高速フーリエ変換 (fast Fourier transform)

高速フーリエ変換
(fast Fourier transform)
1月19日
第4回目発表
1
今回の目的
• 卒研発表日まであと約1ヶ月となったので，
今まで調べてきたことをまとめて20分で発
表できるように練習する．
• 今までの事を全て説明すると20分では収
まらなくなる．だから高速フーリエ変換の概
要を簡単に述べて，分割統治法を用いた
高速フーリエ変換を詳しく説明していきた
いと思う．
2
高速フーリエ変換の概要
前提
• 高速フーリエ変換を述べる為に，2つのN-1
次多項式の積の計算を考える．
• 「N-1次の多項式はN個の異なる点におけ
る関数値で完全に決まる」という事実を利
用して，多項式の積の計算を高速化する．
3
◇高速フーリエ変換を用いた高速化した計算の手順
評価：2つのN  1次多項式を 2 N  1個の異なる
点で計算する．
乗算：変換した値を掛け合わせる．
補間：評価と同じ計算手順により補間する．
(補間とは多項式の N個の異なる点における値が
与えられた時，その多項式の係数を求めること)
◇2つのN  1次多項式の積を求める時，
・普通に掛け合わせると，
N の計算時間
2
・高速フーリエ変換を
使うと
2 N lg N  ON の計算時間
4
２つのN-1次多項式
P(x)
Q(x)
評
価
乗算
2N-1次の多項式
R(x)=P(x)Q(x)
N2の計算時間
フーリエ変換
補
間
分割統治法を用いて
効率よくしたのが高速フーリエ変換
p(a1 ),, pa 2 N1 
q(a1 ),, qa 2 N1 
乗算
逆フーリエ変換
r ( x )  p ( x )q ( x )
r (a1 ),, r (a 2 N1 )
2NlgN+O(N)の計算時間
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評価の計算
• 今回の発表では評価・乗算・補間の流れ
の中で評価について述べたいと思います．
• 評価の方法


評価する2N-1個の点は1の複素累乗根を用い
る．
評価の計算は分割統治法を用いる．
6
1の複素累乗根
一般にその数を累乗して１となる複素数は
数多くあり，その複素
数を１の累乗根という
．
実際，自然数Nに対して，
Z  1となる複素数ZがN個ある．
N
これらの中の１つは「
１の原始N乗根」とよばれ，
それをWNと表わすと，全ての根は
k  0,1,2,, N  1に対して，WN をk乗してえられる．
7
例）１の８乗根
W80 , W81 , W82 , W83 , W84 , W85 , W86 , W87
W80  1で，W81が原始８乗根である　.
Nが偶数の時は WN 2 は  1であるから，
N
W84  1となる．
また1のN 乗根を　2 乗すると，
1の N / 2 乗根
が得られる．
よって，
(W )  W , (W )  W .
1 2
8
1
4
1 2
4
1
2
8
分割統治法
•
N-1次多項式の1のN乗根における値を
分割統治法を用いて求める．
①
N個の係数があるから，まずN/2個の係数の
2つの多項式に分割する．その際に低次の
項から順に交互にとって2つに分ける．
② 次にN/2個の係数の多項式の値を求めてか
らN個の係数のN-1次多項式の値を求める．
(統合する)

N/2個の係数の多項式の値が分からない時は，
さらに2つに分けてN/4個の多項式にする．
9
例）N  8の時
p( x )  p 0  p1x  p 2 x 2  p 3 x 3  p 4 x 4  p 5 x 5  p 6 x 6  p 7 x 7
 (p 0  p 2 x 2  p 4 x 4  p 6 x 6 )  x (p1x  p 3 x 2  p 5 x 4  p 7 x 6 )
 p e ( x 2 )  xpo ( x 2 )
上のように2つに分割する．
ここで，
7次多項式 p( x ) を1の 8乗根で計算する．
W8 : w 80 , w 18 , w 82 , w 83 , w 84 , w 85 , w 86 , w 87
まず，w 84  1だから
W8 : w 80 , w 18 , w 82 , w 83 , w 80 , w 18 , w 82 , w 83
となる．次に各項を２
乗すると
W82 : w 04 , w 14 , w 24 , w 34 , w 04 , w 14 , w 24 , w 34
になる．
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p( x )  p e ( x )  xpo ( x )
2
2
に注目すると以下のような次式が導かれる．
p( w 80 )  p e ( w 04 )  w 80 p o ( w 04 ),
p( w 18 )  p e ( w 14 )  w 18 p o ( w 14 ),
p( w 82 )  p e ( w 24 )  w 82 p o ( w 24 ),
p( w 83 )  p e ( w 34 )  w 83 p o ( w 34 ),
p( w 84 )  p e ( w 04 )  w 80 p o ( w 04 ),
p( w 85 )  p e ( w 14 )  w 18 p o ( w 14 ),
p( w 86 )  p e ( w 24 )  w 82 p o ( w 24 ),
p( w 87 )  p e ( w 34 )  w 83 p o ( w 34 ),
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実際に p( w 85 )  p e ( w14 )  w18 p o ( w14 ) を計算してみる．
p( w 85 )  p e ( w14 )  w18 p o ( w14 )
 (p 0  p 2 w14  p 4 w 24  p 6 w 34 )  w18 (p1  p 3 w14  p 5 w 24  p 7 w 34 )
 (p 0  p 4 w 24 )  w14 (p 2  p 6 w 24 )  w18{( p1  p 5 w 24 )  w 14 (p 3  p 7 w 24 )}
 (p 0  p 4 w12 )  w14 (p 2  p 6 w12 )  w18{( p1  p 5 w12 )  w 14 (p 3  p 7 w12 )}
ここで、
w12  1だから
 (p 0  p 4 )  w14 (p 2  p 6 )  w18{( p1  p 5 )  w14 (p 3  p 7 )}
またw  ( w )
1
w  (w )
1
1
4
1
8
1
2
1
4
2
2
 (1)
 (i)
1
2
1
2
 i,
 i だから
 (p 0  p 4 )  i(p 2  p 6 )  i{( p1  p 5 )  i(p 3  p 7 )}
12
一般的に１のN乗根における p( x ) の計算方法
p e x とp o x を1の N / 2 乗根において再帰的に計算する．
（ただし，再帰的な計
算で N / 2, N / 4,となるので
N は 2 のベキ乗であると仮定する．）
再帰は w 2x のようにN  2 の時に打ち切る．
このときw  1, ( w )  1 のどちらかだから
1
2
1 2
2
p 0  p1x は p 0  p1 か p 0  p1 を得る．
あとは1つずつ上に統合して，全体の p( x ) を求める．
分割統治法を用いたこの再帰的な
計算が高速フーリエ変換である．
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まとめ
• 高速フーリエ変換を使った評価について述
べた．多項式の積の計算はまだ乗算と補間
を行わないといけないが，今回は時間が少
ないため省略した．高速フーリエ変換につい
てさらに詳しいことは，
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/labo/grad/2004/akira/index.html
に載せてある．
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