鹿児島大学／愛媛大学 宇宙電波天文学特論 第２回 輻射輸送と電子１個の放射 半田利弘 鹿児島大学 大学院理工学研究科 物理・宇宙専攻 Mellinger 光線 ▶ 微小面から微小面を照らす ■ エネルギー保存則 dE=I1 dA1 dt dW1 df =I2 dA2 dt dW2 df ▶ 立体角の定義から dA 2 2 2 dA12 /R , dW2=dA1 /R ■ dW1=dA ■ 代入して、整理すると dW2 dW1 I1 =I2 ▶ 光線の強度は保存する R Mellinger 電磁波への物質の影響 ▶ 輻射輸送 ■ ■ ■ 物質中を電磁波が伝わる現象を分析 現象論的に考える 光線に沿った1次元で考える ▶ ２つの効果 ■ ■ 物質が光を吸収する 物質が光を放つ Mellinger 輻射輸送のモデル ▶ 吸収：吸収係数 k ■ ■ 物質の量（柱密度）に比例する（後で反映） 入射光の強さにも比例する ▶ 放射：放射量 j ■ 物質の量（柱密度）に比例する（後で反映） Mellinger 輻射輸送方程式 ▶ 微分方程式を立てる dI= -k I dx + j dx → dI/dx= -k I + j ▶ 変数２つを導入 ■ ■ 源泉関数 S = j/k ：物質の特性だけで決まる 光学的厚さ t =∫ k dx → dt/dx=k ▶ 後は、“算数” ■ 初期条件：I=I0 Mellinger 簡単な場合の解：減光のみ ▶ 放射がない場合：j=0 dI/dx= -k I ■ dt/dx=k を使うと、 dI/dt =-I ■ これは簡単に解けて、 I=I0 exp(-∫k dx)=I0 exp(-t ) ▶ 指数関数的に減光する Mellinger 簡単な場合の解：放射のみ ▶ 吸収がない場合： k =0 dI/dx= j ■ これは簡単に解けて、 I=I0 + ∫ j dx ▶ 単純な積分にしたがって増光する Mellinger 簡単な場合の解：熱平衡 ▶ 定常状態：dI/dx=0 k I=j → I = j/k = S ■ 熱平衡なら放射は黒体放射になる： I = Bn(T) ▶ したがって、S = Bn(T) ▶ キルヒホッフKirchhoffの法則 S =j/k =Bn(T) ■ ■ 物質の放射吸収特性に関する制限 Sは物質の種類と状態による Mellinger 一般の場合の解 ▶ I etの微分 元の微分方程式も使って d(I et)/dt = I et + et dI/dt = I et + et (-I + S) =S et ■ これは簡単に解けて I et = (I et)|t=0+ ∫ S et’ dt’ ∴ I = I0 e-t + ∫ S e(t’-t) dt’ ■ Sが光線に沿って一定ならば積分は単純になり I = I0 e-t + S (1- e-t) Mellinger 輻射輸送の解の意味 ▶ 均質媒質の場合の一般解 I = I0 e-t + S (1- e-t) ■ 変形すれば I = (I0 –S) e-t + S ▶ t→0の場合: I = I0 元の輝き ▶ t→∞の場合: I =S 媒質の輝き ▶ 一般には、両者の間になる Mellinger 輝度温度 ▶ プランク関数 Bn(T) =2hn3/c2 (1-exp(hn/kT))-1 ▶ hn/kT<< 1で１次近似：レーリージーンズ近似 Bn(T) RJ=2n2/c2 (kT) ▶ 強度は温度に比例→強度を温度で表す ▶ 黒体放射でなくても、逆に以下で定義 TB= c2 /(2n2k) I ▶ 輝度温度:光源の物理温度とは限らない Mellinger １次近似とテーラー展開 ▶ １次式の関係でないと解きにくい ▶ 任意の関数を１次式で表せないか ■ ■ ■ そこそこ合っていればよい：近似 そこそこの区間で合っていればよい “自然な”関数でOKならいい。 ▶ 多項式で書けたとしよう ■ f = S an xn のanを求める→ an=f (n)(0) / n! である f ’(0) = a1 n階微分してx=0を代入すると f (n)(0) = n! an 両辺を微分してx=0を代入すると Mellinger レーリージーンズ近似 ▶ hn/kT ≪ 1の条件： n [GHz] ≪ 20.8 T[K]で ■ ■ HIガスだと T~103 K→n ≪2x104 GHz 分子雲だと T~20 K→n ≪416 GHz ▶ 分子雲観測では近似に注意が必要 Mellinger ▶ 輝度温度 ■ RJ近似が成り立たない場合でも TB= c2 /(2n2k) I 輝度温度表現での輻射輸送 ▶ 輻射輸送の一般解 I = I0 e-t + S (1- e-t) ▶ 熱平衡の場合、S= Bn(T) ■ ■ 源泉関数から逆に、媒質の温度Tを定義 この温度は熱力学的温度と等しいとは限らない ▶ 輻射を輝度温度で表現すれば、 TB= TB,0 e-t + T (1- e-t) Mellinger 輻射・吸収の基礎 ▶ キルヒホッフの法則 S= j/k =Bn(T) =2hn 3/c2 (1-exp(hn/kT))-1 ▶ 物質と光の相互作用 ■ ■ 放射係数jと吸収係数k 一方を求めよ。されば他方も与えられん！ Mellinger １個の電子の電磁波放射(1) ▶ 加速度運動に伴う電磁波の放射 ▶ 双極子近似（双極子放射） dP/dW=d 2/(4pc3) sin2q P =2d 2/(3c3) 等方化 ■ ここで、d=q r, （静電モーメント） Mellinger d １個の電子の電磁波放射(2) ▶ 全過程での放射→全時間積分 ∫ P dt =32p 4 /(3c3) ∫∫dn n 2 e 2ipn t dn ∫dn' n' 2 e 2ipn' t dn' dt =32p 4 /(3c3) ∫∫∫dn dn' n 2 n' 2 e2ip(n +n') t dn dn' dt =32p 4 /(3c3) ∫∫ dn dn' n 2 n' 2 d (n +n' ) dn dn' = 32p 4 /(3c3) ∫ dn d-n n 4 dn Mellinger フーリエ変換 ▶ 任意の関数を三角波の重ね合わせで ■ ■ そこそこ合っていればよい：近似 “自然な”関数でOKならいい f^n= ∫ f(t) exp(2ipnt) dt , フーリエ変換 ^ f(t)=∫ fn exp(-2ipnt) dn, 逆フーリエ変換 Mellinger デルタ関数と複素共役 ▶ フーリエ、逆フーリエの両方が成り立つなら ■ ■ f(t)=∫∫ f(t' ) exp(2ipn (t' -t)) dt' dn, つまり、 ∫ exp(2ipn (t'-t)) dn =d(t'-t) ▶ デルタ関数：任意の関数f(x)に対して ■ f(x)=∫ f(x') d(x'-x) dx' が成り立つd(x)のこと ▶ 複素共役 ■ ■ ■ f(t)=∫ f^n exp(-2ipnt) dn ^* * Mellinger ^ f(t) =∫ fn exp(+2ipnt) dn =∫ f-n * exp(-2ipnt) dn f(t)が実関数なら両者は等しい。つまりf^-n =f^n * １個の電子の電磁波放射(3) ▶ 実関数d(t)のフーリエ成分だから d-n =dn * ▶ よって、∫ P dt =32p 4 /(3c3) ∫ |dn |2 n 4 dn ▶ 偶関数なので区間を正だけにすれば ∫ P dt =64p 4 /(3c3) ∫ |dn |2 n 4 dn ▶ そのスペクトルは Pn =(64p 4n 4) /(3c3) |dn |2 ▶ 振動数n を角振動数w =2pn に直すと Pw =(8p w4) /(3c3) |dw |2 Mellinger
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