1) 34 例２外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の面積を求めよ。 A(2,1,1), B (3, - 1,1),C (4,1, - 1) 解） é3 - 2 ù ê ú uuur ê ú A B = ê- 1 - 1ú= ê ú ê1 - 1 ú ú ëê û é4 - 2 ù ê ú uuur ê ú A C = ê 1 - 1 ú= ê ú ê- 1 - 1ú ëê ûú é1 ù ê ú ê ú ê- 2ú ê ú ê0 ú ú ëê û i j uuur uuur AB ´ AC = 1 - 2 2 0 é2 ù ê ú ê ú ê0 ú ê ú ê- 2ú ëê ûú k 0 = 4i + 2 j - 4k - 2 面積は、 1 uuur uuur 1 2 1 AB ´ AC = 4 + 22 + (- 4)2 = 36 = 3 2 2 2 と求められる。 35 練習外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の面積を求めよ。（１） A(1, 2,1), B (2,1, - 1),C (3, 4, 2) （２） A(3, - 1, 2), B (2, - 2,1),C (3, 5, - 1) 36 外積の性質外積は、次のような性質を満足する。性質：（外積の演算規則） a, b, c Î R 3 を３次元実数ベクトルとし、 k Î R をスカラー（実数）とする。このとき、以下が成り立つ。交換したら符号反転。特に、外積は交換不可（１） a ´ b = - b ´ a a ´ b ¹ b´ a （２）（３） (ka )´ b = a ´ (kb ) = k (a ´ b ) a ´ (b + c ) = a ´ b + a ´ c スカラーの抜き出し分配法則 37 平行６面体の体積とスカラー3重積定義（スカラー3重積）３次元の３つのベクトル a, b, c Î R 3 に対して、スカラー (a ´ b, c ) = (a ´ b )gc をベクトル a, b, c のスカラー３重積という。３つのベクトル a, b, c を辺とするような平行６面体の体積は、 (a ´ b )gc に等しい。ベクトルの向きで、負の値になることがある。ただし、大きさは等しい。 a´ b c と a ´ b のなす角度を q とすると、平行６面体の高さは cos q と表せる。 c b a 38 行列式によるスカラー３重積の表現性質：（スカラー3重積の行列式表現） éb ù éa ù éc ù xú ê x ê ú êxú ê ú 3 ê ú a = êay ú, b = êby ú, c = êêcy ú Î R ú ê ú ê ú ê ú ê ú a cz ú êë z ú ê b z û ë û êë ú û に対して、スカラー３重積は、 ax ay az ax bx cx (a ´ b, c ) = bx by bz = ay by cy cx cy cz bz cz az と計算できる。 39 練習次のベクトルで構成される平行６面体の体積を求めよ。 é2ù é- 1ù é0ù êú ê ú êú êú ê ú êú a ´ b a = ê1ú, b = ê 2 ú, c = ê2ú êú ê ú êú ê3ú ê1 ú ê1ú êë ú êë ú êë ú û û û c b a 40