5 図形と合同

５図形と合同
２章平行四辺形
§１平行四辺形
（５時間）
§１平行四辺形
《平行四辺形をかこう》
D
A
O
B
平行四辺形ABCD を、
C
ABCD と書くことがある。
《平行四辺形の定義》
２組の向かいあう辺が、それぞれ
平行な四角形を平行四辺形という。
平行四辺形の性質
① 平行四辺形の向かいあう辺は
等しい。
② 平行四辺形の向かいあう角は
等しい。
③ 平行四辺形の対角線は、それ
ぞれの中点で交わる。
《平行四辺形の性質①の証明》
四角形ABCD で、
【仮
AB // DC , AD // BC
定】
【結
AB＝DC , AD＝BC
B
【証
論】
明】
△ABC と△CDA で、
AB //DC だから、
∠BAC＝∠DCA
AD //BC だから、
B
∠BCA＝∠DAC
また、 AC＝CA
１辺両端角(２角夾辺)相等で、
△ABC≡△CDA
よって、AB＝CD , BC＝DA
D
A
C
D
A
C
《平行四辺形の性質②の証明》
四角形ABCD で、
【仮
AB // DC , AD // BC
定】
【結
∠A＝∠C , ∠B＝∠D
D
A
B
【証明】
論】
A
性質①の証明より
△ABC≡△CDA だから、
∠B＝∠D
∠BAC＝∠DCA ,
B
∠BCA＝∠DAC だから、
∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA
∠BAD＝∠DCB
C
D
C
《平行四辺形の性質②の証明》
四角形ABCD で、
【仮
AB // DC , AD // BC
定】
【結
∠A＝∠C , ∠B＝∠D
D
A
B
【証明】
論】
A
性質①の証明より
△ABC≡△CDA だから、
∠B＝∠D
∠BAC＝∠DCA ,
B
∠BCA＝∠DAC だから、
∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA
∠BAD＝∠DCB
∠A＝∠C
C
D
C
《平行四辺形の性質②の証明２》 A
四角形ABCD で、
【仮
AB // DC , AD // BC
定】
【結
∠A＝∠C , ∠B＝∠D
B
【証明】
論】
辺AB の延長上に点E、
辺BC の延長上に点F をとって、
∠A＝ ∠CBE （同位角）
B
＝∠BCD （錯角）
E
＝∠C
∠B ＝ ∠ABC
＝∠DCF （同位角）
＝∠DCF （錯角）
D
C
D
A
C
F
《平行四辺形の性質③の証明》
四角形ABCD で、
【仮
AB // DC , AD // BC
定】
【結
AO＝CO , BO＝DO
D
A
O
B
【証
論】
A
明】
△ABO と△CDO で、
AB //DC だから、
O
∠BAO＝∠DCO
∠ABO＝∠CDO
B
平行四辺形の向かいあう辺は等しいので、
AB＝CD
C
D
C
１辺両端角(２角夾辺)相等で、
△ABO≡△CDO
よって、AO＝CO , BO＝DO
だから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点
で交わる。
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
C
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
A
B
D
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
B
② 向かいあう角が、それぞれ等しい。
∠A＝∠C＝110º , ∠B＝∠D＝70º
D
A
B
C
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
O
いてみよう。
C
B
③ 対角線が、それぞれの中点O で交わる
AO＝CO＝3cm , BO＝DO＝5cm
D
A
O
B
C
D
A
《平行四辺形になる条件》
次のような四角形ABCD を、か
いてみよう。
C
B
④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行である
AD // BC , AD＝BC＝6cm
A
B
D
C
《平行四辺形になる条件①の証明》 A
四角形ABCD で、
【仮
AB＝DC , AD＝BC
定】
【結
AB // DC , AD // BC
【証
論】
明】
△ABC と△CDA で、
AB＝CD
BC＝DA
また、 AC＝CA
３辺相等で、
△ABC≡△CDA
よって、
∠BAC＝∠DCAだから、
AB // DC
また、 ∠ACB＝∠CADだから、
AD // BC
B
D
C
D
A
C
B
D
A
B
C
《平行四辺形になる条件②の証明》A
四角形ABCD で、
【仮
∠A＝∠C , ∠B＝∠D
定】
【結
AB // DC , AD // BC
B
D
C
【証明】
論】
辺AB の延長上に点E をとる。 E
∠A＝∠C , ∠B＝∠D だから、
∠A＋∠B＝∠C＋∠D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360º だから、
∠A＋∠B＝180º
また、∠B＋∠CBE＝180º だから、
∠A＝∠CBE
よって、同位角が等しいので、
AD // BC
また、∠C＝∠A＝∠CBE で、錯角が等しいので、
AB // DC
《平行四辺形になる条件③の証明》A
四角形ABCD で、
【仮
AO＝CO , BO＝DO
定】
【結
AB // DC , AD // BC
B
【証明】
論】
△ABO と△CDO で、
AO＝CO
BO＝DO
∠AOB＝∠COD（対頂角）
D
O
C
D
A
O
C
B
２辺夾角相等で、
△ABO≡△CDO
よって、 AB＝CD
････････①
同じようにして、△ADO と△CBO で、
△ADO≡△CBO
よって、AD＝CB
････････②
①、②から、条件①より、四角形ABCD は、
平行四辺形である。
《平行四辺形になる条件④の証明》A
四角形ABCD で、
【仮
AD // BC , AD＝BC
定】
【結
AB // DC , AD // BC
【証明】
論】
△ABC と△CDA で、
BC＝AD
AC＝CA
∠ACB＝∠CAD
B
D
C
D
A
････････①
B
２辺夾角相等で、
△ABC≡△CDA
よって、AB＝CD
････････②
①、②から、条件①より、四角形ABCD は、
平行四辺形である。
C
平行四辺形になる条件
四角形は、次の各場合に平行四辺形である。
○ ２組の向かいあう辺が、それぞれ平行であるとき
（定義）
① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しいとき
② ２組の向かいあう角が、それぞれ等しいとき
③ 対角線が、それぞれの中点で交わるとき
④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行であるとき
《P126 解答⑦》
(1)
(2)
(3)
《例題①》
D
ABCD の対角線の交点を A
S
O とすると、
P
････････①
AO＝CO
O
････････②
BO＝DO
Q
R
①と AP＝CQ から、
C
B
････････③
PO＝QO
②と BR＝DS から、
････････④
RO＝SO
③、④から、対角線が、それぞれの中点で交わる
ので、四角形 PRQS は平行四辺形である。
《P126 解答⑧》
A
B
D
M
N
C
《長方形、ひし形、正方形》
・長方形、ひし形、正方形の定義
長方形４つの角が等しい四角形
ひし形４つの辺が等しい四角形
正方形４つの角が等しく、
４つの辺が等しい四角形
平行四辺形
長方形ひし形
正
方
形
・長方形、ひし形、正方形は平行四辺形である
長方形２組の向かいあう角が、それぞれ等しい
（平行四辺形になる条件②）
ひし形２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい
（平行四辺形になる条件①）
正方形平行四辺形になる条件①または②より
・長方形、ひし形、正方形の対角線
A
D
O
B
B
C
A
A
D
O
C
B
D
O
C
対角線についての性質
① 長方形の対角線の長さは等しい。
② ひし形の対角線は垂直に交わる。
③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。
《P127 練習解答①》
(1)
B
(2)
D
A
C
END

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