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６．低次の行列式とその応用
1
行列式とは
行列式とは、正方行列の特徴を与える一つのスカラー
である。すなわち、行列式は正方行列からスカラーに写
す写像の一種とみなすこともできる。
nn
nn
det : R  R
A( R ) det  A R 
n  n の行列に対する行列式を、
n 次の行列式という。
行列
A
の行列式を
行列式と行列の記号
の違いに注意すること。
A
は行列式、
は行列。
[aij ]
A
とも表す。
n
n
正方行列
det
スカラー（実数）
2
１次の行列式
定義（一次の行列式）
1 1 行列 A  a の行列式
A は次式で定義される。
A a
det( A)  a
3
2次の行列式
定義（２次の行列式）
a b 
A

c
d


とする。
このとき、 A の行列式 A は次式で定義される。
A  ad  bc
行列式は、次ぎのように書かれることもある。
det( A)  ad  bc
A の求め方
a b
c d
乗算して符号が正
乗算して符号が負
A  ad  bc
4
2元１次連立方程式から２次の行列式へ
ax  by  k (1)

cx  dy  l (2)
a b   x  k 
c d   y   l 

   
消去法によって、 x, y を求める。
(1)  d  (2)  b
(2)  a  (1)  c
(ad  bc) x  (bd  bd ) y  kd  bl (ac  ac) x  (ad  bc) y  la  kc
 (ad  bc) x  kd  bl
 (ad  bc) y  al  kc
(ab  bc) の部分が共通に現れた。
このスカラーが0以外であれば、
一意に解が存在する。
a b
 ad  bc
c d
とすると都合が良い。
5
２元連立一次方程式の解
(ad  bc) x  kd  bl
x
似ている。
実は、 a を k に
c をl に
置き換えただけ。
に対応する列ベクトルを定
数項ベクトルに置き換える。
y についても同様に考察できる。
よって、
k
a b
l
 0 のとき、  x 
c d
a
c
y
に対応する列ベ
クトルを定数項ベク
トルに置き換える。
b
d
,y
b
d
a k
c l
a b
c d
（この方法をクラメールの解法といいます。）
6
例題
2 x  3 y  5

4 x  y  2
解）
まず、行列で記述する。
 2 3  x   5 
 4 1   y    2

   
係数行列の行列式を求める。
2 3
 2 1  (3)  4  2  12  14  0
4 1
よって、解が一意に定まる。
1 5 3 1
1
x
 5  6  
14 2 1 14
14
1 2 5
1
24
12
y
  4  20   

14 4 2 14
14
7
7
練習
クラメールの方法を用いて次の連立方程式を解け。
（１）
ìï x 1 + 2x 2
ï
í
ïï 3x 1 + 4x 2
î
= 5
= 6
（２）
ìï 5x - 3y = 2
ï
í
ïï 3x - 2y = - 1
î
8
3元１次連立方程式から３次の行列式へ？
ax  by  cz  p

dx  ey  fz  q
 gx  hy  iz  r

これを文字だけで解くことは大変です。
しかし、クラメールらによって一般的な解が
見つけられています。
行列式は、その解が表現できるように
定義されています。
高次元の行列式は、定義自体も複雑です。
まず、３次元の行列式の定義からみていきます。
9
３次の行列式の定義
定義（３次の行列式）
3次の正方行列
 a11 a12
A   a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
に対して、その行列式は、
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32
a23 
 a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31
a33
と定義される。
10
３次の行列式の覚え方（サラスの方法）
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
乗算して符号が正
乗算して符号が負
11
例
（１）
1 2 3
8 9 4  45  56  144  24  80  189  48
7 6 5
（２）
a b c
b c a  abc  abc  abc  a 3  b3  c 3  3abc  a 3  b3  c 3
c a b
12
練習
次の行列式の値を求めよ。
（１）
1 4 1
3 3 2
2 8 4
（３） 1
2 1
3 1 2
2 1 1
（２） 1
1 2
3 5 2
6 1 3
（４）
1 2 4
3 1 2
1 5 1
13
3元1次連立方程式に対するクラメールの解法
éa
ùé ù
ê 11 a12 a13 úêx 1 ú
êa
úê ú
ê 21 a 22 a 23 úêx 2 ú=
ê
úê ú
a
a
a
êë 31 32
33 úêx 3 ú
ûë û
éb ù
ê1ú
ê ú
êb2 ú
ê ú
êb3 ú
êë ú
û
の連立方程式は、行列式
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 ¹ 0
a 31 a 32 a 33
のときに次のような解を持つ。
x1 =
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
b2 a 22 a 23
a 21 b2 a 23
a 21 a 22 b2
b3 a 32 a 33
a 31 b3 a 33
a 31 a 32 b3
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
, x2 =
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
, x3 =
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
14
例
次の連立方程式をクラメールの方法で解く。
 x  2 y  3z  22

2 x  3 y  4 z  8
3x  5 y  z
 24

解）
まず係数行列の行列式を求める。
1 2
3
2 3 - 4 = 3 + (- 24) + 30 - (- 20) - 4 - 27 = 9 - 11 = - 2
3 5
1
¹ 0
よって、解が一意に定まる。
15
各列ベクトルを定数項ベクトルと置き換えて、行列式を求める。
22
2
3
- 8 3 - 4 = 66 + (- 196) + (- 120) - (- 440) - (- 16) - (216) = - 6
24
1
5
1
22
3
2 - 8 - 4 = (- 8) + (- 264) + 144 - (- 96) - 44 - (- 72) = - 4
3
24
1 2
1
22
2 3 - 8 = 72 + (- 48) + 220 - (- 40) - 96 - 198 = - 10
3 5
24
よって、
- 6
x=
= 3,
- 2
- 4
y=
= 2,
- 2
- 10
z=
= 5
- 2
16
練習
クラメールの方法により、次の方程式を解け。
（１）
ìï 3x
ïï
ï
í 2x
ïï
ïï 2x
ïî
（２）
+ 2y
+ 4z
= 0
-y
+z
= 1
+y
+ 4z
= 2
3x1  x2  3x3

 x1  5 x2  2 x3
 x  x  3x
3
 1 2
1
1
2
17
ベクトル
定義（ベクトル）
“向き”と“大きさ”を持つ量をベクトルという。
大きさ
a
a
向き
低次元のベクトルは
矢印を用いて表現可能
18
空間ベクトル
定義（空間ベクトル）
空間中のベクトルを空間ベクトルという。
空間ベクトルは、３つのスカラーを用いて、
表現できる。
éa ù
êxú
3
3 あるいは b = (bx , by , bz ) Î R と表現できる。
ê
ú
a = êay úÎ R
ê ú
êëa z ú
û
3 ´ 1 行列（３次元ベクトル）あるいは
1´ 3
z
ax
x
行列（３次元ベクトル）を空間ベクトルという。
az
a
ay
y
19
空間の単位ベクトル
応用の分野では、 x , y , z の軸方向の単位ベクトルを
i, j, k であらわす。
すなわち、
æ0÷
ö
æ1ö
æ0ö÷
ç
çç ÷
ç
÷
çç ÷
çç ÷
÷
÷
çç ÷
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
i = e 1 = ç0÷
,
j
=
e
=
1
,
k
=
e
=
0
ç
ç
2
3
÷
÷
÷
ç
çç ÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
÷
÷
ç
çç0÷
ç
0
1
÷
÷
ç
ç
è ø
è ø÷
è ÷
ø
÷
÷
z
k
O
i
j
y
単位ベクトルは、座標の
基準となるベクトル
x
20
内積
ここでは、低次元空間における内積の定義を示す。
定義（３次元ベクトルの内積）
éb ù
éa ù
êx ú
êxú
ê ú
内積は、
3
a = êêay ú
,
b
=
b
Î
R
êy ú
ú
に対して、スカラー同じ成分同士の
ê ú
ê ú
êbz ú
êëa z ú
û
êë ú
積和であり、
û
axbx + ayby + azbz
をベクトル a
a gb
と表す。
n 次元ベクトル
に拡張できる。
とベクトル b の内積といい、
あるいは
(a , b )
内積は交換可
a gb = b ga
このように内積の演算結果はスカラーになるので、
内積をスカラー積と呼ぶこともある。
21
転置による内積の表現
性質：（転置によるベクトルの内積表現）
éb ù
éa ù
êx ú
êxú
ê ú
3
a = êêay ú
,
b
=
êby úÎ R
ú
ê ú
ê ú
êbz ú
êëa z ú
û
êë ú
û
に対して、次が成り立つ。
t
a gb = ab
証明
t
ab = éêa x
ë
ay
éb ù
êx ú
ê ú é
ù
a z úêby ú= ëa xbx + ayby + a zbz ù
= a gb
û
ûê ú
êbz ú
êë ú
û
QED
22
ベクトルのノルム
定義：（３次元ベクトルのノルム）
ベクトル
a
に対して、スカラー
a ga
をベクトル
a
のノルム（大きさ、長さ）といい、
a
という記号で表す。すなわち、
éa ù
êxú
3
a = êêay ú
Î
R
ú
ê ú
êëaz ú
û
に対して、
a =
a x 2 + ay 2 + a z 2
である。
23
ベクトルのノルムの幾何学的関係
z
éa ù
êxú
3
a = êêay ú
Î
R
ú
ê ú
êëaz ú
û
O
y
x
a =
a x 2 + ay 2 + a z 2
３平方の定理より、空間ベクトルのノルムは、
ベクトルの大きさを意味している。
24
内積の幾何学的関係
b
O
q
a
ベクトルの内積に関して次の関係が成り立つ。
a gb = a b cos q
a
q
b cos q
方向が同じベクトルは
スカラー同士の掛け算
になる。
25
直交ベクトル
定義（直交ベクトル）
２つのベクトル a , b
Î R
3
の内積が０、すなわち、
a gb = 0
であるとき、
２つのベクトルは直交しているという。
このとき、２つのベクトルのなす角度 q は
p
q=
2
である。
b
O
a
26
外積
３次元ベクトル同士では、
外積という演算が定義できる。
３次元空間は現実の空間であり、
応用上重要な演算である。
外積の演算結果はベクトルであり、
ベクトル積とも呼ばれる。
なお、外積が定義できるのは、
３次元ベクトル同士だけであるので注意すること。
27
定義（３次元ベクトルの外積）
éb ù
éa ù
êx ú
êxú
ê ú
3
a = êêay ú
,
b
=
b
Î
R
ê
ú
y
ú
ê ú
ê ú
êbz ú
êëa z ú
û
ú
ëê û
æa y
ç
ç
ç
by
ç
ç
ç
ç
az
ç
ç
ç
ç
bz
ç
ç
ç
ç
ax
ç
ç
ç
ç
bx
ç
è
ç
ç
az ö
÷
÷
÷
bz ÷
÷
÷
÷
ax ÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
bx ÷
÷
÷
ay ÷
÷
÷
÷
÷
by ÷
÷
ø
÷
÷
をベクトル a
a
と表す。
に対して、ベクトル
外積は、
æ
ö
a ybz - a zby ÷
ç
演算結果が
÷
ç
÷
ç
÷
ç
３次元ベクトル
÷
a
b
a
b
ç
z x
x z ÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
a
b
a
b
ç
÷
y x ø
è x y
÷
とベクトル b の外積といい
外積は交換
´ b
不可
28
3次の行列式を用いた外積の計算法
a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) Î R 3 に対して、外積は、
３次の行列式の記号を援用して
i
j
k
a × b = ax
ay
az
bx
by
bz
az
ax
ay
=
by
az
bz
i+
bz
bx
ax
j +
bx
ay
by
k
行列式はスカラーのであ
るので、これは行列式で
はない。しかし、記号的に
は覚えるのに便利である。
外積がベクトルであること
に注意して、この表現を
利用するとよい。
= (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k
29
a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) Î R
３次の行列式の記号を援用して
i
j
k
a × b = ax
ay
az
bx
by
bz
az
ax
bz
bx
=
ay
az
by
bz
i+
j +
ax
ay
bx
by
k
3 に対して、外積は、
行列式はスカラーのであ
るので、これは行列式で
はない。しかし、記号的に
は覚えるのに便利である。
外積がベクトルであること
に注意して、この表現を
利用するとよい。
= (aybz - a zby )i + (a zbx - a xbz ) j + (a xby - a ybx )k
30
外積のノルム
b
q
a
ベクトルの外積に関して、次の式が成り立つ。
a ´ b = a b sin q
b
q
a
外積のノルムは
この平行4辺形の
面積である。
31
外積の幾何学的性質
a´ b
b
a
外積のベクトルは、右ねじの方向に、
ベクトル a とベクトル b で生成される
平面に直交する。
32
例題
外積を利用して、次の２つのベクトルと
直交するベクトルを求めよ。
é1 ù
éù
êú
ê4ú
êú
êú
a = ê2 ú, b = ê5ú
êú
êú
ê3ú
ê6ú
êë úû
êë úû
解）
i j k
1 2 3 = (12 - 15)i + (12 - 6) j + (5 - 8)k = - 3i + 6 j - 3k
4 5 6
よって、
é- 3ù
ê ú
ê ú
ê6 ú
ê ú
ê- 3ú
êë úû
33
練習
２つのベクトルと直交するベクトルを求めよ。
（１）
a = (2,1, 3)
（２）a
= (1, - 1, - 1)
b = (4,1, 3)
a = (- 2, 0,1)
b = (4, 2, 0)
（３）
b = (- 1, 2, - 1)
34
例２
外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の
面積を求めよ。
A (2,1,1), B (3, - 1,1), C (4,1, - 1)
解）
é3 - 2 ù
ê
ú
uuur
ê
ú
A B = ê- 1 - 1ú=
ê
ú
ê1 - 1 ú
ú
ëê
û
é4 - 2 ù
ú
uuur êê
ú
A C = ê 1 - 1 ú=
ê
ú
ê- 1 - 1ú
ú
ëê
û
é1 ù
ê ú
ê ú
ê- 2ú
ê ú
ê0 ú
ú
ëê û
i
j
uuur uuur
AB ´ AC = 1 - 2
2
0
é2 ù
ê ú
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê- 2ú
ú
ëê û
k
0 = 4i + 2 j - 4k
- 2
面積は、
1 uuur uuur
1 2
1
2
2
AB ´ AC =
4 + 2 + (- 4) =
36 = 3
2
2
2
と求められる。
35
練習
外積を利用して、次の３点を頂点とする３角形の
面積を求めよ。
（１）
A (1, 2,1), B (2,1, - 1), C (3, 4, 2)
（２） A (3, - 1, 2), B (2, - 2,1), C (3, 5, - 1)
36
外積の性質
外積は、次のような性質を満足する。
a, b, c Î R
3
を３次元実数ベクトルとし、
k Î R をスカラー（実数）とする。このとき、以下が
成り立つ。
交換したら符号反転。特
に、外積は交換不可
（１） a ´ b = - b ´ a
a ´ b ¹ b´ a
（２）
（３）
(ka )´ b = a ´ (kb ) = k (a ´ b )
a ´ (b + c ) = a ´ b + a ´ c
スカラーの
抜き出し
分配法則
37
平行６面体の体積とスカラー３重積
３次元の３つのベクトル a, b, c Î R 3 に対して、
スカラー
(a ´ b, c ) = (a ´ b )gc
をベクトル a, b, c のスカラー３重積という。
３つのベクトル a, b, c を辺とするような平行６面体の
体積は、 (a ´ b )gc に等しい。
ベクトルの向きで、負の値
になることがある。ただし、
大きさは等しい。
a´ b
c
と a ´ b のなす角度を
とすると、平行６面体の
高さは cos q と表せる。
c
q
b
a
38
行列式によるスカラー３重積の表現
éb ù
éa ù
éc ù
x
ê
ú
êxú
êx ú
ê
ú
êc úÎ R 3
a = êêay ú
,
b
=
b
,
c
=
ê
ú
y
ú
êy ú
に対して、
ê
ú
ê ú
ê ú
ê
ú
a
êë z ú
êëcz ú
û
û
êëbz ú
û
スカラー３重積は、
ax
ay
az
ax
bx
cx
(a ´ b, c ) = bx
by
cy
bz = ay
cz
az
by
cy
bz
cz
cx
と計算できる。
39
練習
次のベクトルで構成される平行６面体の体積を求めよ。
é2ù
é- 1ù
é0ù
êú
ê ú
êú
êú
ê ú
êú a´ b
a = ê1ú, b = ê 2 ú, c = ê2ú
êú
ê ú
êú
ê3ú
ê1 ú
ê1ú
êë ú
êë ú
êë ú
û
û
û
c
b
a
40

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