On the uniqueness of Bertrand
Joint work with Daisuke Hirata
OT2010
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Plan of the Presentation
(1) Bertrand Competition in Homogeneous Product
Markets with Constant Marginal Costs
(2) Bertrand Competition in Homogeneous Product
Markets with Increasing Marginal Costs
(3) Supply Obligation and Multiplicity of Equilibria
(5) Product Differentiation and the Uniqueness of
Equilibrium
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Duopoly
・企業数が1より大
～自分が生産量を決めても価格が決まらない←ライ
バルの生産量に依存
～自分が価格を決めても販売量が決まらない←ライ
バルの価格に依存
価格を決めるのか数量を決めるのかで競争の構造が
違う
⇒価格を決めるモデルか数量を決めるモデルかを分
ける必要性
数量競争モデル、価格競争モデルのどちらのモデル
を使うべきか？
OT2010
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quantity-setting or
price-setting
数量競争モデルと価格競争モデルでは結果がかなり
違う。
どちらのモデルがもっともらしいか？(現実的か？)
→市場の構造によって違う。
数量競争モデル:価格よりも数量の方が変更しにくい
(変更に時間がかかる、コストがかかる。。。。)
価格競争モデル:数量よりも価格の方が変更しにくい
OT2010
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an example of inflexibility of
price-setting
・カタログ送付タイプの通信販売
年４回カタログを送付する通販。４半期の機会以外
に価格を変えるのは甚大な追加コストがかかる
一方申込量が増えれば柔軟に製造業者に追加発注で
きる
OT2010
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another example of inflexibility of
price-setting
・価格自体は規制されていないがその公表等の規制
がある
（例）
約款・料金の届出規制、約款の公表義務
・価格自体を売り手が勝手に変えられない。
～価格体系を変えるのにはそれなりに費用がかかる
OT2010
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an example of inflexible
quantity choice
・増産には設備投資、従業員の新規雇用が必要
一方で価格自体はそれより短い期間で変えられる
～普通の製造業には概ね当てはまる。
十分生産能力に余力があり、簡単に大規模な増産で
きるような状況では当てはまらないかもしれない。
しかし、なぜそんな遊休施設を持っているのかとい
う問題は残る。（ピークにあわせて設備を持って
いるのでオフピークには価格競争に近くなるとい
うストーリーはそれなりに現実的）。
OT2010
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Bertrand Duopoly
企業1と企業2が同質財市場で競争
企業1と企業2は同時に独立に各自の価格を決定
各企業の利得は自社の利潤
Π1＝P(Ｙ)Y1ーC1Y1 （限界費用一定）
Yi：企業iの生産量、Y ≡Y1+Y2、Ci：限界費用、P：
需要関数
Pは減少関数
OT2010
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Bertrand複占モデル(整数制約
バージョン)
企業1と企業2の限界費用はともに整数
C1≦C2＜P1M (Ｃ2≧P1Mなら企業1の独占(企業2が存在
しないときと同じ)で、複占で分析する意味がな
い）
各企業はマージンを同時に独立に決める
P1∈｛C1+ε, C1+2ε, C1+3ε,...}
P2∈｛C2+ε, C2+2ε, C2+3ε,...}
OT2010
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rationing rule
P1<P2企業1が全ての需要を取る
P1>P2企業2が全ての需要を取る
P1=P2企業1と企業2が半分ずつ需要を分け合う
OT2010
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Bertrand複占モデル(整数制約
バージョン)
企業1と企業2の限界費用はともに整数(C1≦C2＜P1M）
各企業はマージンを同時に独立に決める
P1∈｛C1+ε, C1+2ε, C1+3ε,...}
P2∈｛C2+ε, C2+2ε, C2+3ε,...}
問題 C1<C2とする。純粋戦略ナッシュ均衡を求めよ。
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Bertrand複占モデル(整数制約
バージョン)
企業1と企業2の限界費用はともに整数(C1≦C2＜P1M)
各企業はマージンを同時に独立に決める
P１∈｛C1+ε, C1+2ε, C1+3ε,...}
P2∈｛C2+ε, C2+2ε, C2+3ε,...}
問題 C1<C2とする。純粋戦略ナッシュ均衡を求めよ。
解答 P１ =C2 P2 = C2+ε
OT2010
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費用格差のあるBertrandモデル
の特徴
費用の低い企業が市場を独占。価格は２番目に費用
の低い企業の限界費用に一致。
費用格差が小さくなると価格と限界費用の乖離が小
さくなる
２企業の差がほとんど無ければ均衡は完全競争の状
態に近くなる
僅か２社しか無くても近似的に完全競争と同じ状況
(Bertrand Paradox)
OT2010
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この講義のモデルで非正のマー
ジンを認めない。理由は？
P2≦C2という戦略はP2＝ C2+εにweaklyにdominateさ
れる戦略。仮にナッシュ均衡においてこの戦略が
採られても尤もらしくなく、考える意味があまり
無い。
OT2010
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Bertrand複占モデル(整数制約
バージョン)
企業１と企業２の限界費用はともに整数(Ｃ１≦Ｃ２＜Ｐ１Ｍ）
各企業はマージンを同時に独立に決める
P１∈｛C1+ε, C1+2ε, C1+3ε,...}
P2∈｛C2+ε, C2+2ε, C2+3ε,...}
問題 C1=C2とする。純粋戦略ナッシュ均衡を求めよ。
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Bertrand複占モデル(整数制約
バージョン)
企業１と企業２の限界費用はともに整数(C１≦C２)
企業１はマージンを同時に独立に決める
P1∈｛C1+ε, C1+2ε, C1+3ε,...}
P2∈｛C2+ε, C2+2ε, C2+3ε,...}
問題 C1=C2とする。純粋戦略ナッシュ均衡を求めよ。
解答 P１=P2 = C2+ε(需要が非弾力的なときはＰ１= Ｐ
2 = C2+2εも)
Bertrand Paradoxがより明確に出る
OT2010
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increasing marginal cost
εが十分小さい。
対称複占(以降断りのない限りこれを仮定)。
価格は各企業の限界費用に限りなく近づく
両企業がＰ＝限界費用まで生産(εだけマージンだ
が十分小さいとして無視)
OT2010
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rationing rule revisited
P1<P2 企業１が全ての需要を取る
P1>P2 企業２が全ての需要を取る
P1=P2 企業１と企業２が半分ずつ需要を分け合う
これは自分に来た顧客に供給義務があると仮定し
ているのと同じ
～これは多くの市場で妥当ではない
限界費用一定なら問題ない←来た顧客を断る誘因
はないから
でも限界費用逓増の場合には問題が発生
OT2010
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rationing rule
P1<P2→D1=D(P1), D2=max{D(P2)-Y1, 0}
P1>P2→D2=D(Ｐ2 ), D1=max{D(P1)-Y2, 0}
P1=P2→D1=D(P1)/2+max{D(P2 )/2-Y2, 0}
自分の需要の範囲で好きなだけ売れる。ライバル
が供給し残した顧客も自分の顧客としてとれる。
(Di≦Yiの範囲で好きな販売量を選べる)
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Bertrand Equilibrium with
Increasing Marginal Costs
P
D
MC曲線を横に足した
もの～供給曲線
0
OT2010
Y
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Bertrand Equilibrium with
Increasing Marginal Costs
両企業がＰ＝限界費用まで生産～これは均衡にならない
片方の企業が価格を下げる
→販売量は増やすことはできるがもともと価格＝限界費
用だったの増やさない→無意味
片方の企業が価格を上げる
→相手は販売量を増やさない→相手の販売量を所与とし
て残余需要を全て取ることができる→元の点はＰ＝MC
だったから、価格上昇で必ず利潤増える
OT2010
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Pure Strategy Symmetric
Bertrand Equilibrium
Ｐ
Ｄ
MC曲線を横に足した
もの～供給曲線
0
OT2010
Ｙ
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pure strategy symmetric Bertrand
Equilibrium
Ｐ>限界費用
片方の企業が価格を下げる
→販売量を増やすことはできる(倍増)
→需要の価格弾力性は実質的に無限大
片方の企業が価格を下げる誘因
⇒symmetricな均衡(両企業が同じ価格をつける均衡)
は存在しない。
OT2010
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Pure Strategy Asymmetric
Bertrand Equilibrium
P
P1
P2
D
MC曲線を横に足し
たもの～供給曲線
0
OT2010
Y
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pure strategy asymmetric
Bertrand Equilibrium
Ｐ2 ＜Ｐ１ ーε
→需要を全部取っているはず
⇒企業１は価格を下げる誘因
OT2010
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pure strategy asymmetric Bertrand
Equilibrium
Ｐ2 ＝Ｐ１ ーε
企業２は需要を全部取っているか、価格＝限界費用とな
るまで生産。企業１は残余を取っているが、その量は価
格＝限界費用となる量よりも小さい。
⇒企業１は価格を下げる誘因
←２ ε下げるだけで需要は急増する～実質的に需要の価
格弾力性無限大
～純粋戦略均衡は一般に存在しない
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Non-existence of pure strategy
Bertrand Equilibrium
Does this result (non-existence of pure strategy
equilibrium) depends on the assumption of
homogeneous product?
p1=a-q1-bq2
p2=a-q2-bq1 b∈(-1,1]
b>0 supplementary products
b=1 homogeneous product
b represents the degree of product differentiation.
If b is sufficiently close to 1, no pure strategy
equilibrium exists under increasing marginal costs.
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Homogeneous Products
P1
D1
P2
0
OT2010
Y
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Differentiated Products
P1
D1
P2
0
OT2010
Y
29
Bertrand Equilibrium with
Increasing Marginal Costs
もし供給義務があったら？
両企業がP＝限界費用まで生産
片方の企業が価格を下げる
→販売量は増えるがもともと価格＝限界費用だった
ので販売量が増加しても利潤は増えない
片方の企業が価格を上げる
→需要量ゼロになって利潤は増えない
完全競争が再び均衡になる～でも均衡はuniqueでは
ない
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30
Bertrand Equilibrium with
Increasing Marginal Costs
P
D
MC曲線を横に足した
もの～供給曲線
0
OT2010
連続に均衡が存在
Y
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Indeterminacy of Bertrand Equilibria
Does this result (indeterminacy of equilibria) depends
on the assumption of homogeneous product?
p1=a-q1-bq2
p2=a-q2-bq1 b∈(-1,1]
b>0 supplementary products
b=1 homogeneous product
b represents the degree of product differentiation.
If b =1, a continuum of equilibria exists.
If b∈(0,1), the equilibrium is unique and it converges to
Walrasian as b →1.
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Notations
pi: Firm i's price
p*: equilibrium price of perfect competition
C(qi) : Firm i's cost function
Did: Firm i's demand function
d: the degree of product differentiation
Di0: Firm i's demand function in homogeneous product
market~ Only the firm naming the lowest price obtains
the market. If several firms name the lowest same price,
they share the market equally.
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Assumptions
A1. 需要関数は自分の価格に対して連続で、需要量が正
である限り減少
A2. 同じ価格なら同じ需要
A3. 全ての企業が同じ価格を付けたとする。このとき各
企業の需要は価格の減少関数
A4. dが０に収束すると、需要関数も同質財のそれに収
束
A5. 全ての企業の価格が十分高ければ需要量は０になる
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Results
Under Assumptions A1.-A5, if d→0, then pk→p*
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Intuitions
製品差別化の程度は十分に小さいが同質財ではないとす
る
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36
Differentiated Products
P1
D1
P2
0
OT2010
Y
37
Intuitions
製品差別化の程度は十分に小さいが同質財ではないとす
る
完全競争よりも高い価格に収束したとする
自分だけ価格を下げると利益が得られる
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38
Homogeneous Products
P1
MC1
P2
0
OT2010
Y
39
Differentiated Products
P1
MC1
P2
0
OT2010
Y
40
Intuitions
製品差別化の程度は十分に小さいが同質財ではないとす
る
完全競争よりも低い価格に収束したとする
自分だけ価格をあげると利益が得られる
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41
Homogeneous Products
P1
MC1
P2
0
OT2010
Y
42
Differentiated Products
P1
MC1
P2
0
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Y
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Summary
供給義務がある市場では連続的に均衡が存在するという
結果は、同質財という仮定に決定的に依存している
供給義務がある市場では、完全競争均衡に注目すべき
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