JVS_2_1 - Okano Fukutnai Wilde Group, oflab,

JVS_2_1
希薄気体の輸送現象
熱伝導，粘性，拡散などの気体中の輸送現象
圧力計測（熱伝導真空計、粘性真空計）
自由分子流、真空ポンプ
連続体
JVS_2_2
【粘性】
Couette flow
平板２に働く抗力（粘性力）：
 du 
U 
F        
 dz 
d
粘性真空計
Spinning Rotor Gauge
Quartz Crystal Gauge
面積： 2 πrRd
入射分子の与える
運動量： 1
4
nv  2πrRd  mr 
8π 1
4

n
v
R
m
回転軸周りのトルクは
3 4
＝角運動量変化 2
M S R 2
5
2R
p
10
2πkT   
 
m  
粘性抗力
JVS_2_3
【熱伝導】
平板間を伝わる熱量
 dT 
 T2  T1 
Q   
   

 dz 
 d 
JVS_2_3
【拡散】
 dn 
 n2  n1 
J   D    

 dx 
 L 
分子数密度の流れ
JVS_2_4
” S
«
” M
“ `“ ±
Šg
ŽU
• ¨—
—Ê
‰^“ ®
—Ê
ƒ G
ƒ lƒ ‹ƒ M
[
—±
Žq
”
—A
‘ —
ŒW
”
” S
«
ŒW
”
 [Pa¥s]
” M
“ `“ ±
—¦
Wm- 1K- 1]
Šg
ŽU
ŒW
”
D [ m2/ s]
ŠÖ
ŒW
Ž®
Fx = - dux/ dz)
Q=- (dT/ dz)
J =- D(dn/ dz)
真空計
真空ポンプ
希薄気体の流れ
輸送係数の初等理論（平均自由行程）
JVS_2_5
平均自由行程だけ離れた場所の物理量
が移送される！
ボルツマン方程式の近似解法との比較
•
•
•
•
定性的、定量性に乏しい
次元解析（物理量の関係を記述）
平均自由行程の役割を示す
自由分子流での輸送現象の記述に接続
JVS_2_6
z
微小体積
rd  r sin d  dr
 dG 
G  G0  z
 
 dz 
 r 2 sin dddr
dSを見込む
立体角
d 
dS cos 
r2

r
r cos 
r sin 
dS
r sin 
微小体積内で単位時間に散乱される分子数は
１分子が単位時間に散乱される回数 × 体積内分子数
JVS_2_6
z
微小体積
rd  r sin d  dr
 dG 
G  G0  z
 
 dz 
 r 2 sin dddr
dSを見込む
立体角
d 
dS cos 
r2

r
r cos 
r sin 
dS
r sin 
微小体積内で単位時間に散乱される分子数は
１分子が単位時間に散乱される回数 × 体積内分子数
v

JVS_2_6
z
微小体積
rd  r sin d  dr
 dG 
G  G0  z
 
 dz 
 r 2 sin dddr
dSを見込む
立体角
d 
dS cos 
r2

r cos 
r
r sin 
dS
r sin 
微小体積内で単位時間に散乱される分子数は
１分子が単位時間に散乱される回数 × 体積内分子数
v

nr sin dddr
2
JVS_2_7
（，）方向のλだけ離れた地点で散乱され
てからｄSに入射する分子数を求める
散乱された分子数は
nv r 2 sin dddr

ｄSに入射する割合
ｒだけ移動する途中
で散乱されない割合
dS cos 
2
4r
e

r

JVS_2_8
ｄSに入射する全ての分子がもたらす正味の物理量は，
2

0
0
 d 

r



dG
n
(
r
)
v
dS
cos



2

G

r
cos

r
sin

e
ddr



2
0  0
4r
 dz  
（拡散以外では）
n( r )  n
1
 dG 
G   nv  
dS
3
 dz 
JVS_2_9
粘性の場合
局所的な流速 u(z)
G  m u(z )
1
1
  nmv   v 
3
3
厳密に計算すると，数定数が若干変化する。
  0.499v 
JVS_2_10
熱伝導の場合
局所的な温度 T(z)
G  mCVT ( z)
1
  nmv CV  CV
3
厳密に計算すると，
単原子分子
  2.5CV
JVS_2_11
オイケン
より一般的な表式として，次のEuckenの式が知られている。
(9  5)

CV
4
γは比熱比（定積比熱に対する定圧比熱の比）
f 2


CV
f
Cp
γ＝１．６７（単原子分子）
＝１．４０（2原子分子）
＝１．３３（多原子分子）
ｆは，分子の自由度
JVS_2_12
2原子分子
A=2
f = 3A=6
回転
並進運動
H2の場合には室温では振動は励起されない
γ= 7/5 = 1.40
振動
JVS_2_13
f = 3A = 9
凍結
CO2
H2O
凍結
JVS_2_14
拡散の場合
G  n(z )
 dn 
J   D 
 dz 
1

D11  v  
3

より厳密に計算す
ると

D11  1.2

自己拡散係数
JVS_2_15
表2-3 標準状態における粘性係数，熱伝導率
JVS_2_16
【輸送係数の圧力依存性】
平均自由行程：圧力に反比例
密度：
圧力に比例
粘性係数，熱伝導率には，λと n の積が含まれる。
平均自由行程が容器の寸法より
短い範囲では圧力依存性は，ない
JVS_2_17
輸送係数の温度依存性
分子速度の温度依存性 + 衝突断面積の温度変化
T

1  ( KS / T )
5 1  mkT 


2 
16 r0  π 
1/ 2
（Sutherlandの式）
1.46
1  1.10U 0 / kT
 r0  12  r0  6 
U (r )  U 0    2  
 r  
 r 
木原太郎、分子間力（岩波全書）
低温
高温
JVS_2_18
水と空気の粘性係数
JVS_2_19
2.2 圧力の低い領域での輸送現象
平均自由行程と壁面
壁面
壁面に入射する分子の平均衝突距離
 cos
JVS_2_20
2
 cos   
3
z
微小体積
rd  r sin d  dr
 dG 
G  G0  z   
 dz 
 r 2 sin dddr
dSを見込む
立体角
d 
dS cos 
r2

r
r cos 
dS
dS cos  2
e r sin dddr
2

2

4

r
 cos 
 
1
3
nv
4
vn

r
JVS_2_21
流速
壁面極近傍でも流速は０にならない
JVS_2_22
熱伝導においても同様の現象が生じる
4  0.499 
g

  1 CV
JVS_2_23
表面での分子散乱過程に起因する壁面効果
運動量適応係数： f* = 0 鏡面散乱
f* = 1 完全拡散反射
熱的適応係数

Tr  Tg
Tr
Tg
Ts  Tg
Ts
α= 0 エネルギー交換なし
α= 1 完全に壁面温度になって反射
2 f
 

*
f
*
*
g 
*
2 

g
JVS_2_24
「分子条件」下での粘性と熱伝導
  L
Lは，真空容器の直径や配管の口径などの
代表的長さ
圧力が低くなるに従い，平均自由行程が長くなる。容器
の大きさを越えると，容器の長さが輸送係数の実効的な
平均自由行程となる。
密度は，圧力に比例してどこまでも小さくなるため，粘性
係数や熱伝導率が圧力に比例するようになる。
JVS_2_25
粘性による抗力 F = 入射頻度 × 平均接線運動量
1
F  nv  m U
4
  0 U
自由分子粘性係数
m
0 
2kT
JVS_2_25
22℃空気
JVS_2_26
分子条件下での熱伝導
穴から飛び出てくる分子の平均エネルギー
速い分子ほど沢山飛
び出てくる！
平均運動エネルギー
1 2
mv
2
1 2
 2 m v vf (v)dv

 2kT
 vf (v)dv
JVS_2_27
単原子分子
の場合
分子の内部自由度を考慮すると，分子1個が輸送するエネルギーは
( f  3)
f 1
  2kT 
kT 
kT
2
2
JVS_2_28
1
1
 f  1
 f  1
Q  1   2  n1 v1 
 kT1  n2 v2 
 kT2
2
2
 2 
 2 
n1, n2 は，平板から他方に向かう分子のみの密度
入射頻度の平衡が成り立つので，
n1 v1  n2 v2
p  n1kT1  n2 kT2
平均温度を次のように定義する。
n1T1  n2T2
T 
n1  n2
*
f 2
γ
f
JVS_2_29
1  γ  1
k

Q  
p(T1  T2 )  p(T1  T2 )
*
2  γ  1 2πmT
自由分子熱伝導率
ここまでは，熱的適応係数を１として考えた。
より，一般的には，壁面１，２での熱的適応係数を導入し，
1  γ  1
1 2

  
2  γ  1 1   2  1 2
k
2πmT*
JVS_2_30
真空計としての利用
「熱伝導真空計」
JVS_2_31
平板間距離と熱伝導率
の圧力依存性
Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ方程式
Lenard-Jones potential
    kT 
 2
 

 2kT   2m *
1/ 6
( l , r )
 
1/ 2
Fr ( )
l
2U 0
1 μ

2kT λ
kT
2
5kT 
3   ( 2 , 3) 7  
  ( 2, 2) 1   ( 2, 2)   
8
2 
 49  


(51.6)
2
3K 25kT 1
2 16m ( 2, 2)
(52.1)
2
( 2 , 3)

2 
7 
1   ( 2, 2)   
2 
 21 

(52.2)
Lenard-Jones potential
 r0  12  r0  6 
U (r )  U 0    2  
 r  
 r 
5 1  mkT 


2 
16 r0  π 
Sutherland の経験式
1/ 2
1.46
1  1.10U 0 / kT
T
A
1 S / T

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