宇宙科学最前線第1回

鹿児島大学／愛媛大学
宇宙電波天文学特論
第３回
自由自由遷移
半田利弘
鹿児島大学大学院理工学研究科物理・宇宙専攻
Mellinger
１個の電子の電磁波放射(1)
▶ 加速度運動に伴う電磁波の放射
▶ 双極子近似（双極子放射）
dP/dW=d 2/(4pc3) sin2q
P =2d 2/(3c3) 等方化
■
ここで、d=q r, （静電モーメント）
Mellinger
d
１個の電子の電磁波放射(2)
▶ 全過程での放射→全時間積分
∫ P dt =32p 4 /(3c3)
∫ ∫dn n 2 e 2ipn t dn ∫dn' n' 2 e 2ipn' t dn' dt
=32p 4 /(3c3)
∫∫∫ dn dn' n 2 n' 2 e2ip(n +n') t dn dn' dt
=32p 4 /(3c3) ∫∫ dn dn' n 2 n' 2 d (n +n' ) dn dn'
= 32p 4 /(3c3) ∫ dn d-n n 4 dn
Mellinger
１個の電子の電磁波放射(3)
▶ 実関数d(t)のフーリエ成分だから d-n =dn *
▶ よって、∫ P dt =32p 4 /(3c3) ∫ |dn |2 n 4 dn
▶ 偶関数なので区間を正だけにすれば
∫ P dt =64p 4 /(3c3) ∫ |dn |2 n 4 dn
▶ そのスペクトルは
Pn =(64p 4n 4) /(3c3) |dn |2
▶ 振動数n を角振動数w =2pn に直すと
Pw =(8p w4) /(3c3) |dw |2
Mellinger
電離プラズマ
▶ 電子とイオンが混在しているガス
▶ 自由電子
■
■
特定の原子核に捕らわれていない
自由に動き回っている＝静電気力は受ける
Mellinger
電子とイオンの相互作用
▶ 電子がイオンの近くを通過する
▶ クーロン力によって加速度運動する
■
軌道は直線で近似
電子
b ：衝突パラメータ
イオン
Mellinger
電子１個の衝突(1)
▶ 双極子放射のスペクトルを考える
▶ スペクトル→フーリエ変換
■
P =2d 2/(3c3) だから、まず d をフーリエ変換
d(t)=∫dw exp(-iw t) dw
▶ よって、d(t)=- ∫dw w2 exp(-iw t) dw
つまり、d(t)のフーリエ成分は -dw w2
Mellinger
電子１個の衝突(2)
▶ 一方、dの定義から d=qv
▶ ここから、-w2 dw =-q/(2p) ∫v exp(+iw t) dt
▶ 大胆なモデル化！
■
■
イオンと電子の相互作用はt=0付近のみ強い
この付近だけで評価する
▶ 放射過程の典型的な時間 t=b/v
dw=-qDv/(2pw2 ), (|w|≪1/|t |のとき)
dw=0,
(|w|≫1/|t| のとき)
Mellinger
電子１個の衝突(3)
▶ Pw =(8p w4) /(3c3) |dw |2より、(スライド18)
Pw = (2q2) /(3p c3) |Dv|2, (wt ≪1のとき)
P w=0, (wt ≫1のとき)
▶ では、クーロン力による速度変化は？
Mellinger
電子１個の衝突(4)
▶ イオンによる加速度運動
▶ 垂直方向の加速度のみを使う
Dv =Zq2/m ∫b/(b2+v2t2)3/2 dt = 2Zq2/(mbv)
電子
Mellinger
b ：衝突パラメータ
イオン
電子１個の衝突(5)
▶ ここまでをまとめると
Pw = (8Z2q6) /(3p c3m2b2v2), (b ≪v/wのとき)
Pw = 0, (b ≫v/wのとき)
Mellinger
熱的電離ガス
▶ 自由電子：熱運動
■
■
運動方向はランダム→等方化してよい
速度分布はマックスウェル分布
Mellinger
▶ 空間分布はランダム→bはランダム
空間分布
▶ 電離ガスの体積放射率を考える
■
■
■
空間分布はランダム→bはランダム
体積dV =2pb db内に１個のイオン
電子の流束はne v
▶ よって、
dPw /(dV dt) = ne ni 2p v ∫ dPw b db
v dt
b
Mellinger
漸近近似(外)
▶ 積分範囲はどうするのか？
■
■
■
0～無限大だと発散する！
とりあえず、最小bmin最大bmaxを設定する
bmaxまで先ほどのモデルの成立を仮定
 bmax=
v/w
▶ dPw /(dV dt) = ne ni (16 Z2q6) /(3c3m2v) ∫ db/b
= ne ni (16 Z2q6) /(3c3m2v) ln (bmax/bmin)
■
どうせ対数なのでbmaxは桁があえばよい
Mellinger
漸近近似(内)
▶ 直線軌道近似が効く範囲 Dv=v
■
bmin = 4Zq2/(pmv2)
▶ ま、いずれにせよ補正係数に押し込む
▶ dPw /(dV dt) = ne ni (16p q6Z2) /(3√3c3m2v) gff
gff =(√3/p) ln (bmax/bmin) Gaunt因子
Mellinger
速度則で積分
▶ マックスウェル分布
dp∝e-E/(kT) d3v = exp{-(mv2)/(2kT)}d3v
▶ ここで、 d3v=4p v2 dvを使うと
dp∝v2 exp{-(mv2)/(2kT)}dv
▶ 積分範囲は？
▶ エネルギーを考えるとhn≦(mv2)/2
■
vmin= (2hn /m)1/2
Mellinger
電離ガスの放射係数(1)
▶ 以上をまとめると(Pw→Pnに注意)
dPn /(dV dt)=en
= (32p q6Z2) /(3mc3) {(2p)/(3km)}1/2 gff ne ni T -1/2 e-hn/(kT)
 Gaunt因子は速度平均したもの
▶ 電離ガスの放射係数
物理定数を代入するとcgs単位で
en =6.8×10-38 Z2 ne ni T -1/2 e-hn/(kT) gff
■
▶ この放射過程を熱的制動放射という
Mellinger
電離ガスの放射係数(2)
▶ 全周波数で積分すると
dP/(dV dt) =∫ dPn /(dV dt) dn =e
= (32p q6Z2) /(3hmc3) {(2p kT)/(3m)}1/2 gB ne ni
 Gaunt因子は速度平均してから周波数平均したもの
 gB=1.1-1.5, 1.2としても20%の誤差で正しい
▶ 電離ガスの放射係数
物理定数を代入するとcgs単位で
e =1.4×10-27 Z2 ne ni T 1/2 gB
■
▶ 完全電離純水素なら、Z=1, ne=ni
Mellinger
電離ガスの吸収係数(1)
▶ キルヒホッフの法則を使う
■
j/k =Bn(T)
▶ 先ほどまで求めていたのは等方放射
■
■
１光線当たりとは全立体角だけ異なる
en =4p j
k = en /(4p Bn(T))
= (4q6Z2) /(3mhc) {(2p)/(3km)}1/2 gff ne ni T -1/2 n -3 (1-e-hn/(kT))
=3.7×108 gff Z2 ne ni T -1/2 n -3 (1-e-hn/(kT)) [cgs単位]
Mellinger
電離ガスの吸収係数(2)
▶ ウィーン近似 (hn≫kT)
k =(4q6Z2) /(3mhc) {(2p)/(3km)}1/2 gff ne ni T -1/2 n -3
∝n -3
▶ レイリージーンズ近似 (hn≪kT)
k =(4q6Z2) /(3mhc) {(2p)/(3km)}1/2 gff ne ni T -3/2 n -2
=0.018 gff Z2 ne ni T -3/2 n -2 [cgs単位]
Mellinger

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