10．時系列データ time

１０．時系列データの解析
time-series data
• フィルタリング（filtering）
＊移動平均（moving average）
• スペクトル解析(spectral analysis)
周波数ごとに分解する。
＊理論
＊Blackman-Tukey method
＊Fast Fourie Transform method
＊Maximum Entropy method
移動平均(running mean)
3
7
9
5
7
10
4
(3+7+ (7+9+ (9+5+ (5+7+ (7+10 (10+4
9)/3
5)/3
7)/3
10)/3 +4)/3 +4)/3
6.3
7
7
7.3
7
6
4
El Nino, Southern Oscillation
（エルニーニョ・南方振動）
SOIはタヒチとダーウィンの海面気圧の差：負
がエルニーニョに対応。（T－D）
移動平均
(running mean,
moving average)
M
1
yk 
xk  i

2M  1 i   M
yk 
Lowpass
Highpass
M
W  x
i  M
i
M
W
i  M
i
k i
1
重みつき平均
weighted mean
Bandpass
重みつき平均
• １－２－１
2 grid noise を消せる。
-1, +1, -1, +1, …..
 2ni

xi  A cos
  ,
 2

xi 1  2 xi  xi 1  0
• 13ヶ月移動平均の場合：
端を1/2 にするといい。
• 1, 3, 4, 3, 1 は３の周期も消せる。
（0, 1, -1, 0, 1, -1….)
ni  0,1,2,.....
重みつき平均はよりスムース
3
-3
3
-3
3
-3
3
単純
平均
1
-1
1
-1
1
-1
重み
平均
0
0
0
0
0
0
-3
周期Ｔの周期関数 X(t) のフーリエ級数展開
a0
2t
4t
 a1 cos
 a2 cos
 .........
2
T
T
2t
4t
 b1 sin
 b2 sin
 ..........
T
T
a0  
2nt
2nt 
    an cos
 bn sin

2 n 1 
T
T 
x(t ) 
2
an 
T
2
bn 
T
T
2
2nt
T x(t ) cos T dt

2
T
2
2nt
T x(t ) sin T dt

2
フーリエ積分・逆フーリエ積分

x(t )   X ( f )e
i 2ft


X ( f )   x(t )e
df
i 2ft

1
X ( f )  X ( ),
2
  2f

x (t )   X ( )e it d

1
X ( ) 
2



dt
x (t )e it dt
パワースペクトル(power spectrum)
P( f )  lim
T 
2
1
X
(
f
)
T




x   P( f )df
2


1 2
x   P( f )df
0
2
Power（ワット）は単位時間にする
仕事（＝エネルギー：ジュール）
エネルギー
スペクトル
Energy
spectrum
自己相関関数
auto-correlation function
C ( )  x(t ) x(t   )  lim
T 
T
2
T

2
1
x(t ) x(t   )dt

T
auto  correlation coefficient
R( )  C ( ) / C (0)  x(t ) x(t   ) / x (t )
R(0)  1
2
周期性の検出：自己相関係数(Auto-correlation)
Detection of periodicity
Wiener-Khintchine’s relation

C ( )   S ( )e d ,   2f
i

1
S ( ) 
2
自己相関関数
C（τ）



C ( )e
i
フーリエ変換
逆フーリエ変換
d
パワースペクトル
S（ω）、P(f)
実際のデータの長さは有限である。
C(τ）のτを無限に大きく出来ない。
 m  T
lag  window
1
 1
W0 ( )  
2
 0
   
   
   
m
m
m
箱型ウィンドウと三角形ウィンドウ
「スペクトル解析」（日野幹雄）
Hanning & Hamming windows
Hanning & Hamming windows
「スペクトル解析」（日野幹雄）
Total data
N=５１２
実践！気候データ解析
（松山・谷本）
実践！気候データ解析
（松山・谷本）
情報量とエントロピー
• ある事象がＡ，Ｂ2つの状態をとりうるとする。もし、前もって状
態Ａが起こることがわかっていれば、すなわちＡの生起確率１、
Ｂの生起確率０であれば、未来の不確実さはなく、新しい情報
の意味はない。
• 確率ｐの事象Ａが生起したとすれば、これの与える情報量を
ＩＡ＝log2 1/p
と定義する。
Pが１に近ければ、情報量は０に近いが、ｐが０に近ければ情
報は大きい。
• n個のとりうる状態があり、それぞれの確率をpj とすると、事象
ｊが生起したときに与えられる情報量は
Ｉｊ＝log 1/pｊ
• 情報エントロピーは「1回の試行により得られるであろう情報量
の期待値」として次のように定義される。
H  E[ I j ]   p j log2
j
H    p( x) log p( x)dx
1
  p j log2 p j
pj
j
(7.3)
「スペクトル解析」（日野幹雄）
時系列の情報エントロピーと相関行列
「スペクトル解析」（日野幹雄）
MEMー最大エントロピースペクトル
• スペクトルのフーリエ変換が相関係数であるという
Wiener-Khintchineの関係の制約のもとでエントロ
ピーを増加させないように未知部分の自己相関係数
を推定する。
「スペクトル解析」（日野幹雄）
実践！気候データ解析
（松山・谷本）
環境解析学特論レポート（山崎分）
以下の最低１つを行うこと。
締め切り7月31日
（１） y の x への回帰直線が以下のようになることを示しなさい。
y
S xy
S xx
x  x   y
(2) 以下にある北極振動指数と日本の気象官署1点のある月
の気象変数（気温とか降水量とか）の相関係数を求め、有意
性を議論せよ。時系列図、散布図もつけること。
http://wwwoa.ees.hokudai.ac.jp/svnam/index.html
http://wwwoa.ees.hokudai.ac.jp/svnam/SV-NAM-data.txt
(3) △波のフリーリエ級数展開を求めよ。

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