公共経済学 14. 公的年金１ 14.1 年金の経済効果＜重複世代モデル＞各世代は2期間（青年期と老年期）生きるとする。第ｔ世代＝ｔ期の期首からt+1期の期末まで生きる世代 ct1 ：第ｔ世代の青年期（＝ｔ期）の消費量 ct 2 ：第ｔ世代の老年期（＝t+1 期）の消費量 Lt ：第ｔ世代の人口 Yt ：第ｔ世代の青年期における所得（老年期の所得はゼロ） s t ：第ｔ世代の青年期における私的貯蓄 bt ：第 t 世代の一人当たり年金負担額（保険料）[＝公的貯蓄]  ：一人当たり年金給付額（受取額） r ：利子率（収益率）[私的貯蓄と公的貯蓄の収益率は同一であるとする。] 期世代１２３４１２３４５期世代１２３４１ Y1 c11 、 s1 、 b1 ２３４５期世代１２３４１ Y1 c11 、 s1 、 b1 ２ (1  r )s1 、 c12 ３４５第 t 世代の青年期と老年期の予算制約式は次のように求められる。：青年期の予算制約式 ct1  Yt  st  bt ct 2  (1  r )st   ：老年期の予算制約式積立方式＝ある世代の青年期の保険料を運用しその運用益を合わせて老年期に給付賦課方式＝ある期に青年期である世代の保険料をその期に老年期である世代に給付 (14-1) (14-2) ＜積立方式のケース＞ 1 期から（保険料の徴収を開始するとともに、2 期から年金の給付を開始する）積み立て方式の年金制度を導入したとする。 t 期の年金負担額（積立金） bt は運用されて t+1 期には元利合計が (1  r)bt になる。したがって、t+1 期の公的年金の収支が均衡するためには  Lt  (1  r )bt Lt が成立する。 [給付総額＝運用資金の元利合計総額] (14-3) すなわち、保険料 bt と給付額  には、 bt   1 r （ t  1, 2, ） (14-4) という関係が成立している必要がある。 (14-1)、(14-2)、(14-4)より第 t 世代の 2 期間（青年期と老年期）を通じた予算制約式を、 bt を用いずに表すと ct 2 c t1   Yt 1 r である。 (14-5) （問題 14-１）第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式(14-5)を図示しなさい。また、最適消費点 (ct*1 , ct*2 ) とその点を通る無差別曲線を図示しなさい。 ct 2 ct1 st* ＝最適な私的貯蓄 st*  bt ＝マクロの貯蓄（問題 14-2）公的年金制度を拡充（  を増加）しても、マクロの貯蓄が変化しないことを示しなさい。また、  を１単位増加させたときに最適な私 * 的貯蓄 st がどれだけ変化するかを求めなさい。＜賦課方式＞２期から（保険料の徴収を開始するとともに年金給付を開始する）賦課方式の年金制度を導入したとする。そのとき、t 期の年金給付総額が  Lt 1 であり保険料総額が bt Lt であるから、公的年金の収支が均衡するためには  Lt 1  bt Lt （ t  2,3, ）が成立する必要がある。 (14-6) また、人口成長率が一定の値 n であるとする。すなわち、 Lt  (1  n) Lt 1 （ t  2,3, ） (14-7) である。したがって、(14-6)と(14-7)より、 bt を  と n を用いて表すと、 bt   1 n （ t  2,3, ）である。なお、 b1  0 である。 (14-8) 【第 2 世代以降の各世代の予算制約式】 (14-1)、(14-2)、(14-8)より第ｔ世代（ t  2,3, ）の２期間を通じた予算制約式を、 bt を用いずに表わすと ct1  ct 2  (n  r )  Yt  1 r (1  r )(1  n) が成立する。 (14-9) （問題 14-3）第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式(14-9)を図示しなさい。また、最適消費点 (ct*1 , ct*2 ) とその点を通る無差別曲線を図示しなさい。 ct 2 ct1 （問題 14-4）n  r と n  r のそれぞれのケースにおいて、賦課方式の公的年金の拡充（  の増加）が、第 2 世代以降の世代の消費点 (ct*1 , ct*2 ) と、それらの世代の効用水準にどのような影響を与えるかを、問題 14-3 の図を用いて検討しなさい。なお、各期の消費財が正常財（＝上級財）であるとする。【第１世代の予算制約式】第 1 世代の 1 期の予算制約式は、 b1  0 であるから(14-1)より c11  Y1  s1 (14-10) である。また、2 期の予算制約式は(14-2)より、 c12  (1  r )s1   である。 (14-11) （問題 14-5）賦課方式の公的年金の拡充（  の増加）が、第 1 世代の消費点 (c , c ) と、その世代の効用 * 11 * 12 水準にどのような影響を与えるかを検討しなさい。なお、各期の消費財が正常財（＝上級財）であるとする。 14.2 公債と年金の比較（世代会計）公債の発行と賦課方式の年金制度は将来世代から現在世代への所得再分配政策であるという点で本質的に同様の政策であると理解することができる。したがって、 ① １単位の公債残高と積立方式の公的年金で１単位の積立が存在する状況 ② 公債は発行されてないが賦課方式の公的年金で１単位の負担が存在する状況は人々の消費・貯蓄行動に与える影響が同じであると考えられる。世代会計＝各世代の現在価値でみたネットの負担を推計すること