アルゴリズム工学特論

C11: 大量データ処理のための
領域効率の良いアルゴリズム
定兼邦彦小野廣隆山下雅史 (九大)
2007年5月15日
研究の目的
• 大量データを効率的に処理するための
アルゴリズムとデータ構造の開発
• アプローチ
– データおよびデータ構造の圧縮
– 局所情報のみを用いた探索
– 確率アルゴリズム
2
これまでの成果
• グラフ探索アルゴリズム (論文4)
–
–
–
–
ランダムウォーク
Right-Hand-on-the-Wall walk
Forest search
無線ネットワークでのオンラインbroadcast
• 簡潔データ構造 (論文11)
–
–
–
–
透過的データ圧縮法
順序木の超簡潔データ構造
圧縮接尾辞配列・接尾辞木
実用的rank/selectデータ構造
• 分散アルゴリズムでの故障検知器
• センサーネットワークでの省電力データ収集
3
1
問題
2 3
1
3
2
1
2
3
2
•
•
入力: n ノード連結グラフ G
出力: G の枝ラベル
1
3
1. 各枝は2つのラベルを持つ (両端に1つずつ)
2. 各ノード v の周りのラベルは [1,deg(v)] の異なる整数
3. “Right-Hand-on-the-Wall” walk が存在
4
Right-Hand-on-the-Wall Walk
• エージェントがあるノードの1ラベル枝から出発
• 点 v に枝 i から着いたら，枝 i+1 から出る
(無記憶)
1
• エージェントは全点を訪れる
3
2
1
2
3
1
2
3
2
1
3
5
結果
• どんなグラフにも Right-Hand-on-the-Wall Walk
が存在
• walkの長さは高々 10n
• 参考
– グラフに木を定義してその上を探索するならwalkの
長さは 4n だが，エージェントは3つの状態が必要
6
Forest Search
• 仮定
–
–
–
–
グラフ全体は記憶できない
ノードを訪れるとそのノードの隣接点がわかる
グラフには情報を書けない
ノードは異なる ID を持っている
• 解きたい問題
–
–
–
–
点 u を出発し v に着くまでのstep数を減らす
全点を訪れるまでのstep数を減らす
全点を少ないメモリで重複無く列挙
P2Pに有効(?)
7
Forest Search
• 逆探索の拡張
–
–
–
–
–
グラフに森を定義する
1つの木の中は逆探索
それぞれの木を1点に縮約したグラフでDFS
必要メモリは木の数に比例
ステップ数 O(|V|+|E|・h) （h: 木の中で最大の深さ）
• スケールフリーネットワークの探索に適している
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スケールフリーネットワーク
• 次数の分布がベキ則に従う： P(d)～d –γ
頂点数
傾き：－γ
次数d
• 生成モデルのひとつ：BAモデル [Barabasi and Albert 99 ]
– Growth: 単位ステップあたり１点とそこから出る辺をm本追加
– Preferential attachment:
追加する辺の一端は既存の頂点へその次数に比例した
確率で決定する
9
仮想的な森
ネットワークの構造の
部分グラフ（spanning
forest）が仮想的な森
になる
forest search は
仮想的な木の構造に
従って，ネットワークを
探索する
10
仮想的な木を作る
• 親の選び方 : 単純ルール
– Nk(u) : 頂点uからの距離が高々k(>=0)である頂点の集合
– N１(u)から最も次数の高い頂点を頂点uの親π(u)に選ぶ
– ２つ以上あればその中で最もIDの小さい頂点
各頂点 u にはちょうどひとつの親 π(u) が存在し，
deg(π(u)) > deg(u) or ID(π(u)) < ID(u) (π(u)≠u)
deg(π(u)) = deg(u)
(π(u) =u)
局所情報だけで任意の頂点の親と子を一意に
決められるため，木構造を記憶しておく必要がない
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仮想的な木を作る（追加ルール）
• 親の選び方 : 追加ルール
– 目的：仮想木を統合して木の数を減らしたい
– 単純ルールで仮想木の根になる頂点uに対して，π(u)を選
び直す
– N２(u)で最も次数の高い頂点をπ(u)に選ぶ (２つ以上あれ
ばその中でIDが最小の頂点)
u
π(u)
u
π(u)
単純ルール
追加ルール
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追加ルールによって作られるグラフの性質
• 定理：
追加ルールによって定義されるグラフFは次の性質を満たす
１．単純ルールにおける木の根uが異なる木に属する頂点と
隣接していたなら，追加ルールにおいてuは木の根ではない
２．Fには長さ２以上のサイクルは存在しない
u
π(u)
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計算機実験
• 探索手法
– forest search
– β-random walk (比較対象)
• ネットワーク
– 頂点数 n，辺数 2n
– ネットワーク生成モデル
• ERモデル：ランダムグラフ [ Erdos and Renyi ]
• WSモデル：スモールワールドネットワーク
[ Watts and Strogatz ]
• BAモデル：スケールフリーネットワーク
– 全 n(n-1)/2 個の起点・目標頂点対に対して探索を実行し平均
を取る
– それぞれ20個のネットワークに対する平均を取る
14
実験結果：ステップ数（n = 500）
平
均
探索手法
forest search
β-random walk
ER
627
902
WS
962
1380
BA
516
1031
最
大
forest search
β-random walk
4025
4886
5121
3947
2259
3173
※β-random walk はβ=0.5の結果
• random walk に対する性能向上の割合
– 最も高いモデル : BA
– 最も低いモデル : WS
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実験結果：仮想的な森に関する量（単純ルール）
木の数
最大の木のサイズ
BA
WS
ER
ER
BA
WS
• BAモデル : 最大の木のサイズが大きく，木の数は少ない
• WSモデル : 最大の木のサイズが小さく，木の数は多い16
実験結果：仮想的な森に関する量（追加ルール）
木の数
最大の木のサイズ
• BAモデル :
木の数は劇的に減少
90％以上の頂点が最大の木に含まれる
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実験結果： cover time
・BAモデル
・n=~500
• ネットワークの全頂点を訪れるときのステップ数
β-random walk
記憶有りβ-random walk
forest search（単純ルール）
forest search (追加ルール)
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簡潔データ構造
(Succinct Data Structures)
• 簡潔データ構造＝データの簡潔表現＋簡潔索引
• 簡潔データ構造の例
– 木，グラフ
– 文字列
– 順列，関数
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簡潔表現
• サイズが情報理論的下限に(ほぼ)一致する表現
• 入力が L 通りのとき，情報理論的下限は log L bits
• 例1: 集合 S  {1,2,...,n} のサイズの下限
– log 2n = n bits
• 例2: n 頂点の順序木
1  2n  1

  2n  log n bits
log
2n  1  n  1 
• 例3: n 文字の文字列
– n log  bits (: アルファベットサイズ)
21
簡潔索引
•
•
•
•
決められた操作を実現するためのデータ構造
サイズ: o(log L) bits
従来の表現と(ほぼ)同じ操作時間
計算モデル: word RAM
–
–
–
–
ポインタサイズ w bits (2w 個のメモリセル)
w ビットの四則演算が定数時間
連続する w ビットのメモリの読み書きが定数時間
前述の例では w = log n = log log L
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簡潔データ構造の例
情報理論的下限
文字列 S
(n 文字)
n log 
簡潔データ構造
(n+o(n)) log 
n+o(n)
2n+o(n)
[GV00]
[J89][M96]
[MR97]
超簡潔データ
構造
nHk(S)+o(n log )
[GGV03]
順序集合
順序木
S {1,2,...,n} (n ノード)
n
2no(n)
nH0(S)+o(n) nH*+o(n)
[本研究]
[RRR02]
超簡潔 (ultra-succinct) データ構造
• サイズがデータのある種のエントロピーと一致
• 問い合わせ計算量が変わらない
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新しい順序木の表現
• BPとDFUDSでの基本演算は全て定数時間
• サイズは木のある種のエントロピーに圧縮
– 最悪 2n+o(n) ビット
定義: 木次数エントロピー
– ni: 次数 i のノード数
ni
n
H T    log
ni
i n
*
例: 全2分木 (全内部ノードが丁度2つの子を持つ)
– BP, DFUDS: 2n ビット
– 本研究: n ビット
24
サイズの下限
• 次数 i のノード数が ni である順序木の数は
1
L  
n  n0


 nn 1 
n
n1
[Rote 96]
• log L  nH T  より，このエントロピーは木の
次数を固定した場合の情報理論的下限と一致
*
25
透過的データ圧縮法
• 任意箇所を瞬時に復元 (log n ビットを定数時間)
– word RAMモデルでは最適
⇒データは圧縮されていないとみなせる
• 圧縮率は従来通り
 n(k  1) log  log log n  
 bits
nHk  O
log n


(全ての k  0 に対して同時に成立)
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今年度の予定
• Forest SearchとUSTCONNアルゴリズムの関係
– V. Trifonov. An O(log n log log n) space algorithm
for undirected st-connectivity, STOC 05.
• 簡潔データ構造の応用
– 頻出アイテム集合
– (Web)グラフの符号化
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