PowerPoint プレゼンテーション

第4課 輻射の方程式 I
平成16年11月1日
講義のファイルは、
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
質問は、
[email protected]
レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いま
せん。単位が欲しい人は5つ以上のレポートを提出して下さい。とにか
く全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。
M2その他で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。
4.1. 輻射の基礎方程式
吸収断面積
吸収断面積
線吸収
バンド吸収
波長
連続吸収
光学深さ τ
dx
I(x)
I(x)+dI
dI=-IσdN= -Iσn dx=-Iκρdx
dN=n dX=dX内の粒子数/単位面積
n=粒子の数密度 ρ=密度
σ=吸収断面積
光学深さ τ:
dτ=σn dx=κρdx
(optical depth)
dI=-Idτ
κ=質量当たり吸収係数
見通しとτ
X(厚み)
N=nSX
=粒子総数
Σ=σN=σnSX=総吸収断面積
Σ/S=σnX=τ
τ<<1 : τ=正面から見たときの粒子の被覆率
τ=1
:
正面(面積S)から見ると
重なり合いがなければ、被覆率=1
実験的に e を決められる?
第1課の復習: 体積輻射率ε
体積dVからのエネルギー放射率(全立体角)がεdVのとき、εを体積放射率と呼ぶ
dV
ε
=dsdX
dS
ds=X2dΩ
dX
dΩ
dω
X
dVからdSを通ってdΩに放出されるエネルギー率は、微小長さdXからI(X)への貢
献を dI とすると、
dIdSdΩ=εdVdω/4π=εX2dΩdXdS/ 4πX2
したがって、dI= (ε/4π)dX である。
Equation of radiative transfer
吸収: dI=-IσdN= -Iσn dx=-Iκρdx
放射: dI= (ε/4π)dx
吸収と放射の両方を合わせて、
dI(x)/dx= - Iρκ+ερ
dI(x)/ρκdx = - I+ε/κ
I(x+dx)
I(x)
前ページの(ε/4π)を
今後、ερと置く。
(εの意味がちょっと変わる)
κρdx= dτ
ε/κ=S
τ = Optical Depth (光学的深さ)
S=Source Function (源泉関数) で、τとSを定義すると、
 dI(τ)/dτ+ I (τ) = S(τ) : 輻射の基礎方程式
勿論、 波長表示では、 dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=S(τ λ)
周波数表示では、 dIν(τν)/dτν+Iν (τν)=S(τν) の意味である。
注意
:天体の表面をτ=0とし、光線がやってくる方向へ(上の図では左)
τが増えるようにとる記述もある。その場合、輻射の方程式は
dI (τ)/dτ- I (τ) = - S(τ)
となる。
吸収係数と見通し距離
同じ区間でもκ(x,λ)が波長により異なるので、τ(λ)=∫κ(x,λ)ρdx も
波長により変化する。特に吸収線の部分では大きくなる。
大体τ=1までを見通せると考えると、κ大の波長で浅い場所からの光を、
κ小では深い場所からの光が見える。
κ(λ)
τ=2
X
τ=1
λ
τ=0
観測者
λ
4.2.Source Function (源泉関数) : S
源泉関数Sはどう表せるのか?
0
局所熱平衡の仮定:
各点での吸収係数κや放射係数εが温度Tと密度ρ
(LTE)
で決定される。
ε(x)= εν (ρ,T)、κ= κν (ρ,T)
Sν (τν) =εν (τν) /κν (τν) =Sν (ρ,T)
すると、
1
T=T(x) : (Tが場所によって変わる)
Ⅰはdxの間に、ΔI=-[Iν (x)-Sν (ρ,T)] dτν の変化を受ける。
I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) ρdx+ε(ρ,T) ρdx
I(x)
= I(x) -[I(x)-S (ρ,T)] dτ
(ρ,T)
他のところでは温度は必ずしもTではない。
2 その他の点でも温度が一様
すると、
にTになった状況を考えて
Ⅰν (x)はどこでも、Ⅰν =B(T,ν)
みる。
Sν (x)は前と同じ、Sν=Sν (ρ,T)
I(x+dx)=B(T,ν)-[B(T,ν)-Sν (ρ,T)]dτλ
I(x)=B(T,ν)
I (x)=I (x+dx)= B(T,ν) なので
つまり
B(T,ν)-Sν (ρ,T)=0
熱平衡状態では
ところが、Sν (ρ,T) は系全体が熱平衡か
Sν (ρ,T)=B(T,ν)
どうかには関係なく、そこがLTEであれば
そこの(ρ,T) から決まるので、
一般に Sν (ρ,T)=B(T,ν) が成立する。
dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=B
あλ[T(τλ)]
か
:
LTEの輻射の方程式
4.3.簡単な解
(i) ε=0 (途中の物質がとても冷たい。)
光源
吸収体
Iλ (x=0)
Iλ(x)
x=0
dI/dx= - Iρ(x)κ(x)
: I(x=0)=I0
I(x) =I0exp ( -∫κ(λ)ρ(x) dx ) = I0exp [ -τ(x)]
x
入射光
吸収体
κρ
5
τ
0
I / Io
I
0
出射光
下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy
活動銀河 Mrk231 のスペクトルである。
による、
この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続(滑らかな)スペクトル
が銀河内星間ガスにより吸収を受けている。
Mrk 231
活動核
連続光
星間ガス
1
吸収を受けた光
0
5970 A
5980 A
5990 A
波長5980A(=0.598μm)の吸収線
はMrk231星間ガス中のNa原子によ
るもので、D線と呼ばれる。
吸収線の深さから Mar231銀河内のNa原子のコラム密度を求めよう。
D線中央の吸収断面積はσ=(2×10 -20 / √T ) cm2 である。 実験室ではTはNaガ
スの温度を表わす。星間空間ではTは銀河内ガスの運動による視線速度の幅を表わ
し、吸収線の幅 D=1.1×10-3 √T A である。 上のグラフから D≒1.8Aなの
で、 √T =1.64×103 となる。したがって、σ=1.22×10-23 cm2 である。
吸収線中央では ( I / Io ) = Exp(ーτ)=0.5  τ=0.7
Na原子のコラム密度を N (cm-2) とすると、 τ=Nσ であった。
したがって、N=0.7/ ( 1.22×10-23 )=5.8×1022 /cm2
この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたNaコラム密度とファクター
2程度しか違わない。
このように、吸収断面積を知っていると、吸収体のコラム密度を簡単に推算
できる。線吸収の吸収断面積については、後の章で勉強する。
簡単な解(ii) I(x=0) = 0
(天体の向こう側からは光が来ない。)
I(x,λ)
I=0
S(τλ)
x
x=0
dI(x,λ)/dx+I(x,λ)κ(λ)ρ(x)=ε(λ)ρ(x)
dI(τλ)/dτλ+I(τλ)=S(τλ)
I(x,λ) =∫0τλS(t)exp{ - (τλ-t)} dt
S(τλ)=So(λ)=const.の時、
I(x,λ) =So(λ) exp( -τλ)[exp(τλ)-1]=So(λ) [1- exp(-τλ)]
LTEが成立し [つまりS(τλ)=Bλ(T) ] 、
かつT=一様の場合、
Iλ =Bλ(T) [1- exp(-τλ)]
(1)τλ<<1の時は、
B(T)
Ⅰ
Iλ=τλBλ(T)
(2)τλ>>1の時、
Iλ=Bλ(T)
0
1
2
τ
3
輝度温度(brightness temperature) Tb
: Tbの定義
Ⅰ(ν)=B(Tb, ν )
例えば、 Tc=100Kの星間雲を1.42GHz(λ=21cm)で観測す
る場合、 x=hν/kTc =1.44 / 210,000 / 0.01=0.0007<<1
B(Tc,ν)=(2h/c2)ν3/[exp(hν/kTc)-1]
 (2 kTcν2/c2)
Reyleigh-Jeans law
光学的深さτ<<1のこの星間雲を観測して、
輻射強度I (ν)を得た。すると、
Ⅰ(ν)=B(Tb,ν) =τνB(Tc,ν)
(2 kTbν2/c2)=τν (2 kTcν2/c2)
:光学的に薄いから。
: レーリージーンズ領域
よって、光学的に薄くかつレーリージーンズ領域にある波長では、
Tb=τνTc
簡単な解(iii) I(x=0) =Io(λ)
Sλ (x)=Bλ(T)
Io(λ)
光源
光源と途中の吸収・輻射帯の両方
I(λ)
途中の吸収・放射帯
簡単な
I(x,λ) = Io(λ) exp ( -∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [-τλ ]
I(x,λ) =∫S(t) exp{- (τλ-t)} dt
をあわせて、
I (λ) = Io(λ) exp[-τ(x,λ)]+∫S(τ1λ)exp{- (τλ-τ1λ)} dτ1λ
= Io(λ) exp[-τλ] + Bλ(T)[1-exp(-τλ)]
τλ <<1の場合には、
I(λ) =Io(λ)(1-τλ)+ Bλ(T)τλ
= Io(λ) + [Bλ(T) - Io(λ) ]τλ
解(i)
解(ii)
例: CaIIのK線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線
Teff
Tchrom(高温)
スペクトル
恒星大気
彩層
Teff
Teff
6,400
30,000
6,250
9,800
7,300
5,950