2001年度経済統計処理講義内容

不平等度の分析
（ローレンツ曲線とジニ係数）
経済データ解析 2011年度
貯蓄現在高階級別の世帯分布は、下のようになっている。
• この分布は、少数の大
金持ちと多数の庶民が
いる状態を示している。
• このような状態は不平
等であると考える。
• すべての人の資産†が
等しい状態を平等‡とし、
そこからどの程度離れ
ているかを知りたい。
出典：総務省統計局『家計簿から見たファミリーライフ』
(http://www.stat.go.jp/data/kakei/family/4-5.htm#1)
† 所得面から平等をみる
こともある。
‡ 平等を定義することは容
易ではないが、ここで
はこのように定義する。
† 5人兄弟の遺産相続の例
5人兄弟が遺産を相続するとき、
(a) は、5人兄弟がそれぞれ5分の1ずつ相続するという例。
(b) は、5人兄弟がそれぞれ異なった取り分を相続する例。
(c) は、長男がすべての遺産を相続するという例。
(a)
長男
次男
三男
四男
五男
(b)
取り分
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
長男
次男
三男
四男
五男
(c)
取り分
5/15
4/15
3/15
2/15
1/15
長男
次男
三男
四男
五男
取り分
1
0
0
0
0
(a) は、5人が平等に相続しているのに対して、(b)や(c) は、
不平等である。
(b)のパターンを例に取り上げる。このパターンを、取り分の
小さい順に並べかえ、人数の比率と金額(遺産の取り分)の
比率の累積を計算してみる。
五男
四男
三男
二男
長男
計
人数
人数比率
累積人数比率
遺産額
金額比率
累積金額比率
1人
1人
1人
1人
1人
5人
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
1億円
2億円
3億円
4億円
5億円
15億円
1/15
2/15
3/15
4/15
5/15
1/15
3/15
6/15
10/15
15/15
累積－それ以前のものをすべて加えるということ。
(例) (b)の三男の累積金額比率
「五男の取り分」＋「四男の取り分」＋「三男の取り分」となる
ので、1/15 + 2/15 + 3/15 = 6/15 となる。
ⅰ) ローレンツ曲線
横軸に累積人数比率を、縦軸に累積金額比率をとり、線で
つないだものが下の図である。
1
累積人数比率累積金額比率
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
1/15
3/15
6/15
10/15
15/15
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

0.2
0.4
0.6
0.8
1
この曲線は、ローレンツ曲線とよばれ、不平等の度合いを表す曲線で
ある。
遺産相続の3つのパターンについて、取り分の小さい順に並
べかえ、人数の比率と金額(遺産の取り分)の比率の累積を
計算してみた。
(a)
(b)
累積人数比率累積金額比率
五男
四男
三男
次男
長男
1/5
2/5
3/5
4/5
1
(c)
累積人数比率累積金額比率
1/5
2/5
3/5
4/5
1
五男
四男
三男
次男
長男
1/5
2/5
3/5
4/5
1
1/15
3/15
6/15
10/15
1
累積人数比率累積金額比率
五男
四男
三男
次男
長男
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
0
0
0
0
1
遺産相続の例
1

0.9
(この例では(a)のグラフが該当する。)
0.8
0.7
累積金額比率
45度線が完全平等線といわれる。
0.6
(a)
0.5
(b)
0.4
(c)

不平等度が大きいほど、グラフが完
全平等線から右下方に離れる。
→ （ｂ）より（ｃ）の方が不平等
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
累積人数比率
0.8
1
ⅱ) ジニ係数
ローレンツ曲線の完全平等線からの離れぐあいを数
値で表したもの
完全平等線とローレンツ曲線で囲まれる部分の面積
を2倍したもの
遺産相続の例
1
0.9
0.8
累積金額比率
0.7
この面積の2倍
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
累積人数比率
0.8
1
灰色の四角の面積が1なので、0と1の
間の値をとり、1に近いほど不平等度
が大きい
ジニ係数の計算方法
残りの部分を台形に分割し、正方形から引く
台形の面積の公式
(上底＋下底)×高さ÷２
を使う。
下底
上底
高さ
遺産相続の例 (b)
遺産相続の例
1
0.9
0.8
0.7
累積金額比率
五男
四男
三男
次男
長男
累積人数比率累積金額比率
1/5
1/15
2/5
3/15
3/5
6/15
4/5
10/15
1
1
0.267
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
遺産相続の(b)で、次のような台形がある。
上底－三男までの累積金額比率（6/15）
下底－次男までの累積金額比率（10/15）
高さ－三男と次男の累積人数比率の差（1/5）
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
累積人数比率
この台形の面積は (6/15 + 10/15)×1/5÷2
= 8/75
このような台形（1番左は直角三角形）の面積を全部加え、その2倍を正方形から引く
1－(1/150 + 2/75 + 3/50 + 8/75 + 1/6) × 2
= 1－11/30×2
= 4/15 = 0.2666…
年間収入の例 (平成22年家計調査 2人以上世帯)
階
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
1250
2000
級
-
集計世帯数
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
1250
1500
218
344
485
683
679
685
588
528
484
438
372
316
269
491
345
496
196
201
累積世帯数累積世帯比率年間収入
218
562
1047
1730
2409
3094
3682
4210
4694
5132
5504
5820
6089
6580
6925
7421
7617
7818
0.00000
0.02788
0.07189
0.13392
0.22128
0.30814
0.39575
0.47096
0.53850
0.60041
0.65643
0.70402
0.74444
0.77884
0.84165
0.88578
0.94922
0.97429
1.00000
158
226
275
323
373
423
473
524
573
621
672
721
773
844
945
1101
1360
1984
年収総額
累積年収総額累積年収比率
34444
77744
133375
220609
253267
289755
278124
276672
277332
271998
249984
227836
207937
414404
326025
546096
266560
398784
0.00000
0.00725
0.02361
0.05169
0.09812
0.15143
0.21242
0.27096
0.32920
0.38757
0.44482
0.49744
0.54539
0.58916
0.67639
0.74501
0.85996
0.91606
1.00000
34444
112188
245563
466172
719439
1009194
1287318
1563990
1841322
2113320
2363304
2591140
2799077
3213481
3539506
4085602
4352162
4750946
計
(例) (0.00725+0.02361)×(0.07189-0.02788)÷2 = 0.00068
ジニ係数 1－0.35231×2 = 0.2954
台形面積
0.00010
0.00068
0.00234
0.00654
0.01084
0.01594
0.01818
0.02027
0.02219
0.02332
0.02242
0.02108
0.01952
0.03974
0.03136
0.05091
0.02226
0.02463
0.35231

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