Product Diversification, Entry

Randomized Strategy Equilibrium
and Bertrand Equilibrium in the
Action Commitment Game
with a Small Cost of Leading
Joint work with Takeshi Murooka and Akira Ogawa
OT2010
1
Plan of the Presentation
(1) Stackelberg or Cournot (Bertrand)
(2) Endogenous Timing
(3) Observable Delay
(4) Action Commitment
(5) Gains for Waiting and Equilibrium in Action
Commitment
(6) Mixed Strategy Equilibrium
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Stackelberg or Cournot (Bertrand)
Cournot (Bertrand) ModelとStackelberg Modelのど
ちらを使うべきか？
simultaneous move modelを使うべきかsequential
move modelを使うべきか？
既存企業(incumbent)と新規参入者(new entrant)の
競争→sequential-move model
こういう外生的な非対称性のない普通の状況
→simultaneous-move model
でも現実には企業は生産量だけでなくタイミング
も選ぶことができる
OT2010
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Timing Game
企業の選択によってはCournot outcomeも
Stackelberg outcomeもどちらも均衡になり得るよう
なモデルを作る
→実際に均衡ではCournot (Bertrand)になるのか
Stackelbergになるのかを論じる
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Stackelberg Duopoly
企業１と企業２が同質財市場で競争
企業１がまず生産量を決め企業２は企業１の生産量を
観察した後自社の生産量を決定
各企業の利得は自社の利潤
Π１＝Ｐ（Ｙ）Ｙ１ーＣ１（Ｙ１）、Ｙi：企業iの生産量、Y
≡Y1+Y2、Ｃ：費用関数、Ｐ：需要関数
Ｐは減少関数、Ｃは増加関数で凸関数と仮定
P'+P''Ｙ1<0 （戦略的代替）
⇒First-Mover Advantage
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Stackelberg's discussion on the
market instability
実際にはどちらの企業がLeaderになるのかあらか
じめ決まっているわけではない。
First-Mover AdvantageがあるのでどちらもLeader
になりたがる。
Leaderになる争いが起きて市場は不安定になる。
～まさにタイミングゲームの発想そのもの。
でもモデルをキチンと定式化したわけではなかっ
たので、注目されることはあまり無かった。
1980年代にようやくこの発想が復活。
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代表的なTiming game
(1) Observable delay game
(2) Action commitment game
(3) Infinitely earlier period model
(4) Seal or disclose
(5) Two production period model
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Observable Delay Game
Duopoly
First stage: Two firm choose period 1 or period 2.
Second Stage: After observing the timing,
the firm choosing period 1 chooses its action.
Third Stage: After observing the actions taking at
the second stage, the firm choosing period 2
chooses its action.
Payoff depends only on its action (not period).
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Possible Outcomes
Both firms choose period 1 ⇒Cournot (Bertrand)
Both firms choose period 2 ⇒Cournot (Bertrand)
Only firm 1 chooses period 1 ⇒Stackelberg
Only firm 2 chooses period 1 ⇒Stackelberg
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Equilibrium in Observable Delay
Game: Symmetric Cases
Strategic Substitutes
⇒Both firms choose period 1 (Cournot, Bertrand)
Leader ≫ Cournot ≫ Followerだから
Strategic Complements
⇒Only firm1 chooses period 1 (Stackelberg) or
Only firm2 chooses period 1 (Stackelberg)
Leader ≫ Cournot (Bertrand)かつ
Follower ≫ Cournot (Bertrand)だから
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Asymmetric Case
Consider a price-setting competition under product
differentiation.
(Not always but ) usually it yields the cases of strategic
complements
⇒Two Stackelbergs
Suppose that one firm is more efficient than the other.
Which firm does more likely becomes the leader?
van Damme and Hurkens (2004), Amir and
Stepanova (2006) ⇒The more efficient firm more
likely becomes the leader.
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Payoff Dominance
２
L
F
L
(0,0)
(4,3)
F
(1,2)
(0,0)
１
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Payoff Dominantな均衡が実現？
２
L
F
L
(-100,0)
(4,3)
F
(1,2)
(0,-100)
１
Payoff Dominance →(L,F)
Risk Dominance →(F,L)
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Risk Dominance
２
L
F
L
(-100,0)
(4,3)
F
(1,2)
(0,-100)
１
混合戦略均衡を考える。均衡においてPlayer iがLを選ぶ
確率をqiとする。 (L,F) risk dominates (F,L) if and only if
q1(1-q2) < q2(1-q1).
混合戦略均衡において高い確率で起こるoutcome不安定。
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Risk Dominance
２
L
F
L
(4,4)
(0,0)
F
(0,0)
(1,1)
１
(L,L) risk dominates (F,F).
OT2010
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Risk Dominance
２
L
F
L
(4,4)
(-100,0)
F
(0,-100)
(1,1)
１
(F,F) risk dominates (L,L).
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Payoff dominance and risk
dominance in the observable delay
game
Matsumura and Ogawa (2009)
If (L,F) payoff dominates (F,L) and (L,L), either (i)
(L,F) is the unique equilibrium or (ii) both (L,F) and
(F,L) are equilibria and (L,F) risk dominates (F,L).
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Action Commitment Game (1)
Duopoly
First stage: Two firms choose period 1 or period 2.
Second Stage: Without observing the timing,
the firm choosing period 1 chooses its action.
Third Stage: After observing the actions taking at
the second stage, the firm choosing period 2
chooses its action.
Payoff depends only on its and the rival's actions
(not period).
第１期の相手の行動を見てはじめて相手が選んだ
タイミングが判る
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Action Commitment Game
ゲームの作り方としてはObservable Delayの方が
素直でわかりやすい。
しかし、現実には相手が選んだタイミングを実際
に相手が行動に移す前に知ることは難しい。
そもそも知ること自体が難しいし、簡単に嘘をつ
くこともできる。
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Action Commitment Game (2)
Duopoly
First stage: Each firm chooses whether it takes
actions in period 1 or not. Firms chooses period
1 chooses its action.
Second Stage: After observing the actions taking at
the second stage, the firm choosing period 2
chooses its action.
Payoff depends only on its and the rival's actions
(not period).
第１期の相手の行動を見てはじめて相手が選んだ
タイミングが判る
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Two Action Commitment Games
２期間モデル（行動を取ることができる機会が第１期か
第２期かしかない）場合には２つのモデルに違いは
ない。
Observable Delayからの連続性を考えるなら(1)が自
然。第１期に何もしないことが将来の行動（いつ作る
のかも含めて）に対する完全なオプションを持つと考
えるのであれば(2)が自然。
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Equilibrium in the Action
Commitment Game
(1) Both firms choose period 1 (Cournot)
(2) Only firm1 chooses period 1 (Stackelberg)
(3) Only firm2 chooses period 1 (Stackelberg)
戦略的代替・補完によらず一つのoutcome（両企
業とも第２期を選ぶ）以外は均衡になる。
Asymmetricなケースも同じ。企業１の反応曲線が
右下がり、企業２のそれが右上がりでも同じ。
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Equilibriumであることの確認(1)
(1) Both firms choose period 1 (Cournot)が均衡に
なることの確認
企業１がdeviateして第２期を選ぶ
企業２はこのdeviationを観察する前に既に生産量
を決めている（Cournot均衡における生産量）
企業１はこれを所与として第２期にCournot
outcomeを生産する
⇒結局利得はdeviation前と同じ
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Equilibriumであることの確認(2)(3)
(２) Only firm1 chooses period 1 (Stackelberg) が
均衡になることの確認
企業２がdeviateして第１期を選ぶ
企業１はdeviationを観察する前に生産している
（Stackelberg Leader's outcome）→企業１はこ
れを所与として第1期にStackelberg Follower's
outcomeを生産する⇒利得はdeviation前と同じ
企業１がdeviateして第２期を選ぶ
→Cournotに⇒利得はdeviationによって下がる
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Instability of Cournot Outcome in
the Action Commitment Game
(1) Both firms choose period 1 (Cournot)
企業１がdeviateして第２期を選ぶ
企業２は第１期にCournot outcomeを選ぶ→企業１
は第２期にCournot outcomeを選ぶ⇒結局利得は
deviation前と同じ
off pathでは？
OT2010
25
Instability of Cournot Outcome in
the Action Commitment Game
off path: 企業２が第２期を選んでいたら？
⇒deviationの前後で利得変わらない
企業１が第１期でCournot outcome以外を選んでい
たら？
⇒deviationによって利得増える
第１期を選んでCournot outcomeを生産するのは第
２期を選ぶ戦略にweaklyにdominateされている。
Cournotはrobustではない。
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Introducing Small Interest Costs
第１期に生産すると在庫費用（あるいは金利費
用）がかかる
→待つことと第１期Cournot Outcomeを生産するこ
とが無差別でなくなる
⇒Cournotは均衡でなくなる
Cournotはrobustではない。
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Introducing Small Incomplete
Information
ライバルの費用がわからない
第１期に生産するとライバルの予想外の生産に対
応できない
→待つことと第１期Cournot Outcomeを生産するこ
とが無差別でなくなる
⇒Cournotは均衡でなくなる
Cournotはrobustではない。
OT2010
28
The Set of Pure Strategy Equilibria
均衡におけるP２
Equilibrium Outcomes
P2L
P2F
P2B
0
OT2010
ε
29
Instability of Cournot Outcome in
the Action Commitment Game
Revisited
均衡が２つある→混合戦略均衡もあるはず
混合戦略均衡は在庫費用がゼロに収束すると
Bertrandに収束
Inventory Costがあったり情報の不完備性があったり
してもBertrandが消えるとは必ずしも言えない
～Bertrandはdegenerateした混合戦略均衡
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30
The Set of Equilibria
均衡におけるP２
Equilibrium Outcomes
P2L
P2F
P2B
均衡の集合にはある種の連続性がある
0
OT2010
ε
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なぜobservable delayとaction
commitmentがこんなに違う？
observable delayで混合戦略を考える。
企業1がleaderとなるStackelberg, 企業2がleaderとな
るStackelberg, Bertrandがそれぞれ一定の確率で現
れる。
action commitment で混合戦略を考える
企業１が第１期を選ぶ場合、相手が自分の価格を見て
から価格を決めるかどうかわからない段階で価格を
決めざるを得ない。→企業１が選ぶ価格は
Stackelberg leaderのそれとBertrandのそれの中間に
なる～BertrandでもStackelbergでもないoutcomeが
一定の確率で現れる。
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Notations
pi: Firm i's price
Vi(pi,pj): Firm i's profit when it chooses period 2
εi: Cost of leading
Ri(pi): Firm i's reaction function
Superscript L: outcome when it is the Stackelberg leader
Superscript F: outcome when it is the follower
Superscript B: Equilibrium value in Bertrand
εi:= Vi(piL,pjF)- Vi(piB,pjB)
pi1 :Firm i's first period price at the mixed strategy
equilibria
qi :Probability that firm 1 choose first period price at the
mixed strategy equilibria
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Model
Action commitment game with price-setting competition
Firm i's payoff is Vi(pi,pj) if it chooses period 1 and is
Vi(pi,pj)-εi if it chooses period 2.
Strategic complements, stability condition is satisfied,
and V is twice differentiable.
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Mixed Strategy Equilibrium
First order condition for choosing pi1
(See equation 1 on page 5)
Indifference between choosing periods 1 and 2
(See equation (3) on the same page)
4 equations →four endogenous variables
OT2010
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Proposition
(1) Mixed Strategy equilibrium exists as long as
0<εi <εi
(2) εi →0 ,qj →1.
自分の待つ利益が十分に小さくなると、混合戦略均衡に
おいてライバルが第１期を選ぶ確率は十分に大きくなる
（おおきくならないと第１期と第２期が無差別にならな
い、第１期を選ぶ利益が厳密に大きくなってしまう。）
OT2010
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Intuition
εi=εi=εとする。symmetricな均衡を考える。
第２期まで待つ利益
(1)εを節約
(2) 相手の行動を見てから自分の行動を変えられる
先行する利益
(3)相手の行動に影響を与えられる
(1)が小さくなるほど、(3)も小さくなっていかないと２
つの効果がキャンセルしない。(3)が小さくなるのは第
２期を選ぶ確率が減る時のみ。しかし第２期を選ぶ確率
が小さくなると(2)も小さくなる。更に(3)が小さくなら
ないといけない。⇒εが小さくなると第２期を選ぶ確率
がどんどん小さくなる。
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