3章東西平均した成層圏のありよう

４月の気層のひかりの底を
……
まばゆい気圏の海のそこに
－宮沢賢治－
２章：中層大気の大循環（とくに、東西平均した中層大気のありよう）
２ー１：観測された大気場
中層大気の東西に平均した全球的な温度
構造をみておこう。対流圏とは異なる温度
構造（図は地表、対流圏から 120km までで
冬と夏の季節）。
夏半球の50kmあたりが高温になっている。
これは太陽放射のオゾンによる吸収といわ
れている。さらにその上の約90kmの夏では
低温（日のあたらない冬で高温）になってい cold
て、これは放射だけでは説明されない。
太
陽
の
あ
た
り
方
warm
極域の冬の下部成層圏では、北半球の方があ
つい（左図、北半球の方が山岳が多い）
＜－惑星波の熱輸送の差と考えられている
冬
夏
冷たく
cold
冷たく
colder
南半球
北半球
１月
７月
１月
７月
中層大気では対流圏とは独自の風系を形成し
ている。
夏半球で東風、冬半球で西風になっている。
弱風
地球大気の場合は自転がはやいので、東西平
均した東西風の場合、だいたい地衡風が成り立
つ
西風

2u sin   
y
静力学平衡の式：

RT

z
H
西風
東風
東風
２つをあわせて、温度風の式で東西風と温度は
関係している
2 sin 
u
 
R T


z
y z
H y
左図が１月、右図が７月の平均東西風。成層圏の
冬の西風は南半球がつよい。
対流圏
冬
赤道域50kmで東風、80kmで西風、赤道域半年周
期振動をみている
90-110kmの高度ではその下の風系と逆センス
成層圏の東西風の北半球と南半球の違いの図：
北半球
２−２成層圏放射をちょっとだけ
赤外放射の吸収係数 kνを波長によらず—定として、上下の赤外放射エネルギーの流れの式は、吸収と放出を考えると
（cf. 松野と島崎、成層圏と中間圏の大気、1981）
dI   dz sec  (k I  e )
dF↑／dw ＝ F↑ — B
dF↓／dw ＝ —F↓＋ B
dw  kdz

ここで、B＝∫0∞ Bν dν＝σT４（ボルツマンの法則）、wは光学的厚さ、矢はフラックスの向き

放射平衡の条件：Ｎｅｔの放射フラックスとしてF↑net ＝F↑—F↓を定義して、これの鉛直方向の収束がないことで決まる
B（w）（温度）をきめる (収束があると温度が変化する）。
式では、
d（ F↑net ）／dw ＝d（F↑—F↓）／dw＝０
大気上端
境界条件は、大気上端で逃げるエネルギー F↑(0)をJ０（これは入射する日射量（ − 短
波反射）であろう）で F↓(0)=0 、それが F↑net にも等しいとして（F↑net ＝—定＝ J
０）。
始めの２式を変形して、d（F↑+F↓）／dw=F↑—F↓ 、これを積分すると、
F↑+F↓=F↑net w+C ー＞境界条件から、C=F↑top＝F↑net = J０
また、２式の変形から d（F↑—F↓）／dw＝F↑+F↓−２B＝０なので、
Ｂ（大気温度に対応）は
B＝J０/2 x（１＋ w ）
また、F↑—F↓＝J０なので、
F↑＝J０/2 x（２＋w）
F↓＝J０/2 x (w)
のように決まる。図は右のようになる（光学的厚さを鉛直座標として）
（大気上端近くでは（成層圏では）、下向きフラックスはゼロに近い）
w＝２
地面の温度をTgとする。それを黒体温度としてBgとかくと、こ
れは地面でのF↑だろう
Bg（ Tg ）＝F↑g＝J０／２＊（wg＋２）
＝ B（wg）＋J０／２
地面温度（左辺）と地面と接する大気の温度（右辺の１項）に
差がある。
光学的厚さwを高さに変換する：
吸収物質の密度は静力学平衡の大気密度とおなじように指数関数
で分布すると仮定
ρ（z）＝ρ０exp（ー z／Hs）
Hsは吸収物質のスケールハイト
B（w）＝J０／２（w＋１）
は
B（z）＝J０／２（wg exp（ — z／Hs）＋１）
右上は高さで表現した図：←物質の量としての分布であったー＞
大気上層では等温の成層圏ができる＜— w≒０のところで物質密
度が小さいので引きのばされて等温層になる
O3のない
地球
地球
外からみた地球大気の相当黒体温度は
B（Te）＝F↑（０）＝J０だろう
一方、成層圏の温度は式 B＝J０（１／２＋w／２）から
B（０）＝J０／２＝B（Te）／２
と相当国体温度に比べ低温になる（ B と F↑の差）
地球大気では成層圏でオゾンによる高温化あり、惑星によって異
なるー＞右下図を参照
木星
金星
赤外放射のNewton冷却近似：
エネルギーフラックスの鉛直方向収束が大気温度の変化をもたらすので、
ρa Cp dT/dt = - d/dz (F↑—F↓)
のようになるであろう。ここでは、ρa (kg/m3)が大気密度である。 Cp (J/K/kg) は定圧比熱。
右辺は、
d／dz（F↑—F↓）= —kρ（ F↑＋F↓—２B ）
成層圏ではF↓は無視（大気の上端では0であった）、F↑ は殆ど変化なしと仮定、B も殆ど変化なしとする。
r＝ρ／ρaとすれば、上の式は
Cp dT／dt＝—２k r B
＋k r F↑
のようになる。
こんな感じ
放射平衡にあって、平衡から少ししかずれないとすれば、B＝B０＋dB／dT・dT
みたいに書けるであろう。そうすると
dT／dt＝—２kr／Cp dB／dT・dT—２kr／Cp B０＋kr／CpF↑
このような線形近似（右辺の１項）をNewtonian coolingの近似とよぶ。
温度擾乱に伴う力学の議論でよく使う（熱的な散逸でこの近似をつかっている）
２kr／Cp dB／dT ：Newton冷却係数とよぶ。
Dickinson (1973) の求めた値をしめしておこう、この
程度でもとにもどる——＞１０日くらいまたはそれより
早い！これより早い周期の波動には、Newton
dampingはあまりきかない
左がNewton冷却係数（時間の逆数）で
右は平均的な冷却率を示す（Ｋ／ｄａｙの単位）
中間圏ではもうすこし緩和時間は早いようである（数
日？）（Wehrbein and Leovy, 1982, JAS)
ー＞このようなdamping係数がよく使われる
中層大気大循環をおこす大気加熱について
太陽放射による大気加熱率と赤外放射による冷却率の鉛直
１次元分布（Ｋ／ｄａｙ）。London(1980)より、図はAndrews et
al. (1987)から。図からわかる様に中層大気においては、太陽
放射による加熱率はオゾンによるものが—番大きく、赤外放
射は二酸化炭素による
中層大気では、オゾンによる
太陽放射吸収により大気が温められ、また赤外のcoolingが
あり（式の右辺ー＞T）、それらが、熱力学的強制と考えられ
る。
cp
dT
dp d' Q


dt
dt
dt
大循環は、大気加熱の緯度的違いが重要であろう。
太陽放射加熱率の中層大気における緯度—高度断
面図を示す（O3, O2, NO2, CO2 の吸収が考慮され
ている）。図の左が夏半球に対応。50kmで最大の大
きさ。 90kmあたりもおおきな加熱率
 それにもかかわらず、観測結果は夏半球90km
あたりの温度は低い。
London(1980)より、図はAndrews et al. (1987)
の教科書から
短波＋赤外放射（観測温度が考慮）の大気加熱率の緯度—
高度断面図：冬半球は赤外放射で冷却されている
放射のみによって決るらしい成層圏・中間圏の温
度分布。Wehrbein and Leovy(1982)
冷却率
加熱率
違い
173
233
右上図は短波放射による加熱と赤外による冷却のバ
T
ランスによって決る温度分布である。
 Q /c p
t
のような力学の入っていない式を解いてもとめた。夏
半球は高温になり、極夜では赤外放射で低温になる。

この図と観測による温度図とを比較する。大きな差が
存在する。この差は力学の効果ということで、そのこと
を簡単なモデルで考えよう。
観測されている温度
２−３：中層大循環を表す１つの方法
いつか巨大な配電盤は
交通地図の模型と変じ
--宮沢賢治
観測をもとに東西平均をした中層大気を２−１で眺めた。
東西方向の運動方程式は、
 u  u  u  u uv tan 

 u  v  w  a  2 v sin   
t x y z
x
のようであった。この式で球の効果を無視すると、
u
u
u
u

u
 v  w  fv  
t
x
y
z
x
となる。連続の式
ー＞高度・緯度の２次元的理解と、東西非一様擾乱
波動による、東西平均の影響（効果）についての式を導出して
おこう。
大循環の運動は３次元の運動であるが、中層大気の気象力
学で理解の１つの方法として使われる
u v
1 pw


0
x y
p z
を用いて東西方向の運動方程式を変形すると、
u 

1 

 (uu)  (uv) 
( puw)  fv  
t x
y
p z
x
運動量フラックスの形
物理量を
u  u  u'
f(x)を周期2Lの周期関数として、
（フーリエ分解的に見れば、直流成分＋sin(kx)みたいな分離）
のようにする。 over-barの東西平均量は東西に一様であり、南北、高度、
時間の関数となる。 primeはそれからのずれを示す。

a0
n
n
f (x) 
 (an cos
x  bn sin
x)
2 n1,2,...
L
L
これらを上の運動方程式に代入すると、




(u  u ' ) 
(u  u ' )(u  u ' ) 
(u  u ' )(v  v' )
t
x
y
1 


p(u  u ' )(w  w' )  f (v  v' )  
(   ' )
p z
x
この式に、さらにover-barの東西平均の操作をほどこす。このとき、primeとover-barの積の項を平均操作するとゼロ。結
果として
u
u
u

1 
v
w
 fv   u'v' 
pu' w'
t
y
z
y
p z
のような式を使って議論される。prime量が東西に非一様な擾乱で、それが相関として東西平均量に影響をおよぼすであ
ろうことを示している。

数学的にみれば、方程式が非線形のためにこのようなことが起こる：sin2kx=(1- cos2kx )/2 を平均して直流成分がでてく
る
ー＞東西平均場と東西に一様ではない擾乱を分離して調べる
ことになる。
結果的に東西平均の運動方程式は、
一方、prime印の擾乱については、線形の運動方程
u u u

1
u
式（
が一定の場合は１章の議論が使える）がよく
 v  w  fv   u'v' 
pu'w'
用いられる。
t y z
y
p z
v v v


1
 v  w  fu    v'2 
pv'w'
u' u' u
u
'
t y z
y y
p z

u

v'

w'

fv'


 t x y
z
x
v 1 

pw  0
v' v'
'
y p z
 u  fu'  
t
x
y

R
 T
u' v' 1 
z H
 
pw'  0
x y p z
 
 
 


 v
 w
 w N 2   v'z '  w'z '  Q

R
t z
y z
z z
y
z
'  T'
z
H
のようになる。左辺が東西平均場の変化の仕方をしめし、

 
 
 
(

u
)
'v'

w'
 N 2 w'  Q'
右辺が波動のフラックスの収束を表し、波動の東西平均
t x z
y z
z z
場への作用を表していると思ってよいであろう。波の作用
は波の特性に依存する。また、左辺は非線形項がふくま
れれている。

成層圏の大気大循環は、このような式（実際はこの式を
変形したものだが、transformed Eulerian mean equation
と呼ばれる、これについては４章で述べられるであろう）
をもちいて解釈されることが多い。
例えば、線形の傾圧不安定波動の議論では、
   
 T
y z y
によって不安定擾乱が作られるであろうとして、議
論される（準地衡風近似のもとで）。

２一４：簡単２次元モデルによる年振動の理解
東西に平均した東西方向の運動方程式は（平均場について線形とする、Holton, 1982, JAS）
u
1 
1 
u
 fv  
puw 
( p
)
t
p z
p z
z
(1)
右辺の第２項に鉛直方向の粘性を入れてある。また右辺１項に重力波の効果が書かれてある。
熱力学の式の大気加熱の評価
中層大気における放射による大気加熱は、
Qtot   dT  2kr / c p  B0  kr / c p F  qozone
のようだろう。ここで右辺の１項はNewton 冷却を、２，３項は基本的な温度における赤外放射による非断熱加熱、４項は
オゾンの紫外線吸収による大気加熱をしめす。
ここで Qtot = 0 となるような、仮想的に決まる温度をTe(緯度、高度、時間の関数）とする。そうすると Qtot は以下のよう
になるであろう、
Qtot   (T  Te)
さらに、年平均としてきまる高さだけの温度 T0(z) を導入すると、
Qtot    (T  Te )  (Te  T0 (z))   (T  T0 (z))
 Q(y,z,t)  T'
結果として東西平均した熱力学の式は以下のようになるであろう
(2)

H
T 
N 2 w  Q( y, z, t)  T
t
R

Q は放射による大気加熱の年振動、第２項は赤外放射のNewton 冷却近似である。左辺２項は、上昇流で断熱膨張し温
度が下降することを示す。この式で、惑星波動の効果は考慮されていない。

このように、線形の強制問題にすると分かりやすい
南北方向の運動方程式としては地衡風の方程式を採用する。
(3)
連続の式は
(4)
fu  

 y
v
1 
 p
( pw)  0
y
z
最後に静力学平衡の式は
(5)
  RT
H
 z
(1), (2), (3), (4) , (5) が以下の議論に使う基本方程式である。決
めるべき物理量は、東西風、南北風、鉛直流、温度、高度場の５
つである。
(2) の右辺の熱力学的な強制（放射によってきまる）のみが与えら
れ、粘性が与えられている条件で問題を解くことを考える —＞結
果として、風や温度偏差が決定される
f は—定、N2、α、νは鉛直のみの関数として、上の式を東西方
向の風 u のみの１つの方程式にする。
(6)
渦粘性係数νとしては図のようなものが使
われる（木田、高層の大気から）
2
2
  2 u
f  p u 
f 
p
u
f  
p
( 2 
)
( 2 Q)
 2 
 
2
t y
p z N z 
p z N
z
p z y N
2
2 1 
u

F 
p
z
y 2 x
y2 p z
ここで
であるが、いまは考慮しない。
1 
Fx   p
p uw
z
Holton (1982) に従って次の様に南北方向に関数形を仮定する。
(7)
u  U ( z ) sin ly
ここで、例えば東西風は北半球のみを選んでいる。
f = 一定近似は赤道域ではおかしい結果をもたらす。
—＞球面の方程式を用いるべきであろう —＞あとで
対応した放射加熱の形は
(8)
Q  Q(z)  cos l y
である。ここで L = π / l は半球のスケールに対応している。この様に仮定すると(6)式は以下の様になる（ここでN2 は—
定と仮定する）。
(9)
2
  z / H

1 
l 2 N 2 U
l2 N 2
U 
z/H 
(


)

e
e
(



)

z2
H z
f2
t
z 
f2
z 

l 1 
l2 N 2

( p Q) 
Fx
f p z
f2
ー＞南北の変数を一つのモードで表し、鉛直と時間の関数の東西風の式となる。
Q(z,t) を与えて、鉛直と時間の変数として U（運動）を決めることになる。
この式は右辺を与える（今の場合はQ：放射加熱）と適当な境界条件を与えることにより数値的に簡単に解くことが出来る。
上端の境界条件として適当に高い所で
(10)
U 0
z
at z  z t
w0
また下端の境界条件としてここでは
とする。熱力学の式を思い出すと、
at z  z b
 

Q
t z
z
at
z  zb
地衡風の式と南北構造の仮定からUについて
  U
l
U

Q  
f
t  z
z
(11)
注意：Ｑの前はｌ（Ｌの小文字）
at
z  zb
またニュートン冷却率として図の実線の25 km
“boxcar” という記号のついたようなものを選ぼう。
これで境界条件（式１０、１１）が揃ったので Q , Fx が与えら
れれば解くことが出来る。時間積分については例えば Holton
and Mass(1976) のsemi-implicit 法を使って解こう
Q のみが与えられたときの解を求めよう。まえに太陽放射の
緯度−高度断面図を示した。図は５０ｋｍにピークがあり、南
北には第１近似的に cos 的な形をしており、振幅は８Ｋ/day
ほどである。そこで Matusno(1982)に従ってQを以下の様な
形に仮定する。
(12)
Q
2
R
 8K / day  exp(  ( (z  50km) / 17km) )  cosly
H
Wehrbein and Leovy,1982. JAS
結果：
南北のスケールとして７０００ｋｍ、下端ｚ＝０ｋｍ、上
端ｚ＝１２０ｋｍとして計算した結果を図に示す。秋の
equinox を時間ｔ＝０として、初期条件はｔ＝０でU=0と
した。１年を３６０日としてあり、２年間はしらせた。西
風、東風が交互に繰り返している。このことは観測図
の夏半球での東風、冬半球の西風と対応している。し
かしこの図と観測図は風の定性的構造が全く異なっ
ている。観測では約９０ｋｍ近くでほとんどゼロの風に
なっており、—方この図では６０ｋｍ近傍の風が高さと
ともに減少せず、—定になっている。
観測での東西風の変動（４０N)
図：計算された平均東西風の時間変化
高層に分子粘性やイオンdragが入った計算：上層がすこ
し弱くなっている（Matsuno, 1982, JMSJ)
補足：f—平面の議論では赤道でおかしくなるので、球面ということを考慮したモデルを見ておこう。
線形近似がなりたつとすれば、東西平均した式は
u
1 
u
 2  sin v  Fx 
( p
)
t
p z
z

2 sin  u  
a 
1
 cos v
1 

( pw )  0
cos 
a
p z
 

 N 2w  Q  
t z
z

RT

z
H
のような形。球面上の式では南北方向が緯度の複雑な関数になる。
Matsuno(1982)に従って、
   n ( ) xn (z)
またこのモードの変数分離の定数（固有値）はSM
n
と、変数分離の方法を用いて、
により、
h＝ -10.82km
1
1  cos 
1
L(n ) 
(

)


n
n
の負の値として求められている。
42 a 2 cos  sin 2  
ghn
のように南北成分をとりだしてみよう。ここで hn は１章
で述べた、南北と鉛直を分離するさいの変数分離定数
と呼ばれるもので、hn は等価深さである。緯度につい
て２階の微分方程式の固有値問題となっている。
中層大気の年振動モードは、Sawada and
Matsushima(1964) が求めていて、赤道に対しての最低
n
次の反対称モード（赤道にたいして
の形が北半球
が正のとき、南半球は負になるモード）と考えられる。
そのモードの南北構造の形は右図のようである：
（u は赤道に関して反対称で、ｖは対称である）
（９）式

 2  1   l 2 N 2 ) U  e z / H  
l2 N 2
e  z / H ( 
 ) U 

2
2
z
H z
f
t
z 
f 2
z 
l 1 
l2 N 2

( p Q) 
Fx
f p z
f 2
(
をみると、Newton冷却の項と運動量の鉛直拡散の項は同じ形。ここでは鉛直拡散の項を無視し、平衡を仮定した解（年振
動はゆっくり変化していて、Newton冷却の時間に比べて無視できるであろう）を見てみよう。
鉛直流を無視すると（Fxを考えず、鉛直拡散を無視、東西風の変化は南北風で生成される。東西風の変化を無視する近
似は南北風＝０であろう、そうすると連続の式から鉛直風＝０とおいていいであろう）、熱力学の式は
 
z
で、加熱に対応して
Geopotentialが積み
あがっていく。その圧
力南北勾配に従って、
地衡風が積みあがる
ことになるから、右の
ような東西風になる。
この結果は前に示し
た数値計算と同じに
なっている。
これは観測の風と全く
異なる。

東西風を減速するの
に東西非一様な擾乱
によるforcingみたい
なものが重要な役割
を果たしているようで
ある。
 Q
弱風層ではない
低温
弱風層
高温
東風
夏
西風
冬
候補としての中間圏の重力波
５０ｋｍ〜９０ｋｍの中間圏高度では、温度は高さとともに減少している．しかし水はほとんどなく，温度勾配も緩やかなの
で，基本的には対流不安定は起こっていない（g/Cpより勾配は小さいから）
しかし、対流圏から鉛直に重力波が伝わってきて，しかもここで振幅
が大きくなり，不安定が起こっているところがある（中間圏は結構ぱ
たぱたしている）．波が壊れたり（局所的に乾燥断熱減率を超える温
度勾配）、散逸があると—＞平均東西風の変化をおこす。
中間圏の重力波に伴う温度変動：
9/2000-9/2001、インドネシア中間圏の
OH airglowで観測された重力波
（Nakamura et al., 2003, GRL）
重力波のBreakingの例：Lindzenの教科書から
＜— 時と場所による
重力波の詳しい話しは6章
現状の大気大循環モデルの結果の１つ
西風加速
１章でしめした、primitive方程式を直接解いた結果。
重力波のはたらき
惑星波動による加速
Watanabe et al., JGR, 2008、水平分解能は50km程度、
鉛直は300mの高分解能モデル
東風加速
２−５：いろいろな所の平均東西風
赤道域の５０kmあたり、および８０kmあたりに、半
年周期振動が存在する。
コリオリがゼロになると
u
1 
u

( p
)  Forcing
t
p z
z
のようになり、赤道域ではForcingが直接東西風を変化さ
せているらしい現象も存在する。
ー＞波動の役割については、９章で
高緯度：
赤道下部成層圏の準２年振動
1979, 2月26日の平均東西風、高緯度で東
風になっているー＞１０章
火星大気：
観測された温度と、地衡風で評価された東西風＜ー＞地球大気
温度
冬半球
夏半球＜ー＞冬半球
warm
東西風
東風
西風
Smith et al., 2001, JGR
風の分布をみると、地球の成層圏の夏と冬の風によく似ている。火星の大気量は成層圏と同程度であ
る。火星の自転速度や赤道傾斜角も地球と似ていることが関係しているであろう。
金星成層圏大気の全球的温度構造
Walterscheid at al., 1985, JAS
金星の成層圏で速い風が吹いている。１０
０m／s程度の風。自転周期は243地球日、
自転速度は1.5m/s
遠心力バランスから評価
地球大気と異なった大循環の様子であるが、このような風系に東西に非一様な擾乱
の赤道方向への角運動量輸送が重要な役割をはたしてようである。
木星赤道域成層圏で準４年振動があるらしい—＞地球の赤道域下部成層圏の準２年振動と類似の長周期振動
late 2000, early 2001
南北方向の運動方程式に於いて、地衡風（コリオリ力と
圧力勾配力のバランス）が成り立つとして
f u = ー d Φ／dy
—＞すると温度風 f du/dz = - d/dy (RT/H) から温度
差は風の鉛直shearに対応している。
20hPa
10hPa
緯度
Leovy et al., 1991, Nature
より詳しい観測成果、準４年振動 Flasar et al., 2004,
Nature、温度は観測ー＞ 500hPaの風は雲の追跡、そ
れから温度風を

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