画像処理・実習第一回：

画像処理・実習
第十三回：フーリエ変換（続き）とパターン認識
東海大学
情報理工学部情報メディア学科
濱本和彦
今回の内容
フーリエ変換の実習（先週の続き）

フーリエ変換を利用したフィルタ処理
5. パターン認識
5.1 マッチングの原理
 5.2 テンプレートマッチング
 実習


相互相関とテンプレートマッチング
周波数空間におけるX,Y方向微分
N 1 M 1
f (m, n)    F (k , l )W1 W2
 km
ln
l 0 k 0
 2

 2 
   F (k , l ) exp j
km  exp j
ln 
 M

 N 
l 0 k 0
N 1 M 1
f (m, n) N 1 M 1
2
 km
ln
   F (k , l ) j
k W1 W2
M
l 0 k 0
x方向（離散m方向）微分 m
これを逆変換すればX方向微分になる
f (m, n) N 1 M 1
2
 km
ln
  F (k , l ) j
l W1 W2
n
N
l 0 k 0
y方向（離散n方向）微分
同様に
周波数空間におけるX,Y方向微分
X方向フィルタ関数（Y方向も同様）
Ax(k)
-M/2
M/2
k
2
Ax (k )  j
k
M
微分処理実習
x方向微分の関数 void x_diffrentiation(void)
y方向微分の関数 void y_diffrentiation(void)
を完成させなさい。フィルタ関数が複素数であ
る事に注意しなさい。複素数と複素数の乗算に
なります。
lena.rawについて，それぞれの微分処理を
行った画像を出力しなさい。
微分処理結果
X方向微分
縦方向のエッジ抽出
Y方向微分
横方向のエッジ抽出
周波数空間におけるラプラシアン
f (m, n) N 1 M 1
2
 km
ln
   F (k , l ) j
k W1 W2
m
M
l 0 k 0
 f (m, n)
 2
  F (k , l )  j
2
m
 M
l 0 k 0
2
同様に
N 1 M 1
2

 km
ln
k  W1 W2

 f (m, n)
 2 
km
ln
  F (k , l )  j
l  W1 W2
2
n
 N 
l 0 k 0
2
N 1 M 1
∴ ラプラシアン＝
2
 2 f (m, n)  2 f (m, n)

2
m
n 2
ラプラシアンフィルタ関数
 2
A(k , l )   j
 M
  2
k  j
  N
2
  Ax (k )   Ay (l ) 
2
2

l

2
ラプラシアンフィルタ実習
ラプラシアンフィルタ関数
void f_laplacian(void) を完成させなさい。
lena.rawに対する処理結果を求めなさい。
ラプラシアン結果
パターン認識
人が目で見て判断する内容
・人を見分ける
・文字を読む
など
コンピュータに代行させる
＝
パターン認識
マッチングの原理
人が目で見て判断するという事は？
目で見た内容が頭の中の記憶と一致する
かどうかを考えること。
一致するものを探す＝マッチングをとる
マッチングを取るには？
各点におけるデータの差を計算し積算する。
結果が０であれば，マッチングしている。
マッチング（類似度）を計算してみよう
関数f(x)と関数g(x)の類似度の計算
差を計算して，それを積算（積分）

b
a
f ( x)  g ( x) dx
これが小さいほどよく似ている，ということ。
この二つはマッチングしている？
類似度は？
１３１０７２０！
見た目では同じ
パターンなのに，
類似度は。。。！
つまり，こういうこと。
濃
淡
値
レベルを合わせて比較
Ｂ
平均値を引いてから類似度
を計算する！
Ａ
F ( x)  f ( x)  f
G ( x)  g ( x)  g
座標
パターンＡとパターンＢは，
形（パターン）は同じだが，
レベル（平均値）が異なる

b
a
平
均
値
F ( x)  G( x) dx
他の類似度計算方法
a F ( x)  G( x) dx
b
b
2
b
残差二乗和
b
  F ( x)dx   G ( x)dx  2 F ( x)G( x)dx
a
2
2
a
F(x)，G(x)に関する定数であり，二
つの関数の違いを表す量ではない
a
この項が大きいほど
二つの関数は良く
一致する！
一般的なマッチングの尺度
フーリエ変換を
思い出してみよう
b
s   F ( x)G( x)dx
a
ある座標における関数値の積の総和＝関数の内積
それぞれの関数の大きさで正規化すると次のようなります。
R

b
a

b
a
2
F ( x)G( x)dx
F ( x)dx

b
a
G 2 ( x)dx
一般的なマッチングの尺度
R

b
a

b
a
2
F ( x)G( x)dx
F ( x)dx
b
G
a
2
これは-1～+1の値をもち，
cosΘで表現されます。
 cos 
( x)dx
相互相関係数
Θは関数間の角度。
二つの関数をベクトル
表現した時のベクトル
が作る角度になます。
演習5.1
f(x)，g(x)ともに平均値は０であるため，
f(x)，g(x)をそのまま用いて計算する。

b
a


1
f ( x)dx   sin x    cos 2 x  1dx


2
2
2

1 1
1

   sin 2 x  x        
2 2
2
 

演習5.1

b
a


1
g ( x)dx   sin x   dx    cos2 x  2   1dx


2

1 
   cos 2x   dx   dx


2  
1 
 
   cos 2 x  cos 2  sin 2 x  sin 2dx  x 

2  
1
        
2
2
2
演習5.1

b
a

1 
f ( x) g ( x)dx   sin x  sin(x   )dx    cos2 x     cos  dx

2 
1 
   cos2 x     cos dx
2 
1

 cos  x
2
1
 cos    cos     cos  
2
演習5.1
 R  cos 
cos  
 
 cos
  
二つの関数が作る角＝位相差が相互相関の結果です。
つまり，θだけ関数をずらせばぴったり一致する，
Θだけずれているから類似度はcosθ，と言うわけです。
（θ＝０の時はcosθは１，つまり一致しているということ）
ディジタルデータの相互相関係数
二つのデジタルデータ → ベクトルデータとして考える
 f1 , f 2 
g1, g2 

 f

g
相互相関係数は，ベクトルの内積を用いて次のように表現する。
 
 
f , g  f  g cos
であるから，
 
f,g
R  cos   
f  g

f1 g1  f 2 g 2
f1  f 2
2
2
g1  g 2
2
2
ディジタルデータの相互相関係数
一般にN次元ベクトルの場合には次のように表される。
N 1
f
R  cos 
k 0
N 1
 fk
2
k 0
k
gk
N 1
 gk
2
k 0
実際の場合は平均値を引く必要があるため次のようになる。
f
N 1
R  cos 
k 0
f
N 1
k 0
k
 f g k  g 
 f
2
k
N 1
2


g

g
 k
k 0
実習：演習5.2
image_processing13.cとimgpattern.hを
利用します。
imgpattern.hのvoid Ensyu5_2(void)を完
成させなさい。
相関の結果が演習5.1の通りになることを
確認しなさい。
画像の相互相関関数
データが二次元の画像（N×N）の場合も，同様な処理で
相互相関係数が求まります。
  f [k ][l ]  f t[k ][l ]  t 
N 1 N 1
R
l 0 k 0
  f [k ][l ]  f   t[k ][l ]  t 
N 1 N 1
l 0 k 0
2
N 1 N 1
l 0 k 0
2
実習：画像の相互相関係数
void Cross_correlation(void)を完成させなさい。
この関数の実行時は，Input_image()や
Output_image()は必要ありません。関数内で２
つの画像をオープンします。
lena.raw同士，lena.rawとlenan20.raw(雑音が
ある場合)，lena.rawとlenai.raw(白黒反転)の組
合せで相互相関係数を求め，考察しなさい。
実習：画像の相互相関係数
-1.0
1.0
0.835
相互相関でこんなことができます。
簡単な人物認証
濱本研メンバーDB
こういう人がやってきました
Ａ 0.434
Ｂ 0.548
Ｃ 0.652
相互相関係数を求めます。
Ｅさんと判断されました。
Ｄ 0.512
Ｅ 0.746
Ｆ 0.564
研究室への入室が許可されます。
相互相関でこんなことができます。
簡単な人物認証
濱本研メンバーDB
こういう人がやってきました
Ａ 0.321
Ｂ 0.619
Ｃ 0.836
相互相関係数を求めます。
Ｃさんと判断されました。
Ｄ 0.650
Ｅ 0.698
Ｆ 0.537
研究室への入室が許可されます。
相互相関でこんなことができます。
簡単な人物認証
濱本研メンバーDB
こういう人がやってきました
Ａ 0.186
Ｂ -0.089 Ｃ -0.046
相互相関係数を求めます。
どのデータとも相関が高くありません。
Ｄ -0.190 Ｅ -0.134 Ｆ -0.080
研究室への入室が許可されません。
テンプレートマッチング
入力画像の中から，テンプレート（標準パターン）
に一致する位置を検出します。


パターン位置の検出
動いた物体の追跡
方法



画像にテンプレートを重ね相互相関係数を計算します。
テンプレートの位置をずらして再度相互相関係数を計
算します。
これを繰り返して，相互相関係数が最大になる位置を
探します。
テンプレートマッチング
テンプレートを移動しな
がら，相互相関を計算
相互相関が最大になっ
た位置が，テンプレートの
パターンと同じ図形となる
位置である。
テンプレートマッチング
テンプレートサイズをm×nとし，画像上の位置(i, j)における
相互相関係数は次の式で求められます。これは，式5.16に
平均値処理と正規化を加えたものです。相互相関関数と呼
ばれます。



l 0 k 0 
n 1 m 1
R[i ][ j ] 
 m
 n 
f i   k   j   l  
2 
 2

  m

 n 
f
i


k
j


l

f



 2
  2 
l 0 k 0 

n 1 m 1
2

f t[k ][l ]  t 

n 1 m 1
2


t
[
k
][
l
]

t

l 0 k 0
・テンプレートの中心が(i, j)と一致するようにしています。
・平均値は，m×n領域内での平均値です。
・式5.16では正確な処理を行うことは出来ません（何故？）
実習：テンプレートマッチング
void Template_matching(void)を実行し，テンプレート
マッチングの処理を確認しましょう。
テンプレートのサイズは，幅40，高さ48です。
テンプレート画像は，この関数内で入力処理を行います。
対象画像の入力は，Input_image()で行ってください。
相互相関が最大になった位置とその時の相関値を出力
します。
相関係数がどのように分布しているかを画像として出力
します。これを相互相関関数と呼びます。
入力画像：characters3.raw
テンプレート：characters3a.raw
実習：テンプレートマッチング
＝‘Ａ’の文字はこの
最大値：
x=50, y=69, R=1.00 位置にある！
実習：テンプレートマッチング
void Template_matching2(void)は，式
5.16によるものです。正しい結果が得られ
ないことを確認してください。
それは一体何故でしょうか？
こういうことができます
は，どこにいるでしょう？
最大値：
x=179, y=25

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